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Zeitkonstante

Die Zeitkonstante (griech. τ {\displaystyle \tau } (tau) oder T {\displaystyle T} ) ist eine charakteristische Größe eines linearen dynamischen Systems, das durch eine gewöhnliche Differentialgleichung oder durch eine zugehörige Übertragungsfunktion G ( s ) {\displaystyle G(s)} beschrieben wird. Sie hat die Dimension einer Zeit; ihre Maßeinheit ist meist die Sekunde.

Funktionsbild eines PT1-Gliedes
nach einem Eingangssprung.

Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit zur Verarbeitung und Übertragung von Signalen; die Systemeingangsgröße u ( t ) {\displaystyle u(t)} ist als Ursache und die Systemausgangsgröße y ( t ) {\displaystyle y(t)} als zeitliche Auswirkung definiert. Typische Eingangssignale zur Prüfung des Systemverhaltens sind die Impulsfunktion, Sprungfunktion und Anstiegsfunktion.

In der Elektrotechnik ist das Zeitverhalten eines Verzögerungsgliedes 1. Ordnung (z. B. eines RC-Glied-Tiefpasses) mit einer Sprungantwort mit exponentiellem asymptotischem Verlauf allgemein bekannt. Dabei bestimmt die Zeitkonstante T = R C {\displaystyle T=R\cdot C} den zeitlichen Verlauf. Nach Ablauf einer Zeit von ca. 3 Zeitkonstanten hat das Ausgangssignal ca. 95 % der Größe des Eingangssignals erreicht, wenn die Systemverstärkung K = 1 {\displaystyle K=1} ist.

Grundsätzlich hängt der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals eines Übertragungssystems beliebiger Ordnung von der Art des Übertragungssystems und des Eingangssignals ab und bezieht sich nicht nur auf Zeitverzögerungsglieder ( P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Glieder).

Der Begriff Zeitkonstante ergibt sich bei der Beschreibung eines linearen dynamischen Systems durch eine gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Zur leichteren Berechnung des zeitabhängigen Systemverhaltens wird die systembeschreibende Differentialgleichung der Laplace-Transformation unterzogen und daraus das Signalverhältnis als Übertragungsfunktion G ( s ) {\displaystyle G(s)} gebildet.

Die Übertragungsfunktion in der Zeitkonstantendarstellung entsteht wie folgt:

  • Laplace-Transformation der gewöhnlichen Differentialgleichung höherer Ordnung,
  • Bildung der Übertragungsfunktion G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = Zählerpolynom (s) Nennerpolynom (s) {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {\text{Zählerpolynom (s)}}{\text{Nennerpolynom (s)}}}} .
Die Polstellen s p i {\displaystyle s_{pi}} und Nullstellen s n i {\displaystyle s_{ni}} der Übertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens.
  • Faktorisierung der Polynome in die Pol-Nullstellendarstellung: G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = k ( s s n 1 ) ( s s n 2 ) ( s s n m ) ( s s p 1 ) ( s s p 2 ) ( s s p n ) {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})\dotsm (s-s_{pn})}}}
  • Umrechnung der Pol-Nullstellendarstellung durch Zahlenwerte der Pole und Nullstellen in die Zeitkonstantendarstellung,
  • Die Werte der Pole und Nullstellen eines Linearfaktors können drei Formen annehmen: Null, negativ reell, negativ konjugiert komplex.
Damit können im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion insgesamt 3 2 = 6 {\displaystyle 3\cdot 2=6} unterschiedliche Grundformen von Linearfaktoren und Faktoren 2. Ordnung mit unterschiedlichem Systemverhalten entstehen.
G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = k T v s ( T s + 1 ) ( T 2 s 2 + 2 D T s + 1 ) T n s ( T s + 1 ) ( T 2 s 2 + 2 D T s + 1 ) {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}=k\cdot {\frac {T_{v}\cdot s\cdot (T\cdot s+1)\cdot (T^{2}\cdot s^{2}+2DT\cdot s+1)}{T_{n}\cdot s\cdot (T\cdot s+1)\cdot (T^{2}\cdot s^{2}+2DT\cdot s+1)}}} .

Die Zeitkonstante T {\displaystyle T} entspricht dem Koeffizienten vor der komplexen Laplace-Variable s {\displaystyle s} . Sie errechnen sich allgemein aus dem Reziprokwert einer negativen reellen Polstelle s p {\displaystyle s_{p}} oder einer Nullstelle s n {\displaystyle s_{n}} des Nennerpolynoms oder Zählerpolynoms der Übertragungsfunktion als:

T i = 1 | s p i | {\displaystyle T_{i}={\frac {1}{|s_{pi}|}}} bzw. T i = 1 | s n i | {\displaystyle T_{i}={\frac {1}{|s_{ni}|}}} .

Inhaltsverzeichnis

Systembeschreibungen durch Übertragungsfunktionen G ( s ) {\displaystyle G(s)} können entstehen durch:

Zur einfacheren Berechnung und zum leichteren Verständnis wird die systembeschreibende gewöhnliche Differenzialgleichung einer Laplace-Transformation unterzogen und ist damit algebraisch berechenbar. Dabei wird nach dem Laplace-Differentiationssatz eine Ableitung 1. Ordnung der Differenzialgleichung durch die Laplace-Variable s {\displaystyle s} als komplexe Frequenz ersetzt. Höhere Ableitungen n-ter Ordnung werden entsprechend der Ordnungszahl n {\displaystyle n} durch s n {\displaystyle s^{n}} ersetzt.

Beispiel einer gewöhnlichen Differentialgleichung höherer Ordnung eines Übertragungssystems mit konstanten Koeffizienten a i {\displaystyle a_{i}} und b i {\displaystyle b_{i}} :

a n y ( n ) + + a 2 y ¨ + a 1 y ˙ + a 0 y = b m u ( m ) + + b 2 u ¨ + b 1 u ˙ + b 0 u {\displaystyle a_{n}y^{(n)}+\ldots +a_{2}{\ddot {y}}+a_{1}{\dot {y}}+a_{0}y=b_{m}u^{(m)}+\ldots +b_{2}{\ddot {u}}+b_{1}{\dot {u}}+b_{0}u}

Diese allgemeine Form der Differentialgleichung wird einer Laplace-Transformation unterzogen:

a n s ( n ) Y ( s ) + + a 2 s 2 Y ( s ) + a 1 s Y ( s ) + a 0 Y ( s ) = b m s ( m ) U ( s ) + + b 2 s 2 U ( s ) + b 1 U ( s ) + b 0 U ( s ) {\displaystyle {a_{n}\cdot s^{(n)}\cdot Y(s)+\ldots +a_{2}\cdot s^{2}\cdot Y(s)+a_{1}\cdot s\cdot Y(s)+a_{0}\cdot Y(s)=b_{m}\cdot s^{(m)}\cdot U(s)+\ldots +b_{2}\cdot s^{2}\cdot U(s)+b_{1}\cdot U(s)+b_{0}\cdot U(s)}} .

Durch Anwendung des Laplace-Differentiationssatzes auf die systembeschreibende gewöhnliche Differentialgleichung entsteht die Übertragungsfunktion G ( s ) {\displaystyle G(s)} . Mittels der Pol- und Nullstellenbestimmung des Zähler- und Nennerpolynoms entsteht die faktorielle Darstellung (Linearfaktoren) der Übertragungsfunktion.

Die Übertragungsfunktion G(s) wird aus dem Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße gebildet. Dabei dürfen keine Anfangswerte der inneren Energiespeicher (Zustandsraumdarstellung) des Systems bestehen.

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b m s m + + b 2 s 2 + b 1 s + b 0 a n s n + + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = Zählerpolynom (s) Nennerpolynom (s) {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}\cdot s^{m}+\dotsb +b_{2}\cdot s^{2}+b_{1}\cdot s+b_{0}}{a_{n}\cdot s^{n}+\dotsb +a_{2}\cdot s^{2}+a_{1}\cdot s+a_{0}}}={\frac {\text{Zählerpolynom (s)}}{\text{Nennerpolynom (s)}}}}

Die Laplace-Variable s = δ + j ω {\displaystyle s=\delta +j\omega } ist eine unabhängige Variable im komplexen Frequenzbereich (Bildbereich, s-Bereich) mit δ {\displaystyle \delta } als Realteil und j ω {\displaystyle j\omega } als Imaginärteil. Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s-Bereich, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation und enthält keinen Zahlenwert. Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale.

Zur Bestimmung der elementaren Einzelsysteme G 1 ( s ) ; G 2 ( s ) ; {\displaystyle G_{1}(s);G_{2}(s);\dots } einer Übertragungsfunktion G(s) höherer Ordnung werden die Polynome des Zählers und Nenners durch Nullstellenbestimmung faktorisiert.

Wenn Zahlenwerte der Koeffizienten vorliegen, können mit verschiedenen Methoden die Pole und Nullstellen berechnet werden. Dazu eignet sich die sogenannte pq-Formel x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} für Systeme 2. Ordnung. Fertige im Internet verfügbare Programme für Systeme bis 4. Ordnung können mit dem Aufruf: „Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen“ benutzt werden.

Die Pole (Nullstellen des Nenners) s p i {\displaystyle s_{pi}} und Nullstellen (Nullstellen des Zählers) s n i {\displaystyle s_{ni}} der Übertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens. Sie sind entweder Null (fehlendes Endglied a 0 , b 0 {\displaystyle a_{0},\ b_{0}} der Differentialgleichung), reell [ s n = δ {\displaystyle s_{n}=-\delta } ]; und [ s p = δ {\displaystyle s_{p}=-\delta } ] oder konjugiert komplex [ s n = δ ± j ω {\displaystyle s_{n}=-\delta \pm j\omega } ] und [ s p = δ ± j ω {\displaystyle s_{p}=-\delta \pm j\omega } ].

Zur Bestimmung der Zeitkonstanten werden die Polynome der Übertragungsfunktion durch Nullstellenbestimmung in Linearfaktoren und Faktoren 2. Ordnung zerlegt. Wenn Zahlenwerte für die Koeffizienten der Polynome gegeben sind, können die Polynome durch die Nullstellenbestimmung faktorisiert werden.

Die Zerlegung der Zähler- und Nennerpolynome höherer Ordnung durch die Pole und Nullstellen ergibt mehrfache Linearfaktoren und mehrfache Faktoren 2. Ordnung. Als Voraussetzung dazu dürfen die Polynome in der Reihenfolge der Summenelemente entsprechend der Ordnungszahl keine Lücken aufweisen.

Werden diese Faktoren als unabhängige Einzel-Übertragungsfunktionen definiert, so entstehen je nach Art der Pole und der Nullstellen folgende Elementar-Übertragungsfunktionen:

  • Die Abschlußterme der Differentialgleichung a 0 ; b 0 {\displaystyle a_{0};b_{0}} sind Null: Der entstehende Linearfaktor ist eine Variable: K s {\displaystyle K\cdot s} sowohl im Zähler als auch im Nenner.
  • Die Pole bzw. die Nullstellen sind negativ reell. Aus [ s s n {\displaystyle s-s_{n}} ] oder [ s s p {\displaystyle s-s_{p}} ] entsteht der Linearfaktor in Zeitkonstantendarstellung [ T s + 1 {\displaystyle T\cdot s+1} ] sowohl im Zähler als auch im Nenner.
  • Die Pole bzw. die Nullstellen sind negativ konjugiert komplex. Aus [ s s n {\displaystyle s-s_{n}} ] oder [ s s p {\displaystyle s-s_{p}} ] entsteht der Faktor in Zeitkonstantendarstellung [ T 2 s 2 + 2 D T s + 1 {\displaystyle T^{2}\cdot s^{2}+2DT\cdot s+1} ] 2. Ordnung sowohl im Zähler als auch im Nenner.

Beispiel einer Übertragungsfunktion mit der Polynomdarstellung, der Pol-Nullstellendarstellung und der Zeitkonstantendarstellung:

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b m s m + + b 2 s 2 + b 1 s + b 0 a n s n + + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 := k ( s s n 1 ) ( s s n 2 ) ( s s n m ) ( s s p 1 ) ( s s p 2 ) ( s s p n ) := := k T v s ( T s + 1 ) ( T 2 s 2 + 2 D T s + 1 ) T n s ( T s + 1 ) ( T 2 s 2 + 2 D T s + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}G(s)&={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{n}s^{n}+\ldots +a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}:=k\cdot {\frac {(s-s_{n1})(s-s_{n2})\dotsm (s-s_{nm})}{(s-s_{p1})(s-s_{p2})\dotsm (s-s_{pn})}}:=\\&:=k\cdot {\frac {T_{v}\cdot s\cdot (T\cdot s+1)\cdot (T^{2}\cdot s^{2}+2DT\cdot s+1)}{T_{n}\cdot s\cdot (T\cdot s+1)\cdot (T^{2}\cdot s^{2}+2DT\cdot s+1)}}\end{aligned}}} .

