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Winkelgeschwindigkeit

Physikalische Größe
Name Winkelgeschwindigkeit, Rotationsgeschwindigkeit, Drehgeschwindigkeit
Formelzeichen ω {\displaystyle {\vec {\omega }}}
Abgeleitet von Winkel

Die Winkelgeschwindigkeit ist in der Physik eine vektorielle Größe, die angibt, wie schnell sich ein Winkel mit der Zeit um eine Achse ändert. Ihr Formelzeichen ist ω {\displaystyle {\vec {\omega }}} (kleines Omega). Die SI-Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist r a d s {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}} . Sie spielt insbesondere bei Rotationen eine Rolle und wird dann auch als Rotationsgeschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit bezeichnet. In vielen Fällen, bei denen sich die Richtung der Drehachse im Bezugssystem nicht ändert, reicht die skalare Verwendung als Betrag des Vektors aus.

Inhaltsverzeichnis

Winkelgeschwindigkeit

Winkelgeschwindigkeit ω {\displaystyle {\vec {\omega }}} und Bahngeschwindigkeit v {\displaystyle {\vec {v}}} der Kreisbewegung

Die Winkelgeschwindigkeit ω {\displaystyle {\vec {\omega }}} wird durch einen Pseudovektor dargestellt, der die Richtung der Drehachse und die Schnelligkeit der Rotationsbewegung angibt; sie gilt für jeden Punkt des rotierenden Systems, ihr Vektor ist nicht nur in der Rotationsachse platziert. Die Richtung des Pseudovektors ist so orientiert, dass sie gemäß der Korkenzieherregel die Rotationsrichtung angibt. Der Betrag der Winkelgeschwindigkeit ω = | ω | {\displaystyle \omega =\left|{\vec {\omega }}\right|} ist gleich der Ableitung des Rotationswinkels φ {\displaystyle \varphi } nach der Zeit t {\displaystyle t} :

ω = d φ d t . {\displaystyle \omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}\;.}

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt daher

ω = 2 π T {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}} ,

denn in der Umlaufzeit T {\displaystyle T} wird der Winkel 2 π {\displaystyle \pi } durchlaufen.

Bei einer ebenen Kreisbewegung ändert sich die Richtung der momentanen Bahngeschwindigkeit eines Punktes mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie der Radiusvektor des Punktes. Bei einer im Raum gekrümmten Bahnkurve gilt dies für den momentanen Krümmungskreis. Die Änderung der Richtung der Bahngeschwindigkeit kann man daher genauso gut zu einer Definition der Winkelgeschwindigkeit nutzen. Sie ergibt sich direkt aus den Daten der Bahn und erfordert keine Bestimmung einer Drehachse.

Der Betrag ω {\displaystyle \omega } der Winkelgeschwindigkeit wird meist bei Vorgängen verwendet, bei denen sich die Drehachse nicht ändert. Eine Änderung von Richtung und/oder Betrag der Winkelgeschwindigkeit ist Folge einer Winkelbeschleunigung.

Bahngeschwindigkeit

Jeder Punkt des rotierenden Systems beschreibt eine Kreisbahn, deren Ebene senkrecht zur Drehachse liegt. Die Bahn- oder Umlaufgeschwindigkeit v {\displaystyle {\vec {v}}} des Punktes auf diesem Kreis ist dem Betrag nach

v = ω r {\displaystyle v=\omega \,r_{\perp }} ,

wobei r {\displaystyle r_{\perp }} der Radius der Kreisbewegung ist. Denn zur infinitesimalen Zeitspanne d t {\displaystyle \mathrm {d} t} gehört der infinitesimale Weg d s = r d φ = r ω d t {\displaystyle \mathrm {d} s=r_{\perp }\,\mathrm {d} \varphi =r_{\perp }\,\omega \,\mathrm {d} t} .

Liegt der Ursprung O {\displaystyle O} des Koordinatensystems auf der Drehachse, dann ist die Bahngeschwindigkeit nach Richtung und Betrag gleich dem Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor:

v = ω × r {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}} ,

denn der Abstand von der Achse ist

r = r s i n ϑ {\displaystyle r_{\perp }=r\,\mathrm {sin} \vartheta }

mit dem Polarwinkel ϑ {\displaystyle \vartheta } , der den konstant bleibenden Winkelabstand zwischen der Drehachse und dem Ortsvektor zum betrachteten Punkt angibt.

Diese Betrachtung der Änderungsgeschwindigkeit des Ortsvektors gilt für jeden Vektor, der einer Drehung unterworfen ist, z. B. für die Basisvektoren e i {\displaystyle {\vec {e}}'_{i}} ( i { x , y , z } {\displaystyle i\in \{x,y,z\}} ) eines rotierenden Bezugssystems. Deren Änderungsgeschwindigkeit ist

d e i d t = ω × e i {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i}} .
Hauptartikel: Kreisfrequenz

Obwohl die Kreisfrequenz und die Winkelgeschwindigkeit mit demselben Formelzeichen ω {\displaystyle \omega } bezeichnet werden und obwohl sie in derselben Einheit gemessen werden, handelt es sich um zwei verschiedene physikalische Größen.

Die Winkelgeschwindigkeit gibt die Änderungsrate eines geometrischen Winkels an und wird im Zusammenhang von Drehbewegungen verwendet.

Die Kreisfrequenz dagegen ist eine abstrakte Größe im Kontext von Schwingungen. Eine Schwingung kann mathematisch durch einen rotierenden Zeiger dargestellt werden (siehe Zeigermodell). Der Winkel des Zeigers wird als Phase oder Phasenwinkel bezeichnet. Die Änderungsgeschwindigkeit dieses Phasenwinkels ist die Kreisfrequenz. Sie ist also – wie auch die Frequenz – ein Maß dafür, wie schnell eine Schwingung abläuft und hat – abgesehen von der Rotation des gedachten Zeigers – nichts mit einer Drehbewegung zu tun.

Ebene Bewegung

Die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom Ursprung O zum Teilchen P wird bestimmt durch die Tangentialgeschwindigkeit des Geschwindigkeitsvektors v.

Der Geschwindigkeitsvektor v eines Teilchens P relativ zu einem Beobachter O kann in Polarkoordinaten zerlegt werden. Die radiale Komponente des Geschwindigkeitsvektors ändert die Richtung des Sehstrahls nicht. Zwischen der tangentialen Komponente und der Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls besteht die Beziehung:

v = d ϕ d t r = ω r . {\displaystyle \mathrm {v} _{\perp }={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} t}}\,r=\omega \cdot r\;.}

Es ist anzumerken, dass die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt.

Räumliche Bewegung

In drei Dimensionen ist die Winkelgeschwindigkeit durch ihren Betrag und ihre Richtung gekennzeichnet.

Wie im zweidimensionalen Fall hat das Teilchen eine Komponente seines Geschwindigkeitsvektors in Richtung des Radiusvektors und eine weitere senkrecht dazu. Die Ebene mit Stützvektor 0 {\displaystyle {\vec {0}}} (Ort des Beobachters) und Richtungsvektoren r {\displaystyle {\vec {r}}} und v {\displaystyle {\vec {v}}_{\perp }} definiert eine Rotationsebene, in der das Verhalten des Teilchens für einen Augenblick wie im zweidimensionalen Fall erscheint. Die Rotationsachse ist dann senkrecht zu dieser Ebene und definiert die Richtung des Vektors der momentanen Winkelgeschwindigkeit. Radius- und Geschwindigkeitsvektor werden als bekannt vorausgesetzt. Es gilt dann:

ω = r × v | r | 2 . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {{\vec {r}}\times {\vec {v}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\;.}

Auch hier gilt, dass die so berechnete Winkelgeschwindigkeit vom (willkürlich) gewählten Ort des Beobachters abhängt. Zum Beispiel ergibt sich in Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z) mit r = ( ρ cos φ ρ sin φ z ) {\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}\rho \cos \varphi \\\rho \sin \varphi \\z\end{pmatrix}}} und daraus berechnetem v = d d t r {\displaystyle {\vec {v}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\vec {r}}} :

( ρ 2 + z 2 ) ω = ρ ˙ z e ^ φ + φ ˙ ( z ρ e ^ ρ + ρ 2 e ^ z ) z ˙ ρ e ^ φ . {\displaystyle ({\rho }^{2}+z^{2}){\vec {\omega }}={\dot {\rho }}z{\hat {e}}_{\varphi }+{\dot {\varphi }}(-z\rho {\hat {e}}_{\rho }+\rho ^{2}{\hat {e}}_{z})-{\dot {z}}\rho {\hat {e}}_{\varphi }\;.}

Dabei sind e ^ ρ , e ^ φ , e ^ z {\displaystyle {\hat {e}}_{\rho },{\hat {e}}_{\varphi },{\hat {e}}_{z}} die Basisvektoren zu Zylinderkoordinaten.

In Kugelkoordinaten (r, θ, φ) folgt analog ω = φ ˙ sin θ e ^ θ + θ ˙ e ^ φ . {\displaystyle {\vec {\omega }}=-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }\;.} .

Eine Anwendung ist die Relativbewegung von Objekten in der Astronomie (siehe Eigenbewegung (Astronomie)).

Bei der Rotation von Körpern können Winkel zur Parametrisierung der Bewegung eingesetzt werden. Im Folgenden wird eine Auswahl häufig genutzter Ansätze beschrieben.

Euler-Winkel in der z-y’-x’’-Konvention

Lagewinkel-Drehung vom erdfesten Koordinatensystem (englischworld frame, Index g) ins körperfeste Koordinatensystem (englischbody frame, Index f)

Im Fahrzeug- oder Flugzeugbau wird die Orientierung des fahrzeugfesten Systems relativ zum erdfesten System in Euler-Winkeln angegeben. Genormt sind drei aufeinander folgende Drehungen. Zuerst um die z-Achse des Systems g (Gierwinkel), dann um die y-Achse des gedrehten Systems (Nickwinkel) und schließlich um die x-Achse des körperfesten Koordinatensystems (Wank/Rollwinkel).

