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Winkel

In der Geometrie sind zur Definition des Winkels als Objekt verschiedene Ansätze möglich. Dabei lassen sich zwei Typen unterscheiden:

  • Der ungerichtete Winkel, der durch eine vorzeichenlose Winkelweite gekennzeichnet ist.
  • Der gerichtete Winkel, der über eine Orientierung verfügt, und als Drehwinkel oder Winkelabstand gemessen wird.

Darstellung als Strahlenpaar

Die eingangs angeführte Definition zweier von einem Punkt ausgehenden Strahlen ist in die Anwendungen wie etwa die Koordinatensysteme und deren Achsen eingebunden.

Darstellung als Halbgeradenpaar

Darstellung als Halbgeradenpaar

Der Winkel ist ein geometrisches Gebilde bestehend aus zwei Halbgeraden mit demselben Ursprung.

Sind f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} zwei Geraden, die sich in einem Punkt S {\displaystyle S} schneiden, so teilt der Punkt S {\displaystyle S} die Geraden f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} in Halbgeraden. Je eine Halbgerade von f {\displaystyle f} und g {\displaystyle g} (die Schenkel) zusammen mit S {\displaystyle S} (dem Scheitel) bilden einen Winkel.

Über die „ursprünglichen“ Geraden ermöglicht diese Darstellung etwa Betrachtungen über die verschiedenen Winkelpaare.

Darstellung als Teil der Ebene

Darstellung als Teil der Ebene
Der Winkel (besser: das Winkelfeld) ist ein Teilbereich der Zeichenebene, der von zwei Halbstrahlen oder Halbgeraden begrenzt wird. Diese bilden den Rand, und der Rest des Winkelfeldes das Innere.

Diese Definition wird im Schulunterricht verwendet und betont das „Körperhafte“ des Gebildes und dient – über die Festlegung eines Innen- und Außenraums – der Einführung in die Dreiecksgeometrie: Das Dreieck lässt sich als Schnittmenge zweier Winkel mit einem gemeinsamen Schenkel definieren.

Ad hoc ist bei diesen drei Ansätzen der Winkel ein ungerichteter Winkel, erst eine zusätzliche Auszeichnung einer der beiden Halbstrahlen oder Halbgeraden als die „erste“ ermöglicht die Angabe eines gerichteten Winkels.

Darstellung als Drehung

Drehwinkel

Man kann auch sagen, dass ein Winkel durch eine Drehung eines Strahls oder einer Halbgeraden in einer Ebene um seinen bzw. ihren Anfangspunkt entsteht.

Da es zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, den Strahl zu drehen, muss zusätzlich die Drehrichtung angegeben werden:

  • Linksdrehung: gegen den Uhrzeigersinn, auch mathematisch positiver Drehsinn genannt (Winkel ist positiv) – im Bild grün dargestellt.
  • Rechtsdrehung: mit dem Uhrzeigersinn, auch mathematisch negativer Drehsinn genannt (Winkel ist negativ) – im Bild violett dargestellt.

In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeigersinn – also im mathematisch positiven Drehsinn – auszuführen. Wenn die Drehung andersherum erfolgen soll, sollte dies ausdrücklich angegeben werden.

In der Geodäsie (Vermessungswesen) wird der Winkel im Uhrzeigersinn, also rechtsdrehend von 0 gon bis 400 gon gezählt. Da es in der Geodäsie per Definition keine negativen Winkel gibt, ist der Drehsinn positiv. Analog zur Uhr, auch hier wird von 0 bis 24 h positiv, rechtsdrehend gezählt. Alle geodätischen Messinstrumente werden zur Richtungs- oder Winkelmessung rechtsherum gedreht.

Bezeichnung von Winkeln

Die Angabe eines Winkels erfolgt nach DIN 1302 oder ISO 80000-2.

  • Winkel werden meistens mit kleinen griechischen Buchstaben, z. B. α {\displaystyle \alpha } oder β {\displaystyle \beta } , bezeichnet.
  • Ein Winkel f g {\displaystyle \angle fg} ist ein Winkel zwischen zwei Halbstrahlen, Geraden, Kanten und ähnlichem. Er wird dann von f {\displaystyle f} ausgehend Richtung g {\displaystyle g} gezählt.
  • Alternativ kann man die drei Punkte angeben, die den Winkel definieren, wobei der Scheitelpunkt immer in der Mitte steht, z. B. Winkel ABC, A B C {\displaystyle \angle ABC} oder veraltet A B C ^ {\displaystyle {\widehat {ABC}}} . Dies bezeichnet den Winkel zwischen [ B A ] {\displaystyle [BA]} und [ B C ] {\displaystyle [BC]} , wobei [ B A ] {\displaystyle [BA]} im mathematisch positiven Drehsinn auf [ B C ] {\displaystyle [BC]} gedreht wird.
  • Im englischen Sprachraum ist auch nur die Angabe des Scheitels B {\displaystyle \angle B} bzw. B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} üblich.

Für den Formelsatz steht das Zeichen »∠« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2220) zur Verfügung, für den gerichteten Winkel auch »∡« (TeX \measuredangle, U+2221measured angle, keine HTML-Entität), die sich beide im Unicode-Block Mathematische Operatoren finden. Das liegende Winkelzeichen entspricht den angloamerikanischen Gewohnheiten, im europäischen Formelsatz ist ein Zeichen üblich, das dem amerikanischen »∢« U+2222 für den Raumwinkel zum Verwechseln ähnlich sieht. »∠« findet auch für Neigung und Winkligkeit (Lagetoleranz, DIN EN ISO 1101) Verwendung. Speziell für den rechten Winkel verwendet man alternativ einen Winkel ohne Zusatz »∟«, einen Winkel mit Bogen und Punkt »⦝« oder einen Winkel mit Bogen »⊾«, in der Technik auch einen Winkel mit Quadrat »⦜« oder das Zeichen für Orthogonalität {\displaystyle \perp } .

ungerichteter Winkel
bzw. Winkel allgemein
gerichteter Winkel
Raumwinkel
∟ ⦝ ⊾ ⦜ {\displaystyle \perp }
alternative Kennzeichnung des rechten Winkels

Ausführliche Informationen bietet der Hauptartikel Winkelmaß, Umrechnungen sind bei den einzelnen Maßen zu finden.

Winkelmaß Maßeinheit 1 Vollwinkel = Einheitenzeichen
Vollwinkel 1
Bogenmaß Radiant 2π rad
Gradmaß Grad (Bogenminute, Bogensekunde) 360 ° ( ′ ″ )
Geodätisches Winkelmaß Gon (veraltet: Neugrad) 400 gon (veraltet: g)
Zeitmaß Stunden, Minuten, Sekunden 24 h m s
Nautischer Strich 32 ¯
Artilleristischer Strich (Schweiz: Artilleriepromille) 6400 mil ( A‰ )
Prozent, Promille nichtlinear %, ‰

Weitere Formen der Angabe eines Winkels:

Winkel nach Größe

Nullwinkel
0 {\displaystyle 0^{\circ }}
spitzer Winkel
kleiner als 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} Vollwinkel ( 90 {\displaystyle 90^{\circ }} bzw. 1 2 π {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \pi } );
rechter Winkel
gleich 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} Vollwinkel: 90 = 100 g = 1 2 π {\displaystyle 90^{\circ }=100^{\text{g}}={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi } ;
stumpfer Winkel
größer als 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} Vollwinkel ( 90 {\displaystyle 90^{\circ }} bzw. 1 2 π {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \pi } ) und kleiner als 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} Vollwinkel ( 180 {\displaystyle 180^{\circ }} bzw. π {\displaystyle \pi } );
gestreckter Winkel
gleich 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} Vollwinkel: 180 = 200 g = π {\displaystyle 180^{\circ }=200^{\text{g}}=\pi } ;
überstumpfer (erhabener) Winkel
größer als 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} Vollwinkel ( 180 {\displaystyle 180^{\circ }} bzw. π {\displaystyle \pi } ) und kleiner als 1 {\displaystyle 1} Vollwinkel ( 360 {\displaystyle 360^{\circ }} bzw. 2 π {\displaystyle 2\cdot \pi } );
voller Winkel, Vollwinkel (Vollkreis)
360 = 400 g = 2 π {\displaystyle 360^{\circ }=400^{\text{g}}=2\cdot \pi } .

Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180 {\displaystyle 180^{\circ }} . Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Jeweils zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich. Der Vollwinkel hat die Besonderheit, dass zwei der Winkel null sind.

Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

Der Vollwinkel ist in Deutschland, Österreich und der Schweiz eine gesetzliche Einheit im Messwesen, er besitzt kein Einheitenzeichen.

Spezielle Winkelpaare

Komplement- oder Komplementärwinkel

Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.

Komplementwinkel oder Komplementärwinkel

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel oder Komplementärwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel ( 90 {\displaystyle 90^{\circ }} ) ergänzen.

Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Supplement- oder Ergänzungswinkel
Nebenwinkel

Zwei Winkel heißen Supplementwinkel (auch: Supplementärwinkel), Supplement, Ergänzungswinkel oder kurz E-Winkel, wenn sie sich zu 180 {\displaystyle 180^{\circ }} ergänzen.

Nebenwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel.

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180 {\displaystyle 180^{\circ }} .

Sie sind also Supplementwinkel.

Scheitelwinkel oder Gegenwinkel

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel oder Gegenwinkel.

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

Stufenwinkel oder F-Winkel

Hauptartikel: Stufenwinkelsatz
Stufen- oder F-Winkel

Schneidet eine Gerade g {\displaystyle g} zwei Geraden h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} , so heißen die Winkel, die auf derselben Seite von g {\displaystyle g} und auf einander entsprechenden Seiten von h {\displaystyle h} bzw. h {\displaystyle h'} liegen, Stufen- oder F-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} parallel sind, gilt:

Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h {\displaystyle h} , h {\displaystyle h'} von einer weiteren Geraden g {\displaystyle g} so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf derselben Seite von g {\displaystyle g} und auf einander entsprechenden Seiten von h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} gleich groß sind, so sind die Geraden h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} parallel.

Wechselwinkel oder Z-Winkel

Wechsel- oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade g {\displaystyle g} zwei Geraden h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} , so heißen die Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten von g {\displaystyle g} und entgegengesetzten Seiten von h {\displaystyle h} bzw. h {\displaystyle h'} liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} parallel sind, gilt:

Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h {\displaystyle h} , h {\displaystyle h'} von einer weiteren Geraden g {\displaystyle g} so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von g {\displaystyle g} und unterschiedlichen Seiten von h {\displaystyle h} bzw. h {\displaystyle h'} gleich groß sind, so sind die Geraden h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} parallel.

Nachbarwinkel oder E-Winkel

Nachbar- oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade g {\displaystyle g} zwei weitere parallele Geraden h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} , so bezeichnet man die Winkel, die auf derselben Seite von g {\displaystyle g} , aber auf unterschiedlichen Seiten von h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} liegen, als Nachbar- oder E-Winkel.

Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180 {\displaystyle 180^{\circ }} .

Aus der Ergänzung der Winkel zu 180 {\displaystyle 180^{\circ }} kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h {\displaystyle h} , h {\displaystyle h'} von einer weiteren Geraden g {\displaystyle g} so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel, die auf derselben Seite von g {\displaystyle g} , aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden h {\displaystyle h} und h {\displaystyle h'} parallel.

Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180 {\displaystyle 180^{\circ }} ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die oben genannten Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

Normalwinkel

Normalwinkel a)
Normalwinkel b)

Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander normal stehen werden Normalwinkel genannt. Sie sind gleich groß oder ergänzen sich zu 180 {\displaystyle 180^{\circ }} . Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

Winkel nach Dimensionen

Zweidimensionale Winkel

Der einfachste Fall für Winkel sind die in diesem Artikel ausführlich beschriebenen Winkel in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Sie sind meistens die intuitive und umgangssprachliche Vorstellung, wenn von Winkeln die Rede ist.

Dreidimensionale Winkel

Im dreidimensionalen euklidischen Raum gibt es ebenfalls Winkel, die der klassischen Vorstellung von Winkel entsprechen. Das können zum Beispiel die Innenwinkel der Seitenflächen (Polygone) von Polyedern sein.

Hauptartikel: Diederwinkel
Diederwinkel zwischen zwei Flächen. Die Strecken, die den Winkel einschließen, entstehen, wenn diese Flächen orthogonal von einer Ebene geschnitten werden.

Zusätzlich gibt es die Neigungswinkel zwischen zwei Flächen oder Halbebenen, die Diederwinkel, Flächenwinkel oder Torsionswinkel. Diese Begriffe hängen vom fachlichen Kontext ab. Diederwinkel werden von zwei Flächen begrenzt, die jeweils von drei Punkten aufgespannt werden. Wenn diese Flächen orthogonal von einer Ebene geschnitten werden, entstehen zwei Strecken, die einen Winkel im herkömmlichen Sinn einschließen. Auch der Winkel zwischen zwei nicht parallelen Ebenen kann als Diederwinkel verstanden werden. Wenn diese zwei Ebenen orthogonal von einer dritten Ebene geschnitten werden, entstehen zwei Geraden, die zwei Scheitelwinkel im herkömmlichen Sinn einschließen. Diederwinkel werden ebenfalls in Gradmaß oder Bogenmaß angegeben und können maximal 360 {\displaystyle 360^{\circ }} oder 2 π {\displaystyle 2\cdot \pi } betragen.

Hauptartikel: Raumwinkel

Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstück zum zweidimensionalen für die Ebene definierten Winkel. Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum, der z. B. im Inneren eines gegebenen Kegel- oder Pyramidenmantels liegt.

Der Raumwinkel wird zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben. Dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m2. Da eine ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel.

Ω = 4 π s r 12,566 37 s r {\displaystyle \Omega =4\cdot \pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}56637\ \mathrm {sr} }

Winkel nach Geometrien

Üblicherweise werden Winkel im euklidischen Raum betrachtet. Diese Art von Geometrie wird euklidische Geometrie genannt.

Es können jedoch auch Winkel auf der Kugeloberfläche betrachtet und berechnet werden. Dann gelten andere Sätze und Gleichungen für die Winkel und Längen. Für die Berechnung der Winkel eines Kugeldreiecks ist zum Beispiel der Sinussatz für Kugeldreiecke und der Kosinussatz für Kugeldreiecke wichtig. Weitere Sätze sind unter Sphärische Trigonometrie - Kugeldreieck zu finden.

In einem hyperbolischer Raum gelten ebenfalls andere Sätze und Gleichungen für die betrachteten Winkel und Längen. Diese Art von Geometrie wird hyperbolische Geometrie genannt.

Winkel im Dreieck

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei spitze Winkel α {\displaystyle \alpha } und β {\displaystyle \beta } .

Wenn im rechtwinkligen Dreieck einer der spitzen Winkel α {\displaystyle \alpha } und β {\displaystyle \beta } gegeben ist, ist der andere eindeutig bestimmt, denn es gilt α + β = 90 {\displaystyle \alpha +\beta =90^{\circ }} .

Sind zwei der drei Seitenlängen a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} und c {\displaystyle c} bekannt, dann können die Winkel α {\displaystyle \alpha } und β {\displaystyle \beta } mithilfe einer inversen Winkelfunktion (Arkusfunktion) berechnet werden. Es gilt

α = arcsin ( a c ) = arccos ( b c ) = arctan ( a b ) = arccot ( b a ) = arcsec ( c b ) = arccsc ( c a ) {\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right)=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arcsec} \left({\frac {c}{b}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {c}{a}}\right)}
β = arcsin ( b c ) = arccos ( a c ) = arctan ( b a ) = arccot ( a b ) = arcsec ( c a ) = arccsc ( c b ) {\displaystyle \beta =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arcsec} \left({\frac {c}{a}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {c}{b}}\right)}

Allgemeines Dreieck

Ein Dreieck mit den Innenwinkeln α , {\displaystyle \alpha ,} β {\displaystyle \beta } und γ {\displaystyle \gamma } .

Wenn im allgemeinen Dreieck zwei der drei Innenwinkel α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } und γ {\displaystyle \gamma } gegeben sind, ist der dritte eindeutig bestimmt, denn es gilt α + β + γ = 180 {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }} .

Sind zwei Seitenlängen und ein gegenüberliegender Winkel gegeben, dann kann der andere gegenüberliegende Winkel mithilfe des Sinussatz berechnet werden. Es gilt zum Beispiel sin ( α ) = a sin β b {\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {a\cdot \sin \beta }{b}}} . Anwenden der Umkehrfunktion des Sinus (Arkussinus) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt α = arcsin ( a sin β b ) {\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {a\cdot \sin \beta }{b}}\right)} .