Zeitkonstanten der elementaren Einzelsysteme im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion

Die Zerlegung des Nennerpolynoms ergibt zeitverzögernd wirkende Einzelsysteme (Linearfaktoren) und verzögernd wirkende Faktoren 2. Ordnung. Die Zerlegung des Zählerpolynoms ergibt differenzierend wirkende Einzelsysteme (Linearfaktoren) und differenzierend wirkende Faktoren 2. Ordnung. Letztere haben in Kombination mit den zeitverzögernden Systemen des Nenners keinen Einfluss auf das Zeitverhalten, sondern nur auf die Signalamplituden y ( t ) {\displaystyle y(t)} .

  • Zeitkonstanten der Linearfaktoren als Variablen T s {\displaystyle T\cdot s} mit Polen und Nullstellen gleich Null:
Diese Linearfaktoren entstehen bei einer Laplace-Transformation einer systembeschreibenden gewöhnlichen Differentialgleichung, deren Endglieder a 0 {\displaystyle a_{0}} oder b 0 {\displaystyle b_{0}} fehlen.
Aus dem Produktterm ( s 0 ) {\displaystyle (s-0)} wird im Zähler und Nenner je s {\displaystyle s} . Die in der nachstehenden Tabelle des nächsten Abschnitts dargestellten Zeitkonstanten 1 T n {\displaystyle {\tfrac {1}{T_{n}}}} für das I-Glied ( 1 T n s ) {\displaystyle \left({\tfrac {1}{T_{n}\cdot s}}\right)} und T v {\displaystyle T_{v}} für das D-Glied ( T v s ) {\displaystyle (T_{v}\cdot s)} sind aus der Definition der Regler entnommen. In Wirklichkeit entsprechen sie Proportionalitätsfaktoren K I {\displaystyle K_{I}} oder K D {\displaystyle K_{D}} mit der Bewertung 1, wenn keine anderen Zahlenwerte angegeben worden sind.
  • Zeitkonstante der Linearfaktoren mit Polen und Nullstellen gleich δ {\displaystyle -\delta } :
Die Definition der Zeitkonstante T {\displaystyle T} eines P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Gliedes oder eines P D 1 {\displaystyle PD_{1}} -Gliedes errechnet sich wie folgt aus den Polen und Nullstellen für Zahlenwerte mit negativen Realteilen von s p i , s n i {\displaystyle s_{pi},s_{ni}} .
Beispiel für die Definition einer Zeitkonstante aus dem Linearfaktor des Zählers:
( s s n ) Linearfaktor := ( s + | s n | ) Term mit s n = negat. = | s n | ( 1 | s n | s + 1 ) Term durch | s n | divid. := 1 T ( T s + 1 ) Zeitkonstanten-Darstellung {\displaystyle \underbrace {(s-s_{n})} _{\text{Linearfaktor}}\ :=\underbrace {(s+|s_{n}|)} _{{\text{Term mit }}s_{n}={\text{negat.}}}=\ \underbrace {|s_{n}|\cdot \left({\frac {1}{|s_{n}|}}\cdot s+1\right)} _{{\text{Term durch }}|s_{n}|{\text{ divid.}}}\quad :=\underbrace {{\frac {1}{T}}\cdot (T\cdot s+1)} _{\text{Zeitkonstanten-Darstellung}}} .
Die Zeitkonstante errechnet sich allgemein aus dem Reziprokwert (Kehrwert) einer negativen reellen Nullstelle s p {\displaystyle s_{p}} oder s n {\displaystyle s_{n}} des Nennerpolynoms oder Zählerpolynoms der Übertragungsfunktion als:
T i = 1 | s p i | {\displaystyle T_{i}={\frac {1}{|s_{pi}|}}} bzw. T i = 1 | s n i | {\displaystyle T_{i}={\frac {1}{|s_{ni}|}}} .
  • Zeitkonstanten des Faktors 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen und Nullstellen:
Aus der Pol-Nullstellendarstellung mit negativen konjugiert komplexen Polen und Nullstellen entstehen Faktoren 2. Ordnung. Wird aus der Nullstellendarstellung s s n {\displaystyle s-s_{n}} für s n {\displaystyle s_{n}} die konjugiert komplexe Nullstelle [ s n = δ ± j ω {\displaystyle s_{n}=-\delta \pm j\omega } ] oder [ s p = δ ± j ω {\displaystyle s_{p}=-\delta \pm j\omega } ] eingesetzt, entsteht durch quadrieren zur Vermeidung der imaginären Größen, die Zeitkonstantendarstellung:
Faktor 2. Ordnung in Pol-Nullstellendarstellung nach dem quadrieren:
[ s 2 2 δ s + δ 2 + ω 2 ] {\displaystyle [s^{2}-2\cdot \delta \cdot s+\delta ^{2}+\omega ^{2}]}
Mit T = 1 ω {\displaystyle T={\frac {1}{\omega }}} ergibt sich die Normalform der Zeitkonstantendarstellung des Faktors 2. Ordnung:
[ T 2 s 2 + 2 D T s + 1 ] D = Dämpfungsgrad 0 < D < 1 {\displaystyle [T^{2}\cdot s^{2}+2DT\cdot s+1]\qquad D={\text{Dämpfungsgrad}}\ 0<D<1}
Fazit:
  • Dieser Faktor 2. Ordnung gilt sowohl für das Zähler- und Nennerpolynom und lässt sich nicht in kleinere mathematische Ausdrücke zerlegen.
  • Der Zeitverlauf einer normierten Sprungantwort eines Übertragungssystems 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen ( P T 2 k k {\displaystyle PT2_{kk}} -Glied) ist von der Zeitkonstante T {\displaystyle T} und von der Dämpfung D {\displaystyle D} abhängig.

Aufstellung und Verhalten der elementaren Einzelsysteme

Durch Zuordnung dieser Faktoren im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktionen können folgende 6 verschiedene stabile Elementarsysteme G i ( s ) {\displaystyle G_{i}(s)} einzeln oder mehrfach entstehen:

G 1 ( s ) = ( T s ) ± 1 ; G 2 ( s ) = ( T s + 1 ) ± 1 ; G 3 ( s ) = ( T 2 s 2 + 2 D T s + 1 ) ± 1 {\displaystyle G_{1}(s)=(T\cdot s)^{\pm 1};\qquad G_{2}(s)=(T\cdot s+1)^{\pm 1};\qquad G_{3}(s)=\left(T^{2}\cdot s^{2}+2\cdot D\cdot T\cdot s+1\right)^{\pm 1}\quad }
Benennung I-Glied D-Glied P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Glied P D 1 {\displaystyle PD_{1}} -Glied P T 2 k k {\displaystyle PT_{2kk}} -Glied (Schwingungsglied) P D 2 k k {\displaystyle PD_{2kk}} -Glied
Pol-Nullstellen s p = 0 {\displaystyle s_{p}=0} s n = 0 {\displaystyle s_{n}=0} s p = δ {\displaystyle s_{p}=-\delta } s n = δ {\displaystyle s_{n}=-\delta } s p 1 / 2 = δ ± j ω {\displaystyle s_{p1/2}=-\delta \pm j\omega } s n 1 / 2 = δ ± j ω {\displaystyle s_{n1/2}=-\delta \pm j\omega }
Übertragungsfunktion Y U ( s ) = 1 T n s {\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {1}{T_{n}\cdot s}}} Y U ( s ) = T V s {\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)=T_{V}\cdot s} Y U ( s ) = K T s + 1 {\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {K}{T\cdot s+1}}} Y U ( s ) = T s + 1 {\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)=T\cdot s+1} Y U ( s ) = K T 2 s 2 + 2 T D s + 1 {\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)={\frac {K}{T^{2}\cdot s^{2}+2TD\cdot s+1}}} Y U ( s ) = K ( T 2 s 2 + 2 T D s + 1 ) {\displaystyle {\frac {Y}{U}}(s)=K({T^{2}\cdot s^{2}+2TD\cdot s+1})}

In der Zeitkonstanten-Darstellung entspricht die Zeitkonstante T {\displaystyle T} dem Koeffizienten vor der komplexen Laplace-Variable s {\displaystyle s} .

Die Berechnung des zeitlichen Verhaltens eines Gesamtübertragungssystems erfordert immer, dass die Anzahl der Faktoren des Nenners immer gleich oder größer sein muss, als die Anzahl der Faktoren im Zähler n m {\displaystyle n\geq m} .

Differenzierende P D 1 {\displaystyle PD_{1}} -Glieder können das Zeitverhalten von verzögernden P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Gliedern bei gleichen Zeitkonstanten vollständig kompensieren. Das Gleiche gilt natürlich auch für P D 2 {\displaystyle PD_{2}} -Glieder und P T 2 {\displaystyle PT_{2}} -Glieder.

Sprungantwort verschiedener elementarer Übertragungssysteme.

Testsignale zur Prüfung des Systemverhaltens:

Übliche Testsignale für Übertragungssysteme sind: Sprungfunktion, Rücksprung, Impulsfunktion, Anstiegsfunktion und Sinusfunktion. Diese Signale werden ebenfalls vom Zeitbereich in den Bildbereich Laplace-transformiert. Siehe Definition der Testsignale im nächsten Abschnitt.

Zeitverhalten differenzierender Übertragungsglieder:

Das Zeitverhalten der Sprungantwort oder der Impulsantwort eines differenzierenden Systems des Zählerpolynoms kann allein grafisch nicht dargestellt werden, weil die Änderung des Ausgangssignals im Zeitbereich 0 0 + {\displaystyle 0\to 0_{+}} stattfindet. Das Zeitverhalten eines differenzierenden Systems lässt sich nur mit einem Eingangssignal als Anstiegsfunktion grafisch darstellen. Differenzierende Systeme ohne sogenannte zeitverzögernde parasitäre P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Glieder lassen sich als Hardware technisch nicht herstellen. Die dazu notwendige hinzugefügte parasitäre Zeitkonstante des zeitverzögernden P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Gliedes muss wesentlich kleiner sein, als die Zeitkonstante des D {\displaystyle D} -Gliedes oder P D 1 {\displaystyle PD_{1}} -Gliedes.

Zeitverhalten von Übertragungsgliedern mit konjugiert komplexen Polen ( P T 2 k k {\displaystyle PT_{2kk}} -Glieder):

Diese Übertragungsglieder 2. Ordnung enthalten Doppelpole im s-Bereich. In Abhängigkeit von der Größe der Dämpfung D {\displaystyle D} entsteht bei Anregung des Systems durch ein beliebiges Eingangssignal eine gedämpft schwingende Ausgangsgröße. Häufig wird die Sprungantwort als charakteristisches Verhalten dargestellt, bei dem die Ausgangsgröße exponentiell asymptotisch mit einer Schwingungsüberlagerung einen Endwert erreicht.

Bei D 1 {\displaystyle D\geq 1} lassen sich diese Systeme in zwei P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Glieder zerlegen.

Die dem System zugehörigen Zeitkonstanten T {\displaystyle T} liegen in quadratischer Form vor.

Übertragungssysteme mit Linearfaktoren oder Faktoren 2. Ordnung mit positivem Realteil der Pole:

Positive Realteile der Pole und Nullstellen ergeben negative Zeitkonstanten.

