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Zahlentheorie

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Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt. Teilgebiete sind beispielsweise die elementare oder arithmetische Zahlentheorie – eine Verallgemeinerung der Arithmetik, die Lehre von den Diophantischen Gleichungen, die analytische Zahlentheorie und die algebraische Zahlentheorie.

Inhaltsverzeichnis

Die verschiedenen Teilgebiete der Zahlentheorie werden gemeinhin nach den Methoden unterschieden, mit denen zahlentheoretische Fragestellungen bearbeitet werden.

Elementare oder arithmetische Zahlentheorie

Von der Antike bis in das 17. Jahrhundert behauptete sich die Zahlentheorie als grundständige Disziplin und kam ohne andere mathematische Teilgebiete aus. Ihre einzigen Hilfsmittel waren die Eigenschaften der ganzen Zahlen, insbesondere Primfaktorzerlegung (Fundamentalsatz der Arithmetik), Teilbarkeit und das Rechnen mit Kongruenzen. Eine solche reine Herangehensweise wird auch als elementare Zahlentheorie bezeichnet. Wichtige Resultate, die sich mit Hilfe elementarer Methoden erzielen lassen, sind der kleine Satz von Fermat und dessen Verallgemeinerung, der Satz von Euler, der Chinesische Restsatz, der Satz von Wilson und der Euklidische Algorithmus.

Auch heute noch wird in einzelnen Fragen zu Teilbarkeit, Kongruenzen und Ähnlichem mit elementaren zahlentheoretischen Methoden geforscht. Ebenso wird versucht, Beweise zur Zahlentheorie, die sich weitergehender Methoden bedienen, in elementare Begriffe zu „übersetzen“, woraus sich neue Erkenntnisse ergeben können. Ein Beispiel ist die elementare Betrachtung zahlentheoretischer Funktionen wie der Möbiusfunktion und der Eulerschen Phi-Funktion.

Analytische Zahlentheorie

Hauptartikel: Analytische Zahlentheorie

Als Erster wurde Euler darauf aufmerksam, dass man Methoden der Analysis und Funktionentheorie benutzen kann, um zahlentheoretische Fragestellungen zu lösen. Eine solche Herangehensweise bezeichnet man als analytische Zahlentheorie. Wichtige Probleme, die mit analytischen Methoden gelöst wurden, betreffen meist statistische Fragen nach der Verteilung von Primzahlen und deren Asymptotik. Dazu gehören zum Beispiel der von Gauß vermutete, aber erst Ende des 19. Jahrhunderts bewiesene Primzahlsatz und der dirichletsche Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Daneben dienen analytische Methoden auch dazu, die Transzendenz von Zahlen wie der Kreiszahl π {\displaystyle \pi } oder der Eulerschen Zahl e {\displaystyle e} nachzuweisen. Im Zusammenhang mit dem Primzahlsatz wurde erstmals die Riemannsche Zeta-Funktion untersucht, die heute zusammen mit ihren Verallgemeinerungen Gegenstand sowohl analytischer als auch algebraischer Forschung und Ausgangspunkt der Riemannschen Vermutung ist.

Algebraische Zahlentheorie und arithmetische Geometrie

Einen der großen Meilensteine der Zahlentheorie bildete die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes. Das Gesetz zeigt, dass man Fragen der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen in den ganzen Zahlen durch den Übergang zu anderen Zahlbereichen einfacher lösen kann (quadratische Zahlkörper, gaußsche Zahlen). Hierzu betrachtet man endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen, sogenannte algebraische Zahlkörper (woher auch der Name algebraische Zahlentheorie stammt). Elemente von Zahlkörpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die Ganzheitsringe. Sie verhalten sich in vieler Hinsicht wie der Ring der ganzen Zahlen. Die eindeutige Zerlegung in Primzahlen gilt allerdings nur noch in Zahlkörpern der Klassenzahl 1. Allerdings sind Ganzheitsringe Dedekindringe und jedes gebrochene Ideal besitzt daher eine eindeutige Zerlegung in Primideale. Die Analyse dieser algebraischen Zahlkörper ist sehr kompliziert und erfordert Methoden nahezu aller Teilgebiete der reinen Mathematik, insbesondere der Algebra, Topologie, Analysis, Funktionentheorie (insbesondere der Theorie der Modulformen), Geometrie und Darstellungstheorie. Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich weiterhin mit dem Studium algebraischer Funktionenkörper über endlichen Körpern, deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkörper verläuft. Algebraische Zahl- und Funktionenkörper werden unter dem Namen „globale Körper“ zusammengefasst. Oft stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen „lokal“, d. h. für jede Primzahl p einzeln zu betrachten. Dieser Vorgang benutzt im Fall der ganzen Zahlen die p-adischen Zahlen, allgemein lokale Körper.

Für die Formulierung der modernen algebraischen Zahlentheorie sind die Sprache der homologischen Algebra und insbesondere die ursprünglich topologischen Konzepte der Kohomologie, Homotopie und der abgeleiteten Funktoren unerlässlich. Höhepunkte der algebraischen Zahlentheorie sind die Klassenkörpertheorie und die Iwasawa-Theorie.

Nach der Neuformulierung der algebraischen Geometrie durch Grothendieck und insbesondere nach Einführung der Schemata stellte es sich (in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts) heraus, dass die Zahlentheorie als ein Spezialfall der algebraischen Geometrie betrachtet werden kann. Die moderne algebraische Zahlentheorie wird daher auch als geometrische Zahlentheorie oder arithmetische Geometrie bezeichnet, in der der Begriff des Schemas eine zentrale Rolle spielt.

Zu jedem Zahlkörper gehört eine Zeta-Funktion, deren analytisches Verhalten die Arithmetik des Zahlkörpers widerspiegelt. Auch für die Dedekindschen Zeta-Funktionen ist die Riemannsche Vermutung im Allgemeinen unbewiesen. Für endliche Körper ist ihre Aussage in den berühmten Weil-Vermutungen enthalten und wurde von Pierre Deligne mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst, wofür er 1978 die Fields-Medaille bekam.