Die Winkelgeschwindigkeit des körperfesten Systems ergibt sich aus den Winkelgeschwindigkeiten um diese Achsen.

ω = ψ ˙ u 1 + θ ˙ u 2 + ϕ ˙ u 3 . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{1}+{\dot {\theta }}{\vec {\mathbf {u} }}_{2}+{\dot {\phi }}{\vec {\mathbf {u} }}_{3}\;.}

Der aufgesetzte Punkt bezeichnet die Zeitableitung. Diese Basis ist nicht orthonormal. Die Einheitsvektoren können jedoch mit Hilfe von Elementardrehungen berechnet werden.

Euler-Winkel in der z-x’-z’’-Konvention

Das eulersche Basissystem (grün) gibt die Achsen an, um die die Euler-Winkel α, β und γ drehen.

In der Standard-x-Konvention (z, x’, z’’), siehe Bild, wird zunächst mit dem Winkel α um die raumfeste z-Achse gedreht, dann mit dem Winkel β um die x-Achse in ihrer Lage nach der ersten Drehung (x’-Achse, im Bild die N-Achse) und schließlich mit dem Winkel γ um die z-Achse in deren Lage nach den beiden vorherigen Drehungen (Kurzzeichen z’’, im Bild die Z-Achse).

Bezeichnen die Einheitsvektoren e ^ x , y , z {\displaystyle {\hat {e}}_{x,y,z}} die raumfeste Standardbasis (blau im Bild), dann lautet die Winkelgeschwindigkeit bezüglich der raumfesten Basis

ω = α ˙ e ^ z + β ˙ [ cos ( α ) e ^ x + sin ( α ) e ^ y ] + γ ˙ [ sin ( α ) sin ( β ) e ^ x cos ( α ) sin ( β ) e ^ y + cos ( β ) e ^ z ] = [ β ˙ cos ( α ) + γ ˙ sin ( α ) sin ( β ) ] e ^ x + [ β ˙ sin ( α ) γ ˙ cos ( α ) sin ( β ) ] e ^ y + [ α ˙ + γ ˙ cos ( β ) ] e ^ z . {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}{\hat {e}}_{z}+{\dot {\beta }}[\cos(\alpha ){\hat {e}}_{x}+\sin(\alpha ){\hat {e}}_{y}]+{\dot {\gamma }}[\sin(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{x}-\cos(\alpha )\sin(\beta ){\hat {e}}_{y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{z}]\\=&[{\dot {\beta }}\cos(\alpha )+{\dot {\gamma }}\sin(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{x}+[{\dot {\beta }}\sin(\alpha )-{\dot {\gamma }}\cos(\alpha )\sin(\beta )]{\hat {e}}_{y}+[{\dot {\alpha }}+{\dot {\gamma }}\cos(\beta )]{\hat {e}}_{z}.\end{aligned}}}

In der bewegten Basis e ^ X , Y , Z {\displaystyle {\hat {e}}_{X,Y,Z}} (rot im Bild) ergibt sich gleichbedeutend:

ω = α ˙ [ sin ( β ) sin ( γ ) e ^ X + sin ( β ) cos ( γ ) e ^ Y + cos ( β ) e ^ Z ] + β ˙ [ cos ( γ ) e ^ X sin ( γ ) e ^ Y ] + γ ˙ e ^ Z = [ α ˙ sin ( β ) sin ( γ ) + β ˙ cos ( γ ) ] e ^ X + [ α ˙ sin ( β ) cos ( γ ) β ˙ sin ( γ ) ] e ^ Y + [ α ˙ cos ( β ) + γ ˙ ] e ^ Z , {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\dot {\alpha }}[\sin(\beta )\sin(\gamma ){\hat {e}}_{X}+\sin(\beta )\cos(\gamma ){\hat {e}}_{Y}+\cos(\beta ){\hat {e}}_{Z}]+{\dot {\beta }}[\cos(\gamma ){\hat {e}}_{X}-\sin(\gamma ){\hat {e}}_{Y}]+{\dot {\gamma }}{\hat {e}}_{Z}\\=&[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\sin(\gamma )+{\dot {\beta }}\cos(\gamma )]{\hat {e}}_{X}+[{\dot {\alpha }}\sin(\beta )\cos(\gamma )-{\dot {\beta }}\sin(\gamma )]{\hat {e}}_{Y}+[{\dot {\alpha }}\cos(\beta )+{\dot {\gamma }}]{\hat {e}}_{Z},\end{aligned}}}

siehe Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels.

Zylinderkoordinaten

Im Zylinderkoordinatensystem (ρ, φ, z) lauten die Basisvektoren

e ^ ρ = ( cos φ sin φ 0 ) , e ^ φ = ( sin φ cos φ 0 ) , e ^ z = ( 0 0 1 ) . {\displaystyle {\hat {e}}_{\rho }={\begin{pmatrix}\cos \varphi \\\sin \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}},\quad {\hat {e}}_{z}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}

Ändert sich der Winkel φ, dann entsteht die Winkelgeschwindigkeit ω = φ ˙ e ^ z {\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\varphi }}{\hat {e}}_{z}} . Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren, beispielsweise e ^ ˙ ρ = ω × e ^ ρ . {\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\rho }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\rho }.}

Dies ergibt sich aus den Euler-Winkeln in der z-x’-z’’-Konvention mit

  • α = φ und β = γ ≡ 0 oder
  • γ = φ und α = β ≡ 0.

Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten (r, φ, θ) können die Basisvektoren

e ^ r = ( sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ ) , e ^ θ = ( cos θ cos φ cos θ sin φ sin θ ) , e ^ φ = ( sin φ cos φ 0 ) {\displaystyle {\hat {e}}_{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad {\hat {e}}_{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}}

benutzt werden. Bei einer gemeinsamen Rotation dieser Basisvektoren mit variablen Winkeln φ und θ entsteht die Winkelgeschwindigkeit

ω = ( θ ˙ sin φ θ ˙ cos φ φ ˙ ) = φ ˙ cos θ e ^ r φ ˙ sin θ e ^ θ + θ ˙ e ^ φ . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\begin{pmatrix}-{\dot {\theta }}\sin \varphi \\{\dot {\theta }}\cos \varphi \\{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}={\dot {\varphi }}\cos \theta {\hat {e}}_{r}-{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {e}}_{\theta }+{\dot {\theta }}{\hat {e}}_{\varphi }.}

Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren, beispielsweise gemäß e ^ ˙ θ = ω × e ^ θ . {\displaystyle {\dot {\hat {e}}}_{\theta }={\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{\theta }.}

Dies ergibt sich aus den Euler-Winkeln in der z-x’-z’’-Konvention mit α ≡ 0, β = φ und γ = θ sowie der zyklischen Vertauschung der Koordinatenrichtungen 123Euler → 312Kugel.

Drehung eines Vektors v {\displaystyle {\vec {v}}} um die Drehachse n {\displaystyle {\vec {n}}} mit Winkel α {\displaystyle \alpha } durch einen orthogonalen Tensor Q {\displaystyle \mathbf {Q} } .

Definition des Winkelgeschwindigkeitstensors

Das Kreuzprodukt der Winkelgeschwindigkeit mit dem Ortsvektor kann als Vektortransformation des Ortsvektors durch den Winkelgeschwindigkeitstensor angesehen werden.

Denn eine reine Drehung von Vektoren wird durch orthogonale Tensoren, das sind orthogonale Abbildungen von Vektoren auf Vektoren, dargestellt: x = Q X {\displaystyle {\vec {x}}=\mathbf {Q} \cdot {\vec {X}}} , siehe Bild. Darin ist Q der orthogonale Tensor mit der Eigenschaft Q Q = Q Q = 1 {\displaystyle \mathbf {Q\cdot Q} ^{\top }=\mathbf {Q^{\top }\cdot Q} =\mathbf {1} } (1 ist der Einheitstensor, das hochgestellte T bezeichnet die Transposition) und x {\displaystyle {\vec {x}}} ist der Vektor, auf den der feste Vektor X {\displaystyle {\vec {X}}} abgebildet wird. Zeitableitung ergibt:

x ˙ = Q ˙ X = Q ˙ Q x =: Ω x . {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot {\vec {X}}={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }\cdot {\vec {x}}=:\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}\;.}

Der hier auftretende Winkelgeschwindigkeitstensor Ω ist schiefsymmetrisch (Ω=−Ω) wegen

1 ˙ = d d t ( Q Q ) = Q ˙ Q + Q Q ˙ = Ω + Ω = 0 . {\displaystyle {\dot {\mathbf {1} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {Q\cdot Q} ^{\top })={\dot {\mathbf {Q} }}\cdot \mathbf {Q} ^{\top }+\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}^{\top }=\mathbf {\Omega +\Omega } ^{\top }=\mathbf {0} \,.}

Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit

Jeder schiefsymmetrische Tensor W besitzt einen dualen Vektor w {\displaystyle {\vec {w}}} mit der Eigenschaft W x = w × x {\displaystyle \mathbf {W} \cdot {\vec {x}}={\vec {w}}\times {\vec {x}}} für alle x {\displaystyle {\vec {x}}} . Dieser duale Vektor ist beim Winkelgeschwindigkeitstensor die Winkelgeschwindigkeit:

x ˙ = Ω x = ω × x . {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}=\mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}={\vec {\omega }}\times {\vec {x}}\,.}

Der duale Vektor

ω = 1 2 i = 1 3 j = 1 3 Ω i j e ^ i × e ^ j {\displaystyle {\vec {\omega }}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\Omega _{ij}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}}

ist die negative Hälfte der Vektorinvariante des Tensors und als solche ein axialer Vektor. Die Koordinaten Ωij des Tensors Ω gehören zur Standardbasis e ^ 1 , 2 , 3 . {\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}.}

Umgekehrt kann der Winkelgeschwindigkeitstensor aus der Winkelgeschwindigkeit gewonnen werden:

Ω = ω × 1 := i = 1 3 ω i e ^ i × k = 1 3 e ^ k e ^ k := i = 1 3 k = 1 3 ω i ( e ^ i × e ^ k ) e ^ k = ( 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω 1 ω 2 ω 1 0 ) Ω x = ( ω × 1 ) x := ω × ( 1 x ) = ω × x , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } =&{\vec {\omega }}\times \mathbf {1} :=\sum _{i=1}^{3}\omega _{i}{\hat {e}}_{i}\times \sum _{k=1}^{3}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{k}:=\sum _{i=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\omega _{i}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{k}={\begin{pmatrix}0&-\omega _{3}&\omega _{2}\\\omega _{3}&0&-\omega _{1}\\-\omega _{2}&\omega _{1}&0\end{pmatrix}}\\\rightarrow \mathbf {\Omega } \cdot {\vec {x}}=&({\vec {\omega }}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {x}}:={\vec {\omega }}\times (\mathbf {1} \cdot {\vec {x}})={\vec {\omega }}\times {\vec {x}},\end{aligned}}}

vgl. Kreuzproduktmatrix. Das Rechenzeichen „ {\displaystyle \otimes } “ bildet das dyadische Produkt.