Übertragungsglieder mit positive Polen bilden instabile nichtlineare Übertragungsfunktionen, die man mit z. B. mit „Instabilen T1-Gliedern“ oder mit „Instabilen T2-Gliedern“ bezeichnen kann. Auch ihnen kann man Zeitkonstanten zuordnen. Das Ausgangssignal dieser Systeme steigt nach einem positiven beliebigen Eingangssignal u ( t ) > 0 {\displaystyle u(t)>0} exponentiell progressiv bis zu einer Begrenzung an und kehrt erst zurück, wenn das Eingangssignal negativ wird (Rückkopplungseffekt). (Nähere Details siehe Regelstrecke#Charakterisierung der Regelstrecken)

Berechnung des Zeitverhaltens von Übertragungsfunktionen

Inverse Laplace-Transformation: Das System-Ausgangsverhalten y ( t ) {\displaystyle y(t)} beliebiger Übertragungssysteme im Zeitbereich ist abhängig von der Übertragungsfunktion G ( s ) {\displaystyle G(s)} und von der Art des Eingangssignals U ( s ) {\displaystyle U(s)} . Mittels der inversen Laplace-Transformation lässt sich das Zeitverhalten mit Anwendung von Laplace-Transformationstafeln und dem Suchbegriff finden:
y ( t ) = L 1 { G ( s ) U ( s ) } Suchbegriff {\displaystyle y(t)={\mathcal {L}}^{-1}\underbrace {\left\{G(s)\cdot U(s)\right\}} _{\text{Suchbegriff}}}
Handelt es sich um eine normierte Sprungfunktion des Eingangssignals u ( t ) = 1 {\displaystyle u(t)=1} , so ist U ( s ) = 1 s {\displaystyle U(s)={\frac {1}{s}}} .
Numerische Berechnung: Mit Hilfe der numerischen Mathematik durch Berechnung von Differenzengleichungen lassen sich für gegebene Eingangssignale u k i {\displaystyle u_{ki}} die Ausgangssignale y k i {\displaystyle y_{ki}} als nummerierte Folgegleichungen eines dynamischen Systems berechnen. Die Zeitkonstanten T {\displaystyle T} in den Differenzengleichungen bestimmen das Verhalten der Einzelsysteme.
Differenzengleichungen berechnen in Annäherung an eine kontinuierliche Funktion y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} schrittweise eine Wertefolge y ( k i ) {\displaystyle y_{(ki)}} mit den Folgegliedern k = [ 0 , 1 , 2 , 3 , ] {\displaystyle k=[0,1,2,3,\dots ]} für ein kleines Intervall h = Δ x {\displaystyle h=\Delta x} die Wertefolge y ( k ) = [ y ( 0 ) , y ( 1 ) , y ( 2 ) , y ( 3 ) ] {\displaystyle y_{(k)}=[y_{(0)},y_{(1)},y_{(2)},y_{(3)}\dots ]} an der Stelle x ( k ) = [ x ( 0 ) , x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) ] {\displaystyle x_{(k)}=[x_{(0)},x_{(1)},x_{(2)},x_{(3)}\dots ]} , wobei k {\displaystyle k} eine Nummerierung der errechneten Werte y ( k i ) {\displaystyle y_{(ki)}} darstellt.

Testsignale

Sprungantworten von 4 in Reihe geschalteten entkoppelten PT1-Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten.

Den nichtperiodischen (deterministischen) Testsignalen kommt in der Systemtheorie eine zentrale Bedeutung zu. Mit ihrer Hilfe ist es möglich, ein Übertragungssystem zu testen, auf Stabilität zu prüfen oder Eigenschaften zu ermitteln.

Zur Berechnung des Zeitverhaltens eines Übertragungssystems können die transformierten Testsignale im Bildbereich anstelle U ( s ) {\displaystyle U(s)} mit der Übertragungsfunktion G ( s ) {\displaystyle G(s)} des Systems multipliziert werden. Für die Rücktransformation von Y ( s ) {\displaystyle Y(s)} in den Zeitbereich kann die gewünschte Gleichung der Systemantwort y ( t ) {\displaystyle y(t)} mit Hilfe der Laplace-Transformationstafeln gefunden werden.

Impulsantworten von 4 in Reihe geschalteten entkoppelten PT1-Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten.

Den Testsignalen ist gemeinsam, dass sie zum Zeitpunkt t = 0 {\displaystyle t=0} beginnen und bei t < 0 {\displaystyle t<0} eine Amplitude = 0 aufweisen. Zur Unterscheidung der Funktion der Signale werden sie mit den Zeichen δ (Impuls), Ϭ (Sprung), a (Anstieg) und s (Sinus) indiziert.

Die Testsignale werden als Eingangsgröße u ( t ) {\displaystyle u(t)} und als Laplace-transformierte Größe U ( s ) {\displaystyle U(s)} wie folgt dargestellt.

Begriff Testsignal
u(t)
Bildbereich
Eingangssignal
Systemantwort
y(t)
Impulsfunktion δ oder
Stoßfunktion, Deltaimpuls
U δ ( s ) = 1 {\displaystyle U_{\delta }(s)=1\,} Impulsantwort oder
Gewichtsfunktion
Sprungfunktion σ
U σ ( s ) = 1 s {\displaystyle U_{\sigma }(s)={\frac {1}{s}}}
Sprungantwort oder
Übergangsfunktion
Anstiegsfunktion oder
Rampe
U a ( s ) = 1 s 2 {\displaystyle U_{a}(s)={\frac {1}{s^{2}}}} Anstiegsantwort oder
Rampenantwort
Sinusfunktion s
(Periodisches Signal)
U s ( s ) = ω s 2 + ω 2 {\displaystyle U_{s}(s)={\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}
Frequenzgang

Eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a i {\displaystyle a_{i}} und b i {\displaystyle b_{i}} lautet:

a 1 y ˙ ( t ) + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t ) {\displaystyle a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)} .

Die Zeitkonstante T = a 1 / a 0 {\displaystyle T=a_{1}/a_{0}} ist aus dieser Form der Differentialgleichung bereits berechenbar.

Allgemein wird für die Nullstellenbestimmung die höchste Ableitung einer Differentialgleichung freigestellt, in dem sämtliche Terme der Gleichung durch den zugehörigen Koeffizienten, in diesem Fall a 1 {\displaystyle a_{1}} , dividiert werden. Damit lautet die neue mathematisch identische Differentialgleichung:

y ˙ ( t ) + a 0 a 1 y ( t ) = b 0 a 1 u ( t ) {\displaystyle {\dot {y}}(t)+{\frac {a_{0}}{a_{1}}}\cdot y(t)={\frac {b_{0}}{a_{1}}}\cdot u(t)} .

Die Übertragungsfunktion G(s) dieser Differentialgleichung lautet für Anfangsbedingungen gleich Null nach Anwendung des Laplace-Differentiationssatzes:

s Y ( s ) + a 0 a 1 Y ( s ) = b 0 a 1 U ( s ) {\displaystyle s\cdot Y(s)+{\frac {a_{0}}{a_{1}}}\cdot Y(s)={\frac {b_{0}}{a_{1}}}\cdot U(s)} .

Aus dem Verhältnis der Ausgangsgröße Y ( s ) {\displaystyle Y(s)} zur Eingangsgröße U ( s ) {\displaystyle U(s)} ergibt sich die Übertragungsfunktion in der Zeitkonstanten-Darstellung:

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 a 1 s + a 0 a 1 = b 0 a 1 s + a 0 = b 0 a 0 a 1 a 0 s + 1 {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {\frac {b_{0}}{a_{1}}}{s+{\frac {a_{0}}{a_{1}}}}}={\frac {b_{0}}{a_{1}\cdot s+a_{0}}}={\frac {\frac {b_{0}}{a_{0}}}{{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot s+1}}} .

Bei dieser Form der Übertragungsfunktion G ( s ) {\displaystyle G(s)} ist die Zeitkonstante T {\displaystyle T} direkt ablesbar als Koeffizient vor der Laplace-Variable s {\displaystyle s} mit dem Verhältnis der Koeffizienten T = a 1 / a 0 {\displaystyle T=a_{1}/a_{0}} .

Setzt man für a 1 a 0 = T {\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{0}}}=T} und b 0 a 0 = K {\displaystyle {\frac {b_{0}}{a_{0}}}=K} in die Gleichung der Übertragungsfunktion ein, erhält man die Normalform der Übertragungsfunktion eines Verzögerungsgliedes ( P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Glied) in der Zeitkonstanten-Darstellung:

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = K T s + 1 {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {K}{T\cdot s+1}}}

Entstehung einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung aus einem Hardware-Tiefpass

Ein durch eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung beschriebenes Verzögerungsglied (PT1-Glied) kommt in der Natur und in der Technik am häufigsten vor. Es entsteht z. B., wenn Wärme in ein Medium fließt oder eine elektrische Spannung an ein RC-Glied angelegt wird. Es interessiert immer, wie sich die Ausgangsgröße des Systems sich als Funktion der Zeit für eine gegebene Eingangsgröße verhält. Besonders anschaulich ist das Systemverhalten für eine gegebene Eingangsgröße als Sprungfunktion.

Das in der Elektrotechnik bekannteste dynamische System, welches durch eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung beschrieben wird, ist das RC-Glied als Widerstands-Kondensator-Schaltung mit der Zeitkonstante T = R C {\displaystyle T=R\cdot C} .

Einfacher RC-Tiefpass mit
Ue: Eingangsspannung
Ua: Ausgangsspannung

Die allgemeine mathematische Beschreibung des RC-Gliedes ergibt sich über die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze.

Für das Hardware-Modell als Tiefpass gilt die Maschengleichung der Spannungen:

U e + U R + U C = 0 {\displaystyle -U_{e}+U_{R}+U_{C}=0} .

Dabei ist U e {\displaystyle U_{e}} die Eingangsgröße, U C = U a {\displaystyle U_{C}=U_{a}} die gesuchte Ausgangsgröße. Wird für den Spannungsabfall U R {\displaystyle U_{R}} an R die Gleichung für den Ladestrom i = C d U C d t {\displaystyle i=C\cdot {\frac {dU_{C}}{dt}}} in die obige Gleichung eingesetzt, entsteht die Differentialgleichung des RC-Gliedes als Tiefpass:

R C d U C d t + U C = U e {\displaystyle R\cdot C\cdot {\frac {dU_{C}}{dt}}+U_{C}=U_{e}}

Werden die üblichen Signalbezeichnungen der Systemtheorie angewendet, lauten die neuen Signalbezeichnungen der gewöhnliche Differentialgleichung: U e := u ( t ) {\displaystyle U_{e}:=u(t)} und U a := y ( t ) {\displaystyle U_{a}:=y(t)} .

Für eine Differentialgleichung 1. Ordnung und der zugehörigen Übertragungsfunktion G ( s ) {\displaystyle G(s)} existiert kein Zähler- und Nennerpolynom. Es handelt sich bereits um einen Linearfaktor im Nenner der Übertragungsfunktion. Deshalb hat die Nullstelle keine Bedeutung.

Bei der üblichen Darstellung der Differentialgleichung wird die höchste Ableitung von Koeffizienten freigestellt, indem sämtliche Terme der Gleichung durch den zugehörigen Koeffizienten (hier R C {\displaystyle R\cdot C} ) dividiert werden. Damit lautet die neue mathematisch identische Differentialgleichung:

y ˙ ( t ) + 1 R C y ( t ) = 1 R C u ( t ) {\displaystyle {\dot {y}}(t)+{\frac {1}{R\cdot C}}\cdot y(t)={\frac {1}{R\cdot C}}\cdot u(t)}

Die Übertragungsfunktion G(s) dieser Differentialgleichung lautet für Anfangsbedingungen gleich Null nach dem Differentiationssatz:

s Y ( s ) + 1 R C Y ( s ) = 1 R C U ( s ) {\displaystyle s\cdot Y(s)+{\frac {1}{R\cdot C}}\cdot Y(s)={\frac {1}{R\cdot C}}\cdot U(s)} .

Zusammengefasst als das Verhältnis der Ausgangsgrößen zur Eingangsgröße ergibt sich die Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten-Darstellung:

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = 1 R C s + 1 R C = 1 R C s + 1 = 1 T s + 1 {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {\frac {1}{R\cdot C}}{s+{\frac {1}{R\cdot C}}}}={\frac {1}{R\cdot C\cdot s+1}}={\frac {1}{T\cdot s+1}}} .

Dabei entspricht der Koeffizient vor der Laplace-Variable s {\displaystyle s} der Zeitkonstante T = R C {\displaystyle T=R\cdot C} .

Entstehung der Übertragungsfunktion G ( p ) {\displaystyle G(p)} für einen Tiefpass ( P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Glied) durch das Verhältnis komplexer Widerstände

Im Gegensatz zur Übertragungsfunktion G ( s ) {\displaystyle G(s)} kann der Frequenzgang G ( p ) {\displaystyle G(p)} mit p = j ω {\displaystyle p=j\omega } eines linearen Übertragungssystems gemessen werden. Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Übertragungsfunktion. Die Übertragungsfunktion kann jederzeit in den Frequenzgang bei identischen Koeffizienten (Zeitkonstanten) überführt werden. Die Entstehungsgeschichten des Frequenzgangs und der Übertragungsfunktion sind unterschiedlich, die Schreibweisen können identisch bleiben.

G ( p ) = Y ( p ) U ( p ) {\displaystyle G(p)={\frac {Y(p)}{U(p)}}}

In der dargestellten RC-Schaltung kann das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung auch als das Verhältnis der Ausgangsimpedanz zur Eingangsimpedanz definiert werden. Setzt man für die Kapazität mit p = j ω {\displaystyle p=j\cdot \omega } den komplexen Widerstand Z C = 1 p C {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{C}={\frac {1}{p\cdot C}}} ergibt sich für das komplexe Widerstandsverhältnis als Übertragungsfunktion G ( p ) {\displaystyle G(p)} :

G ( p ) = U a ( p ) U e ( p ) = 1 p C R + 1 p C = 1 R C p + 1 = 1 T p + 1 {\displaystyle G(p)={\frac {U_{a}(p)}{U_{e}(p)}}={\frac {\frac {1}{p\cdot C}}{R+{\frac {1}{p\cdot C}}}}={\frac {1}{R\cdot C\cdot p+1}}={\frac {1}{T\cdot p+1}}}

Das Ergebnis entspricht dem aus der Differentialgleichung abgeleiteten P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Glied.