Algorithmische Zahlentheorie

Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Zweig der Zahlentheorie, der mit dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse stieß. Dieser Zweig der Zahlentheorie beschäftigt sich damit, wie zahlentheoretische Probleme algorithmisch effizient umgesetzt werden können. Wichtige Fragestellungen sind, ob eine große Zahl prim ist, die Faktorisierung großer Zahlen und die eng damit verbundene Frage nach einer effizienten Berechnung des diskreten Logarithmus. Außerdem gibt es inzwischen Algorithmen zur Berechnung von Klassenzahlen, Kohomologiegruppen und zur K-Theorie algebraischer Zahlkörper.

Anwendungen der Zahlentheorie finden sich in der Kryptographie, insbesondere bei der Frage nach der Sicherheit der Datenübertragung im Internet. Hierbei finden sowohl elementare Methoden der Zahlentheorie (Primfaktorzerlegung, etwa bei RSA oder Elgamal) als auch fortgeschrittene Methoden der algebraischen Zahlentheorie wie etwa die Verschlüsselung über elliptische Kurven (ECC) breite Anwendung.

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Codierungstheorie, die sich in ihrer modernen Form auf die Theorie der algebraischen Funktionenkörper stützt.

Zahlentheorie in der Antike und im Mittelalter

Die ersten schriftlichen Nachweise der Zahlentheorie reichen bis ca. 2000 v. Chr. zurück. Die Babylonier und Ägypter kannten in dieser Zeit bereits die Zahlen kleiner als eine Million, die Quadratzahlen und einige pythagoreische Tripel.

Die systematische Entwicklung der Zahlentheorie begann jedoch erst im ersten Jahrtausend v. Chr. im antiken Griechenland. Herausragendster Vertreter ist Euklid (ca. 300 v. Chr.), der die von Pythagoras erfundene Methode des mathematischen Beweises in die Zahlentheorie einführte. Sein berühmtestes Werk, Euklids Elemente, wurde bis in das achtzehnte Jahrhundert als Standardlehrbuch für Geometrie und Zahlentheorie verwendet. Die Bände 7, 8 und 9 beschäftigen sich dabei mit zahlentheoretischen Fragestellungen, unter anderem mit der Definition der Primzahl, einem Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (Euklidischer Algorithmus) und dem Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen (Satz von Euklid).

Im 3. Jahrhundert nach Christi beschäftigte sich als Erster der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandria mit den nach ihm später benannten Gleichungen, die er mit linearen Substitutionen auf bekannte Fälle zu reduzieren versuchte. Damit konnte er tatsächlich einige einfache Gleichungen lösen. Diophants Hauptwerk sind die Arithmetika.

Die Griechen warfen viele wichtige arithmetische Fragestellungen auf – die zum Teil bis heute ungelöst sind, (wie z. B. das Problem der Primzahlzwillinge und das der vollkommenen Zahlen), oder deren Lösungen viele Jahrhunderte in Anspruch nahmen, und die exemplarisch für die Entwicklung der Zahlentheorie stehen.

Mit dem Untergang der griechischen Staaten erlosch auch die Blütezeit der Zahlentheorie in Europa. Aus dieser Zeit ist nur der Name des Leonardo di Pisa (Fibonacci, circa 1200 n. Chr.) nennenswert, der sich neben Zahlenfolgen und der Auflösung von Gleichungen durch Radikale auch mit diophantischen Gleichungen befasste.

Zahlentheorie in der frühen Neuzeit

Der erste wichtige Vertreter der Zahlentheorie der Neuzeit war Pierre de Fermat (1607–1665). Er bewies den kleinen Satz von Fermat, untersuchte die Darstellbarkeit einer Zahl als Summe zweier Quadrate und erfand die Methode des unendlichen Abstiegs, mit der er den von ihm aufgestellten großen Satz von Fermat im Fall n = 4 {\displaystyle n=4} lösen konnte. Der Versuch einer allgemeinen Lösung des großen Satzes inspirierte die Methoden der Zahlentheorie über die nächsten Jahrhunderte bis in die Moderne.

Das 18. Jahrhundert der Zahlentheorie wird vor allem von drei Mathematikern beherrscht: Leonhard Euler (1707–1783), Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) und Adrien-Marie Legendre (1752–1833).

Eulers Gesamtwerk ist sehr umfangreich, und an dieser Stelle kann nur ein kleiner Teil seines zahlentheoretischen Wirkens genannt werden. Er führte die analytischen Methoden in die Zahlentheorie ein und fand auf diese Weise einen neuen Beweis für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen. Er erfand die zahlentheoretischen Funktionen, insbesondere die Eulersche φ-Funktion, untersuchte Partitionen und betrachtete bereits 100 Jahre vor Bernhard Riemann die Riemannsche Zeta-Funktion. Er entdeckte das quadratische Reziprozitätsgesetz (konnte es aber nicht beweisen), zeigte, dass die eulersche Zahl e {\displaystyle e} irrational ist und löste den großen Satz von Fermat im Fall n = 3 {\displaystyle n=3} .

Lagrange bewies den Satz von Wilson, begründete die systematische Theorie der Pellschen Gleichung und die Theorie der quadratischen Formen, die erst in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts ihren Abschluss fand.

Legendre führte das Legendre-Symbol in die Zahlentheorie ein und formuliert das quadratische Reziprozitätsgesetz in seiner heutigen Form. Sein Beweis verwendet allerdings die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen in arithmetischen Progressionen, die erst im Jahre 1832 von Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewiesen wurde.