Sind alle drei Seitenlängen gegeben, dann können die Winkel mithilfe des Kosinussatz berechnet werden. Es gilt zum Beispiel cos α = b 2 + c 2 a 2 2 b c {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}} . Anwenden der Umkehrfunktion des Kosinus (Arkuskosinus) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt α = arccos b 2 + c 2 a 2 2 b c {\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}} .

Sind die Koordinaten der drei Ecken A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} eines Dreiecks gegeben, dann können die Innenwinkel als Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet werden. Sind b = A B {\displaystyle {\vec {b}}={\overrightarrow {AB}}} und c = A C {\displaystyle {\vec {c}}={\overrightarrow {AC}}} die von A {\displaystyle A} ausgehenden Vektoren, dann ergibt sich der Innenwinkel α = arccos b c | b | | c | {\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}{|{\vec {b}}||{\vec {c}}|}}} . Dabei ist b c {\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {c}}} das Skalarprodukt und | b | | c | {\displaystyle |{\vec {b}}||{\vec {c}}|} das Produkt der Längen der Vektoren.

Kugeldreieck

Zur Berechnung der Winkel im Kugeldreieck kann entsprechend der Sinussatz für Kugeldreiecke und der Kosinussatz für Kugeldreiecke verwendet werden, indem die Gleichung durch Anwenden von Arkussinus oder Arkuskosinus nach dem gesuchten Winkel aufgelöst wird.

Winkel im Tetraeder

Ein regelmäßiges Tetraeder mit dem Innenwinkel α = 60 {\displaystyle \alpha =60^{\circ }} , dem Tetraderwinkel τ = arccos ( 1 3 ) 109 28 16 {\displaystyle \tau =\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109^{\circ }\;28^{\prime }\;16^{\prime \prime }} , dem Diederwinkel β = arccos ( 1 3 ) 70 31 44 {\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 70^{\circ }\;31^{\prime }\;44^{\prime \prime }} und dem Winkel γ = arctan ( 2 ) 54 44 8 {\displaystyle \gamma =\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54^{\circ }\;44^{\prime }\;8^{\prime \prime }} zwischen Kante und Fläche

Im allgemeinen Tetraeder kommen zweidimensionale Winkel vor, zum Beispiel als Innenwinkel der dreieckigen Seitenflächen. Außerdem hat ein Tetraeder Diederwinkel zwischen benachbarten Seitenflächen und Raumwinkel in den Ecken. Das regelmäßige Tetraeder und seine Winkel sind ein Spezialfall des allgemeinen Tetraeders.

Neigungswinkel einer Geraden

Ist eine Gerade in der Ebene mit a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} in Koordinatenform gegeben, dann gilt für den Neigungswinkel α {\displaystyle \alpha } dieser Geraden:

tan α = a b {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{b}}}

Das folgt aus der Definition des Tangens. Anwenden der Umkehrfunktion des Tangens (Arkustangens) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt

α = arctan a b {\displaystyle \alpha =\arctan {\frac {a}{b}}}

Für den Spezialfall b = 0 {\displaystyle b=0} verläuft die Gerade senkrecht und diese Gleichungen sind nicht definiert. Die Funktion tan α {\displaystyle \tan \alpha } (Tangens) hat Polstellen bei α = 90 {\displaystyle \alpha =90^{\circ }} und α = 90 {\displaystyle \alpha =-90^{\circ }} .

Schnittwinkel zwischen zwei Geraden

Sind die zwei sich schneidenden Geraden g 1 = { p 1 + λ r 1 λ R } {\displaystyle g_{1}=\{\mathbf {p_{1}} +\lambda \mathbf {r_{1}} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}} und g 2 = { p 2 + λ r 2 λ R } {\displaystyle g_{2}=\{\mathbf {p_{2}} +\lambda \mathbf {r_{2}} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}} mit den Ortsvektoren p 1 {\displaystyle \mathbf {p_{1}} } und p 2 {\displaystyle \mathbf {p_{2}} } und den linear unabhängigen Richtungsvektoren r 1 {\displaystyle \mathbf {r_{1}} } und r 2 {\displaystyle \mathbf {r_{2}} } gegeben, dann ist der Schnittwinkel θ {\displaystyle \theta } zwischen diesen Geraden der Winkel zwischen den Richtungsvektoren:

θ = arccos r 1 r 2 | r 1 | | r 2 | {\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {r_{1}} \cdot \mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} ||\mathbf {r_{2}} |}}}

Die Geraden sind orthogonal zueinander, wenn der Schnittwinkel ein rechter Winkel ist, also θ = 90 {\displaystyle \theta =90^{\circ }} . Das ist genau dann der Fall, wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich 0 ist, also r 1 r 2 = 0 {\displaystyle \mathbf {r_{1}} \cdot \mathbf {r_{2}} =0} .

Sind zwei Geraden in der Ebene mit a 1 x + b 1 y = c 1 {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1}} und a 2 x + b 2 y = c 2 {\displaystyle a_{2}x+b_{2}y=c_{2}} in Koordinatenform gegeben, dann ist der Schnittwinkel θ {\displaystyle \theta } die Differenz der Neigungswinkel α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} und α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} der Geraden:

θ = α 1 α 2 {\displaystyle \theta =\alpha _{1}-\alpha _{2}}

Anwenden des Additionstheorems für den Tangens ergibt

tan θ = tan ( α 1 α 2 ) = tan α 1 tan α 2 1 + tan α 1 tan α 2 {\displaystyle \tan \theta =\tan(\alpha _{1}-\alpha _{2})={\frac {\tan \alpha _{1}-\tan \alpha _{2}}{1+\tan \alpha _{1}\tan \alpha _{2}}}}

Wegen tan α 1 = a 1 b 1 {\displaystyle \tan \alpha _{1}={\tfrac {a_{1}}{b_{1}}}} und tan α 2 = a 2 b 2 {\displaystyle \tan \alpha _{2}={\tfrac {a_{2}}{b_{2}}}} folgt daraus

tan α 1 tan α 2 1 + tan α 1 tan α 2 = a 1 b 1 a 2 b 2 1 + a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 + b 1 b 2 {\displaystyle {\frac {\tan \alpha _{1}-\tan \alpha _{2}}{1+\tan \alpha _{1}\tan \alpha _{2}}}={\frac {{\frac {a_{1}}{b_{1}}}-{\frac {a_{2}}{b_{2}}}}{1+{\frac {a_{1}a_{2}}{b_{1}b_{2}}}}}={\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}}

Insgesamt ergibt sich

tan θ = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 + b 1 b 2 {\displaystyle \tan \theta ={\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}}

Anwenden der Umkehrfunktion des Tangens (Arkustangens) auf beiden Seiten der Gleichung ergibt

θ = arctan a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 + b 1 b 2 {\displaystyle \theta =\arctan {\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}}

Die Geraden sind genau dann orthogonal zueinander, wenn der Nenner gleich 0 ist, also a 1 a 2 + b 1 b 2 = 0 {\displaystyle a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0} . Für diese Spezialfälle, nämlich für θ = 90 {\displaystyle \theta =90^{\circ }} und θ = 90 {\displaystyle \theta =-90^{\circ }} , sind die genannten Gleichungen nicht definiert. Die Funktion tan θ {\displaystyle \tan \theta } (Tangens) hat Polstellen bei θ = 90 {\displaystyle \theta =90^{\circ }} und θ = 90 {\displaystyle \theta =-90^{\circ }} .

Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene

Der Schnittwinkel α {\displaystyle \alpha } zwischen einer Gerade mit dem Richtungsvektor x {\displaystyle {\vec {x}}} und einer Ebene mit dem Normalenvektor n {\displaystyle {\vec {n}}} ist durch

sin α = | n x | | n | | x | {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}|}{|{\vec {n}}||{\vec {x}}|}}}

gegeben.

Schnittwinkel α {\displaystyle \alpha } , Gerade g, Ebene E, Projektionsgerade p γ = β = 90 α sin ( α ) = sin ( 90 γ ) = cos ( γ ) = | n x | | n | | x | {\displaystyle {\begin{aligned}&\,\gamma =\beta =90^{\circ }-\alpha \\\Rightarrow \,&\sin(\alpha )=\sin(90^{\circ }-\gamma )=\cos(\gamma )={\frac {|n\cdot x|}{|n||x|}}\end{aligned}}}
Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen: α = β = γ {\displaystyle \alpha =\beta =\gamma }

Schnittwinkel zweier Ebenen

Der Schnittwinkel α {\displaystyle \alpha } zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren n {\displaystyle {\vec {n}}} und m {\displaystyle {\vec {m}}} ist entsprechend

cos α = | n m | | n | | m | {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {m}}|}{|{\vec {n}}||{\vec {m}}|}}}

Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90-Grad-, 60-Grad-, 72-Grad- und 54-Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen.