Entstehung der Übertragungsfunktion G ( p ) {\displaystyle G(p)} für einen Hochpass durch das Verhältnis der komplexen Widerstände

Ersetzt man bei der RC-Schaltung die Kapazität C durch eine Induktivität L, entsteht bei der Betrachtung der Ein- und Ausgangsspannungen des Systems ein Hochpass 1. Ordnung. Bei Eingangssignalen mit hoher Frequenz hat die Induktivität einen hohen komplexen Widerstand. Mit fallender Frequenz fällt der induktive Widerstand ab.

In der dargestellten LC-Schaltung kann das Verhältnis der Ausgangsspannung U a ( p ) {\displaystyle U_{a}(p)} zur Eingangsspannung U e ( p ) {\displaystyle U_{e}(p)} auch als das Verhältnis der Ausgangsimpedanz zur Eingangsimpedanz definiert werden. Setzt man für die Induktivität mit p = j ω {\displaystyle p=j\cdot \omega } den komplexen Widerstand Z L = L p {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{L}=L\cdot p} ergibt sich für das komplexe Widerstandsverhältnis als Übertragungsfunktion G ( p ) {\displaystyle G(p)} :

G ( p ) = U a ( p ) U e ( p ) = p L p L + R = L R p L R p + 1 {\displaystyle G(p)={\frac {U_{a}(p)}{U_{e}(p)}}={\frac {p\cdot L}{p\cdot L+R}}={\frac {{\frac {L}{R}}\cdot p}{{\frac {L}{R}}\cdot p+1}}}

Die Übertragungsfunktion des RL-Gliedes lautet mit T = L R {\displaystyle T={\frac {L}{R}}} :

G ( p ) = U a ( p ) U e ( p ) = T p T p + 1 {\displaystyle G(p)={\frac {U_{a}(p)}{U_{e}(p)}}={\frac {T\cdot p}{T\cdot p+1}}}

Das Ergebnis entspricht einer Reihenschaltung eines P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Gliedes mit einem D-Glied. Für einen normierten Eingangssprung u ( t ) = 1 {\displaystyle u(t)=1} springt das Ausgangssignal zur Zeit t = 0 {\displaystyle t=0} auf u ( t ) = 1 {\displaystyle u(t)=1} und fällt dann für t > 0 {\displaystyle t>0} exponentiell asymptotisch auf den Wert y ( t ) = 0 {\displaystyle y(t)=0} .

Das zu dieser Übertragungsfunktion zugehörige Zeitverhalten y ( t ) {\displaystyle y(t)} lautet für einen Eingangssprung:

y ( t ) = e t / T {\displaystyle y(t)=e^{-t/T}}

Die normierte Gleichung gilt für den Eingangssprung u σ ( t ) = 1 {\displaystyle u_{\sigma }(t)=1} ; e = Eulersche Zahl 2,718 28 {\displaystyle e={\text{Eulersche Zahl}}\approx 2{,}71828} .

Zeitverhalten der Sprungantwort eines P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Gliedes mit der Zeitkonstante T = 1, K = 1.

Häufig wird im Zeitbereich die Ausgangsgröße y ( t ) {\displaystyle y(t)} der Übertragungsfunktion des R C {\displaystyle RC} -Gliedes (= P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Glied) als Sprungantwort dargestellt. Der normierte Sprung für U ( s ) {\displaystyle U(s)} lautet Laplace-transformiert: U ( s ) := U ^ σ ( s ) = 1 s {\displaystyle U(s):={\hat {U}}_{\sigma }(s)={\frac {1}{s}}} .

Damit lautet die Übertragungsfunktion für Y ( s ) {\displaystyle Y(s)} und U ( s ) := U ^ σ ( s ) {\displaystyle U(s):={\hat {U}}_{\sigma }(s)} der Sprungantwort:

Y ( s ) = U ^ σ ( s ) 1 T s + 1 = 1 s ( T s + 1 ) {\displaystyle {Y(s)}={\hat {U}}_{\sigma }(s)\cdot {\frac {1}{T\cdot s+1}}={\frac {1}{s\cdot (T\cdot s+1)}}} .

Ein evtl. vorhandener Verstärkungsfaktor K {\displaystyle K} lässt sich nicht transformieren. Er erscheint auch nicht in den korrespondierenden Laplace-Transformations-Tabellen der Rücktransformation und kann im Zeitbereich unverändert übernommen werden.

Die Lösung im Zeitbereich der Sprungantwort y ( t ) {\displaystyle y(t)} ergibt sich über die Korrespondenztabellen von Laplace-Transformationstafeln für den Ausdruck:

Y ( s ) = 1 s ( T s + 1 ) {\displaystyle {Y(s)}={\frac {1}{s\cdot (T\cdot s+1)}}} :

ergibt das Zeitverhalten des Verzögerungsgliedes mit dem hinzugefügten Verstärkungsfaktor K {\displaystyle K} .

y ( t ) = K ( 1 e t / T {\displaystyle y(t)=K\cdot (1-e^{-t/T}} )

Die normierte Gleichung gilt für den Eingangssprung y ( t ) = 0 {\displaystyle y(t)=0} nach y ( t ) = 1 {\displaystyle y(t)=1} . e = Eulersche Zahl 2,718 28 {\displaystyle e={\text{Eulersche Zahl}}\approx 2{,}71828} .

Zeitverhalten des Rücksprungs u ^ σ ( t ) {\displaystyle {\hat {u}}_{\sigma \downarrow }(t)} vom Anfangswert y ( t = 0 ) = 1 {\displaystyle y_{(t=0)}=1} des P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Gliedes nach y ( t ) = 0 {\displaystyle y(t)=0} .

y ( t ) = e t / T {\displaystyle y(t)=e^{-t/T}}

Die normierte Gleichung gilt für den Rücksprung von y ( t ) = 1 {\displaystyle y(t)=1} nach y ( t ) = 0 {\displaystyle y(t)=0} .

Ausgangswerte eines P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Gliedes des Ansprungs y ( t ) = 1 e t / T {\displaystyle y(t)=1-e^{-t/T}} und des Rücksprungs y ( t ) = e t / T {\displaystyle y(t)=e^{-t/T}} für ein- bis 5-fache Zeitkonstanten:

Zeitkonstante T Sprungantwort
Ansprung: y ( t ) {\displaystyle y(t)} in [%]
Sprungantwort
Rücksprung: y ( t ) {\displaystyle y(t)} in [%]
T einfach 63,2 36,8
2 T {\displaystyle 2\cdot T} 86,5 13,5
3 T {\displaystyle 3\cdot T} 95,0 5,0
4 T {\displaystyle 4\cdot T} 98,2 1,8
5 T {\displaystyle 5\cdot T} 99,3 0,7

Diese normierte Gleichung gilt für den Eingangssprung u ^ σ ( t ) = 1 := 100 % {\displaystyle {\hat {u}}_{\sigma }(t)=1:=100\,\%} . K {\displaystyle K} ist der Verstärkungsfaktor, e = Eulersche Zahl 2,718 28 {\displaystyle e={\text{Eulersche Zahl}}\approx 2{,}71828} .

Gegeben: Differentialgleichung eines Zeitgliedes 2. Ordnung ohne Differentiale der Eingangsgröße u ( t ) {\displaystyle u(t)} .

a 2 y ¨ ( t ) + a 1 y ˙ ( t ) + a 0 y ( t ) = b 0 u ( t ) {\displaystyle a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)}

Gesucht: Übertragungsfunktion, Pole, Zeitkonstanten.

Anwendung der Laplace-Transformation der Differentialgleichung nach dem Differenziationssatz:

a 2 s 2 Y ( s ) + a 1 s Y ( s ) + a 0 ( t ) Y ( s ) = b 0 U ( s ) {\displaystyle a_{2}\cdot s^{2}\cdot Y(s)+a_{1}\cdot s\cdot Y(s)+a_{0}(t)\cdot Y(s)=b_{0}\cdot U(s)} .

Bildung der Übertragungsfunktion G ( s ) = Y ( s ) / U ( s ) {\displaystyle G(s)=Y(s)/U(s)} und Freistellung der höchsten transformierten Ableitung:

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = b 0 a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = b 0 a 2 s 2 + a 1 a 2 s + a 0 a 2 = Zählerpolynom (s) Nennerpolynom (s) {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{0}}{a_{2}\cdot s^{2}+a_{1}\cdot s+a_{0}}}={\frac {\frac {b_{0}}{a_{2}}}{s^{2}+{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\cdot s+{\frac {a_{0}}{a_{2}}}}}={\frac {\text{Zählerpolynom (s)}}{\text{Nennerpolynom (s)}}}} .

Gegebene Zahlenwerte a i {\displaystyle a_{i}} : a 2 = 2 , a 1 = 3 , a 0 = 1 {\displaystyle \ a_{2}=2,\ a_{1}=3,\ a_{0}=1} und für b 0 = K = 1 {\displaystyle b_{0}=K=1} .

Damit lautet die Übertragungsfunktion und Freistellung des höchsten Exponenten (Gleichung dividiert durch a 2 = 2 {\displaystyle a_{2}=2} ):

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = 1 2 s 2 + 3 s + 1 = 0 , 5 s 2 + 1 , 5 s + 0 , 5 {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {1}{2\cdot s^{2}+3\cdot s+1}}={\frac {0{,}5}{s^{2}+1{,}5\cdot s+0{,}5}}} .

Im Internet (Google) bestehen Programme, die die Nullstellen von Polynomen bis 4. Ordnung errechnen lassen.

Für die Lösung der Nullstellen (Pole) eines Polynoms 2. Ordnung kann die sogenannte pq-Formel benutzt werden:

Polynom: s 2 + 1 , 5 s + 0 , 5 = 0 mit p = 1 , 5 ; q = 0 , 5 {\displaystyle s^{2}+1{,}5\cdot s+0{,}5=0\qquad {\text{mit }}p=1{,}5;\ q=0{,}5}
s p 1 ; 2 = p 2 ± p 2 4 q = 1 , 5 2 ± 1 , 5 2 4 0 , 5 = 0 , 75 ± 0 , 25 s p 1 = 1 ; s p 2 = 0 , 5 {\displaystyle s_{p1;2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}=-{\frac {1{,}5}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1{,}5^{2}}{4}}-0{,}5}}=-0{,}75\pm 0{,}25\qquad s_{p1}=-1;s_{p2}=-0{,}5} .

Damit lässt sich eine Faktorisierung des Polynoms und die Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten-Darstellung vornehmen.

G ( s ) = Y ( s ) U ( s ) = 0 , 5 s 2 + 1 , 5 s + 0 , 5 = 0 , 5 ( s s p 1 ) ( s s p 2 ) = 0 , 5 ( s + 1 ) ( s + 0 , 5 ) = 1 ( s + 1 ) ( 2 s + 1 ) {\displaystyle G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {0{,}5}{s^{2}+1{,}5\cdot s+0{,}5}}={\frac {0{,}5}{(s-s_{p1)}(s-s_{p2})}}={\frac {0{,}5}{(s+1)(s+0{,}5)}}={\frac {1}{(s+1)(2\cdot s+1)}}} .

Diese Gleichungen sind algebraisch identisch.

Ergebnis:

Das Übertragungssystem mit zwei P T 1 {\displaystyle PT_{1}} -Gliedern enthält die Zeitkonstanten T 1 = 1 und T 2 = 2 {\displaystyle T_{1}=1{\text{ und }}T_{2}=2} .

Eine Hardware-Nachbildung dieses Systems mit zwei RC-Gliedern in Reihenschaltung erfordert eine belastungsfreie Entkopplung.