Winkelgeschwindigkeitstensor bei rotierenden Vektorraumbasen

Aus den Raten von Vektoren g 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}} einer Vektorraumbasis, die eine Starrkörperrotation ausführt, kann der Winkelgeschwindigkeitstensor direkt berechnet werden.

Denn der Tensor G := i = 1 3 g i e ^ i {\displaystyle \mathbf {G} :=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}} , in dem die Basisvektoren spaltenweise eingetragen sind, ist nach Voraussetzung invertierbar:

| G | = | g 1 g 2 g 3 | | e ^ 1 e ^ 2 e ^ 3 | 0. {\displaystyle |\mathbf {G} |={\begin{vmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}{\hat {e}}_{1}&{\hat {e}}_{2}&{\hat {e}}_{3}\end{vmatrix}}\neq 0.}

Darin stehen die senkrechten Striche für die Determinante, deren Nichtverschwinden die Invertierbarkeit garantiert. Im Fall einer gemeinsamen Starrkörperrotation der Basisvektoren folgt:

g ˙ 1 , 2 , 3 = ω × g 1 , 2 , 3 G ˙ = ω × G = Ω G Ω = G ˙ G 1 . {\displaystyle {\dot {\vec {g}}}_{1,2,3}={\vec {\omega }}\times {\vec {g}}_{1,2,3}\quad \leftrightarrow \quad {\dot {\mathbf {G} }}={\vec {\omega }}\times \mathbf {G} =\mathbf {\Omega \cdot G} \quad \leftrightarrow \quad \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{-1}\;.}

Umgekehrt gilt: Wenn die Zeitableitung eines Tensors G, multipliziert mit seiner Inversen G−1, schiefsymmetrisch ist, dann können die Spaltenvektoren des Tensors als rotierende Basis aufgefasst werden. Im Fall, dass die Vektoren g 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\vec {g}}_{1,2,3}} eine Orthonormalbasis bilden, ist der Tensor G orthogonal und es ergibt sich die schon erwähnte Beziehung Ω = G ˙ G . {\displaystyle \mathbf {\Omega } ={\dot {\mathbf {G} }}\cdot \mathbf {G} ^{\top }.}

Exponential des Winkelgeschwindigkeitstensors

Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ist der Winkelgeschwindigkeitstensor ebenfalls konstant. Dann kann G ˙ = Ω G {\displaystyle {\dot {\mathbf {G} }}=\mathbf {\Omega \cdot G} } bei gegebenen Anfangswert G(t=0) über die Zeit integriert werden mit dem Ergebnis:

G ( t ) = exp ( Ω t ) G ( t = 0 ) . {\displaystyle \mathbf {G} (t)=\exp(\mathbf {\Omega } t)\cdot \mathbf {G} (t=0).}

Denn die ersten vier Potenzen von Ω berechnen sich mit der BAC-CAB-Formel zu

ω = ω n ^ mit | n ^ | = 1 Ω = ω n ^ × 1 = ω n i e ^ i × e ^ j e ^ j Ω 2 = ( ω n i e ^ i × e ^ j e ^ j ) ( ω n k e ^ k × e ^ l e ^ l ) = ω 2 n i n k e ^ i × ( e ^ k × e ^ l ) e ^ l = ω 2 n i n k ( δ i l e ^ k δ i k e ^ l ) e ^ l = ω 2 n k e ^ k n i e ^ i ω 2 n i n i e ^ l e ^ l = ω 2 ( 1 n ^ n ^ ) Ω 3 = ω n ^ × 1 ω 2 ( 1 n ^ n ^ ) = ω 3 [ n ^ × 1 1 ( n ^ × 1 n ^ ) n ^ ] = ω 3 n ^ × 1 Ω 4 = ω 2 ( n ^ n ^ 1 ) ω 2 ( n ^ n ^ 1 ) = ω 4 ( n ^ n ^ n ^ n ^ n ^ n ^ + 1 ) = ω 4 ( 1 n ^ n ^ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&\omega {\hat {n}}\quad {\text{mit}}\quad |{\hat {n}}|=1\\\mathbf {\Omega } =&\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} =\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\\\mathbf {\Omega } ^{2}=&(\omega n_{i}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot (\omega n_{k}{\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l})=\omega ^{2}n_{i}n_{k}{\hat {e}}_{i}\times ({\hat {e}}_{k}\times {\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}\\=&\omega ^{2}n_{i}n_{k}(\delta _{il}{\hat {e}}_{k}-\delta _{ik}{\hat {e}}_{l})\otimes {\hat {e}}_{l}=\omega ^{2}n_{k}{\hat {e}}_{k}\otimes n_{i}{\hat {e}}_{i}-\omega ^{2}n_{i}n_{i}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{l}=-\omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{3}=&-\omega {\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \omega ^{2}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})=-\omega ^{3}[{\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot \mathbf {1} -({\hat {n}}\times \mathbf {1} \cdot {\hat {n}})\otimes {\hat {n}}]=-\omega ^{3}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\\mathbf {\Omega } ^{4}=&\omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )\cdot \omega ^{2}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-\mathbf {1} )=\omega ^{4}({\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}-{\hat {n}}\otimes {\hat {n}}+\mathbf {1} )=\omega ^{4}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\;.\end{aligned}}}

Oben ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes von eins bis drei zu summieren ist. Nach vollständiger Induktion ergeben sich die Potenzen

Ω 2 k = ( 1 ) k ω 2 k ( 1 n ^ n ^ ) Ω 2 k + 1 = ( 1 ) k ω 2 k + 1 n ^ × 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } ^{2k}=&(-1)^{k}\omega ^{2k}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})\\\mathbf {\Omega } ^{2k+1}=&(-1)^{k}\omega ^{2k+1}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \end{aligned}}}

für k = 1, 2, 3, … (keine Summen) Mit der Definition Ω0 := 1 kann das Exponential exp des Winkelgeschwindigkeitstensors mit der Taylorreihe ermittelt werden:

exp ( Ω t ) := k = 0 ( Ω t ) k k ! = 1 + k = 1 ( Ω t ) 2 k ( 2 k ) ! + k = 0 ( Ω t ) 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! = 1 + k = 1 ( 1 ) k ( ω t ) 2 k ( 2 k ) ! ( 1 n ^ n ^ ) + k = 0 ( 1 ) k ( ω t ) 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! n ^ × 1 = 1 + [ cos ( ω t ) 1 ] ( 1 n ^ n ^ ) + sin ( ω t ) n ^ × 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\exp(\mathbf {\Omega } t):=&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{k}}{k!}}=\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k}}{(2k)!}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {\Omega } t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\=&\mathbf {1} +\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k}}{(2k)!}}(\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\omega t)^{2k+1}}{(2k+1)!}}{\hat {n}}\times \mathbf {1} \\=&\mathbf {1} +[\cos(\omega t)-1](\mathbf {1} -{\hat {n}}\otimes {\hat {n}})+\sin(\omega t){\hat {n}}\times \mathbf {1} \;.\end{aligned}}}

Die letzte Gleichung stellt einen orthogonalen Tensor dar. Wenn Ω nur als schiefsymmetrischer Tensor ohne das Kreuzprodukt definiert wird, lässt sich das auf Drehungen in n Dimensionen verallgemeinern.

Die Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden starren Körpers oder Bezugssystems ist eine eindeutige Größe, unabhängig von der Wahl eines Bezugspunktes oder einer Drehachse, denn an allen Punkten dreht sich die Richtung der Bahngeschwindigkeit in derselben Umlaufzeit einmal um 2 π {\displaystyle 2\pi } . Jeder Punkt eines starren Körpers hat den gleichen Winkelgeschwindigkeitsvektor.

Eindeutigkeit

Beweis der Unabhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit von der Wahl des Bezugspunkts

Der starre Körper möge um eine beliebige Achse rotieren. Es wird gezeigt, dass die Winkelgeschwindigkeit unabhängig ist von der Wahl des Bezugspunkts, durch den die Achse führt. Dies bedeutet, dass die Winkelgeschwindigkeit eine unabhängige Eigenschaft des rotierenden starren Körpers ist.