Die Winkel 0 < α 180 {\displaystyle 0^{\circ }<\alpha \leq 180^{\circ }} sind in Dezimalgrad als Näherungskonstruktion mithilfe des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlengeraden konstruierbar.

Konstruktion des 90-Grad-Winkels (rechten Winkels)

Hauptartikel: Rechter Winkel

Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke s {\displaystyle s} .

Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt auf der Geraden

Fällen des Lotes
Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt auf der Geraden
  1. Zeichne einen Kreis um P {\displaystyle P} mit beliebigem Radius. Dieser Kreis schneidet g {\displaystyle g} in zwei Punkten.
  2. Zeichne um diese beiden Punkte jeweils einen Kreis. Die Radien der beiden Kreise müssen so gewählt sein, dass sich die Kreise in zwei Punkten schneiden.
  3. Verbinde die beiden Schnittpunkte dieser Kreise durch eine Gerade. Die so gezeichnete Gerade schneidet g {\displaystyle g} im rechten Winkel und zwar genau im Punkt P {\displaystyle P} .

Konstruktion für vorgegebenen Punkt außerhalb der Geraden (Fällen des Lotes)

  1. Zeichne einen Kreis um P {\displaystyle P} mit einem Radius größer als der Abstand des Punkts von der Geraden. Dieser Kreis schneidet g {\displaystyle g} in zwei Punkten.
  2. Die weitere Vorgehensweise entspricht der Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt.

Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt auf oder außerhalb der Geraden

Konstruktion für vorgegebenen Schnittpunkt auf oder außerhalb der Geraden mithilfe des sogenannten Thaleskreises.
  1. Wähle einen Punkt M {\displaystyle M} in der Nähe des gegebenen Punktes P 1 {\displaystyle P_{1}} bzw. P 2 {\displaystyle P_{2}} (siehe nebenstehendes Bild).
  2. Ziehe einen etwas größeren Halbkreis mit Radius | M P 1 | {\displaystyle |MP_{1}|} bzw. | M P 2 | {\displaystyle |MP_{2}|} bis dieser die Gerade g {\displaystyle g} in A {\displaystyle A} schneidet. Falls P 2 {\displaystyle P_{2}} gegeben ist, ergibt sich zusätzlich P 1 {\displaystyle P_{1}} als Schnittpunkt.
  3. Zeichne den Durchmesser des Halbkreises | A P 2 | {\displaystyle |AP_{2}|} ein.
  4. Die abschließende Gerade durch die Punkte P 1 {\displaystyle P_{1}} und P 2 {\displaystyle P_{2}} liefert den rechten Winkel am Scheitel P 1 {\displaystyle P_{1}} .

Konstruktion (ohne vorgegebenen Schnittpunkt)

Bei beliebigem Schnittpunkt entfällt die Festlegung symmetrischer Punkte auf der Geraden

  1. Wähle zwei Punkte M 1 {\displaystyle M_{1}} und M 2 {\displaystyle M_{2}} auf der Geraden, und zu diesen zwei Punkten zwei Kreisradien groß genug, dass die entsprechenden Kreise um M 1 {\displaystyle M_{1}} und M 2 {\displaystyle M_{2}} sich in zwei Punkten – im Weiteren S 1 {\displaystyle S_{1}} und S 2 {\displaystyle S_{2}} genannt – schneiden.
  2. Zeichne diese beiden Kreise (sie müssen nur soweit gezeichnet werden, dass die beiden Schnittpunkte erkennbar werden).
  3. Zeichne die durch die beiden Schnittpunkte S 1 {\displaystyle S_{1}} und S 2 {\displaystyle S_{2}} gehende Gerade. Diese Gerade ist senkrecht zu g {\displaystyle g} .

Hinweise

Man muss die Kreise nicht vollständig zeichnen. Es reicht, wenn die Schnittpunkte erkennbar sind. Prinzipiell wird die Konstruktion umso genauer, je größer der Abstand der beiden Schnittpunkte voneinander ist. Denn mit größerem Abstand werden die Auswirkungen von solchen Fehlern kleiner, die dadurch entstehen, dass die neugezeichnete Gerade oder auch schon die gezeichneten Schnittpunkte nicht genau mit den idealen Schnittpunkten übereinstimmen. Andererseits wird die genaue Erkennbarkeit der Schnittpunkte geringer, je flacher sich die Kreise schneiden, was umso mehr der Fall ist, je weiter die Kreisradien von einem Idealradius entfernt sind, bei dem sich die Kreise senkrecht schneiden.

Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte

Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte

Man halbiert eine gegebene Strecke, indem man die Endpunkte A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} der Strecke als Mittelpunkte zweier gleicher Kreisbögen wählt und deren zwei gemeinsamen Kreuzungspunkte P {\displaystyle P} und Q {\displaystyle Q} miteinander verbindet. Der dadurch erzeugte Schnittpunkt M {\displaystyle M} liefert somit die gesuchte Mitte der Strecke A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} .

Konstruktion eines 60-Grad-Winkels

Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt

  1. Ziehe einen Kreis auf der Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} um den gegebenen Punkt P {\displaystyle P} (Bild 1). Es ergeben sich die zwei Schnittpunkte A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} .
  2. Ziehe einen Kreis mit gleichem Radius z. B. um den Schnittpunkt B {\displaystyle B} (alternativ um A {\displaystyle A} ) und markiere die Kreuzung der beiden Kreise oberhalb der Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} als Schnittpunkt C . {\displaystyle C.} .
  3. Zeichne eine Gerade g 2 {\displaystyle g_{2}} durch den Punkt P {\displaystyle P} und den Schnittpunkt C . {\displaystyle C.} Somit schneidet die Gerade g 2 {\displaystyle g_{2}} im Scheitelpunkt P {\displaystyle P} die Gerade g 1 {\displaystyle g_{1}} im Winkel von 60 . {\displaystyle 60^{\circ }.}
Bild 1: Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt
Bild 2: Antragen eines 60°-Winkels durch einen Punkt außerhalb der Geraden.

Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden

  1. Fälle das Lot vom gegebenen Punkt P {\displaystyle P} auf die Gerade g {\displaystyle g} (Bild 2). Du erhältst die Hilfspunkte A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} sowie den Gegenpunkt C . {\displaystyle C.} Der Schnittpunkt ist der Fußpunkt M . {\displaystyle M.}
  2. Ziehe einen Kreis ( k 1 {\displaystyle k_{1}} ) um den Fußpunkt durch den gegebenen Punkt.
  3. Ziehe mit gleichem Radius einen Kreisbogen ( k 2 {\displaystyle k_{2}} ) um den Gegenpunkt C , {\displaystyle C,} du bekommst die Punkte D {\displaystyle D} und E , {\displaystyle E,} deren Verbindungsgerade die Mittelsenkrechte der Strecke C M ¯ {\displaystyle {\overline {CM}}} ist.
  4. Zeichne das gleichseitige Dreieck P D E . {\displaystyle PDE.} Die an P {\displaystyle P} anliegenden Seiten schneiden die Gerade auf gewünschte Weise.
Bild 3: Antragen eines 60-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden, auch möglich mithilfe eines sogenannten kollabierenden Zirkels.

Die nebenstehende Abbildung (Bild 3) zeigt eine alternative Vorgehensweise, die neben dem gegebenen Punkt P {\displaystyle P} und der gegebenen Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} nur vier Kreise mit gleichem Radius und die Gerade g 2 {\displaystyle g_{2}} für die Lösung benötigt. Im Verlauf der Konstruktion werden für das Ziehen eines Kreises stets zwei Punkte genutzt. Der Abstand der beiden Punkte ist gleich dem Kreisradius, aufgrund dessen könnte auch ein sogenannter euklidischer oder kollabierender Zirkel eingesetzt werden.