Anmerkung:

Die Berechnung des Zeitverhaltens einer Übertragungsfunktion höherer Ordnung eines komplexen dynamischen Systems für eine gegebene Eingangsgröße besteht darin:

  • Laplace-Transformationstafeln für die korrespondierende Zeitfunktion mit der normierten Übertragungsfunktion anzuwenden,
  • oder eine faktorielle Form der Übertragungsfunktion in eine Partialbruch-Darstellung zu überführen, deren additive Terme einfach in den Zeitbereich überführt werden können,
  • oder über die numerische Berechnung mit Differenzengleichungen, welche aus den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion abgeleitet sind, um das Zeitverhalten von y ( t ) {\displaystyle y(t)} für eine bestimmte Eingangsgröße u ( t ) {\displaystyle u(t)} zu errechnen.
  • Bei Übertragungsfunktionen höherer Ordnung mit einem Gemisch von negativen reellen Nullstellen und negativen konjugiert komplexen Nullstellen kann die Berechnung des Zeitverhaltens aus den Gleichungen der Laplace-Transformationstafeln mit den aufwendigen trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen recht kompliziert sein. Die numerische Berechnung mit Differenzengleichungen oder mit dem Erwerb von kommerziellen Simulations-Programmen ist erheblich einfacher.
Zeitkonstante τ
in µs
Übergangsfrequenz fc
in Hz
Entzerrungsnorm
7958 20 RIAA
3183 50 RIAA, NAB
1592 100
318 500 RIAA
200 796
140 1137
120 1326 MC
100 1592
90 1768 MC
75 2122 RIAA, FM USA
50 3183 NAB, PCM, FM Europa
35 4547 DIN
25 6366
17,5 9095 AES
15 10610 PCM
  1. Autor: Jan Lunze / Regelungstechnik 1; Springer Vieweg, Berlin, 8. Auflage 2014, ISBN 978-3-642-53943-5; Hauptkapitel: Übertragungsfunktion, Unterkapitel: Zeitkonstanten der Übertragungsfunktion.
  2. Autor: Jan Lunze / Regelungstechnik 1; Springer Vieweg, Berlin, 8. Auflage 2014, ISBN 978-3-642-53943-5; Kapitel: Beschreibung der Analyse linearer Systeme im Frequenzbereich.
  • Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. 12. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, 2021, ISBN 978-3-8085-5870-6.
  • Jan Lunze: Regelungstechnik 1. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-70790-5. Regelungstechnik 2. 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32335-8.
  • Michael Laible: Mechanische Größen, elektrisch gemessen. Grundlagen und Beispiele zur technischen Ausführung. 7. Auflage. Expert Verlag, Renningen 1980, ISBN 3-8167-2892-8.
  • Wolfgang Schneider: Praktische Regelungstechnik. Ein Lehr- und Übungsbuch für Nicht-Elektrotechniker. 3. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-528-24662-4.
  • Walter Kaspers, Hans-Jürgen Küfner: Messen Steuern Regeln. 3. Auflage. Friedrich Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 1984, ISBN 3-528-24062-8.
  • David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Physik. Bachelor-Edition, 2. Auflage. John Wiley & Sons Verlag, Weinheim 2013, ISBN 978-3-527-41181-8.