Der Ursprung des Laborsystems ist in O, während O1 und O2 zwei Punkte auf dem starren Körper mit den Geschwindigkeiten v 1 {\displaystyle {\vec {v}}_{1}} bzw. v 2 {\displaystyle {\vec {v}}_{2}} sind. Angenommen, die Winkelgeschwindigkeit relativ zu O1 bzw. O2 sei ω 1 {\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}} bzw. ω 2 . {\displaystyle {\vec {\omega }}_{2}.} Da Punkt P und O2 jeweils nur eine Geschwindigkeit haben, gilt:

v 1 + ω 1 × r 1 = v 2 + ω 2 × r 2 {\displaystyle {\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}_{1}={\vec {v}}_{2}+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {r}}_{2}}
v 2 = v 1 + ω 1 × r = v 1 + ω 1 × ( r 1 r 2 ) . {\displaystyle {\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {r}}={\vec {v}}_{1}+{\vec {\omega }}_{1}\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\;.}

Einsetzen der unteren Gleichung für v 2 {\displaystyle {\vec {v}}_{2}} in die obere ergibt:

( ω 1 ω 2 ) × r 2 = 0 . {\displaystyle ({\vec {\omega }}_{1}-{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {r}}_{2}={\vec {0}}\;.}

Da der Punkt P (und damit r 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{2}} ) beliebig wählbar ist, folgt daraus:

ω 1 = ω 2 . {\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}={\vec {\omega }}_{2}\;.}

Die Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers ist somit unabhängig von der Wahl des Bezugspunkts der Drehachse. Somit ist beispielsweise die Messung der Gierrate in einem Fahrzeug unabhängig vom Einbauort des Gierratensensors.

Mit kleiner werdendem Zeitintervall konvergiert das Kugelviereck (schwarz) gegen ein ebenes Parallelogramm, und die Differenz der beiden Geschwindigkeiten x ˙ 12 , x ˙ 21 {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{12},\ {\dot {\vec {x}}}_{21}} strebt gegen Null.

Obwohl Drehungen im Allgemeinen in ihrer Reihenfolge nicht vertauscht werden dürfen, ist bei der Winkelgeschwindigkeit die Kommutativität der Addition gegeben. Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit oder ganze Winkelgeschwindigkeitsvektoren addiert werden (anders als bei endlichen Drehungen, siehe Bild).

Mathematisch kann das durch Drehungen mit zwei Winkelgeschwindigkeiten in einem (infinitesimal) kleinen Zeitintervall dt gezeigt werden. Im Zeitintervall dt bewegt sich ein Partikel am Ort x {\displaystyle {\vec {x}}} nach x = x + ω 1 × x d t {\displaystyle {\vec {x}}'={\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t} . Eine weitere Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ω 2 {\displaystyle {\vec {\omega }}_{2}} liefert die Endposition x = x + ω 2 × x d t {\displaystyle {\vec {x}}''={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t} und die Verschiebung

d x 12 := x x = x + ω 2 × x d t x = ( x + ω 1 × x d t ) + ω 2 × ( x + ω 1 × x d t ) d t x = ω 1 × x d t + ω 2 × x d t + ω 2 × ( ω 1 × x ) d t 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}:=&{\vec {x}}''-{\vec {x}}={\vec {x}}'+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}'\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {x}}+{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t)\,\mathrm {d} t-{\vec {x}}\\=&{\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times {\vec {x}}\,\mathrm {d} t+{\vec {\omega }}_{2}\times ({\vec {\omega }}_{1}\times {\vec {x}})\,\mathrm {d} t^{2}.\end{aligned}}}

Der Grenzwert dt → 0 kann berechnet werden:

x ˙ 12 = lim d t 0 d x 12 d t = ( ω 1 + ω 2 ) × x . {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{12}=\lim _{\mathrm {d} t\to 0}{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}_{12}}{\mathrm {d} t}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\;.}

Diese Geschwindigkeit entspricht einer Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit ω 1 + ω 2 {\displaystyle {\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2}} . Bei umgekehrter Reihenfolge der infinitesimalen Drehungen leitet sich ein identisches Ergebnis für die Geschwindigkeit x ˙ 21 {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{21}} ab. Deswegen addieren sich Winkelgeschwindigkeiten wie Vektoren und infinitesimal kleine Drehungen sind – anders als große Drehungen – in ihrer Reihenfolge vertauschbar.

Beweis mit Tensorrechnung
Drehungen können mit orthogonalen Tensoren beschrieben werden, von denen zwei, Q1,2, gegeben seinen. Mit den Definitionen
Ω k := Q ˙ k Q k Ω ¯ k := Q k Q ˙ k = Q k Ω k Q k {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Omega } _{k}:=&{\dot {\mathbf {Q} }}_{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}^{\top }\\{\bar {\mathbf {\Omega } }}_{k}:=&\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{k}=\mathbf {Q} _{k}^{\top }\cdot \mathbf {\Omega } _{k}\cdot \mathbf {Q} _{k}\end{aligned}}}

für k = 1, 2 berechnet sich die Geschwindigkeit eines Vektors x 21 = Q 1 Q 2 X {\displaystyle {\vec {x}}_{21}=\mathbf {Q} _{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}} , der durch Drehung aus dem festen Vektor X {\displaystyle {\vec {X}}} hervorgeht, zu:

x ˙ 21 = ( Q ˙ 1 Q 2 + Q 1 Q ˙ 2 ) X = Q 1 ( Q 1 Q ˙ 1 + Q ˙ 2 Q 2 ) Q 2 X = Q 1 ( Ω ¯ 1 + Ω 2 ) Q 2 X . {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&({\dot {\mathbf {Q} }}_{1}\cdot \mathbf {Q} _{2}+\mathbf {Q} _{1}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{2})\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot (\mathbf {Q} _{1}^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1}+{\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{2}^{\top })\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\\=&\mathbf {Q} _{1}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot \mathbf {Q} _{2}\cdot {\vec {X}}\;.\end{aligned}}}

Bei umgekehrter Reihenfolge der Rotationen, x 12 = Q 2 Q 1 X , {\displaystyle {\vec {x}}_{12}=\mathbf {Q} _{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}},} ergibt sich analog die im Allgemeinen andere Geschwindigkeit

x ˙ 12 = ( Q ˙ 2 Q 1 + Q 2 Q ˙ 1 ) X = Q 2 ( Ω ¯ 2 + Ω 1 ) Q 1 X . {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{12}=({\dot {\mathbf {Q} }}_{2}\cdot \mathbf {Q} _{1}+\mathbf {Q} _{2}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}_{1})\cdot {\vec {X}}=\mathbf {Q} _{2}\cdot ({\bar {\mathbf {\Omega } }}_{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot \mathbf {Q} _{1}\cdot {\vec {X}}\,.}

Diese Identitäten gelten bei beliebig großen Rotationen. Berechnung der Geschwindigkeiten im Zustand Q1,2 = 1 liefert die Winkelgeschwindigkeiten am Ort x := x 12 = x 21 = X . {\displaystyle {\vec {x}}:={\vec {x}}_{12}={\vec {x}}_{21}={\vec {X}}.} Dann ist Ω ¯ 1 , 2 = Ω 1 , 2 {\displaystyle {\bar {\mathbf {\Omega } }}_{1,2}=\mathbf {\Omega } _{1,2}} und die obigen Gleichungen spezialisieren sich zu

x ˙ 21 = ( Ω 1 + Ω 2 ) x = ( ω 1 + ω 2 ) × x x ˙ 12 = ( Ω 2 + Ω 1 ) x = ( ω 2 + ω 1 ) × x , {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {x}}}_{21}=&(\mathbf {\Omega } _{1}+\mathbf {\Omega } _{2})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}\\{\dot {\vec {x}}}_{12}=&(\mathbf {\Omega } _{2}+\mathbf {\Omega } _{1})\cdot {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\,,\end{aligned}}}

siehe Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit. Weil die Addition von Tensoren kommutativ ist, stimmen die Geschwindigkeiten überein:

x ˙ 21 = x ˙ 12 = v = ( ω 1 + ω 2 ) × x = ( ω 2 + ω 1 ) × x . {\displaystyle {\dot {\vec {x}}}_{21}={\dot {\vec {x}}}_{12}={\vec {v}}=({\vec {\omega }}_{1}+{\vec {\omega }}_{2})\times {\vec {x}}=({\vec {\omega }}_{2}+{\vec {\omega }}_{1})\times {\vec {x}}\;.}

Somit ist die Kommutativität der Addition der Winkelgeschwindigkeiten erwiesen.

Die Winkelgeschwindigkeit tritt in vielen Gleichungen und Anwendungsfällen der Physik, der Astronomie oder der Technik auf.

  • Ein Himmelskörper, der sich in einer Entfernung R von der Erde mit Geschwindigkeit v t {\displaystyle v_{t}} senkrecht zur Sehlinie bewegt, zeigt am Himmel eine scheinbare Winkelgeschwindigkeit μ = v t / R {\displaystyle \mu =v_{t}/R} . Bei Meteoren (Sternschnuppen) kann sie bis zu 90° pro Sekunde ausmachen, sehr nahe Kleinplaneten oder Kometen können sich am Himmel einige Grad pro Stunde bewegen. Bei Sternen wird die Winkelgeschwindigkeit in Winkelsekunden pro Jahr angegeben und Eigenbewegung genannt.
  • Nach dem dritten Kepler’schen Gesetz verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten T der Planeten wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a ihrer Bahnen. Die Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich demnach wie ω 1 / a 3 / 2 {\displaystyle \omega \propto 1/a^{3/2}} („Kepler-Rotation“). Gemäß dem zweiten Kepler’schen Gesetz ist die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn in Bezug auf die Sonne vom jeweiligen Abstand abhängig und variiert somit längs der Bahn. Sie ist am größten, wenn der Planet sich im Perihel befindet, und am kleinsten, wenn er sich im Aphel befindet.
  • Bei der Rotation eines starren Körpers um eine ortsfeste Achse ist die Winkelgeschwindigkeit ω im Gegensatz zur Geschwindigkeit v vom Radius unabhängig. Seine Rotationsenergie und sein Drehimpuls sind Funktionen seiner Winkelgeschwindigkeit.
  • Die Winkelgeschwindigkeit eines Rotors in einem Elektromotor, der sich konstant mit 3.000 Umdrehungen pro Minute dreht, beträgt
ω = 2 π 3000 1 60 s = 314 , 16 rad s . {\displaystyle \omega =2\pi \cdot 3000\cdot {\tfrac {1}{60\,{\text{s}}}}=314{,}16\,{\tfrac {\text{rad}}{\text{s}}}.}
Bei solchen Angaben von Drehzahlen werden auch Einheiten wie U m i n {\displaystyle \mathrm {\tfrac {U}{min}} } und 1 m i n {\displaystyle \mathrm {\tfrac {1}{min}} } verwendet, siehe dazu den Artikel Drehzahl.
  • Sei ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung eines Pendels mit der Amplitude φ ^ {\displaystyle {\hat {\varphi }}} . Dann berechnet sich die Winkelgeschwindigkeit des Pendels als Funktion der Zeit:
ω ( t ) = φ ˙ ( t ) = d d t [ φ ^ sin ( ω 0 t ) ] = φ ^ ω 0 cos ( ω 0 t ) . {\displaystyle \omega (t)={\dot {\varphi }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}[{\hat {\varphi }}\cdot \sin(\omega _{0}t)]={\hat {\varphi }}\cdot \omega _{0}\cdot \cos(\omega _{0}t)\;.}
  • Bei Flugzeugen oder Pkw werden die Winkelgeschwindigkeiten in Komponenten des fahrzeugfesten Koordinatensystems angegeben. Entsprechend den x-, y-, z-Komponenten spricht man von Roll/Wankgeschwindigkeit, Nickgeschwindigkeit, Giergeschwindigkeit. Näheres dazu findet sich

Die Winkelgeschwindigkeit wird in vielen Lehrbüchern und Formelsammlungen der Natur- und Ingenieurswissenschaften behandelt.