  1. Ziehe einen Kreis mit einem beliebigen Radius um P {\displaystyle P} , es ergibt den Schnittpunkt A {\displaystyle A} auf der Geraden g 1 . {\displaystyle g_{1}.}
  2. Ziehe den zweiten Kreis um Punkt A {\displaystyle A} durch P {\displaystyle P} sowie den dritten Kreis um den soeben erzeugten Punkt B {\displaystyle B} auf g 1 {\displaystyle g_{1}} durch A , {\displaystyle A,} er schneidet den Kreis um P {\displaystyle P} in C . {\displaystyle C.} Die Abstände von den Punkten P {\displaystyle P} und C {\displaystyle C} zu der Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} sind gleich.
  3. Schließlich ziehe den vierten Kreis um C {\displaystyle C} durch P {\displaystyle P} , der den Kreis um P {\displaystyle P} in D {\displaystyle D} schneidet, und zeichne die Gerade g 2 {\displaystyle g_{2}} durch die Punkte P {\displaystyle P} und D . {\displaystyle D.} Sie schneidet die Gerade g 1 {\displaystyle g_{1}} im Scheitelpunkt E {\displaystyle E} und liefert somit den Winkel A E D {\displaystyle AED} mit der gesuchten Winkelweite 60 . {\displaystyle 60^{\circ }.}

Konstruktion eines 30-Grad-Winkels

Der erste Gedanke ist vielleicht, die Konstruktionen des 60-Grad-Winkels zu verwenden, um den 30-Grad-Winkel durch einfache Halbierung des 60-Grad-Winkels zu erreichen. Die ersten beiden im Folgenden beschriebenen Vorgehensweisen zeigen aber, es geht auch mit weniger Konstruktionsschritten.

Antragen eines 30-Grad-Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt

  1. Bestimme den Punkt A {\displaystyle A} beliebig auf der Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} und ziehe einen Kreis um A {\displaystyle A} durch den gegebenen Punkt P {\displaystyle P} (siehe Bild 4). Es ergibt sich der Schnittpunkt B {\displaystyle B} .
  2. Ziehe einen Kreis mit gleichem Radius um B {\displaystyle B} und markiere die Kreuzung der beiden Kreise oberhalb der Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} als Schnittpunkt C . {\displaystyle C.} .
  3. Zeichne eine Gerade g 2 {\displaystyle g_{2}} durch den Punkt P {\displaystyle P} und den Schnittpunkt C . {\displaystyle C.} Somit schneidet die Gerade g 2 {\displaystyle g_{2}} im Scheitelpunkt P {\displaystyle P} die Gerade g 1 {\displaystyle g_{1}} im Winkel von 30 . {\displaystyle 30^{\circ }.}
Bild 4: Antragen eines 30-Grad-Winkels an eine Gerade g 1 {\displaystyle g_{1}} in einem gegebenen Scheitelpunkt P . {\displaystyle P.}

Antragen eines 30-Grad-Winkels an eine Gerade durch einen Punkt außerhalb der Geraden

  1. Fälle das Lot vom gegebenen Punkt P {\displaystyle P} auf die Gerade g 1 {\displaystyle g_{1}} folgendermaßen (siehe Bild 5): Mit einem beliebigen Radius um P {\displaystyle P} ergeben sich die Hilfspunkte A {\displaystyle A} und B , {\displaystyle B,} zwei kleine Kreisbögen mit dem Radius A P ¯ {\displaystyle {\overline {AP}}} um A {\displaystyle A} bzw. B {\displaystyle B} schneiden sich im Gegenpunkt C . {\displaystyle C.} Die Verbindung P {\displaystyle P} mit C {\displaystyle C} liefert den Fußpunkt D . {\displaystyle D.}
  2. Ziehe einen Kreisbogen mit dem Radius C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} um den Gegenpunkt C {\displaystyle C} und einen mit gleichem Radius um den Fußpunkt D , {\displaystyle D,} dabei ergibt sich der Punkt E . {\displaystyle E.}
  3. Verbinde den Punkt P {\displaystyle P} mit E , {\displaystyle E,} dabei ergibt sich der Punkt F {\displaystyle F} und am Scheitel P {\displaystyle P} der Winkel 30 . {\displaystyle 30^{\circ }.}
  4. Ziehe einen Kreisbogen mit dem Radius F P ¯ {\displaystyle {\overline {FP}}} um den Punkt F , {\displaystyle F,} Schnittpunkt mit g 1 {\displaystyle g_{1}} ist G . {\displaystyle G.}
  5. Ziehe einen Halbkreis mit dem Radius G F ¯ {\displaystyle {\overline {GF}}} um den Punkt G , {\displaystyle G,} Schnittpunkt mit g 1 {\displaystyle g_{1}} ist H . {\displaystyle H.} Die abschließende Gerade g 2 {\displaystyle g_{2}} durch H {\displaystyle H} und P {\displaystyle P} liefert am Scheitel H {\displaystyle H} den Winkel F H P {\displaystyle FHP} mit der Winkelweite 30 . {\displaystyle 30^{\circ }.}
Bild 5: Antragen eines 30-Grad-Winkels durch einen Punkt P {\displaystyle P} außerhalb der Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} .
Bild 6: Antragen eines 30-Grad-Winkels an eine Gerade g 1 {\displaystyle g_{1}} durch einen Punkt P {\displaystyle P} außerhalb der Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} , auch möglich mithilfe eines sogenannten kollabierenden Zirkels.

Die Darstellung im Bild 6 zeigt eine alternative Vorgehensweise. Sie benötigt für die Lösung, neben dem gegebenen Punkt P {\displaystyle P} und der gegebenen Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} , nur fünf Kreise mit gleichem Radius und die Gerade g 2 {\displaystyle g_{2}} . Die Konstruktion ist eine Weiterführung der Konstruktion des 60-Grad-Winkels (Bild 3). Dafür bedarf es nur noch des fünften Kreises, gezogen um Punkt D {\displaystyle D} durch P {\displaystyle P} , und schließlich der Geraden g 2 {\displaystyle g_{2}} durch die Punkte P {\displaystyle P} und E . {\displaystyle E.} Die Gerade g 2 {\displaystyle g_{2}} schneidet die Gerade g 1 {\displaystyle g_{1}} im Scheitelpunkt F {\displaystyle F} und liefert somit den Winkel A F P {\displaystyle AFP} mit der gesuchten Winkelweite 30 . {\displaystyle 30^{\circ }.}

Konstruktion eines 72-, 54- oder 18-Grad-Winkels

Die etwas exotischere Konstruktion eines 72- oder 54-Grad-Winkels findet man im regelmäßigen Fünfeck.

Winkel 72°, 54° und 18° im Fünfeck,EF =EC,BH =CG

Addition und Subtraktion von Winkeln

Winkelweite α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} und α 2 {\displaystyle \alpha _{2}}

Jeder Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel konstruktiv, sprich geometrisch, addieren und subtrahieren. Mit anderen Worten, möchte man z. B. (siehe drei Bilder) einen Winkel um die Größe eines anderen vermehren bzw. vermindern, so zeichnet man zunächst um die Scheitelpunkte der Winkel jeweils einen für beide Winkel gleich großen Kreisbogen, der beide Schenkel des jeweiligen Winkels schneidet oder berührt.

Winkel addieren

Zuerst wird der Kreisbogen A B C 1 {\displaystyle ABC_{1}} des ersten Winkels B A C 1 {\displaystyle BAC_{1}} über C 1 {\displaystyle C_{1}} hinaus verlängert, damit darauf auch der zweite Winkel B A C 2 {\displaystyle BAC_{2}} genügend Platz findet. Nun nimmt man die Winkelweite α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} am Abstand | B C 2 | {\displaystyle |BC_{2}|} in den Zirkel und überträgt sie damit, ab dem Schnittpunkt C 1 , {\displaystyle C_{1},} auf den verlängerten Kreisbogen. Es ergibt sich der Schnittpunkt C 3 . {\displaystyle C_{3}.} Abschließend wird der neue Winkelschenkel A C 3 ¯ {\displaystyle {\overline {AC_{3}}}} eingezeichnet.

Der somit durch geometrische Addition erzeugte Summenwinkel B A C 3 {\displaystyle BAC_{3}} hat die Winkelweite α 1 + α 2 . {\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}.}

Addition, Winkelweiten α 1 + α 2 {\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}
Subtraktion, Winkelweiten α 2 α 1 {\displaystyle \alpha _{2}-\alpha _{1}}
Winkel subtrahieren

Um den kleineren Winkel B A C 1 {\displaystyle BAC_{1}} vom größeren Winkel B A C 2 {\displaystyle BAC_{2}} zu subtrahieren (Bild: Winkelweite α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} und α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} ), nimmt man die Winkelweite α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} am Abstand | B C 1 | {\displaystyle |BC_{1}|} in den Zirkel und überträgt sie damit, ab dem Schnittpunkt C 2 , {\displaystyle C_{2},} auf den Kreisbogen A B C 2 . {\displaystyle ABC_{2}.} Es ergibt sich der Schnittpunkt C 3 . {\displaystyle C_{3}.} Abschließend wird der neue Winkelschenkel A C 3 ¯ {\displaystyle {\overline {AC_{3}}}} eingezeichnet.