Zeitkonstante
zeitkonstante, maß, für, reaktion, eines, dynamischen, systems, eine, Änderung, systemeingangsgröße, sprache, beobachten, bearbeiten, griech, displaystyle, oder, displaystyle, eine, charakteristische, größe, eines, linearen, dynamischen, systems, durch, eine, . Zeitkonstante Mass fur die Reaktion eines dynamischen Systems auf eine Anderung der Systemeingangsgrosse Sprache Beobachten Bearbeiten Die Zeitkonstante griech t displaystyle tau tau oder T displaystyle T ist eine charakteristische Grosse eines linearen dynamischen Systems das durch eine gewohnliche Differentialgleichung oder durch eine zugehorige Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s beschrieben wird Sie hat die Dimension einer Zeit ihre Masseinheit ist meist die Sekunde Funktionsbild eines PT1 Gliedes nach einem Eingangssprung Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit zur Verarbeitung und Ubertragung von Signalen die Systemeingangsgrosse u t displaystyle u t ist als Ursache und die Systemausgangsgrosse y t displaystyle y t als zeitliche Auswirkung definiert Typische Eingangssignale zur Prufung des Systemverhaltens sind die Impulsfunktion Sprungfunktion und Anstiegsfunktion In der Elektrotechnik ist das Zeitverhalten eines Verzogerungsgliedes 1 Ordnung z B eines RC Glied Tiefpasses mit einer Sprungantwort mit exponentiellem asymptotischem Verlauf allgemein bekannt Dabei bestimmt die Zeitkonstante T R C displaystyle T R cdot C den zeitlichen Verlauf Nach Ablauf einer Zeit von ca 3 Zeitkonstanten hat das Ausgangssignal ca 95 der Grosse des Eingangssignals erreicht wenn die Systemverstarkung K 1 displaystyle K 1 ist Grundsatzlich hangt der zeitliche Verlauf des Ausgangssignals eines Ubertragungssystems beliebiger Ordnung von der Art des Ubertragungssystems und des Eingangssignals ab und bezieht sich nicht nur auf Zeitverzogerungsglieder P T 1 displaystyle PT 1 Glieder Der Begriff Zeitkonstante ergibt sich bei der Beschreibung eines linearen dynamischen Systems durch eine gewohnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Zur leichteren Berechnung des zeitabhangigen Systemverhaltens wird die systembeschreibende Differentialgleichung der Laplace Transformation unterzogen und daraus das Signalverhaltnis als Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s gebildet Die Ubertragungsfunktion in der Zeitkonstantendarstellung entsteht wie folgt Laplace Transformation der gewohnlichen Differentialgleichung hoherer Ordnung Bildung der Ubertragungsfunktion G s Y s U s Zahlerpolynom s Nennerpolynom s displaystyle G s frac Y s U s frac text Zahlerpolynom s text Nennerpolynom s Die Polstellen s p i displaystyle s pi und Nullstellen s n i displaystyle s ni der Ubertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrossen des Systemverhaltens Faktorisierung der Polynome in die Pol Nullstellendarstellung G s Y s U s k s s n 1 s s n 2 s s n m s s p 1 s s p 2 s s p n displaystyle G s frac Y s U s k cdot frac s s n1 s s n2 dotsm s s nm s s p1 s s p2 dotsm s s pn Umrechnung der Pol Nullstellendarstellung durch Zahlenwerte der Pole und Nullstellen in die Zeitkonstantendarstellung Die Werte der Pole und Nullstellen eines Linearfaktors konnen drei Formen annehmen Null negativ reell negativ konjugiert komplex Damit konnen im Zahler und Nenner der Ubertragungsfunktion insgesamt 3 2 6 displaystyle 3 cdot 2 6 unterschiedliche Grundformen von Linearfaktoren und Faktoren 2 Ordnung mit unterschiedlichem Systemverhalten entstehen G s Y s U s k T v s T s 1 T 2 s 2 2 D T s 1 T n s T s 1 T 2 s 2 2 D T s 1 displaystyle G s frac Y s U s k cdot frac T v cdot s cdot T cdot s 1 cdot T 2 cdot s 2 2DT cdot s 1 T n cdot s cdot T cdot s 1 cdot T 2 cdot s 2 2DT cdot s 1 Die Zeitkonstante T displaystyle T entspricht dem Koeffizienten vor der komplexen Laplace Variable s displaystyle s Sie errechnen sich allgemein aus dem Reziprokwert einer negativen reellen Polstelle s p displaystyle s p oder einer Nullstelle s n displaystyle s n des Nennerpolynoms oder Zahlerpolynoms der Ubertragungsfunktion als 1 T i 1 s p i displaystyle T i frac 1 s pi bzw T i 1 s n i displaystyle T i frac 1 s ni Inhaltsverzeichnis 1 Bestimmung der Zeitkonstanten aus den Polynomen eines linearen dynamischen Ubertragungssystems hoherer Ordnung 1 1 Zeitkonstanten der elementaren Einzelsysteme im Zahler und Nenner der Ubertragungsfunktion 1 2 Aufstellung und Verhalten der elementaren Einzelsysteme 1 3 Testsignale 2 Grundlagen der Ermittlung der Zeitkonstanten aus der gewohnlichen Differentialgleichung 1 Ordnung 2 1 Entstehung einer gewohnlichen Differentialgleichung 1 Ordnung aus einem Hardware Tiefpass 2 2 Entstehung der Ubertragungsfunktion G p displaystyle G p fur einen Tiefpass P T 1 displaystyle PT 1 Glied durch das Verhaltnis komplexer Widerstande 2 3 Entstehung der Ubertragungsfunktion G p displaystyle G p fur einen Hochpass durch das Verhaltnis der komplexen Widerstande 3 Berechnung des Zeitverhaltens eines P T 1 displaystyle PT 1 Gliedes nach einem Eingangssprung 4 Berechnungsbeispiel zur Bestimmung der Zeitkonstanten einer gewohnlichen Differentialgleichung 2 Ordnung 5 Genormte Zeitkonstanten und Ubergangsfrequenzen von Filtern 6 Einzelnachweise 7 Literatur 8 Siehe auch 9 WeblinksBestimmung der Zeitkonstanten aus den Polynomen eines linearen dynamischen Ubertragungssystems hoherer Ordnung BearbeitenSystembeschreibungen durch Ubertragungsfunktionen G s displaystyle G s konnen entstehen durch Laplace Transformation der systembeschreibenden gewohnlichen Differenzialgleichung zu einer Ubertragungsfunktion Komplexe Spannungsteiler aus einem ruckwirkungsfreien Impedanzverhaltnis Beispiel RC beschaltete Operationsverstarker Systemidentifikation mittels Sprung oder Impulsantwort Zur einfacheren Berechnung und zum leichteren Verstandnis wird die systembeschreibende gewohnliche Differenzialgleichung einer Laplace Transformation unterzogen und ist damit algebraisch berechenbar Dabei wird nach dem Laplace Differentiationssatz eine Ableitung 1 Ordnung der Differenzialgleichung durch die Laplace Variable s displaystyle s als komplexe Frequenz ersetzt Hohere Ableitungen n ter Ordnung werden entsprechend der Ordnungszahl n displaystyle n durch s n displaystyle s n ersetzt Beispiel einer gewohnlichen Differentialgleichung hoherer Ordnung eines Ubertragungssystems mit konstanten Koeffizienten a i displaystyle a i und b i displaystyle b i a n y n a 2 y a 1 y a 0 y b m u m b 2 u b 1 u b 0 u displaystyle a n y n ldots a 2 ddot y a 1 dot y a 0 y b m u m ldots b 2 ddot u b 1 dot u b 0 u Diese allgemeine Form der Differentialgleichung wird einer Laplace Transformation unterzogen a n s n Y s a 2 s 2 Y s a 1 s Y s a 0 Y s b m s m U s b 2 s 2 U s b 1 U s b 0 U s displaystyle a n cdot s n cdot Y s ldots a 2 cdot s 2 cdot Y s a 1 cdot s cdot Y s a 0 cdot Y s b m cdot s m cdot U s ldots b 2 cdot s 2 cdot U s b 1 cdot U s b 0 cdot U s Durch Anwendung des Laplace Differentiationssatzes auf die systembeschreibende gewohnliche Differentialgleichung entsteht die Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s Mittels der Pol und Nullstellenbestimmung des Zahler und Nennerpolynoms entsteht die faktorielle Darstellung Linearfaktoren der Ubertragungsfunktion Die Ubertragungsfunktion G s wird aus dem Verhaltnis der Ausgangsgrosse zur Eingangsgrosse gebildet Dabei durfen keine Anfangswerte der inneren Energiespeicher Zustandsraumdarstellung des Systems bestehen G s Y s U s b m s m b 2 s 2 b 1 s b 0 a n s n a 2 s 2 a 1 s a 0 Zahlerpolynom s Nennerpolynom s displaystyle G s frac Y s U s frac b m cdot s m dotsb b 2 cdot s 2 b 1 cdot s b 0 a n cdot s n dotsb a 2 cdot s 2 a 1 cdot s a 0 frac text Zahlerpolynom s text Nennerpolynom s Die Laplace Variable s d j w displaystyle s delta j omega ist eine unabhangige Variable im komplexen Frequenzbereich Bildbereich s Bereich mit d displaystyle delta als Realteil und j w displaystyle j omega als Imaginarteil Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s Bereich ist aber nur ein Symbol fur eine vollzogene Laplace Transformation und enthalt keinen Zahlenwert Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale Zur Bestimmung der elementaren Einzelsysteme G 1 s G 2 s displaystyle G 1 s G 2 s dots einer Ubertragungsfunktion G s hoherer Ordnung werden die Polynome des Zahlers und Nenners durch Nullstellenbestimmung faktorisiert Wenn Zahlenwerte der Koeffizienten vorliegen konnen mit verschiedenen Methoden die Pole und Nullstellen berechnet werden Dazu eignet sich die sogenannte pq Formel x 2 p x q 0 displaystyle x 2 px q 0 fur Systeme 2 Ordnung Fertige im Internet verfugbare Programme fur Systeme bis 4 Ordnung konnen mit dem Aufruf Nullstellen Losungen von Polynomen bestimmen benutzt werden Die Pole Nullstellen des Nenners s p i displaystyle s pi und Nullstellen Nullstellen des Zahlers s n i displaystyle s ni der Ubertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrossen des Systemverhaltens Sie sind entweder Null fehlendes Endglied a 0 b 0 displaystyle a 0 b 0 der Differentialgleichung reell s n d displaystyle s n delta und s p d displaystyle s p delta oder konjugiert komplex s n d j w displaystyle s n delta pm j omega und s p d j w displaystyle s p delta pm j omega Zur Bestimmung der Zeitkonstanten werden die Polynome der Ubertragungsfunktion durch Nullstellenbestimmung in Linearfaktoren und Faktoren 2 Ordnung zerlegt Wenn Zahlenwerte fur die Koeffizienten der Polynome gegeben sind konnen die Polynome durch die Nullstellenbestimmung faktorisiert werden Die Zerlegung der Zahler und Nennerpolynome hoherer Ordnung durch die Pole und Nullstellen ergibt mehrfache Linearfaktoren und mehrfache Faktoren 2 Ordnung Als Voraussetzung dazu durfen die Polynome in der Reihenfolge der Summenelemente entsprechend der Ordnungszahl keine Lucken aufweisen Werden diese Faktoren als unabhangige Einzel Ubertragungsfunktionen definiert so entstehen je nach Art der Pole und der Nullstellen folgende Elementar Ubertragungsfunktionen Die Abschlussterme der Differentialgleichung a 0 b 0 displaystyle a 0 b 0 sind Null Der entstehende Linearfaktor ist eine Variable K s displaystyle K cdot s sowohl im Zahler als auch im Nenner Die Pole bzw die Nullstellen sind negativ reell Aus s s n displaystyle s s n oder s s p displaystyle s s p entsteht der Linearfaktor in Zeitkonstantendarstellung T s 1 displaystyle T cdot s 1 sowohl im Zahler als auch im Nenner Die Pole bzw die Nullstellen sind negativ konjugiert komplex Aus s s n displaystyle s s n oder s s p displaystyle s s p entsteht der Faktor in Zeitkonstantendarstellung T 2 s 2 2 D T s 1 displaystyle T 2 cdot s 2 2DT cdot s 1 2 Ordnung sowohl im Zahler als auch im Nenner Beispiel einer Ubertragungsfunktion mit der Polynomdarstellung der Pol Nullstellendarstellung und der Zeitkonstantendarstellung G s Y s U s b m s m b 2 s 2 b 1 s b 0 a n s n a 2 s 2 a 1 s a 0 k s s n 1 s s n 2 s s n m s s p 1 s s p 2 s s p n k T v s T s 1 T 2 s 2 2 D T s 1 T n s T s 1 T 2 s 2 2 D T s 1 displaystyle begin aligned G s amp frac Y s U s frac b m s m ldots b 2 s 2 b 1 s b 0 a n s n ldots a 2 s 2 a 1 s a 0 k cdot frac s s n1 s s n2 dotsm s s nm s s p1 s s p2 dotsm s s pn amp k cdot frac T v cdot s cdot T cdot s 1 cdot T 2 cdot s 2 2DT cdot s 1 T n cdot s cdot T cdot s 1 cdot T 2 cdot s 2 2DT cdot s 1 end aligned Zeitkonstanten der elementaren Einzelsysteme im Zahler und Nenner der Ubertragungsfunktion Bearbeiten Die Zerlegung des Nennerpolynoms ergibt zeitverzogernd wirkende Einzelsysteme Linearfaktoren und verzogernd wirkende Faktoren 2 Ordnung Die Zerlegung des Zahlerpolynoms ergibt differenzierend wirkende Einzelsysteme Linearfaktoren und differenzierend wirkende Faktoren 2 Ordnung Letztere haben in Kombination mit den zeitverzogernden Systemen des Nenners keinen Einfluss auf das Zeitverhalten sondern nur auf die Signalamplituden y t displaystyle y t Zeitkonstanten der Linearfaktoren als Variablen T s displaystyle T cdot s mit Polen und Nullstellen gleich Null Diese Linearfaktoren entstehen bei einer Laplace Transformation einer systembeschreibenden gewohnlichen Differentialgleichung deren Endglieder a 0 displaystyle a 0 oder b 0 displaystyle b 0 fehlen Aus dem Produktterm s 0 displaystyle s 0 wird im Zahler und Nenner je s displaystyle s Die in der nachstehenden Tabelle des nachsten Abschnitts dargestellten Zeitkonstanten 1 T n displaystyle tfrac 1 T n fur das I Glied 1 T n s displaystyle left tfrac 1 T n cdot s right und T v displaystyle T v fur das D Glied T v s displaystyle T v cdot s sind aus der Definition der Regler entnommen In Wirklichkeit entsprechen sie Proportionalitatsfaktoren K I displaystyle K I oder K D displaystyle K D mit der Bewertung 1 wenn keine anderen Zahlenwerte angegeben worden sind Zeitkonstante der Linearfaktoren mit Polen und Nullstellen gleich d displaystyle delta Die Definition der Zeitkonstante T displaystyle T eines P T 1 displaystyle PT 1 Gliedes oder eines P D 1 displaystyle PD 1 Gliedes errechnet sich wie folgt aus den Polen und Nullstellen fur Zahlenwerte mit negativen Realteilen von s p i s n i displaystyle s pi s ni Beispiel fur die Definition einer Zeitkonstante aus dem Linearfaktor des Zahlers s s n Linearfaktor s s n Term mit s n negat s n 1 s n s 1 Term durch s n divid 1 T T s 1 Zeitkonstanten Darstellung displaystyle underbrace s s n text Linearfaktor underbrace s s n text Term mit