  • Horst Stöcker: Taschenbuch der Physik. 6. Auflage. Harri Deutsch, 2010, ISBN 978-3-8171-1860-1.
  • Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 1. 12. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0545-4.
  1. Manfred Knaebel, Helmut Jäger, Roland Mastel: Technische Schwingungslehre. Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-8351-0180-7,S.8ff. (books.google.com.).
  2. Jürgen Eichler: Physik. Grundlagen für das Ingenieurstudium – kurz und prägnant. Springer DE, 2011, ISBN 978-3-8348-9942-2,S.112, urn:nbn:de:1111-20110310734 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Institut für Physik an der Universität Rostock (Hrsg.): Theoretische Physik II – Theoretische Mechanik. Kapitel 5 – Starrer Körper und Kreiseltheorie.S.109 (Seite nicht mehr abrufbar, Suche in Webarchiven:@1@2Vorlage:Toter Link/www.qms.uni-rostock.de online [abgerufen am 6. Juni 2017]).

Winkelgeschwindigkeit
winkelgeschwindigkeit, physikalische, größe, sprache, beobachten, bearbeiten, physikalische, größename, rotationsgeschwindigkeit, drehgeschwindigkeitformelzeichen, displaystyle, omega, abgeleitet, winkelgrößen, einheitensystem, einheit, dimensionsi, physik, ei. Winkelgeschwindigkeit physikalische Grosse Sprache Beobachten Bearbeiten Physikalische GrosseName Winkelgeschwindigkeit Rotationsgeschwindigkeit DrehgeschwindigkeitFormelzeichen w displaystyle vec omega Abgeleitet von WinkelGrossen und Einheitensystem Einheit DimensionSI rad s 1 T 1 Die Winkelgeschwindigkeit ist in der Physik eine vektorielle Grosse die angibt wie schnell sich ein Winkel mit der Zeit um eine Achse andert Ihr Formelzeichen ist w displaystyle vec omega kleines Omega Die SI Einheit der Winkelgeschwindigkeit ist r a d s displaystyle tfrac mathrm rad mathrm s Sie spielt insbesondere bei Rotationen eine Rolle und wird dann auch als Rotationsgeschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit bezeichnet In vielen Fallen bei denen sich die Richtung der Drehachse im Bezugssystem nicht andert reicht die skalare Verwendung als Betrag des Vektors aus Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Winkelgeschwindigkeit 1 2 Bahngeschwindigkeit 2 Abgrenzung zur Kreisfrequenz 3 Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls 3 1 Ebene Bewegung 3 2 Raumliche Bewegung 4 Winkelgeschwindigkeit bei speziellen Bewegungsansatzen 4 1 Euler Winkel in der z y x Konvention 4 2 Euler Winkel in der z x z Konvention 4 3 Zylinderkoordinaten 4 4 Kugelkoordinaten 5 Winkelgeschwindigkeitstensoren 5 1 Definition des Winkelgeschwindigkeitstensors 5 2 Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit 5 3 Winkelgeschwindigkeitstensor bei rotierenden Vektorraumbasen 5 4 Exponential des Winkelgeschwindigkeitstensors 6 Winkelgeschwindigkeit des starren Korpers 6 1 Eindeutigkeit 7 Kommutative Addition von Winkelgeschwindigkeiten 8 Anwendungen und Beispiele 9 Literatur 10 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenWinkelgeschwindigkeit Bearbeiten Winkelgeschwindigkeit w displaystyle vec omega und Bahngeschwindigkeit v displaystyle vec v der Kreisbewegung Die Winkelgeschwindigkeit w displaystyle vec omega wird durch einen Pseudovektor dargestellt der die Richtung der Drehachse und die Schnelligkeit der Rotationsbewegung angibt sie gilt fur jeden Punkt des rotierenden Systems ihr Vektor ist nicht nur in der Rotationsachse platziert Die Richtung des Pseudovektors ist so orientiert dass sie gemass der Korkenzieherregel die Rotationsrichtung angibt Der Betrag der Winkelgeschwindigkeit w w displaystyle omega left vec omega right ist gleich der Ableitung des Rotationswinkels f displaystyle varphi nach der Zeit t displaystyle t w d f d t displaystyle omega frac mathrm d varphi mathrm d t Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit gilt daher w 2 p T displaystyle omega frac 2 pi T denn in der Umlaufzeit T displaystyle T wird der Winkel 2p displaystyle pi durchlaufen Bei einer ebenen Kreisbewegung andert sich die Richtung der momentanen Bahngeschwindigkeit eines Punktes mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie der Radiusvektor des Punktes Bei einer im Raum gekrummten Bahnkurve gilt dies fur den momentanen Krummungskreis Die Anderung der Richtung der Bahngeschwindigkeit kann man daher genauso gut zu einer Definition der Winkelgeschwindigkeit nutzen Sie ergibt sich direkt aus den Daten der Bahn und erfordert keine Bestimmung einer Drehachse Der Betrag w displaystyle omega der Winkelgeschwindigkeit wird meist bei Vorgangen verwendet bei denen sich die Drehachse nicht andert Eine Anderung von Richtung und oder Betrag der Winkelgeschwindigkeit ist Folge einer Winkelbeschleunigung Bahngeschwindigkeit Bearbeiten Jeder Punkt des rotierenden Systems beschreibt eine Kreisbahn deren Ebene senkrecht zur Drehachse liegt Die Bahn oder Umlaufgeschwindigkeit v displaystyle vec v des Punktes auf diesem Kreis ist dem Betrag nach v w r displaystyle v omega r perp wobei r displaystyle r perp der Radius der Kreisbewegung ist Denn zur infinitesimalen Zeitspanne d t displaystyle mathrm d t gehort der infinitesimale Weg d s r d f r w d t displaystyle mathrm d s r perp mathrm d varphi r perp omega mathrm d t Liegt der Ursprung O displaystyle O des Koordinatensystems auf der Drehachse dann ist die Bahngeschwindigkeit nach Richtung und Betrag gleich dem Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor v w r displaystyle vec v vec omega times vec r denn der Abstand von der Achse ist r r s i n ϑ displaystyle r perp r mathrm sin vartheta mit dem Polarwinkel ϑ displaystyle vartheta der den konstant bleibenden Winkelabstand zwischen der Drehachse und dem Ortsvektor zum betrachteten Punkt angibt Diese Betrachtung der Anderungsgeschwindigkeit des Ortsvektors gilt fur jeden Vektor der einer Drehung unterworfen ist z B fur die Basisvektoren e i displaystyle vec e i i x y z displaystyle i in x y z eines rotierenden Bezugssystems Deren Anderungsgeschwindigkeit ist d e i d t w e i displaystyle frac mathrm d vec e i mathrm d t vec omega times vec e i Abgrenzung zur Kreisfrequenz Bearbeiten Hauptartikel Kreisfrequenz Obwohl die Kreisfrequenz und die Winkelgeschwindigkeit mit demselben Formelzeichen w displaystyle omega bezeichnet werden und obwohl sie in derselben Einheit gemessen werden handelt es sich um zwei verschiedene physikalische Grossen Die Winkelgeschwindigkeit gibt die Anderungsrate eines geometrischen Winkels an und wird im Zusammenhang von Drehbewegungen verwendet Die Kreisfrequenz dagegen ist eine abstrakte Grosse im Kontext von Schwingungen 1 Eine Schwingung kann mathematisch durch einen rotierenden Zeiger dargestellt werden siehe Zeigermodell Der Winkel des Zeigers wird als Phase oder Phasenwinkel bezeichnet 2 Die Anderungsgeschwindigkeit dieses Phasenwinkels ist die Kreisfrequenz Sie ist also wie auch die Frequenz ein Mass dafur wie schnell eine Schwingung ablauft und hat abgesehen von der Rotation des gedachten Zeigers nichts mit einer Drehbewegung zu tun Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls BearbeitenEbene Bewegung Bearbeiten Die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom Ursprung O zum Teilchen P wird bestimmt durch die Tangentialgeschwindigkeit des Geschwindigkeitsvektors v Der Geschwindigkeitsvektor v eines Teilchens P relativ zu einem Beobachter O kann in Polarkoordinaten zerlegt werden Die radiale Komponente des Geschwindigkeitsvektors andert die Richtung des Sehstrahls nicht Zwischen der tangentialen Komponente und der Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls besteht die Beziehung v d ϕ d t r w r displaystyle mathrm v perp frac mathrm d phi mathrm d t r omega cdot r Es ist anzumerken dass die Winkelgeschwindigkeit des Sehstrahls vom willkurlich gewahlten Ort des Beobachters abhangt Raumliche Bewegung Bearbeiten In drei Dimensionen ist die Winkelgeschwindigkeit durch ihren Betrag und ihre Richtung gekennzeichnet Wie im zweidimensionalen Fall hat das Teilchen eine Komponente seines Geschwindigkeitsvektors