Der somit durch geometrische Subtraktion erzeugte Differenzwinkel B A C 3 {\displaystyle BAC_{3}} hat die Winkelweite α 2 α 1 . {\displaystyle \alpha _{2}-\alpha _{1}.}

Winkelteilungen

Winkelhalbierung

Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleich große Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende. Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden ist gleich weit von den Schenkeln entfernt.

Konstruktion
Winkelhalbierung, Winkelhalbierende (rot)

Der zuerst gezeichnete Kreisbogen um den Scheitelpunkt A , {\displaystyle A,} mit einem beliebigen Radius, schneidet die Schenkel des Winkels in B {\displaystyle B} bzw. C . {\displaystyle C.} Nun wird, entweder mit der gleichen (siehe Bild) oder mit geänderter Zirkelöffnung, um die Schnittpunkte B {\displaystyle B} und C {\displaystyle C} jeweils ein gleich großer Kreisbogen geschlagen. Abschließend zieht man ab dem Scheitelpunkt

winkel, mathematische, größe, geometrie, sprache, beobachten, bearbeiten, dieser, artikel, erläutert, begriff, ebener, geometrie, für, weitere, bedeutungen, siehe, begriffsklärung, geometrie, teil, ebene, zwei, ebene, liegenden, strahlen, halbgeraden, gemeinsa. Winkel mathematische Grosse in der Geometrie Sprache Beobachten Bearbeiten Dieser Artikel erlautert den Begriff ebener Winkel in der Geometrie fur weitere Bedeutungen siehe Winkel Begriffsklarung Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen wird Scheitelpunkt des Winkels Winkelscheitel oder kurz Scheitel genannt die Strahlen heissen Schenkel des Winkels Ein Winkel kann durch drei Punkte festgelegt werden von denen einer den Scheitel des Winkels bildet und die beiden anderen auf je einem Schenkel des Winkels liegen Die physikalische Grosse die die relative Lage der Strahlen zueinander beschreibt wird als Winkelweite oder Winkelabstand Winkeldistanz bezeichnet ublicherweise auch verkurzend als Winkel wenn eine Unterscheidung von dem geometrischen Objekt nicht notwendig ist beispielsweise in der Physik Die Grosse des Winkels wird mit einem Winkelmass angegeben Die Winkelweite kann auch als Mass einer ebenen Drehung definiert werden Zur Unterscheidung vom Raumwinkel wird der hier definierte Winkel auch als ebener Winkel bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Darstellung als Strahlenpaar 1 2 Darstellung als Halbgeradenpaar 1 3 Darstellung als Teil der Ebene 1 4 Darstellung als Drehung 1 5 Bezeichnung von Winkeln 2 Winkelmasse und Masseinheiten fur Winkel 3 Arten von Winkeln 3 1 Winkel nach Grosse 3 2 Spezielle Winkelpaare 3 2 1 Komplementwinkel oder Komplementarwinkel 3 2 2 Supplementwinkel oder Erganzungswinkel 3 2 3 Nebenwinkel 3 2 4 Scheitelwinkel oder Gegenwinkel 3 2 5 Stufenwinkel oder F Winkel 3 2 6 Wechselwinkel oder Z Winkel 3 2 7 Nachbarwinkel oder E Winkel 3 2 8 Normalwinkel 3 3 Winkel nach Dimensionen 3 3 1 Zweidimensionale Winkel 3 3 2 Dreidimensionale Winkel 3 4 Winkel nach Geometrien 4 Berechnung von Winkeln 4 1 Winkel im Dreieck 4 1 1 Rechtwinkliges Dreieck 4 1 2 Allgemeines Dreieck 4 1 3 Kugeldreieck 4 2 Winkel im Tetraeder 4 3 Neigungswinkel einer Geraden 4 4 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden 4 5 Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene 4 6 Schnittwinkel zweier Ebenen 5 Winkelkonstruktion 5 1 Konstruktion des 90 Grad Winkels rechten Winkels 5 1 1 Konstruktion fur vorgegebenen Schnittpunkt auf der Geraden 5 1 2 Konstruktion fur vorgegebenen Punkt ausserhalb der Geraden Fallen des Lotes 5 1 3 Konstruktion fur vorgegebenen Schnittpunkt auf oder ausserhalb der Geraden 5 1 4 Konstruktion ohne vorgegebenen Schnittpunkt 5 1 5 Hinweise 5 1 6 Streckenhalbierung Mittelsenkrechte 5 2 Konstruktion eines 60 Grad Winkels 5 2 1 Antragen eines 60 Grad Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt 5 2 2 Antragen eines 60 Grad Winkels an eine Gerade durch einen Punkt ausserhalb der Geraden 5 3 Konstruktion eines 30 Grad Winkels 5 3 1 Antragen eines 30 Grad Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt 5 3 2 Antragen eines 30 Grad Winkels an eine Gerade durch einen Punkt ausserhalb der Geraden 5 4 Konstruktion eines 72 54 oder 18 Grad Winkels 5 5 Addition und Subtraktion von Winkeln 5 6 Winkelteilungen 5 6 1 Winkelhalbierung 5 6 2 Dreiteilung 5 6 3 Beliebige Teilung 5 7 Folgerung allgemeine Winkelkonstruktionen 6 Winkelmessung 7 Kreiswinkel 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenIn der Geometrie sind zur Definition des Winkels als Objekt verschiedene Ansatze moglich Dabei lassen sich zwei Typen unterscheiden Der ungerichtete Winkel der durch eine vorzeichenlose Winkelweite gekennzeichnet ist Der gerichtete Winkel der uber eine Orientierung verfugt und als Drehwinkel oder Winkelabstand gemessen wird Darstellung als Strahlenpaar Bearbeiten Die eingangs angefuhrte Definition zweier von einem Punkt ausgehenden Strahlen ist in die Anwendungen wie etwa die Koordinatensysteme und deren Achsen eingebunden Darstellung als Halbgeradenpaar Bearbeiten Darstellung als Halbgeradenpaar Der Winkel ist ein geometrisches Gebilde bestehend aus zwei Halbgeraden mit demselben Ursprung Sind f displaystyle f g displaystyle g zwei Geraden die sich in einem Punkt S displaystyle S schneiden so teilt der Punkt S displaystyle S die Geraden f displaystyle f g displaystyle g in Halbgeraden Je eine Halbgerade von f displaystyle f und g displaystyle g die Schenkel zusammen mit S displaystyle S dem Scheitel bilden einen Winkel Uber die ursprunglichen Geraden ermoglicht diese Darstellung etwa Betrachtungen uber die verschiedenen Winkelpaare Darstellung als Teil der Ebene Bearbeiten Darstellung als Teil der Ebene Der Winkel besser das Winkelfeld ist ein Teilbereich der Zeichenebene der von zwei Halbstrahlen oder Halbgeraden begrenzt wird Diese bilden den Rand und der Rest des Winkelfeldes das Innere Diese Definition wird im Schulunterricht verwendet und betont das Korperhafte des Gebildes und dient uber die Festlegung eines Innen und Aussenraums der Einfuhrung in die Dreiecksgeometrie Das Dreieck lasst sich als Schnittmenge zweier Winkel mit einem gemeinsamen Schenkel definieren Ad hoc ist bei diesen drei Ansatzen der Winkel ein ungerichteter Winkel erst eine zusatzliche Auszeichnung einer der beiden Halbstrahlen oder Halbgeraden als die erste ermoglicht die Angabe eines gerichteten Winkels Darstellung als Drehung Bearbeiten Drehwinkel Man kann auch sagen dass ein Winkel durch eine Drehung eines Strahls oder einer Halbgeraden in einer Ebene um seinen bzw ihren Anfangspunkt entsteht Da es zwei verschiedene Moglichkeiten gibt den Strahl zu drehen muss zusatzlich die Drehrichtung angegeben werden Linksdrehung gegen den Uhrzeigersinn auch mathematisch positiver Drehsinn genannt Winkel ist positiv im Bild grun dargestellt Rechtsdrehung mit dem Uhrzeigersinn auch mathematisch negativer Drehsinn genannt Winkel ist negativ im Bild violett dargestellt In der Mathematik ist es ublich die Drehung gegen den Uhrzeigersinn also im mathematisch positiven Drehsinn auszufuhren Wenn die Drehung andersherum erfolgen soll sollte dies ausdrucklich angegeben werden In der Geodasie Vermessungswesen wird der Winkel im Uhrzeigersinn also rechtsdrehend von 0 gon bis 400 gon gezahlt Da es in der Geodasie per Definition keine negativen Winkel gibt ist der Drehsinn positiv Analog zur Uhr auch hier wird von 0 bis 24 h positiv rechtsdrehend