s n text negat underbrace s n cdot left frac 1 s n cdot s 1 right text Term durch s n text divid quad underbrace frac 1 T cdot T cdot s 1 text Zeitkonstanten Darstellung dd Die Zeitkonstante errechnet sich allgemein aus dem Reziprokwert Kehrwert einer negativen reellen Nullstelle s p displaystyle s p oder s n displaystyle s n des Nennerpolynoms oder Zahlerpolynoms der Ubertragungsfunktion als T i 1 s p i displaystyle T i frac 1 s pi bzw T i 1 s n i displaystyle T i frac 1 s ni dd Zeitkonstanten des Faktors 2 Ordnung mit konjugiert komplexen Polen und Nullstellen Aus der Pol Nullstellendarstellung mit negativen konjugiert komplexen Polen und Nullstellen entstehen Faktoren 2 Ordnung Wird aus der Nullstellendarstellung s s n displaystyle s s n fur s n displaystyle s n die konjugiert komplexe Nullstelle s n d j w displaystyle s n delta pm j omega oder s p d j w displaystyle s p delta pm j omega eingesetzt entsteht durch quadrieren zur Vermeidung der imaginaren Grossen die Zeitkonstantendarstellung Faktor 2 Ordnung in Pol Nullstellendarstellung nach dem quadrieren s 2 2 d s d 2 w 2 displaystyle s 2 2 cdot delta cdot s delta 2 omega 2 Mit T 1 w displaystyle T frac 1 omega ergibt sich die Normalform der Zeitkonstantendarstellung des Faktors 2 Ordnung T 2 s 2 2 D T s 1 D Dampfungsgrad 0 lt D lt 1 displaystyle T 2 cdot s 2 2DT cdot s 1 qquad D text Dampfungsgrad 0 lt D lt 1 dd Fazit Dieser Faktor 2 Ordnung gilt sowohl fur das Zahler und Nennerpolynom und lasst sich nicht in kleinere mathematische Ausdrucke zerlegen Der Zeitverlauf einer normierten Sprungantwort eines Ubertragungssystems 2 Ordnung mit konjugiert komplexen Polen P T 2 k k displaystyle PT2 kk Glied ist von der Zeitkonstante T displaystyle T und von der Dampfung D displaystyle D abhangig Aufstellung und Verhalten der elementaren Einzelsysteme Bearbeiten Durch Zuordnung dieser Faktoren im Zahler und Nenner der Ubertragungsfunktionen konnen folgende 6 verschiedene stabile Elementarsysteme G i s displaystyle G i s einzeln oder mehrfach entstehen G 1 s T s 1 G 2 s T s 1 1 G 3 s T 2 s 2 2 D T s 1 1 displaystyle G 1 s T cdot s pm 1 qquad G 2 s T cdot s 1 pm 1 qquad G 3 s left T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 right pm 1 quad Benennung I Glied D Glied P T 1 displaystyle PT 1 Glied P D 1 displaystyle PD 1 Glied P T 2 k k displaystyle PT 2kk Glied Schwingungsglied P D 2 k k displaystyle PD 2kk GliedPol Nullstellen s p 0 displaystyle s p 0 s n 0 displaystyle s n 0 s p d displaystyle s p delta s n d displaystyle s n delta s p 1 2 d j w displaystyle s p1 2 delta pm j omega s n 1 2 d j w displaystyle s n1 2 delta pm j omega Ubertragungsfunktion Y U s 1 T n s displaystyle frac Y U s frac 1 T n cdot s Y U s T V s displaystyle frac Y U s T V cdot s Y U s K T s 1 displaystyle frac Y U s frac K T cdot s 1 Y U s T s 1 displaystyle frac Y U s T cdot s 1 Y U s K T 2 s 2 2 T D s 1 displaystyle frac Y U s frac K T 2 cdot s 2 2TD cdot s 1 Y U s K T 2 s 2 2 T D s 1 displaystyle frac Y U s K T 2 cdot s 2 2TD cdot s 1 In der Zeitkonstanten Darstellung entspricht die Zeitkonstante T displaystyle T dem Koeffizienten vor der komplexen Laplace Variable s displaystyle s Die Berechnung des zeitlichen Verhaltens eines Gesamtubertragungssystems erfordert immer dass die Anzahl der Faktoren des Nenners immer gleich oder grosser sein muss als die Anzahl der Faktoren im Zahler n m displaystyle n geq m Differenzierende P D 1 displaystyle PD 1 Glieder konnen das Zeitverhalten von verzogernden P T 1 displaystyle PT 1 Gliedern bei gleichen Zeitkonstanten vollstandig kompensieren Das Gleiche gilt naturlich auch fur P D 2 displaystyle PD 2 Glieder und P T 2 displaystyle PT 2 Glieder Sprungantwort verschiedener elementarer Ubertragungssysteme Testsignale zur Prufung des Systemverhaltens Ubliche Testsignale fur Ubertragungssysteme sind Sprungfunktion Rucksprung Impulsfunktion Anstiegsfunktion und Sinusfunktion Diese Signale werden ebenfalls vom Zeitbereich in den Bildbereich Laplace transformiert Siehe Definition der Testsignale im nachsten Abschnitt Zeitverhalten differenzierender Ubertragungsglieder Das Zeitverhalten der Sprungantwort oder der Impulsantwort eines differenzierenden Systems des Zahlerpolynoms kann allein grafisch nicht dargestellt werden weil die Anderung des Ausgangssignals im Zeitbereich 0 0 displaystyle 0 to 0 stattfindet Das Zeitverhalten eines differenzierenden Systems lasst sich nur mit einem Eingangssignal als Anstiegsfunktion grafisch darstellen Differenzierende Systeme ohne sogenannte zeitverzogernde parasitare P T 1 displaystyle PT 1 Glieder lassen sich als Hardware technisch nicht herstellen Die dazu notwendige hinzugefugte parasitare Zeitkonstante des zeitverzogernden P T 1 displaystyle PT 1 Gliedes muss wesentlich kleiner sein als die Zeitkonstante des D displaystyle D Gliedes oder P D 1 displaystyle PD 1 Gliedes Zeitverhalten von Ubertragungsgliedern mit konjugiert komplexen Polen P T 2 k k displaystyle PT 2kk Glieder Diese Ubertragungsglieder 2 Ordnung enthalten Doppelpole im s Bereich In Abhangigkeit von der Grosse der Dampfung D displaystyle D entsteht bei Anregung des Systems durch ein beliebiges Eingangssignal eine gedampft schwingende Ausgangsgrosse Haufig wird die Sprungantwort als charakteristisches Verhalten dargestellt bei dem die Ausgangsgrosse exponentiell asymptotisch mit einer Schwingungsuberlagerung einen Endwert erreicht Bei D 1 displaystyle D geq 1 lassen sich diese Systeme in zwei P T 1 displaystyle PT 1 Glieder zerlegen Die dem System zugehorigen Zeitkonstanten T displaystyle T liegen in quadratischer Form vor Ubertragungssysteme mit Linearfaktoren oder Faktoren 2 Ordnung mit positivem Realteil der Pole Positive Realteile der Pole und Nullstellen ergeben negative Zeitkonstanten 2 Ubertragungsglieder mit positive Polen bilden instabile nichtlineare Ubertragungsfunktionen die man mit z B mit Instabilen T1 Gliedern oder mit Instabilen T2 Gliedern bezeichnen kann Auch ihnen kann man Zeitkonstanten zuordnen Das Ausgangssignal dieser Systeme steigt nach einem positiven beliebigen Eingangssignal u t gt 0 displaystyle u t gt 0 exponentiell progressiv bis zu einer Begrenzung an und kehrt erst zuruck wenn das Eingangssignal negativ wird Ruckkopplungseffekt Nahere Details siehe Regelstrecke Charakterisierung der Regelstrecken Berechnung des Zeitverhaltens von Ubertragungsfunktionen Inverse Laplace Transformation Das System Ausgangsverhalten y t displaystyle y t beliebiger Ubertragungssysteme im Zeitbereich ist abhangig von der Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s und von der Art des Eingangssignals U s displaystyle U s Mittels der inversen Laplace Transformation lasst sich das Zeitverhalten mit Anwendung von Laplace Transformationstafeln und dem Suchbegriff finden y t L 1 G s U s Suchbegriff displaystyle y t mathcal L 1 underbrace left G s cdot U s right text Suchbegriff dd Handelt es sich um eine normierte Sprungfunktion des Eingangssignals u t 1 displaystyle u t 1 so ist U s 1 s displaystyle U s frac 1 s Numerische Berechnung Mit Hilfe der numerischen Mathematik durch Berechnung von Differenzengleichungen lassen sich fur gegebene Eingangssignale u k i displaystyle u ki die Ausgangssignale y k i displaystyle y ki als nummerierte Folgegleichungen eines dynamischen Systems berechnen Die Zeitkonstanten T displaystyle T in den Differenzengleichungen bestimmen das Verhalten der Einzelsysteme Differenzengleichungen berechnen in Annaherung an eine kontinuierliche Funktion y f x displaystyle y f x schrittweise eine Wertefolge y k i displaystyle y ki mit den Folgegliedern k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 dots fur ein kleines Intervall h D x displaystyle h Delta x die Wertefolge y k y 0 y 1 y 2 y 3 displaystyle y k y 0 y 1 y 2 y 3 dots an der Stelle x k x 0 x 1 x 2 x 3 displaystyle x k x 0 x 1 x 2 x 3 dots wobei k displaystyle k eine Nummerierung der errechneten Werte y k i displaystyle y ki darstellt Testsignale Bearbeiten Sprungantworten von 4 in Reihe geschalteten entkoppelten PT1 Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten Den nichtperiodischen deterministischen Testsignalen kommt in der Systemtheorie eine zentrale Bedeutung zu Mit ihrer Hilfe ist es moglich ein Ubertragungssystem zu testen auf Stabilitat zu prufen oder Eigenschaften zu ermitteln Zur Berechnung des Zeitverhaltens eines Ubertragungssystems konnen die transformierten Testsignale im Bildbereich anstelle U s displaystyle U s mit der Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s des Systems multipliziert werden Fur die Rucktransformation von Y s displaystyle Y s in den Zeitbereich kann die gewunschte Gleichung der Systemantwort y t displaystyle y t mit Hilfe der Laplace Transformationstafeln gefunden werden Impulsantworten von 4 in Reihe geschalteten entkoppelten PT1 Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten Den Testsignalen ist gemeinsam dass sie zum Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 beginnen und bei t lt 0 displaystyle t lt 0 eine Amplitude 0 aufweisen Zur Unterscheidung der Funktion der Signale werden sie mit den Zeichen d Impuls Ϭ Sprung a Anstieg und s Sinus indiziert Die Testsignale werden als Eingangsgrosse u t displaystyle u t und als Laplace transformierte Grosse U s displaystyle U s wie folgt dargestellt Begriff Testsignal u t Bildbereich Eingangssignal Systemantwort y t Impulsfunktion d oder Stossfunktion Deltaimpuls U d s 1 displaystyle U delta s 1 Impulsantwort oder GewichtsfunktionSprungfunktion s U s s 1 s displaystyle U sigma s frac 1 s Sprungantwort oder UbergangsfunktionAnstiegsfunktion oder Rampe U a s 1 s 2 displaystyle U a s frac 1 s 2 Anstiegsantwort oder RampenantwortSinusfunktion s Periodisches Signal U s s w s 2 w 2 displaystyle U s s frac omega s 2 omega 2 FrequenzgangGrundlagen der Ermittlung der Zeitkonstanten aus der gewohnlichen Differentialgleichung 1 Ordnung BearbeitenEine lineare gewohnliche Differentialgleichung 1 Ordnung mit konstanten Koeffizienten a i displaystyle a i und b i displaystyle b i lautet a 1 y t a 0 y t b 0 u t displaystyle a 1 cdot dot y t a 0 cdot y t b 0 cdot u t Die Zeitkonstante T a 1 a 0 displaystyle T a 1 a 0 ist aus dieser Form der Differentialgleichung bereits berechenbar Allgemein wird fur die Nullstellenbestimmung die hochste Ableitung einer Differentialgleichung freigestellt in dem samtliche Terme der Gleichung durch den zugehorigen Koeffizienten in diesem Fall a 1 displaystyle a 1 dividiert werden Damit lautet die neue mathematisch identische Differentialgleichung y t a 0 a 1 y t b 0 a 1 u t displaystyle dot y t frac a 0 a 1 cdot y t frac b 0 a 1 cdot u t Die Ubertragungsfunktion G s dieser Differentialgleichung lautet fur Anfangsbedingungen gleich Null nach Anwendung des Laplace Differentiationssatzes s Y s a 0 a 1 Y s b 0 a 1 U s displaystyle s cdot Y s frac a 0 a 1 cdot Y s frac b 0 a 1 cdot U s Aus dem Verhaltnis der Ausgangsgrosse Y s displaystyle Y s zur Eingangsgrosse U s displaystyle U s ergibt sich die Ubertragungsfunktion in der Zeitkonstanten Darstellung G s Y s U s b 0 a 1 s a 0 a 1 b 0 a 1 s a 0 b 0 a 0 a 1 a 0 s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac frac b 0 a 1 s frac a 0 a 1 frac b 0 a 1 cdot s a 0 frac frac b 0 a 0 frac a 1 a 0 cdot s 1 Bei dieser Form der Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s ist die Zeitkonstante T displaystyle T direkt ablesbar als Koeffizient vor der Laplace Variable s displaystyle s mit dem Verhaltnis der Koeffizienten T a 1 a 0 displaystyle T a 1 a 0 Setzt man fur a 1 a 0 T displaystyle frac a 1 a 0 T und b 0 a 0 K displaystyle frac b 0 a 0 K in die Gleichung der Ubertragungsfunktion ein erhalt man die Normalform der Ubertragungsfunktion eines Verzogerungsgliedes P T 1 displaystyle PT 1 Glied in der Zeitkonstanten Darstellung G s Y s U s K T s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac K T cdot s 1 Entstehung einer gewohnlichen Differentialgleichung 1 Ordnung aus einem Hardware Tiefpass Bearbeiten Ein durch eine gewohnliche Differentialgleichung 1 Ordnung beschriebenes Verzogerungsglied PT1 Glied kommt in der Natur und in der Technik am haufigsten vor Es entsteht z B wenn Warme in ein Medium fliesst oder eine elektrische Spannung an ein RC Glied angelegt wird Es interessiert immer wie sich die Ausgangsgrosse des Systems sich als Funktion der Zeit fur eine gegebene Eingangsgrosse verhalt Besonders anschaulich ist das Systemverhalten fur eine gegebene Eingangsgrosse als Sprungfunktion Das in der Elektrotechnik bekannteste dynamische System welches durch eine gewohnliche Differentialgleichung 1 Ordnung beschrieben wird ist das RC Glied als Widerstands Kondensator Schaltung mit der Zeitkonstante T R C displaystyle T R cdot C Einfacher RC Tiefpass mit Ue Eingangsspannung Ua Ausgangsspannung Die allgemeine mathematische Beschreibung des RC Gliedes ergibt sich uber die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze Fur das Hardware Modell als Tiefpass gilt die Maschengleichung der Spannungen U e U R U C 0 displaystyle U e U R U C 0 Dabei ist U e displaystyle U e die Eingangsgrosse U C U a displaystyle U C U a die gesuchte Ausgangsgrosse Wird fur den Spannungsabfall U R displaystyle U R an R die Gleichung fur den Ladestrom i C d U C d t displaystyle i C cdot frac dU C dt in die obige Gleichung eingesetzt entsteht die