Die nächste große Zäsur in der Geschichte der Zahlentheorie wird durch das Wirken von Carl Friedrich Gauß (1777–1855) bestimmt. Gauß gab als Erster (sechs verschiedene) vollständige Beweise für das quadratische Reziprozitätsgesetz. Er entwickelte Legendres Theorie der quadratischen Formen weiter und baute sie zu einer vollständigen Theorie aus. Er schuf die Arithmetik der quadratischen Zahlkörper, wobei er allerdings in den Begriffsbildungen der quadratischen Formen verwurzelt blieb. Auf diese Weise fand er das Zerlegungsgesetz der Primzahlen in Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} , den gaußschen Zahlen. Ebenso untersuchte er zuerst die Kreisteilungskörper, d. h. die Lösungen der Gleichung x p 1 = 1 {\displaystyle x^{p-1}=1} , und entwickelte den Kalkül der Gaußschen Summen, der bis heute große Bedeutung hat. Er entdeckte außerdem den gaußschen Primzahlsatz, konnte ihn allerdings nicht beweisen. Insgesamt kann man sagen, dass die Zahlentheorie erst durch Gauß eine selbständige und systematisch geordnete Disziplin geworden ist.

Das 19. Jahrhundert

Vor allem das 19. Jahrhundert ist eine Blütezeit der analytischen Zahlentheorie. Unter Niels Henrik Abel (1802–1829), Carl Gustav Jacobi (1804–1851), Gotthold Eisenstein (1823–1852) und Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859) wird die Theorie der elliptischen Funktionen entwickelt, die schließlich die Theorie der elliptischen Kurven auf ein völlig neues Fundament stellt. Dirichlet erfindet den Begriff der L-Reihe und beweist damit den Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen. Dirichlet und Eisenstein verwenden die Theorie der Modulformen, um die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe von vier bzw. fünf Quadraten zu untersuchen. Der Einheitensatz von Dirichlet (der sich auch auf rein algebraischem Gebiet hervorgetan hat) ist heute einer der Grundpfeiler der algebraischen Zahlentheorie.

Bernhard Riemann (1826–1866) entdeckte und bewies die Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion und stellte tiefgreifende Vermutungen auf, die die analytische Eigenschaften dieser Funktion mit der Arithmetik in Verbindung brachten.

Sehr bedeutsam für die gesamte Mathematik war das kurze Wirken von Évariste Galois (1811–1832), der die Galoistheorie entwickelte und damit viele alte Fragen, wie die Quadratur des Kreises, die Konstruktion von n-Ecken mittels Zirkel und Lineal und die Auflösbarkeit von Polynomgleichungen durch Wurzelausdrücke klärte. Die Galoistheorie spielt heute in der Zahlentheorie eine exponierte Rolle.

In der algebraischen Schule des 19. Jahrhunderts sind vor allem Ernst Eduard Kummer (1810–1893), Leopold Kronecker (1823–1891) und Richard Dedekind (1831–1916) zu nennen. Diese begründeten zusammen die Eckpfeiler der modernen strukturellen Auffassung der Algebra, insbesondere die Theorie der Gruppen, Ringe und Ideale sowie der algebraischen Zahlkörper. Kronecker führte den Begriff eines Divisors ein und entdeckte die heute als Satz von Kronecker-Weber genannten Formel, wonach jede abelsche Erweiterung des rationalen Zahlkörpers in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Kummer bewies den großen Satz von Fermat für alle regulären Primzahlen, und Dedekind zeigte die Existenz von Ganzheitsbasen in Zahlkörpern.

Das 20. Jahrhundert und die Moderne

Das 20. Jahrhundert brachte der Zahlentheorie endlich einige Lösungen, nach denen so lange geforscht wurde, nämlich:

  • Die komplette Lösung des einfachsten (nicht-trivialen) Typs der Diophantischen Gleichung: der zu einer quadratischen Form gehörenden Gleichung.
  • Mit Klassenkörpertheorie und Iwasawatheorie eine keineswegs vollständige, aber strukturell befriedigende Beschreibung der abelschen und zyklischen Zahlkörper, die zu einem allgemeinen Reziprozitätsgesetz für beliebige Potenzreste führte, dem Artinschen Reziprozitätsgesetz.
  • Die (noch unbewiesene) Lösung des zweiteinfachsten Typs der Diophantischen Gleichung: den zu elliptischen Kurven gehörenden Gleichungen.

Bahnbrechend für die Zahlentheorie des 20. Jahrhunderts war die Entdeckung der p-adischen Zahlen durch Kurt Hensel. Aufbauend auf seinen Arbeiten konnten die Mathematiker Hermann Minkowski und Helmut Hasse das Problem der quadratischen Formen lösen: Eine quadratische Form f ( x , y ) Q [ X , Y ] {\displaystyle f(x,y)\in \mathbb {Q} [X,Y]} hat genau dann eine rationale Nullstelle ( x , y ) Q 2 {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {Q} ^{2}} , wenn sie eine Nullstelle in jedem Körper Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} besitzt. Dieser berühmte Satz von Hasse-Minkowski liefert damit ein erstes Beispiel für ein Lokal-Global-Prinzip, das für die moderne Zahlentheorie sehr wichtig wurde.

Aufbauend auf den Arbeiten von Kummer wurde die Klassenkörpertheorie am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts von einer ganzen Reihe von Mathematikern entwickelt. Unter ihnen sind vor allem David Hilbert, Helmut Hasse, Philipp Furtwängler, Teiji Takagi und Emil Artin zu nennen, wobei Takagi den wichtigen Existenzsatz bewies, aus dem Artin sein berühmtes Reziprozitätsgesetz ableitete. Eine komplette Berechnung des Hilbertsymbols und damit die praktische Anwendung des Reziprozitätsgesetzes, gab jedoch erst der Mathematiker Helmut Brückner in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. In die moderne Sprache der Gruppenkohomologie, abstrakten harmonischen Analysis und Darstellungstheorie wurde die Klassenkörpertheorie von Mathematikern wie John Tate und Robert Langlands übersetzt. Langlands vermutete weitgehende Verallgemeinerungen der Klassenkörpertheorie und legte so den Grundstein für das Langlands-Programm, das ein wichtiger Teil der aktuellen zahlentheoretischen Forschung ist.

Für zyklotomische Körper entwickelte schließlich Kenkichi Iwasawa die Iwasawa-Theorie, die diese Körper noch besser erklären konnte. Mit diesen Körpern werden gewisse p-adische L-Reihen verknüpft. Die Hauptvermutung der Iwasawatheorie, die die verschiedenen Möglichkeiten diese L-Reihen zu definieren für äquivalent erklärt, wurde für total-reelle Zahlkörper von Barry Mazur und Andrew Wiles am Ende der 1980er Jahre bewiesen.