gezahlt Alle geodatischen Messinstrumente werden zur Richtungs oder Winkelmessung rechtsherum gedreht Bezeichnung von Winkeln Bearbeiten Die Angabe eines Winkels erfolgt nach DIN 1302 oder ISO 80000 2 Winkel werden meistens mit kleinen griechischen Buchstaben z B a displaystyle alpha oder b displaystyle beta bezeichnet Ein Winkel f g displaystyle angle fg ist ein Winkel zwischen zwei Halbstrahlen Geraden Kanten und ahnlichem Er wird dann von f displaystyle f ausgehend Richtung g displaystyle g gezahlt Alternativ kann man die drei Punkte angeben die den Winkel definieren wobei der Scheitelpunkt immer in der Mitte steht z B Winkel ABC A B C displaystyle angle ABC oder veraltet A B C displaystyle widehat ABC Dies bezeichnet den Winkel zwischen B A displaystyle BA und B C displaystyle BC wobei B A displaystyle BA im mathematisch positiven Drehsinn auf B C displaystyle BC gedreht wird Im englischen Sprachraum ist auch nur die Angabe des Scheitels B displaystyle angle B bzw B displaystyle hat B ublich Fur den Formelsatz steht das Zeichen HTML amp ang amp 8736 TeX angle Unicode U 2220 zur Verfugung fur den gerichteten Winkel auch TeX measuredangle U 2221 measured angle keine HTML Entitat die sich beide im Unicode Block Mathematische Operatoren finden Das liegende Winkelzeichen entspricht den angloamerikanischen Gewohnheiten im europaischen Formelsatz ist ein Zeichen ublich das dem amerikanischen U 2222 fur den Raumwinkel zum Verwechseln ahnlich sieht findet auch fur Neigung und Winkligkeit Lagetoleranz DIN EN ISO 1101 Verwendung Speziell fur den rechten Winkel verwendet man alternativ einen Winkel ohne Zusatz einen Winkel mit Bogen und Punkt oder einen Winkel mit Bogen in der Technik auch einen Winkel mit Quadrat oder das Zeichen fur Orthogonalitat displaystyle perp ungerichteter Winkel bzw Winkel allgemein gerichteter Winkel Raumwinkel displaystyle perp alternative Kennzeichnung des rechten WinkelsWinkelmasse und Masseinheiten fur Winkel BearbeitenAusfuhrliche Informationen bietet der Hauptartikel Winkelmass Umrechnungen sind bei den einzelnen Massen zu finden Winkelmass Masseinheit 1 Vollwinkel Einheitenzeichen Vollwinkel 1 Bogenmass Radiant 2p rad Gradmass Grad Bogenminute Bogensekunde 360 Geodatisches Winkelmass Gon veraltet Neugrad 400 gon veraltet g Zeitmass Stunden Minuten Sekunden 24 h m s Nautischer Strich 32 Artilleristischer Strich Schweiz Artilleriepromille 6400 mil A Prozent Promille nichtlinear Weitere Formen der Angabe eines Winkels Der Tangens der Winkelweite des Steigungswinkels auch Steigungsmass genannt entspricht der Massangabe in Prozent Ein Paar x y displaystyle x y mit Cosinus und Sinus entspricht den kartesischen Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis Arten von Winkeln BearbeitenWinkel nach Grosse Bearbeiten Nullwinkel 0 displaystyle 0 circ spitzer Winkel kleiner als 1 4 displaystyle tfrac 1 4 Vollwinkel 90 displaystyle 90 circ bzw 1 2 p displaystyle tfrac 1 2 cdot pi rechter Winkel gleich 1 4 displaystyle tfrac 1 4 Vollwinkel 90 100 g 1 2 p displaystyle 90 circ 100 text g tfrac 1 2 cdot pi stumpfer Winkel grosser als 1 4 displaystyle tfrac 1 4 Vollwinkel 90 displaystyle 90 circ bzw 1 2 p displaystyle tfrac 1 2 cdot pi und kleiner als 1 2 displaystyle tfrac 1 2 Vollwinkel 180 displaystyle 180 circ bzw p displaystyle pi gestreckter Winkel gleich 1 2 displaystyle tfrac 1 2 Vollwinkel 180 200 g p displaystyle 180 circ 200 text g pi uberstumpfer erhabener Winkel grosser als 1 2 displaystyle tfrac 1 2 Vollwinkel 180 displaystyle 180 circ bzw p displaystyle pi und kleiner als 1 displaystyle 1 Vollwinkel 360 displaystyle 360 circ bzw 2 p displaystyle 2 cdot pi voller Winkel Vollwinkel Vollkreis 360 400 g 2 p displaystyle 360 circ 400 text g 2 cdot pi Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180 displaystyle 180 circ Der rechte Winkel hat die Besonderheit dass diese beiden Winkel genau gleich sind Jeweils zwei gegenuberliegende Winkel sind gleich Der Vollwinkel hat die Besonderheit dass zwei der Winkel null sind Zwei Geraden oder Strecken die sich im rechten Winkel schneiden nennt man zueinander orthogonal In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt Der Vollwinkel ist in Deutschland Osterreich und der Schweiz eine gesetzliche Einheit im Messwesen er besitzt kein Einheitenzeichen Spezielle Winkelpaare Bearbeiten Komplement oder Komplementarwinkel Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen fur Paare von Winkeln die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen Die fur solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte Komplementwinkel oder Komplementarwinkel Bearbeiten Zwei Winkel heissen Komplementwinkel oder Komplementarwinkel wenn sie sich zu einem rechten Winkel 90 displaystyle 90 circ erganzen Supplementwinkel oder Erganzungswinkel Bearbeiten Supplement oder Erganzungswinkel Nebenwinkel Zwei Winkel heissen Supplementwinkel auch Supplementarwinkel Supplement Erganzungswinkel oder kurz E Winkel wenn sie sich zu 180 displaystyle 180 circ erganzen Nebenwinkel Bearbeiten Schneiden sich zwei Geraden so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel Nebenwinkel erganzen sich zu 180 displaystyle 180 circ Sie sind also Supplementwinkel Scheitelwinkel oder Gegenwinkel Bearbeiten Scheitelwinkel Schneiden sich zwei Geraden so bezeichnet man das Paar gegenuberliegender Winkel als Scheitelwinkel oder Gegenwinkel Scheitelwinkel sind immer gleich gross Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden Stufenwinkel oder F Winkel Bearbeiten Hauptartikel Stufenwinkelsatz Stufen oder F Winkel Schneidet eine Gerade g displaystyle g zwei Geraden h displaystyle h und h displaystyle h so heissen die Winkel die auf derselben Seite von g displaystyle g und auf einander entsprechenden Seiten von h displaystyle h bzw h displaystyle h liegen Stufen oder F Winkel 1 Fur den Fall dass die Geraden h displaystyle h und h displaystyle h parallel sind gilt Stufenwinkel an Parallelen sind gleich gross Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelitat von Geraden geschlossen werden Wird ein Geradenpaar h displaystyle h h displaystyle h von einer weiteren Geraden g displaystyle g so geschnitten dass die Schnittwinkel auf derselben Seite von g displaystyle g und auf einander entsprechenden Seiten von h displaystyle h und h displaystyle h gleich gross sind so sind die Geraden h displaystyle h und h displaystyle h parallel Wechselwinkel oder Z Winkel Bearbeiten Wechsel oder Z Winkel Schneidet eine Gerade g displaystyle g zwei Geraden h displaystyle h und h displaystyle h so heissen die Winkel die auf unterschiedlichen Seiten von g displaystyle g und entgegengesetzten Seiten von h displaystyle h bzw h displaystyle h liegen Wechsel oder Z Winkel 1 Fur den Fall dass die Geraden h displaystyle h und h displaystyle h parallel sind gilt Wechselwinkel an Parallelen sind gleich gross Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelitat von Geraden geschlossen werden Wird ein Geradenpaar h displaystyle h h displaystyle h von einer weiteren Geraden g displaystyle g so geschnitten dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von g displaystyle g und unterschiedlichen Seiten von h displaystyle h bzw h displaystyle h gleich gross sind so sind die Geraden h displaystyle h und h displaystyle h parallel Nachbarwinkel oder E Winkel Bearbeiten Nachbar oder E Winkel