Differentialgleichung des RC Gliedes als Tiefpass R C d U C d t U C U e displaystyle R cdot C cdot frac dU C dt U C U e Werden die ublichen Signalbezeichnungen der Systemtheorie angewendet lauten die neuen Signalbezeichnungen der gewohnliche Differentialgleichung U e u t displaystyle U e u t und U a y t displaystyle U a y t Fur eine Differentialgleichung 1 Ordnung und der zugehorigen Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s existiert kein Zahler und Nennerpolynom Es handelt sich bereits um einen Linearfaktor im Nenner der Ubertragungsfunktion Deshalb hat die Nullstelle keine Bedeutung Bei der ublichen Darstellung der Differentialgleichung wird die hochste Ableitung von Koeffizienten freigestellt indem samtliche Terme der Gleichung durch den zugehorigen Koeffizienten hier R C displaystyle R cdot C dividiert werden Damit lautet die neue mathematisch identische Differentialgleichung y t 1 R C y t 1 R C u t displaystyle dot y t frac 1 R cdot C cdot y t frac 1 R cdot C cdot u t Die Ubertragungsfunktion G s dieser Differentialgleichung lautet fur Anfangsbedingungen gleich Null nach dem Differentiationssatz s Y s 1 R C Y s 1 R C U s displaystyle s cdot Y s frac 1 R cdot C cdot Y s frac 1 R cdot C cdot U s Zusammengefasst als das Verhaltnis der Ausgangsgrossen zur Eingangsgrosse ergibt sich die Ubertragungsfunktion in Zeitkonstanten Darstellung G s Y s U s 1 R C s 1 R C 1 R C s 1 1 T s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac frac 1 R cdot C s frac 1 R cdot C frac 1 R cdot C cdot s 1 frac 1 T cdot s 1 Dabei entspricht der Koeffizient vor der Laplace Variable s displaystyle s der Zeitkonstante T R C displaystyle T R cdot C Entstehung der Ubertragungsfunktion G p displaystyle G p fur einen Tiefpass P T 1 displaystyle PT 1 Glied durch das Verhaltnis komplexer Widerstande Bearbeiten Im Gegensatz zur Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s kann der Frequenzgang G p displaystyle G p mit p j w displaystyle p j omega eines linearen Ubertragungssystems gemessen werden Der Frequenzgang ist ein Spezialfall der Ubertragungsfunktion Die Ubertragungsfunktion kann jederzeit in den Frequenzgang bei identischen Koeffizienten Zeitkonstanten uberfuhrt werden Die Entstehungsgeschichten des Frequenzgangs und der Ubertragungsfunktion sind unterschiedlich die Schreibweisen konnen identisch bleiben G p Y p U p displaystyle G p frac Y p U p In der dargestellten RC Schaltung kann das Verhaltnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung auch als das Verhaltnis der Ausgangsimpedanz zur Eingangsimpedanz definiert werden Setzt man fur die Kapazitat mit p j w displaystyle p j cdot omega den komplexen Widerstand Z C 1 p C displaystyle mathcal Z C frac 1 p cdot C ergibt sich fur das komplexe Widerstandsverhaltnis als Ubertragungsfunktion G p displaystyle G p G p U a p U e p 1 p C R 1 p C 1 R C p 1 1 T p 1 displaystyle G p frac U a p U e p frac frac 1 p cdot C R frac 1 p cdot C frac 1 R cdot C cdot p 1 frac 1 T cdot p 1 Das Ergebnis entspricht dem aus der Differentialgleichung abgeleiteten P T 1 displaystyle PT 1 Glied Entstehung der Ubertragungsfunktion G p displaystyle G p fur einen Hochpass durch das Verhaltnis der komplexen Widerstande Bearbeiten Ersetzt man bei der RC Schaltung die Kapazitat C durch eine Induktivitat L entsteht bei der Betrachtung der Ein und Ausgangsspannungen des Systems ein Hochpass 1 Ordnung Bei Eingangssignalen mit hoher Frequenz hat die Induktivitat einen hohen komplexen Widerstand Mit fallender Frequenz fallt der induktive Widerstand ab In der dargestellten LC Schaltung kann das Verhaltnis der Ausgangsspannung U a p displaystyle U a p zur Eingangsspannung U e p displaystyle U e p auch als das Verhaltnis der Ausgangsimpedanz zur Eingangsimpedanz definiert werden Setzt man fur die Induktivitat mit p j w displaystyle p j cdot omega den komplexen Widerstand Z L L p displaystyle mathcal Z L L cdot p ergibt sich fur das komplexe Widerstandsverhaltnis als Ubertragungsfunktion G p displaystyle G p G p U a p U e p p L p L R L R p L R p 1 displaystyle G p frac U a p U e p frac p cdot L p cdot L R frac frac L R cdot p frac L R cdot p 1 Die Ubertragungsfunktion des RL Gliedes lautet mit T L R displaystyle T frac L R G p U a p U e p T p T p 1 displaystyle G p frac U a p U e p frac T cdot p T cdot p 1 Das Ergebnis entspricht einer Reihenschaltung eines P T 1 displaystyle PT 1 Gliedes mit einem D Glied Fur einen normierten Eingangssprung u t 1 displaystyle u t 1 springt das Ausgangssignal zur Zeit t 0 displaystyle t 0 auf u t 1 displaystyle u t 1 und fallt dann fur t gt 0 displaystyle t gt 0 exponentiell asymptotisch auf den Wert y t 0 displaystyle y t 0 Das zu dieser Ubertragungsfunktion zugehorige Zeitverhalten y t displaystyle y t lautet fur einen Eingangssprung y t e t T displaystyle y t e t T Die normierte Gleichung gilt fur den Eingangssprung u s t 1 displaystyle u sigma t 1 e Eulersche Zahl 2 718 28 displaystyle e text Eulersche Zahl approx 2 71828 Berechnung des Zeitverhaltens eines P T 1 displaystyle PT 1 Gliedes nach einem Eingangssprung Bearbeiten Zeitverhalten der Sprungantwort eines P T 1 displaystyle PT 1 Gliedes mit der Zeitkonstante T 1 K 1 Haufig wird im Zeitbereich die Ausgangsgrosse y t displaystyle y t der Ubertragungsfunktion des R C displaystyle RC Gliedes P T 1 displaystyle PT 1 Glied als Sprungantwort dargestellt Der normierte Sprung fur U s displaystyle U s lautet Laplace transformiert U s U s s 1 s displaystyle U s hat U sigma s frac 1 s Damit lautet die Ubertragungsfunktion fur Y s displaystyle Y s und U s U s s displaystyle U s hat U sigma s der Sprungantwort Y s U s s 1 T s 1 1 s T s 1 displaystyle Y s hat U sigma s cdot frac 1 T cdot s 1 frac 1 s cdot T cdot s 1 Ein evtl vorhandener Verstarkungsfaktor K displaystyle K lasst sich nicht transformieren Er erscheint auch nicht in den korrespondierenden Laplace Transformations Tabellen der Rucktransformation und kann im Zeitbereich unverandert ubernommen werden Die Losung im Zeitbereich der Sprungantwort y t displaystyle y t ergibt sich uber die Korrespondenztabellen von Laplace Transformationstafeln fur den Ausdruck Y s 1 s T s 1 displaystyle Y s frac 1 s cdot T cdot s 1 ergibt das Zeitverhalten des Verzogerungsgliedes mit dem hinzugefugten Verstarkungsfaktor K displaystyle K y t K 1 e t T displaystyle y t K cdot 1 e t T Die normierte Gleichung gilt fur den Eingangssprung y t 0 displaystyle y t 0 nach y t 1 displaystyle y t 1 e Eulersche Zahl 2 718 28 displaystyle e text Eulersche Zahl approx 2 71828 Zeitverhalten des Rucksprungs u s t displaystyle hat u sigma downarrow t vom Anfangswert y t 0 1 displaystyle y t 0 1 des P T 1 displaystyle PT 1 Gliedes nach y t 0 displaystyle y t 0 y t e t T displaystyle y t e t T Die normierte Gleichung gilt fur den Rucksprung von y t 1 displaystyle y t 1 nach y t 0 displaystyle y t 0 Ausgangswerte eines P T 1 displaystyle PT 1 Gliedes des Ansprungs y t 1 e t T displaystyle y t 1 e t T und des Rucksprungs y t e t T displaystyle y t e t T fur ein bis 5 fache Zeitkonstanten Zeitkonstante T Sprungantwort Ansprung y t displaystyle y t in Sprungantwort Rucksprung y t displaystyle y t in T einfach 63 2 36 82 T displaystyle 2 cdot T 86 5 13 53 T displaystyle 3 cdot T 95 0 5 04 T displaystyle 4 cdot T 98 2 1 85 T displaystyle 5 cdot T 99 3 0 7 Diese normierte Gleichung gilt fur den Eingangssprung u s t 1 100 displaystyle hat u sigma t 1 100 K displaystyle K ist der Verstarkungsfaktor e Eulersche Zahl 2 718 28 displaystyle e text Eulersche Zahl approx 2 71828 Berechnungsbeispiel zur Bestimmung der Zeitkonstanten einer gewohnlichen Differentialgleichung 2 Ordnung BearbeitenGegeben Differentialgleichung eines Zeitgliedes 2 Ordnung ohne Differentiale der Eingangsgrosse u t displaystyle u t a 2 y t a 1 y t a 0 y t b 0 u t displaystyle a 2 cdot ddot y t a 1 cdot dot y t a 0 cdot y t b 0 cdot u t Gesucht Ubertragungsfunktion Pole Zeitkonstanten Anwendung der Laplace Transformation der Differentialgleichung nach dem Differenziationssatz a 2 s 2 Y s a 1 s Y s a 0 t Y s b 0 U s displaystyle a 2 cdot s 2 cdot Y s a 1 cdot s cdot Y s a 0 t cdot Y s b 0 cdot U s Bildung der Ubertragungsfunktion G s Y s U s displaystyle G s Y s U s und Freistellung der hochsten transformierten Ableitung G s Y s U s b 0 a 2 s 2 a 1 s a 0 b 0 a 2 s 2 a 1 a 2 s a 0 a 2 Zahlerpolynom s Nennerpolynom s displaystyle G s frac Y s U s frac b 0 a 2 cdot s 2 a 1 cdot s a 0 frac frac b 0 a 2 s 2 frac a 1 a 2 cdot s frac a 0 a 2 frac text Zahlerpolynom s text Nennerpolynom s Gegebene Zahlenwerte a i displaystyle a i a 2 2 a 1 3 a 0 1 displaystyle a 2 2 a 1 3 a 0 1 und fur b 0 K 1 displaystyle b 0 K 1 Damit lautet die Ubertragungsfunktion und Freistellung des hochsten Exponenten Gleichung dividiert durch a 2 2 displaystyle a 2 2 G s Y s U s 1 2 s 2 3 s 1 0 5 s 2 1 5 s 0 5 displaystyle G s frac Y s U s frac 1 2 cdot s 2 3 cdot s 1 frac 0 5 s 2 1 5 cdot s 0 5 Im Internet Google bestehen Programme die die Nullstellen von Polynomen bis 4 Ordnung errechnen lassen Fur die Losung der Nullstellen Pole eines Polynoms 2 Ordnung kann die sogenannte pq Formel benutzt werden Polynom s 2 1 5 s 0 5 0 mit p 1 5 q 0 5 displaystyle s 2 1 5 cdot s 0 5 0 qquad text mit p 1 5 q 0 5 s p 1 2 p 2 p 2 4 q 1 5 2 1 5 2 4 0 5 0 75 0 25 s p 1 1 s p 2 0 5 displaystyle s p1 2 frac p 2 pm sqrt frac p 2 4 q frac 1 5 2 pm sqrt frac 1 5 2 4 0 5 0 75 pm 0 25 qquad s p1 1 s p2 0 5 Damit lasst sich eine Faktorisierung des Polynoms und die Ubertragungsfunktion in Zeitkonstanten Darstellung vornehmen G s Y s U s 0 5 s 2 1 5 s 0 5 0 5 s s p 1 s s p 2 0 5 s 1 s 0 5 1 s 1 2 s 1 displaystyle G s frac Y s U s frac 0 5 s 2 1 5 cdot s 0 5 frac 0 5 s s p1 s s p2 frac 0 5 s 1 s 0 5 frac 1 s 1 2 cdot s 1 Diese Gleichungen sind algebraisch identisch Ergebnis Das Ubertragungssystem mit zwei P T 1 displaystyle PT 1 Gliedern enthalt die Zeitkonstanten T 1 1 und T 2 2 displaystyle T 1 1 text und T 2 2 Eine Hardware Nachbildung dieses Systems mit zwei RC Gliedern in Reihenschaltung erfordert eine belastungsfreie Entkopplung Anmerkung Die Berechnung des Zeitverhaltens einer Ubertragungsfunktion hoherer Ordnung eines komplexen dynamischen Systems fur eine gegebene Eingangsgrosse besteht darin Laplace Transformationstafeln fur die korrespondierende Zeitfunktion mit der normierten Ubertragungsfunktion anzuwenden oder eine faktorielle Form der Ubertragungsfunktion in eine Partialbruch Darstellung zu uberfuhren deren additive Terme einfach in den Zeitbereich uberfuhrt werden konnen oder uber die numerische Berechnung mit Differenzengleichungen welche aus den Linearfaktoren der Ubertragungsfunktion abgeleitet sind um das Zeitverhalten von y t displaystyle y t fur eine bestimmte Eingangsgrosse u t displaystyle u t zu errechnen Bei Ubertragungsfunktionen hoherer Ordnung mit einem Gemisch von negativen reellen Nullstellen und negativen konjugiert komplexen Nullstellen kann die Berechnung des Zeitverhaltens aus den Gleichungen der Laplace Transformationstafeln mit den aufwendigen trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen recht kompliziert sein Die numerische Berechnung mit Differenzengleichungen oder mit dem Erwerb von kommerziellen Simulations Programmen ist erheblich einfacher Genormte Zeitkonstanten und Ubergangsfrequenzen von Filtern BearbeitenZeitkonstante t in µs Ubergangsfrequenz fc in Hz Entzerrungsnorm7958 20 RIAA3183 50 RIAA NAB1592 100 318 500 RIAA200 796 140 1137 120 1326 MC100 1592 90 1768 MC75 2122 RIAA FM USA50 3183 NAB PCM FM Europa35 4547 DIN25 6366 17 5 9095 AES15 10610 PCMEinzelnachweise Bearbeiten Autor Jan Lunze Regelungstechnik 1 Springer Vieweg Berlin 8 Auflage 2014 ISBN 978 3 642 53943 5 Hauptkapitel Ubertragungsfunktion Unterkapitel Zeitkonstanten der Ubertragungsfunktion Autor Jan Lunze Regelungstechnik 1 Springer Vieweg Berlin 8 Auflage 2014 ISBN 978 3 642 53943 5 Kapitel Beschreibung der Analyse linearer Systeme im Frequenzbereich Literatur BearbeitenHolger Lutz Wolfgang Wendt Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink 12 Auflage Verlag Europa Lehrmittel 2021 ISBN 978 3 8085 5870 6 Jan Lunze Regelungstechnik 1 6 Auflage Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 70790 5 Regelungstechnik 2 4 Auflage Springer Verlag Berlin 2006 ISBN 978 3 540 32335 8 Michael Laible Mechanische Grossen elektrisch gemessen Grundlagen und Beispiele zur technischen Ausfuhrung 7 Auflage Expert Verlag Renningen 1980 ISBN 3 8167 2892 8 Wolfgang Schneider Praktische Regelungstechnik Ein Lehr und Ubungsbuch fur Nicht Elektrotechniker 3 Auflage Vieweg Teubner Verlag Wiesbaden 2008 ISBN 978 3 528 24662 4 Walter Kaspers Hans Jurgen Kufner Messen Steuern Regeln 3 Auflage Friedrich Vieweg amp Sohn Verlag Wiesbaden 1984 ISBN 3 528 24062 8 David Halliday Robert Resnick Jearl Walker Physik Bachelor Edition 2 Auflage John Wiley amp Sons Verlag Weinheim 2013 ISBN 978 3 527 41181 8 Siehe auch BearbeitenSigmoidfunktion Hochpass Tiefpass Bandpass Bandsperre Schneidkennlinie Relaxationszeit Relaxation Naturwissenschaft Weblinks BearbeitenZeitkonstante und Ubergangsfrequenz Grenzfrequenz PDF Datei 228 kB Frequenzgang und Entzerrung Berechnung von Zeitkonstante und GrenzfrequenzAbgerufen von https de wikipedia org w index php title Zeitkonstante amp oldid 214336036, wikipedia, wiki, deutsches

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