Auch im Bereich der elliptischen Kurven machten die Zahlentheoretiker große Fortschritte. Louis Mordell untersuchte das Gruppengesetz für elliptische Kurven und zeigte, dass die Gruppe ihrer rationalen Punkte stets endlich erzeugt ist, eine einfache Version des Satzes von Mordell-Weil. Carl Ludwig Siegel konnte schließlich zeigen, dass jede elliptische Kurve nur endlich viele ganze Lösungen besitzt (Satz von Siegel). Damit war das Problem der ganzen und rationalen Punkte auf elliptischen Kurven angreifbar geworden.

Mordell vermutete, dass für Kurven des Geschlechts >1 (die keine elliptischen Kurven mehr sind) die Menge der rationalen Punkte immer endlich ist (Mordell-Vermutung). Dies bewies der deutsche Mathematiker Gerd Faltings, wofür er 1986 die Fields-Medaille bekam. Damit war gezeigt, dass die Gleichung des großen Satzes von Fermat höchstens endlich viele Lösungen haben konnte (der Satz sagt, dass es gar keine gibt).

Einen großen Durchbruch bedeuteten die Arbeiten von Bryan Birch und Peter Swinnerton-Dyer in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts. Sie vermuteten, dass eine elliptische Kurve genau dann unendlich viele rationale Lösungen besitzt, wenn ihre L-Reihe am Punkt s = 1 {\displaystyle s=1} einen Wert ungleich Null annimmt. Dies ist eine sehr schwache Form der sogenannten Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer. Obwohl sie prinzipiell unbewiesen ist, gibt es starke theoretische und numerische Argumente für ihre Richtigkeit. In jüngster Zeit bewiesen Don Zagier und Benedict Gross ihre Gültigkeit für eine Vielzahl elliptischer Kurven.

Nicht unerwähnt bleiben soll der Beweis des Modularitätssatzes durch Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor im Jahre 2001, nachdem ihn Andrew Wiles zuvor schon für die meisten elliptischen Kurven bewiesen hatte (1995). Aus dem (von Wiles bewiesenen) Teil des Modularitätssatzes geht insbesondere hervor, dass der große Satz von Fermat wahr ist.