in Richtung des Radiusvektors und eine weitere senkrecht dazu Die Ebene mit Stutzvektor 0 displaystyle vec 0 Ort des Beobachters und Richtungsvektoren r displaystyle vec r und v displaystyle vec v perp definiert eine Rotationsebene in der das Verhalten des Teilchens fur einen Augenblick wie im zweidimensionalen Fall erscheint Die Rotationsachse ist dann senkrecht zu dieser Ebene und definiert die Richtung des Vektors der momentanen Winkelgeschwindigkeit Radius und Geschwindigkeitsvektor werden als bekannt vorausgesetzt Es gilt dann w r v r 2 displaystyle vec omega frac vec r times vec v vec r 2 Auch hier gilt dass die so berechnete Winkelgeschwindigkeit vom willkurlich gewahlten Ort des Beobachters abhangt Zum Beispiel ergibt sich in Zylinderkoordinaten r f z mit r r cos f r sin f z displaystyle vec r begin pmatrix rho cos varphi rho sin varphi z end pmatrix und daraus berechnetem v d d t r displaystyle vec v frac mathrm d mathrm d t vec r r 2 z 2 w r z e f f z r e r r 2 e z z r e f displaystyle rho 2 z 2 vec omega dot rho z hat e varphi dot varphi z rho hat e rho rho 2 hat e z dot z rho hat e varphi Dabei sind e r e f e z displaystyle hat e rho hat e varphi hat e z die Basisvektoren zu Zylinderkoordinaten In Kugelkoordinaten r 8 f folgt analog w f sin 8 e 8 8 e f displaystyle vec omega dot varphi sin theta hat e theta dot theta hat e varphi Eine Anwendung ist die Relativbewegung von Objekten in der Astronomie siehe Eigenbewegung Astronomie Winkelgeschwindigkeit bei speziellen Bewegungsansatzen BearbeitenBei der Rotation von Korpern konnen Winkel zur Parametrisierung der Bewegung eingesetzt werden Im Folgenden wird eine Auswahl haufig genutzter Ansatze beschrieben Euler Winkel in der z y x Konvention Bearbeiten Lagewinkel Drehung vom erdfesten Koordinatensystem englisch world frame Index g ins korperfeste Koordinatensystem englisch body frame Index f Im Fahrzeug oder Flugzeugbau wird die Orientierung des fahrzeugfesten Systems relativ zum erdfesten System in Euler Winkeln angegeben Genormt sind drei aufeinander folgende Drehungen Zuerst um die z Achse des Systems g Gierwinkel dann um die y Achse des gedrehten Systems Nickwinkel und schliesslich um die x Achse des korperfesten Koordinatensystems Wank Rollwinkel Die Winkelgeschwindigkeit des korperfesten Systems ergibt sich aus den Winkelgeschwindigkeiten um diese Achsen w ps u 1 8 u 2 ϕ u 3 displaystyle vec omega dot psi vec mathbf u 1 dot theta vec mathbf u 2 dot phi vec mathbf u 3 Der aufgesetzte Punkt bezeichnet die Zeitableitung Diese Basis ist nicht orthonormal Die Einheitsvektoren konnen jedoch mit Hilfe von Elementardrehungen berechnet werden Euler Winkel in der z x z Konvention Bearbeiten Das eulersche Basissystem grun gibt die Achsen an um die die Euler Winkel a b und g drehen In der Standard x Konvention z x z siehe Bild wird zunachst mit dem Winkel a um die raumfeste z Achse gedreht dann mit dem Winkel b um die x Achse in ihrer Lage nach der ersten Drehung x Achse im Bild die N Achse und schliesslich mit dem Winkel g um die z Achse in deren Lage nach den beiden vorherigen Drehungen Kurzzeichen z im Bild die Z Achse Bezeichnen die Einheitsvektoren e x y z displaystyle hat e x y z die raumfeste Standardbasis blau im Bild dann lautet die Winkelgeschwindigkeit bezuglich der raumfesten Basis w a e z b cos a e x sin a e y g sin a sin b e x cos a sin b e y cos b e z b cos a g sin a sin b e x b sin a g cos a sin b e y a g cos b e z displaystyle begin aligned vec omega amp dot alpha hat e z dot beta cos alpha hat e x sin alpha hat e y dot gamma sin alpha sin beta hat e x cos alpha sin beta hat e y cos beta hat e z amp dot beta cos alpha dot gamma sin alpha sin beta hat e x dot beta sin alpha dot gamma cos alpha sin beta hat e y dot alpha dot gamma cos beta hat e z end aligned In der bewegten Basis e X Y Z displaystyle hat e X Y Z rot im Bild ergibt sich gleichbedeutend w a sin b sin g e X sin b cos g e Y cos b e Z b cos g e X sin g e Y g e Z a sin b sin g b cos g e X a sin b cos g b sin g e Y a cos b g e Z displaystyle begin aligned vec omega amp dot alpha sin beta sin gamma hat e X sin beta cos gamma hat e Y cos beta hat e Z dot beta cos gamma hat e X sin gamma hat e Y dot gamma hat e Z amp dot alpha sin beta sin gamma dot beta cos gamma hat e X dot alpha sin beta cos gamma dot beta sin gamma hat e Y dot alpha cos beta dot gamma hat e Z end aligned siehe Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels Zylinderkoordinaten Bearbeiten Im Zylinderkoordinatensystem r f z lauten die Basisvektoren e r cos f sin f 0 e f sin f cos f 0 e z 0 0 1 displaystyle hat e rho begin pmatrix cos varphi sin varphi 0 end pmatrix quad hat e varphi begin pmatrix sin varphi cos varphi 0 end pmatrix quad hat e z begin pmatrix 0 0 1 end pmatrix Andert sich der Winkel f dann entsteht die Winkelgeschwindigkeit w f e z displaystyle vec omega dot varphi hat e z Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren beispielsweise e r w e r displaystyle dot hat e rho vec omega times hat e rho Dies ergibt sich aus den Euler Winkeln in der z x z Konvention mit a f und b g 0 oder g f und a b 0 Kugelkoordinaten Bearbeiten In Kugelkoordinaten r f 8 konnen die Basisvektoren e r sin 8 cos f sin 8 sin f cos 8 e 8 cos 8 cos f cos 8 sin f sin 8 e f sin f cos f 0 displaystyle hat e r begin pmatrix sin theta cos varphi sin theta sin varphi cos theta end pmatrix qquad hat e theta begin pmatrix cos theta cos varphi cos theta sin varphi sin theta end pmatrix qquad hat e varphi begin pmatrix sin varphi cos varphi 0 end pmatrix benutzt werden Bei einer gemeinsamen Rotation dieser Basisvektoren mit variablen Winkeln f und 8 entsteht die Winkelgeschwindigkeit w 8 sin f 8 cos f f f cos 8 e r f sin 8 e 8 8 e f displaystyle vec omega begin pmatrix dot theta sin varphi dot theta cos varphi dot varphi end pmatrix dot varphi cos theta hat e r dot varphi sin theta hat e theta dot theta hat e varphi Mit ihr berechnen sich die Raten der Basisvektoren beispielsweise gemass e 8 w e 8 displaystyle dot hat e theta vec omega times hat e theta Dies ergibt sich aus den Euler Winkeln in der z x z Konvention mit a 0 b f und g 8 sowie der zyklischen Vertauschung der Koordinatenrichtungen 123Euler 312Kugel Winkelgeschwindigkeitstensoren Bearbeiten Drehung eines Vektors v displaystyle vec v um die Drehachse n displaystyle vec n mit Winkel a displaystyle alpha durch einen orthogonalen Tensor Q displaystyle mathbf Q Definition des Winkelgeschwindigkeitstensors Bearbeiten Das Kreuzprodukt der Winkelgeschwindigkeit mit dem Ortsvektor kann als Vektortransformation des Ortsvektors durch den Winkelgeschwindigkeitstensor angesehen werden Denn eine reine Drehung von Vektoren wird durch orthogonale Tensoren das sind orthogonale Abbildungen von Vektoren auf Vektoren dargestellt x Q X displaystyle vec x mathbf Q cdot vec X siehe Bild Darin ist Q der orthogonale Tensor mit der Eigenschaft Q Q Q Q 1 displaystyle mathbf Q cdot Q top mathbf Q top cdot Q mathbf 1 1 ist der Einheitstensor das hochgestellte T bezeichnet die Transposition und x displaystyle vec x ist der Vektor auf den der feste Vektor X displaystyle vec X abgebildet wird Zeitableitung ergibt x Q X Q Q x W x displaystyle dot vec x dot mathbf Q cdot vec X dot mathbf Q cdot mathbf Q top cdot vec x mathbf Omega cdot vec x Der hier auftretende Winkelgeschwindigkeitstensor W ist schiefsymmetrisch W W wegen 1 d d t Q Q Q Q Q Q W W 0 displaystyle dot mathbf 1 frac mathrm d mathrm d t mathbf Q cdot Q top dot mathbf Q cdot mathbf Q top mathbf Q cdot dot mathbf Q top mathbf Omega Omega top mathbf 0 Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit Bearbeiten Jeder schiefsymmetrische Tensor W besitzt einen dualen Vektor w displaystyle vec w mit der Eigenschaft W x w x displaystyle mathbf W cdot vec x vec w times vec x fur alle x displaystyle vec x Dieser duale Vektor ist beim Winkelgeschwindigkeitstensor die Winkelgeschwindigkeit x W x w x displaystyle dot vec x mathbf Omega cdot vec x vec omega