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Zahlentheorie
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Zahlentheorie Teilgebiet der Mathematik Sprache Beobachten Bearbeiten Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Einzelnachweise sind nicht eingefugt bzw nicht vorhanden NeptunT Diskussion 19 51 6 Mai 2021 CEST Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik das sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschaftigt Teilgebiete sind beispielsweise die elementare oder arithmetische Zahlentheorie eine Verallgemeinerung der Arithmetik die Lehre von den Diophantischen Gleichungen die analytische Zahlentheorie und die algebraische Zahlentheorie Inhaltsverzeichnis 1 Teilgebiete 1 1 Elementare oder arithmetische Zahlentheorie 1 2 Analytische Zahlentheorie 1 3 Algebraische Zahlentheorie und arithmetische Geometrie 1 4 Algorithmische Zahlentheorie 2 Anwendungen der Zahlentheorie 3 Historische Entwicklung 3 1 Zahlentheorie in der Antike und im Mittelalter 3 2 Zahlentheorie in der fruhen Neuzeit 3 3 Das 19 Jahrhundert 3 4 Das 20 Jahrhundert und die Moderne 4 Wichtige Zahlentheoretiker 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksTeilgebiete BearbeitenDie verschiedenen Teilgebiete der Zahlentheorie werden gemeinhin nach den Methoden unterschieden mit denen zahlentheoretische Fragestellungen bearbeitet werden Elementare oder arithmetische Zahlentheorie Bearbeiten Von der Antike bis in das 17 Jahrhundert behauptete sich die Zahlentheorie als grundstandige Disziplin und kam ohne andere mathematische Teilgebiete aus Ihre einzigen Hilfsmittel waren die Eigenschaften der ganzen Zahlen insbesondere Primfaktorzerlegung Fundamentalsatz der Arithmetik Teilbarkeit und das Rechnen mit Kongruenzen Eine solche reine Herangehensweise wird auch als elementare Zahlentheorie bezeichnet Wichtige Resultate die sich mit Hilfe elementarer Methoden erzielen lassen sind der kleine Satz von Fermat und dessen Verallgemeinerung der Satz von Euler der Chinesische Restsatz der Satz von Wilson und der Euklidische Algorithmus Auch heute noch wird in einzelnen Fragen zu Teilbarkeit Kongruenzen und Ahnlichem mit elementaren zahlentheoretischen Methoden geforscht Ebenso wird versucht Beweise zur Zahlentheorie die sich weitergehender Methoden bedienen in elementare Begriffe zu ubersetzen woraus sich neue Erkenntnisse ergeben konnen Ein Beispiel ist die elementare Betrachtung zahlentheoretischer Funktionen wie der Mobiusfunktion und der Eulerschen Phi Funktion Analytische Zahlentheorie Bearbeiten Hauptartikel Analytische Zahlentheorie Als Erster wurde Euler darauf aufmerksam dass man Methoden der Analysis und Funktionentheorie benutzen kann um zahlentheoretische Fragestellungen zu losen Eine solche Herangehensweise bezeichnet man als analytische Zahlentheorie Wichtige Probleme die mit analytischen Methoden gelost wurden betreffen meist statistische Fragen nach der Verteilung von Primzahlen und deren Asymptotik Dazu gehoren zum Beispiel der von Gauss vermutete aber erst Ende des 19 Jahrhunderts bewiesene Primzahlsatz und der dirichletsche Satz uber Primzahlen in arithmetischen Progressionen Daneben dienen analytische Methoden auch dazu die Transzendenz von Zahlen wie der Kreiszahl p displaystyle pi oder der Eulerschen Zahl e displaystyle e nachzuweisen Im Zusammenhang mit dem Primzahlsatz wurde erstmals die Riemannsche Zeta Funktion untersucht die heute zusammen mit ihren Verallgemeinerungen Gegenstand sowohl analytischer als auch algebraischer Forschung und Ausgangspunkt der Riemannschen Vermutung ist Algebraische Zahlentheorie und arithmetische Geometrie Bearbeiten Hauptartikel Algebraische Zahlentheorie Einen der grossen Meilensteine der Zahlentheorie bildete die Entdeckung des quadratischen Reziprozitatsgesetzes Das Gesetz zeigt dass man Fragen der Losbarkeit diophantischer Gleichungen in den ganzen Zahlen durch den Ubergang zu anderen Zahlbereichen einfacher losen kann quadratische Zahlkorper gausssche Zahlen Hierzu betrachtet man endliche Erweiterungen der rationalen Zahlen sogenannte algebraische Zahlkorper woher auch der Name algebraische Zahlentheorie stammt Elemente von Zahlkorpern sind Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten Diese Zahlkorper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen die Ganzheitsringe Sie verhalten sich in vieler Hinsicht wie der Ring der ganzen Zahlen Die eindeutige Zerlegung in Primzahlen gilt allerdings nur noch in Zahlkorpern der Klassenzahl 1 Allerdings sind Ganzheitsringe Dedekindringe und jedes gebrochene Ideal besitzt daher eine eindeutige Zerlegung in Primideale Die Analyse dieser algebraischen Zahlkorper ist sehr kompliziert und erfordert Methoden nahezu aller Teilgebiete der reinen Mathematik insbesondere der Algebra Topologie Analysis Funktionentheorie insbesondere der Theorie der Modulformen Geometrie und Darstellungstheorie Die algebraische Zahlentheorie beschaftigt sich weiterhin mit dem Studium algebraischer Funktionenkorper uber endlichen Korpern deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkorper verlauft Algebraische Zahl und Funktionenkorper werden unter dem Namen globale Korper zusammengefasst Oft stellt es sich als fruchtbar heraus Fragen lokal d h fur jede Primzahl p einzeln zu betrachten Dieser Vorgang benutzt im Fall der ganzen Zahlen die p adischen Zahlen allgemein lokale Korper Fur die Formulierung der modernen algebraischen Zahlentheorie sind die Sprache der homologischen Algebra und insbesondere die ursprunglich topologischen Konzepte der Kohomologie Homotopie und der abgeleiteten Funktoren unerlasslich Hohepunkte der algebraischen Zahlentheorie sind die Klassenkorpertheorie und die Iwasawa Theorie Nach der Neuformulierung der algebraischen Geometrie durch Grothendieck und insbesondere nach Einfuhrung der Schemata stellte es sich in der zweiten Halfte des zwanzigsten Jahrhunderts heraus dass die Zahlentheorie als ein Spezialfall der algebraischen Geometrie betrachtet werden kann Die moderne algebraische Zahlentheorie wird daher auch als geometrische Zahlentheorie oder arithmetische Geometrie bezeichnet in der der Begriff des Schemas eine zentrale Rolle spielt Zu jedem Zahlkorper gehort eine Zeta Funktion deren analytisches Verhalten die Arithmetik des Zahlkorpers widerspiegelt Auch fur die Dedekindschen Zeta Funktionen ist die Riemannsche Vermutung im Allgemeinen unbewiesen Fur endliche Korper ist ihre Aussage in den beruhmten Weil Vermutungen enthalten und wurde von Pierre Deligne mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelost wofur er 1978 die Fields Medaille bekam Algorithmische Zahlentheorie Bearbeiten Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Zweig der Zahlentheorie der mit dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse stiess Dieser Zweig der Zahlentheorie beschaftigt sich damit wie zahlentheoretische Probleme algorithmisch effizient umgesetzt werden konnen Wichtige Fragestellungen sind ob eine grosse Zahl prim ist die Faktorisierung grosser Zahlen und die eng damit verbundene Frage nach einer effizienten Berechnung des diskreten Logarithmus Ausserdem gibt es inzwischen Algorithmen zur Berechnung von Klassenzahlen Kohomologiegruppen und zur K Theorie algebraischer Zahlkorper Anwendungen der Zahlentheorie BearbeitenAnwendungen der Zahlentheorie finden sich in der Kryptographie insbesondere bei der Frage nach der Sicherheit der Datenubertragung im Internet Hierbei finden sowohl elementare Methoden der Zahlentheorie Primfaktorzerlegung etwa bei RSA oder Elgamal als auch fortgeschrittene Methoden der algebraischen Zahlentheorie wie etwa die Verschlusselung uber elliptische Kurven ECC breite Anwendung Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Codierungstheorie die sich in ihrer modernen Form auf die Theorie der algebraischen Funktionenkorper stutzt Historische Entwicklung BearbeitenZahlentheorie in der Antike und im Mittelalter Bearbeiten Die ersten schriftlichen Nachweise der Zahlentheorie reichen bis ca 2000 v Chr zuruck Die Babylonier und Agypter kannten in dieser Zeit bereits die Zahlen kleiner als eine Million die Quadratzahlen und einige pythagoreische Tripel Die systematische Entwicklung der Zahlentheorie begann jedoch erst im ersten Jahrtausend v Chr im antiken Griechenland Herausragendster Vertreter ist Euklid ca 300 v Chr der die von Pythagoras erfundene Methode des mathematischen Beweises in die Zahlentheorie einfuhrte Sein beruhmtestes Werk Euklids Elemente wurde bis in das achtzehnte Jahrhundert als Standardlehrbuch fur Geometrie und Zahlentheorie verwendet Die Bande 7 8 und 9 beschaftigen sich dabei mit zahlentheoretischen Fragestellungen unter anderem mit der Definition der Primzahl einem Verfahren zur Berechnung des grossten gemeinsamen Teilers Euklidischer Algorithmus und dem Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen Satz von Euklid Im 3 Jahrhundert nach Christi beschaftigte sich als Erster der griechische Mathematiker Diophantos von Alexandria mit den nach ihm spater benannten Gleichungen die er mit linearen Substitutionen auf bekannte Falle zu reduzieren versuchte Damit konnte er tatsachlich einige einfache Gleichungen losen Diophants Hauptwerk sind die Arithmetika Die Griechen warfen viele wichtige arithmetische Fragestellungen auf die zum Teil bis heute ungelost sind wie z B das Problem der Primzahlzwillinge und das der vollkommenen Zahlen oder deren Losungen viele Jahrhunderte in Anspruch nahmen und die exemplarisch fur die Entwicklung der Zahlentheorie stehen Mit dem Untergang der griechischen Staaten erlosch auch die Blutezeit der Zahlentheorie in Europa Aus dieser Zeit ist nur der Name des Leonardo di Pisa Fibonacci circa 1200 n Chr nennenswert der sich neben Zahlenfolgen und der Auflosung von Gleichungen durch Radikale auch mit diophantischen Gleichungen befasste Zahlentheorie in der fruhen Neuzeit Bearbeiten Der erste wichtige Vertreter der Zahlentheorie der Neuzeit war Pierre de Fermat 1607 1665 Er bewies den kleinen Satz von Fermat untersuchte die Darstellbarkeit einer Zahl als Summe zweier Quadrate und erfand die Methode des unendlichen Abstiegs mit der er den von ihm aufgestellten grossen Satz von Fermat im Fall n 4 displaystyle n 4 losen konnte Der Versuch einer allgemeinen Losung des grossen Satzes inspirierte die Methoden der Zahlentheorie uber die nachsten Jahrhunderte bis in die Moderne Das 18 Jahrhundert der Zahlentheorie wird vor allem von drei Mathematikern beherrscht Leonhard Euler 1707 1783 Joseph Louis Lagrange 1736 1813 und Adrien Marie Legendre 1752 1833 Eulers Gesamtwerk ist sehr umfangreich und an dieser Stelle kann nur ein kleiner Teil seines zahlentheoretischen Wirkens genannt werden Er fuhrte die analytischen Methoden in die Zahlentheorie ein und fand auf diese Weise einen neuen Beweis fur die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen Er erfand die zahlentheoretischen Funktionen insbesondere die Eulersche f Funktion untersuchte Partitionen und betrachtete bereits 100 Jahre vor Bernhard Riemann die Riemannsche Zeta Funktion Er entdeckte das quadratische Reziprozitatsgesetz konnte es aber nicht beweisen zeigte dass die eulersche Zahl e displaystyle e irrational ist und loste den grossen Satz von Fermat im Fall n 3 displaystyle n 3 Lagrange bewies den Satz von Wilson begrundete die systematische Theorie der Pellschen Gleichung und die Theorie der quadratischen Formen die erst in der ersten Halfte des 20 Jahrhunderts ihren Abschluss fand Legendre fuhrte das Legendre Symbol in die Zahlentheorie ein und formuliert das quadratische Reziprozitatsgesetz in seiner heutigen Form Sein Beweis verwendet allerdings die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen in arithmetischen Progressionen die erst im Jahre 1832 von Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewiesen wurde Die nachste grosse Zasur in der Geschichte der Zahlentheorie wird durch das Wirken von Carl Friedrich Gauss 1777 1855 bestimmt Gauss gab als Erster sechs verschiedene vollstandige Beweise fur das quadratische Reziprozitatsgesetz Er entwickelte Legendres Theorie der quadratischen Formen weiter und baute sie zu einer vollstandigen Theorie aus Er schuf die Arithmetik der quadratischen Zahlkorper wobei er allerdings in den Begriffsbildungen der quadratischen Formen verwurzelt blieb Auf diese Weise fand er das Zerlegungsgesetz der Primzahlen in Z i displaystyle mathbb Z i den gaussschen Zahlen Ebenso untersuchte er zuerst die Kreisteilungskorper d h die