times vec x Der duale Vektor w 1 2 i 1 3 j 1 3 W i j e i e j displaystyle vec omega frac 1 2 sum i 1 3 sum j 1 3 Omega ij hat e i times hat e j ist die negative Halfte der Vektorinvariante des Tensors und als solche ein axialer Vektor Die Koordinaten Wij des Tensors W gehoren zur Standardbasis e 1 2 3 displaystyle hat e 1 2 3 Umgekehrt kann der Winkelgeschwindigkeitstensor aus der Winkelgeschwindigkeit gewonnen werden W w 1 i 1 3 w i e i k 1 3 e k e k i 1 3 k 1 3 w i e i e k e k 0 w 3 w 2 w 3 0 w 1 w 2 w 1 0 W x w 1 x w 1 x w x displaystyle begin aligned mathbf Omega amp vec omega times mathbf 1 sum i 1 3 omega i hat e i times sum k 1 3 hat e k otimes hat e k sum i 1 3 sum k 1 3 omega i hat e i times hat e k otimes hat e k begin pmatrix 0 amp omega 3 amp omega 2 omega 3 amp 0 amp omega 1 omega 2 amp omega 1 amp 0 end pmatrix rightarrow mathbf Omega cdot vec x amp vec omega times mathbf 1 cdot vec x vec omega times mathbf 1 cdot vec x vec omega times vec x end aligned vgl Kreuzproduktmatrix Das Rechenzeichen displaystyle otimes bildet das dyadische Produkt Winkelgeschwindigkeitstensor bei rotierenden Vektorraumbasen Bearbeiten Aus den Raten von Vektoren g 1 2 3 displaystyle vec g 1 2 3 einer Vektorraumbasis die eine Starrkorperrotation ausfuhrt kann der Winkelgeschwindigkeitstensor direkt berechnet werden Denn der Tensor G i 1 3 g i e i displaystyle mathbf G sum i 1 3 vec g i otimes hat e i in dem die Basisvektoren spaltenweise eingetragen sind ist nach Voraussetzung invertierbar G g 1 g 2 g 3 e 1 e 2 e 3 0 displaystyle mathbf G begin vmatrix vec g 1 amp vec g 2 amp vec g 3 end vmatrix cdot begin vmatrix hat e 1 amp hat e 2 amp hat e 3 end vmatrix neq 0 Darin stehen die senkrechten Striche fur die Determinante deren Nichtverschwinden die Invertierbarkeit garantiert Im Fall einer gemeinsamen Starrkorperrotation der Basisvektoren folgt g 1 2 3 w g 1 2 3 G w G W G W G G 1 displaystyle dot vec g 1 2 3 vec omega times vec g 1 2 3 quad leftrightarrow quad dot mathbf G vec omega times mathbf G mathbf Omega cdot G quad leftrightarrow quad mathbf Omega dot mathbf G cdot mathbf G 1 Umgekehrt gilt Wenn die Zeitableitung eines Tensors G multipliziert mit seiner Inversen G 1 schiefsymmetrisch ist dann konnen die Spaltenvektoren des Tensors als rotierende Basis aufgefasst werden Im Fall dass die Vektoren g 1 2 3 displaystyle vec g 1 2 3 eine Orthonormalbasis bilden ist der Tensor G orthogonal und es ergibt sich die schon erwahnte Beziehung W G G displaystyle mathbf Omega dot mathbf G cdot mathbf G top Exponential des Winkelgeschwindigkeitstensors Bearbeiten Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ist der Winkelgeschwindigkeitstensor ebenfalls konstant Dann kann G W G displaystyle dot mathbf G mathbf Omega cdot G bei gegebenen Anfangswert G t 0 uber die Zeit integriert werden mit dem Ergebnis G t exp W t G t 0 displaystyle mathbf G t exp mathbf Omega t cdot mathbf G t 0 Denn die ersten vier Potenzen von W berechnen sich mit der BAC CAB Formel zu w w n mit n 1 W w n 1 w n i e i e j e j W 2 w n i e i e j e j w n k e k e l e l w 2 n i n k e i e k e l e l w 2 n i n k d i l e k d i k e l e l w 2 n k e k n i e i w 2 n i n i e l e l w 2 1 n n W 3 w n 1 w 2 1 n n w 3 n 1 1 n 1 n n w 3 n 1 W 4 w 2 n n 1 w 2 n n 1 w 4 n n n n n n 1 w 4 1 n n displaystyle begin aligned vec omega amp omega hat n quad text mit quad hat n 1 mathbf Omega amp omega hat n times mathbf 1 omega n i hat e i times hat e j otimes hat e j mathbf Omega 2 amp omega n i hat e i times hat e j otimes hat e j cdot omega n k hat e k times hat e l otimes hat e l omega 2 n i n k hat e i times hat e k times hat e l otimes hat e l amp omega 2 n i n k delta il hat e k delta ik hat e l otimes hat e l omega 2 n k hat e k otimes n i hat e i omega 2 n i n i hat e l otimes hat e l omega 2 mathbf 1 hat n otimes hat n mathbf Omega 3 amp omega hat n times mathbf 1 cdot omega 2 mathbf 1 hat n otimes hat n omega 3 hat n times mathbf 1 cdot mathbf 1 hat n times mathbf 1 cdot hat n otimes hat n omega 3 hat n times mathbf 1 mathbf Omega 4 amp omega 2 hat n otimes hat n mathbf 1 cdot omega 2 hat n otimes hat n mathbf 1 omega 4 hat n otimes hat n hat n otimes hat n hat n otimes hat n mathbf 1 omega 4 mathbf 1 hat n otimes hat n end aligned Oben ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden der zufolge uber in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes von eins bis drei zu summieren ist Nach vollstandiger Induktion ergeben sich die Potenzen W 2 k 1 k w 2 k 1 n n W 2 k 1 1 k w 2 k 1 n 1 displaystyle begin aligned mathbf Omega 2k amp 1 k omega 2k mathbf 1 hat n otimes hat n mathbf Omega 2k 1 amp 1 k omega 2k 1 hat n times mathbf 1 end aligned fur k 1 2 3 keine Summen Mit der Definition W0 1 kann das Exponential exp des Winkelgeschwindigkeitstensors mit der Taylorreihe ermittelt werden exp W t k 0 W t k k 1 k 1 W t 2 k 2 k k 0 W t 2 k 1 2 k 1 1 k 1 1 k w t 2 k 2 k 1 n n k 0 1 k w t 2 k 1 2 k 1 n 1 1 cos w t 1 1 n n sin w t n 1 displaystyle begin aligned exp mathbf Omega t amp sum k 0 infty frac mathbf Omega t k k mathbf 1 sum k 1 infty frac mathbf Omega t 2k 2k sum k 0 infty frac mathbf Omega t 2k 1 2k 1 amp mathbf 1 sum k 1 infty frac 1 k omega t 2k 2k mathbf 1 hat n otimes hat n sum k 0 infty frac 1 k omega t 2k 1 2k 1 hat n times mathbf 1 amp mathbf 1 cos omega t 1 mathbf 1 hat n otimes hat n sin omega t hat n times mathbf 1 end aligned Die letzte Gleichung stellt einen orthogonalen Tensor dar Wenn W nur als schiefsymmetrischer Tensor ohne das Kreuzprodukt definiert wird lasst sich das auf Drehungen in n Dimensionen verallgemeinern Winkelgeschwindigkeit des starren Korpers BearbeitenDie Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden starren Korpers oder Bezugssystems ist eine eindeutige Grosse unabhangig von der Wahl eines Bezugspunktes oder einer Drehachse denn an allen Punkten dreht sich die Richtung der Bahngeschwindigkeit in derselben Umlaufzeit einmal um 2 p displaystyle 2 pi Jeder Punkt eines starren Korpers hat den gleichen Winkelgeschwindigkeitsvektor Eindeutigkeit Bearbeiten Beweis der Unabhangigkeit der Winkelgeschwindigkeit von der Wahl des Bezugspunkts Der starre Korper moge um eine beliebige Achse rotieren Es wird gezeigt dass die Winkelgeschwindigkeit unabhangig ist von der Wahl des Bezugspunkts durch den die Achse fuhrt Dies bedeutet dass die Winkelgeschwindigkeit eine unabhangige Eigenschaft des rotierenden starren Korpers ist Der Ursprung des Laborsystems ist in O wahrend O1 und O2 zwei Punkte auf dem starren Korper mit den Geschwindigkeiten v 1 displaystyle vec v 1 bzw v 2 displaystyle vec v 2 sind Angenommen die Winkelgeschwindigkeit relativ zu O1 bzw O2 sei w 1 displaystyle vec omega 1 bzw w 2 displaystyle vec omega 2 Da Punkt P und O2 jeweils nur eine Geschwindigkeit haben gilt v 1 w 1 r 1 v 2 w 2 r 2 displaystyle vec v 1 vec omega 1 times vec r 1 vec v 2 vec omega 2 times vec r 2 v 2 v 1 w 1 r v 1 w 1 r 1 r 2 displaystyle vec v 2 vec v 1 vec omega 1 times vec r vec v 1 vec omega 1 times vec r 1 vec r 2 Einsetzen der unteren Gleichung fur v 2 displaystyle vec v 2 in die obere ergibt w 1 w 2 r 2 0 displaystyle vec omega 1 vec omega 2 times vec r 2 vec 0 Da der Punkt P und damit r 2 displaystyle vec r 2 beliebig wahlbar ist folgt daraus w 1 w 2 displaystyle vec omega 1 vec omega 2 Die Winkelgeschwindigkeit des starren Korpers ist somit unabhangig von der Wahl des Bezugspunkts der Drehachse Somit ist beispielsweise die Messung der Gierrate in einem Fahrzeug unabhangig vom Einbauort des Gierratensensors Kommutative Addition von Winkelgeschwindigkeiten Bearbeiten Mit kleiner werdendem Zeitintervall konvergiert das Kugelviereck schwarz gegen ein ebenes Parallelogramm und die Differenz der beiden Geschwindigkeiten x 12 x 21 displaystyle dot vec x 12 dot vec x 21 strebt gegen Null Obwohl Drehungen im Allgemeinen in ihrer Reihenfolge nicht vertauscht werden durfen ist bei der Winkelgeschwindigkeit die Kommutativitat der Addition gegeben Es spielt keine Rolle