Losungen der Gleichung x p 1 1 displaystyle x p 1 1 und entwickelte den Kalkul der Gaussschen Summen der bis heute grosse Bedeutung hat Er entdeckte ausserdem den gaussschen Primzahlsatz konnte ihn allerdings nicht beweisen Insgesamt kann man sagen dass die Zahlentheorie erst durch Gauss eine selbstandige und systematisch geordnete Disziplin geworden ist Das 19 Jahrhundert Bearbeiten Vor allem das 19 Jahrhundert ist eine Blutezeit der analytischen Zahlentheorie Unter Niels Henrik Abel 1802 1829 Carl Gustav Jacobi 1804 1851 Gotthold Eisenstein 1823 1852 und Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 1859 wird die Theorie der elliptischen Funktionen entwickelt die schliesslich die Theorie der elliptischen Kurven auf ein vollig neues Fundament stellt Dirichlet erfindet den Begriff der L Reihe und beweist damit den Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen Dirichlet und Eisenstein verwenden die Theorie der Modulformen um die Anzahl der Darstellungen einer Zahl als Summe von vier bzw funf Quadraten zu untersuchen Der Einheitensatz von Dirichlet der sich auch auf rein algebraischem Gebiet hervorgetan hat ist heute einer der Grundpfeiler der algebraischen Zahlentheorie Bernhard Riemann 1826 1866 entdeckte und bewies die Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta Funktion und stellte tiefgreifende Vermutungen auf die die analytische Eigenschaften dieser Funktion mit der Arithmetik in Verbindung brachten Sehr bedeutsam fur die gesamte Mathematik war das kurze Wirken von Evariste Galois 1811 1832 der die Galoistheorie entwickelte und damit viele alte Fragen wie die Quadratur des Kreises die Konstruktion von n Ecken mittels Zirkel und Lineal und die Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Wurzelausdrucke klarte Die Galoistheorie spielt heute in der Zahlentheorie eine exponierte Rolle In der algebraischen Schule des 19 Jahrhunderts sind vor allem Ernst Eduard Kummer 1810 1893 Leopold Kronecker 1823 1891 und Richard Dedekind 1831 1916 zu nennen Diese begrundeten zusammen die Eckpfeiler der modernen strukturellen Auffassung der Algebra insbesondere die Theorie der Gruppen Ringe und Ideale sowie der algebraischen Zahlkorper Kronecker fuhrte den Begriff eines Divisors ein und entdeckte die heute als Satz von Kronecker Weber genannten Formel wonach jede abelsche Erweiterung des rationalen Zahlkorpers in einem Kreisteilungskorper enthalten ist Kummer bewies den grossen Satz von Fermat fur alle regularen Primzahlen und Dedekind zeigte die Existenz von Ganzheitsbasen in Zahlkorpern Das 20 Jahrhundert und die Moderne Bearbeiten Das 20 Jahrhundert brachte der Zahlentheorie endlich einige Losungen nach denen so lange geforscht wurde namlich Die komplette Losung des einfachsten nicht trivialen Typs der Diophantischen Gleichung der zu einer quadratischen Form gehorenden Gleichung Mit Klassenkorpertheorie und Iwasawatheorie eine keineswegs vollstandige aber strukturell befriedigende Beschreibung der abelschen und zyklischen Zahlkorper die zu einem allgemeinen Reziprozitatsgesetz fur beliebige Potenzreste fuhrte dem Artinschen Reziprozitatsgesetz Die noch unbewiesene Losung des zweiteinfachsten Typs der Diophantischen Gleichung den zu elliptischen Kurven gehorenden Gleichungen Bahnbrechend fur die Zahlentheorie des 20 Jahrhunderts war die Entdeckung der p adischen Zahlen durch Kurt Hensel Aufbauend auf seinen Arbeiten konnten die Mathematiker Hermann Minkowski und Helmut Hasse das Problem der quadratischen Formen losen Eine quadratische Form f x y Q X Y displaystyle f x y in mathbb Q X Y hat genau dann eine rationale Nullstelle x y Q 2 displaystyle x y in mathbb Q 2 wenn sie eine Nullstelle in jedem Korper Q p displaystyle mathbb Q p besitzt Dieser beruhmte Satz von Hasse Minkowski liefert damit ein erstes Beispiel fur ein Lokal Global Prinzip das fur die moderne Zahlentheorie sehr wichtig wurde Aufbauend auf den Arbeiten von Kummer wurde die Klassenkorpertheorie am Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts von einer ganzen Reihe von Mathematikern entwickelt Unter ihnen sind vor allem David Hilbert Helmut Hasse Philipp Furtwangler Teiji Takagi und Emil Artin zu nennen wobei Takagi den wichtigen Existenzsatz bewies aus dem Artin sein beruhmtes Reziprozitatsgesetz ableitete Eine komplette Berechnung des Hilbertsymbols und damit die praktische Anwendung des Reziprozitatsgesetzes gab jedoch erst der Mathematiker Helmut Bruckner in der zweiten Halfte des zwanzigsten Jahrhunderts In die moderne Sprache der Gruppenkohomologie abstrakten harmonischen Analysis und Darstellungstheorie wurde die Klassenkorpertheorie von Mathematikern wie John Tate und Robert Langlands ubersetzt Langlands vermutete weitgehende Verallgemeinerungen der Klassenkorpertheorie und legte so den Grundstein fur das Langlands Programm das ein wichtiger Teil der aktuellen zahlentheoretischen Forschung ist Fur zyklotomische Korper entwickelte schliesslich Kenkichi Iwasawa die Iwasawa Theorie die diese Korper noch besser erklaren konnte Mit diesen Korpern werden gewisse p adische L Reihen verknupft Die Hauptvermutung der Iwasawatheorie die die verschiedenen Moglichkeiten diese L Reihen zu definieren fur aquivalent erklart wurde fur total reelle Zahlkorper von Barry Mazur und Andrew Wiles am Ende der 1980er Jahre bewiesen Auch im Bereich der elliptischen Kurven machten die Zahlentheoretiker grosse Fortschritte Louis Mordell untersuchte das Gruppengesetz fur elliptische Kurven und zeigte dass die Gruppe ihrer rationalen Punkte stets endlich erzeugt ist eine einfache Version des Satzes von Mordell Weil Carl Ludwig Siegel konnte schliesslich zeigen dass jede elliptische Kurve nur endlich viele ganze Losungen besitzt Satz von Siegel Damit war das Problem der ganzen und rationalen Punkte auf elliptischen Kurven angreifbar geworden Mordell vermutete dass fur Kurven des Geschlechts gt 1 die keine elliptischen Kurven mehr sind die Menge der rationalen Punkte immer endlich ist Mordell Vermutung Dies bewies der deutsche Mathematiker Gerd Faltings wofur er 1986 die Fields Medaille bekam Damit war gezeigt dass die Gleichung des grossen Satzes von Fermat hochstens endlich viele Losungen haben konnte der Satz sagt dass es gar keine gibt Einen grossen Durchbruch bedeuteten die Arbeiten von Bryan Birch und Peter Swinnerton Dyer in der zweiten Halfte des zwanzigsten Jahrhunderts Sie vermuteten dass eine elliptische Kurve genau dann unendlich viele rationale Losungen besitzt wenn ihre L Reihe am Punkt s 1 displaystyle s 1 einen Wert ungleich Null annimmt Dies ist eine sehr schwache Form der sogenannten Vermutung von Birch und Swinnerton Dyer Obwohl sie prinzipiell unbewiesen ist gibt es starke theoretische und numerische Argumente fur ihre Richtigkeit In jungster Zeit bewiesen Don Zagier und Benedict Gross ihre Gultigkeit fur eine Vielzahl elliptischer Kurven Nicht unerwahnt bleiben soll der Beweis des Modularitatssatzes durch Christophe Breuil Brian Conrad Fred Diamond und Richard Taylor im Jahre 2001 nachdem ihn Andrew Wiles zuvor schon fur die meisten elliptischen Kurven bewiesen hatte 1995 Aus dem von Wiles bewiesenen Teil des Modularitatssatzes geht insbesondere hervor dass der grosse Satz von Fermat wahr ist Wichtige Zahlentheoretiker BearbeitenEmil Artin 1898 1962 osterreichischer Mathematiker Alan Baker 1939 2018 britischer Mathematiker Harold Davenport 1907 1969 englischer Mathematiker Richard Dedekind 1831 1916 deutscher Mathematiker Diophantos von Alexandria griechischer Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1805 1859 deutscher Mathematiker Gotthold Eisenstein 1823 1852 deutscher Mathematiker Paul Erdos 1913 1996 ungarischer Mathematiker Euklid griechischer Mathematiker Leonhard Euler 1707 1783 Schweizer Mathematiker und Physiker Gerd Faltings 1954 deutscher Mathematiker Pierre de Fermat 1607 1665 franzosischer Mathematiker und Jurist Gerhard Frey 1944 deutscher Mathematiker Philipp Furtwangler 1869 1940 deutscher Mathematiker Evariste Galois 1811 1832 franzosischer Mathematiker Carl Friedrich Gauss 1777 1855 deutscher Mathematiker Statistiker Astronom Geodat und Physiker Sophie Germain 1776 1831 franzosische Mathematikerin Alexander Grothendieck 1928 2014 deutschstammiger franzosischer Mathematiker Jacques Salomon Hadamard 1865 1963 franzosischer Mathematiker Godfrey Harold Hardy 1877 1947 britischer Mathematiker Helmut Hasse 1898 1979 deutscher Mathematiker Erich Hecke 1887 1947 deutscher Mathematiker Kurt Hensel 1861 1941 deutscher Mathematiker Charles Hermite 1822 1901 franzosischer Mathematiker David Hilbert 1862 1943 deutscher Mathematiker Kenkichi Iwasawa 1917 1998 japanischer Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi 1804 1851 deutscher Mathematiker Leopold Kronecker 1823 1891 deutscher Mathematiker Ernst Eduard Kummer 1810 1893 deutscher Mathematiker und Hochschullehrer Joseph Louis Lagrange 1736 1813 italienischer Mathematiker und Astronom Serge Lang 1927 2005 franzosisch amerikanischer Mathematiker Adrien Marie Legendre 1752 1833 franzosischer Mathematiker Franz Lemmermeyer 1962 deutscher Mathematiker Mathematikhistoriker und Mathematiklehrer John Edensor Littlewood 1885 1977 englischer Mathematiker Yuri Manin 1937 russischer Mathematiker Juri Wladimirowitsch Matijassewitsch 1947 russischer Mathematiker und Informatiker Barry Mazur 1937 US amerikanischer Mathematiker Hermann Minkowski 1864 1909 deutscher Mathematiker und Physiker Louis Mordell 1888 1972 amerikanisch britischer Mathematiker Srinivasa Ramanujan 1887 1920 indischer Mathematiker Bernhard Riemann 1826 1866 deutscher Mathematiker Klaus Friedrich Roth 1925 2015 britischer Mathematiker Igor Rostislawowitsch Schafarewitsch 1923 2017 russischer Mathematiker Atle Selberg 1917 2007 norwegisch US amerikanischer Mathematiker Jean Pierre Serre 1926 franzosischer Mathematiker Gorō Shimura 1930 2019 japanisch US amerikanischer Mathematiker Carl Ludwig Siegel 1896 1981 deutscher Mathematiker Peter Swinnerton Dyer 1927 2018 englischer Mathematiker Teiji Takagi 1875 1960 japanischer Zahlentheoretiker Yutaka Taniyama 1927 1958 japanischer Mathematiker Terence Tao 1975 australisch US amerikanischer Mathematiker John T Tate 1925 2019 US amerikanischer Mathematiker Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow 1821 1894 russischer Mathematiker Charles Jean de La Vallee Poussin 1866 1962 belgischer Mathematiker Andre Weil 1906 1998 franzosischer Mathematiker Hermann Weyl 1885 1955 deutscher Mathematiker Physiker und Philosoph Andrew Wiles 1953 britischer Mathematiker Iwan Matwejewitsch Winogradow 1891 1983 russischer Mathematiker Don Zagier 1951 amerikanischer MathematikerSiehe auch BearbeitenUngeloste Probleme der MathematikLiteratur BearbeitenJorg Brudern Einfuhrung in die analytische Zahlentheorie Springer Berlin 1995 ISBN 3 540 58821 3 doi 10 1007 978 3 642 57823 6 David M Burton Heinz Dalkowski Handbuch der elementaren Zahlentheorie mit uber 1000 Ubungsaufgaben und ihren Losungen Heldermann Lemgo 2005 ISBN 3 88538 112 5 John H Conway Richard Kenneth Guy The Book of Numbers Springer Berlin 1998 ISBN 0 387 97993 X G H Hardy E M Wright An introduction to the theory of numbers Oxford University Press Oxford 1979 2004 5 Aufl ISBN 0 19 853171 0 Jurgen Neukirch Algebraische Zahlentheorie Springer Berlin Heidelberg New York 1992 ISBN 3 540 54273 6 J Neukirch A Schmidt K Wingberg Cohomology of number fields Springer Berlin 2000 ISBN 3 540 66671 0 Friedhelm Padberg Elementare Zahlentheorie Spektrum Akademischer Verlag Berlin Heidelberg 1996 2001 ISBN 3 86025 453 7 Arnold Scholz Bruno Schoeneberg Einfuhrung in die Zahlentheorie Walter de Gruyter amp Co Berlin 1973 5 Aufl ISBN 3 11 004423 4 Weblinks Bearbeiten Wikiversity Zahlentheorie Kursmaterialien Website von PARI GP einem Computeralgebrasystem fur Zahlentheorie Erklarung des Gebietes Zahlentheorie von der Deutschen Mathematiker Vereinigung e V Biographien bedeutender Zahlentheoretiker englisch Vorlesung Algebraische Zahlentheorie an der LMU Munchen im Quicktime Format mit Simultananzeige der Powerpoint Prasentation Einfuhrung in die Zahlentheorie Dieser Artikel ist als Audiodatei verfugbar source source Speichern 22 11 min 12 3 MB Text der gesprochenen Version 29 Dezember 2013 Mehr Informationen zur gesprochenen Wikipedia Normdaten Sachbegriff GND 4067277 3 OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zahlentheorie amp oldid 212502930, wikipedia, wiki, deutsches

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