in welcher Reihenfolge die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit oder ganze Winkelgeschwindigkeitsvektoren addiert werden anders als bei endlichen Drehungen siehe Bild Mathematisch kann das durch Drehungen mit zwei Winkelgeschwindigkeiten in einem infinitesimal kleinen Zeitintervall dt gezeigt werden 3 Im Zeitintervall dt bewegt sich ein Partikel am Ort x displaystyle vec x nach x x w 1 x d t displaystyle vec x vec x vec omega 1 times vec x mathrm d t Eine weitere Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit w 2 displaystyle vec omega 2 liefert die Endposition x x w 2 x d t displaystyle vec x vec x vec omega 2 times vec x mathrm d t und die Verschiebung d x 12 x x x w 2 x d t x x w 1 x d t w 2 x w 1 x d t d t x w 1 x d t w 2 x d t w 2 w 1 x d t 2 displaystyle begin aligned mathrm d vec x 12 amp vec x vec x vec x vec omega 2 times vec x mathrm d t vec x amp vec x vec omega 1 times vec x mathrm d t vec omega 2 times vec x vec omega 1 times vec x mathrm d t mathrm d t vec x amp vec omega 1 times vec x mathrm d t vec omega 2 times vec x mathrm d t vec omega 2 times vec omega 1 times vec x mathrm d t 2 end aligned Der Grenzwert dt 0 kann berechnet werden x 12 lim d t 0 d x 12 d t w 1 w 2 x displaystyle dot vec x 12 lim mathrm d t to 0 frac mathrm d vec x 12 mathrm d t vec omega 1 vec omega 2 times vec x Diese Geschwindigkeit entspricht einer Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit w 1 w 2 displaystyle vec omega 1 vec omega 2 Bei umgekehrter Reihenfolge der infinitesimalen Drehungen leitet sich ein identisches Ergebnis fur die Geschwindigkeit x 21 displaystyle dot vec x 21 ab Deswegen addieren sich Winkelgeschwindigkeiten wie Vektoren und infinitesimal kleine Drehungen sind anders als grosse Drehungen in ihrer Reihenfolge vertauschbar Beweis mit Tensorrechnung Drehungen konnen mit orthogonalen Tensoren beschrieben werden von denen zwei Q1 2 gegeben seinen Mit den Definitionen W k Q k Q k W k Q k Q k Q k W k Q k displaystyle begin aligned mathbf Omega k amp dot mathbf Q k cdot mathbf Q k top bar mathbf Omega k amp mathbf Q k top cdot dot mathbf Q k mathbf Q k top cdot mathbf Omega k cdot mathbf Q k end aligned fur k 1 2 berechnet sich die Geschwindigkeit eines Vektors x 21 Q 1 Q 2 X displaystyle vec x 21 mathbf Q 1 cdot mathbf Q 2 cdot vec X der durch Drehung aus dem festen Vektor X displaystyle vec X hervorgeht zu x 21 Q 1 Q 2 Q 1 Q 2 X Q 1 Q 1 Q 1 Q 2 Q 2 Q 2 X Q 1 W 1 W 2 Q 2 X displaystyle begin aligned dot vec x 21 amp dot mathbf Q 1 cdot mathbf Q 2 mathbf Q 1 cdot dot mathbf Q 2 cdot vec X amp mathbf Q 1 cdot mathbf Q 1 top cdot dot mathbf Q 1 dot mathbf Q 2 cdot mathbf Q 2 top cdot mathbf Q 2 cdot vec X amp mathbf Q 1 cdot bar mathbf Omega 1 mathbf Omega 2 cdot mathbf Q 2 cdot vec X end aligned Bei umgekehrter Reihenfolge der Rotationen x 12 Q 2 Q 1 X displaystyle vec x 12 mathbf Q 2 cdot mathbf Q 1 cdot vec X ergibt sich analog die im Allgemeinen andere Geschwindigkeit x 12 Q 2 Q 1 Q 2 Q 1 X Q 2 W 2 W 1 Q 1 X displaystyle dot vec x 12 dot mathbf Q 2 cdot mathbf Q 1 mathbf Q 2 cdot dot mathbf Q 1 cdot vec X mathbf Q 2 cdot bar mathbf Omega 2 mathbf Omega 1 cdot mathbf Q 1 cdot vec X Diese Identitaten gelten bei beliebig grossen Rotationen Berechnung der Geschwindigkeiten im Zustand Q1 2 1 liefert die Winkelgeschwindigkeiten am Ort x x 12 x 21 X displaystyle vec x vec x 12 vec x 21 vec X Dann ist W 1 2 W 1 2 displaystyle bar mathbf Omega 1 2 mathbf Omega 1 2 und die obigen Gleichungen spezialisieren sich zu x 21 W 1 W 2 x w 1 w 2 x x 12 W 2 W 1 x w 2 w 1 x displaystyle begin aligned dot vec x 21 amp mathbf Omega 1 mathbf Omega 2 cdot vec x vec omega 1 vec omega 2 times vec x dot vec x 12 amp mathbf Omega 2 mathbf Omega 1 cdot vec x vec omega 2 vec omega 1 times vec x end aligned siehe Winkelgeschwindigkeitstensor und Winkelgeschwindigkeit Weil die Addition von Tensoren kommutativ ist stimmen die Geschwindigkeiten uberein x 21 x 12 v w 1 w 2 x w 2 w 1 x displaystyle dot vec x 21 dot vec x 12 vec v vec omega 1 vec omega 2 times vec x vec omega 2 vec omega 1 times vec x Somit ist die Kommutativitat der Addition der Winkelgeschwindigkeiten erwiesen Anwendungen und Beispiele BearbeitenDie Winkelgeschwindigkeit tritt in vielen Gleichungen und Anwendungsfallen der Physik der Astronomie oder der Technik auf Ein Himmelskorper der sich in einer Entfernung R von der Erde mit Geschwindigkeit v t displaystyle v t senkrecht zur Sehlinie bewegt zeigt am Himmel eine scheinbare Winkelgeschwindigkeit m v t R displaystyle mu v t R Bei Meteoren Sternschnuppen kann sie bis zu 90 pro Sekunde ausmachen sehr nahe Kleinplaneten oder Kometen konnen sich am Himmel einige Grad pro Stunde bewegen Bei Sternen wird die Winkelgeschwindigkeit in Winkelsekunden pro Jahr angegeben und Eigenbewegung genannt Nach dem dritten Kepler schen Gesetz verhalten sich die Quadrate der Umlaufzeiten T der Planeten wie die dritten Potenzen der grossen Halbachsen a ihrer Bahnen Die Winkelgeschwindigkeiten verhalten sich demnach wie w 1 a 3 2 displaystyle omega propto 1 a 3 2 Kepler Rotation Gemass dem zweiten Kepler schen Gesetz ist die Winkelgeschwindigkeit eines Planeten auf einer elliptischen Umlaufbahn in Bezug auf die Sonne vom jeweiligen Abstand abhangig und variiert somit langs der Bahn Sie ist am grossten wenn der Planet sich im Perihel befindet und am kleinsten wenn er sich im Aphel befindet Bei der Rotation eines starren Korpers um eine ortsfeste Achse ist die Winkelgeschwindigkeit w im Gegensatz zur Geschwindigkeit v vom Radius unabhangig Seine Rotationsenergie und sein Drehimpuls sind Funktionen seiner Winkelgeschwindigkeit Die Winkelgeschwindigkeit eines Rotors in einem Elektromotor der sich konstant mit 3 000 Umdrehungen pro Minute dreht betragtw 2 p 3000 1 60 s 314 16 rad s displaystyle omega 2 pi cdot 3000 cdot tfrac 1 60 text s 314 16 tfrac text rad text s dd Bei solchen Angaben von Drehzahlen werden auch Einheiten wie U m i n displaystyle mathrm tfrac U min und 1 m i n displaystyle mathrm tfrac 1 min verwendet siehe dazu den Artikel Drehzahl Sei w 0 displaystyle omega 0 die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung eines Pendels mit der Amplitude f displaystyle hat varphi Dann berechnet sich die Winkelgeschwindigkeit des Pendels als Funktion der Zeit w t f t d d t f sin w 0 t f w 0 cos w 0 t displaystyle omega t dot varphi t frac mathrm d mathrm d t hat varphi cdot sin omega 0 t hat varphi cdot omega 0 cdot cos omega 0 t dd Bei Flugzeugen oder Pkw werden die Winkelgeschwindigkeiten in Komponenten des fahrzeugfesten Koordinatensystems angegeben Entsprechend den x y z Komponenten spricht man von Roll Wankgeschwindigkeit Nickgeschwindigkeit Giergeschwindigkeit Naheres dazu findet sich im Flugwesen unter Rollachse Querachse Gierachse und im Fahrzeugbau unter Fahrdynamik Literatur BearbeitenDie Winkelgeschwindigkeit wird in vielen Lehrbuchern und Formelsammlungen der Natur und Ingenieurswissenschaften behandelt Horst Stocker Taschenbuch der Physik 6 Auflage Harri Deutsch 2010 ISBN 978 3 8171 1860 1 Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler 1 12 Auflage Vieweg Teubner 2009 ISBN 978 3 8348 0545 4 Einzelnachweise Bearbeiten Manfred Knaebel Helmut Jager Roland Mastel Technische Schwingungslehre Springer Verlag 2009 ISBN 978 3 8351 0180 7 S 8 ff books google com Jurgen Eichler Physik Grundlagen fur das Ingenieurstudium kurz und pragnant Springer DE 2011 ISBN 978 3 8348 9942 2 S 112 urn nbn de 1111 20110310734 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Institut fur Physik an der Universitat Rostock Hrsg Theoretische Physik II Theoretische Mechanik Kapitel 5 Starrer Korper und Kreiseltheorie S 109 Seite nicht mehr abrufbar Suche in Webarchiven 1 2 Vorlage Toter Link www qms uni rostock de online abgerufen am 6 Juni 2017 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Winkelgeschwindigkeit amp oldid 216344584, wikipedia, wiki, deutsches

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