Schneidet eine Gerade g displaystyle g zwei weitere parallele Geraden h displaystyle h und h displaystyle h so bezeichnet man die Winkel die auf derselben Seite von g displaystyle g aber auf unterschiedlichen Seiten von h displaystyle h und h displaystyle h liegen als Nachbar oder E Winkel 1 Nachbarwinkel erganzen sich zu 180 displaystyle 180 circ Aus der Erganzung der Winkel zu 180 displaystyle 180 circ kann umgekehrt auf die Parallelitat von Geraden geschlossen werden Wird ein Geradenpaar h displaystyle h h displaystyle h von einer weiteren Geraden g displaystyle g so geschnitten dass sich die Schnittwinkel die auf derselben Seite von g displaystyle g aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von h displaystyle h und h displaystyle h liegen zu 180 erganzen so sind die Geraden h displaystyle h und h displaystyle h parallel Die Eigenschaft dass sich Nachbarwinkel zu 180 displaystyle 180 circ erganzen folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie Die oben genannten Eigenschaften von Stufen und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten Normalwinkel Bearbeiten Normalwinkel a Normalwinkel b Winkel deren Schenkel paarweise aufeinander normal stehen werden Normalwinkel genannt Sie sind gleich gross oder erganzen sich zu 180 displaystyle 180 circ 2 Vergleiche nebenstehende Abbildungen Winkel nach Dimensionen Bearbeiten Zweidimensionale Winkel Bearbeiten Der einfachste Fall fur Winkel sind die in diesem Artikel ausfuhrlich beschriebenen Winkel in der zweidimensionalen euklidischen Ebene Sie sind meistens die intuitive und umgangssprachliche Vorstellung wenn von Winkeln die Rede ist Dreidimensionale Winkel Bearbeiten Im dreidimensionalen euklidischen Raum gibt es ebenfalls Winkel die der klassischen Vorstellung von Winkel entsprechen Das konnen zum Beispiel die Innenwinkel der Seitenflachen Polygone von Polyedern sein Hauptartikel Diederwinkel Diederwinkel zwischen zwei Flachen Die Strecken die den Winkel einschliessen entstehen wenn diese Flachen orthogonal von einer Ebene geschnitten werden Zusatzlich gibt es die Neigungswinkel zwischen zwei Flachen oder Halbebenen die Diederwinkel Flachenwinkel oder Torsionswinkel Diese Begriffe hangen vom fachlichen Kontext ab Diederwinkel werden von zwei Flachen begrenzt die jeweils von drei Punkten aufgespannt werden Wenn diese Flachen orthogonal von einer Ebene geschnitten werden entstehen zwei Strecken die einen Winkel im herkommlichen Sinn einschliessen Auch der Winkel zwischen zwei nicht parallelen Ebenen kann als Diederwinkel verstanden werden Wenn diese zwei Ebenen orthogonal von einer dritten Ebene geschnitten werden entstehen zwei Geraden die zwei Scheitelwinkel im herkommlichen Sinn einschliessen Diederwinkel werden ebenfalls in Gradmass oder Bogenmass angegeben und konnen maximal 360 displaystyle 360 circ oder 2 p displaystyle 2 cdot pi betragen Hauptartikel Raumwinkel Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstuck zum zweidimensionalen fur die Ebene definierten Winkel Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum der z B im Inneren eines gegebenen Kegel oder Pyramidenmantels liegt Der Raumwinkel wird zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant sr angegeben Dies entspricht dem Bogenmass mit der Einheit Radiant rad beim ebenen Winkel Ein Raumwinkel von 1 sr umschliesst auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Flache von 1 m2 Da eine ganze Kugeloberflache den Flacheninhalt hat ist der zugehorige volle Raumwinkel W 4 p s r 12 566 37 s r displaystyle Omega 4 cdot pi mathrm sr approx 12 56637 mathrm sr Kanonischer Raumwinkel Raumwinkel einer PyramideWinkel nach Geometrien Bearbeiten Ublicherweise werden Winkel im euklidischen Raum betrachtet Diese Art von Geometrie wird euklidische Geometrie genannt Es konnen jedoch auch Winkel auf der Kugeloberflache betrachtet und berechnet werden Dann gelten andere Satze und Gleichungen fur die Winkel und Langen Fur die Berechnung der Winkel eines Kugeldreiecks ist zum Beispiel der Sinussatz fur Kugeldreiecke und der Kosinussatz fur Kugeldreiecke wichtig Weitere Satze sind unter Spharische Trigonometrie Kugeldreieck zu finden In einem hyperbolischer Raum gelten ebenfalls andere Satze und Gleichungen fur die betrachteten Winkel und Langen Diese Art von Geometrie wird hyperbolische Geometrie genannt Kugeldreieck mit Winkeln Dreieck mit Winkeln im hyperbolischen RaumBerechnung von Winkeln BearbeitenWinkel im Dreieck Bearbeiten Rechtwinkliges Dreieck Bearbeiten Ein rechtwinkliges Dreieck hat zwei spitze Winkel a displaystyle alpha und b displaystyle beta Wenn im rechtwinkligen Dreieck einer der spitzen Winkel a displaystyle alpha und b displaystyle beta gegeben ist ist der andere eindeutig bestimmt denn es gilt a b 90 displaystyle alpha beta 90 circ Sind zwei der drei Seitenlangen a displaystyle a b displaystyle b und c displaystyle c bekannt dann konnen die Winkel a displaystyle alpha und b displaystyle beta mithilfe einer inversen Winkelfunktion Arkusfunktion berechnet werden Es gilt a arcsin a c arccos b c arctan a b arccot b a arcsec c b arccsc c a displaystyle alpha arcsin left frac a c right arccos left frac b c right arctan left frac a b right operatorname arccot left frac b a right operatorname arcsec left frac c b right operatorname arccsc left frac c a right b arcsin b c arccos a c arctan b a arccot a b arcsec c a arccsc c b displaystyle beta arcsin left frac b c right arccos left frac a c right arctan left frac b a right operatorname arccot left frac a b right operatorname arcsec left frac c a right operatorname arccsc left frac c b right Allgemeines Dreieck Bearbeiten Ein Dreieck mit den Innenwinkeln a displaystyle alpha b displaystyle beta und g displaystyle gamma Wenn im allgemeinen Dreieck zwei der drei Innenwinkel a displaystyle alpha b displaystyle beta und g displaystyle gamma gegeben sind ist der dritte eindeutig bestimmt denn es gilt a b g 180 displaystyle alpha beta gamma 180 circ Sind zwei Seitenlangen und ein gegenuberliegender Winkel gegeben dann kann der andere gegenuberliegende Winkel mithilfe des Sinussatz berechnet werden Es gilt zum Beispiel sin a a sin b b displaystyle sin alpha frac a cdot sin beta b Anwenden der Umkehrfunktion des Sinus Arkussinus auf beiden Seiten der Gleichung ergibt a arcsin a sin b b displaystyle alpha arcsin left frac a cdot sin beta b right Sind alle drei Seitenlangen gegeben dann konnen die Winkel mithilfe des Kosinussatz berechnet werden Es gilt zum Beispiel cos a b 2 c 2 a 2 2 b c displaystyle cos alpha frac b 2 c 2 a 2 2 cdot b cdot c Anwenden der Umkehrfunktion des Kosinus Arkuskosinus auf beiden Seiten der Gleichung ergibt a arccos b 2 c 2 a 2 2 b c displaystyle alpha arccos frac b 2 c 2 a 2 2 cdot b cdot c Sind die Koordinaten der drei Ecken A displaystyle A B displaystyle B C displaystyle C eines Dreiecks gegeben dann konnen die Innenwinkel als Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet werden Sind b A B displaystyle vec b overrightarrow AB und c A C displaystyle vec c overrightarrow AC die von A displaystyle A ausgehenden Vektoren dann ergibt sich der Innenwinkel a arccos b c b c displaystyle alpha arccos frac vec b cdot vec c vec b vec c Dabei ist b c displaystyle vec b cdot vec c das Skalarprodukt und b c displaystyle vec b vec c das Produkt der Langen der Vektoren Kugeldreieck Bearbeiten Zur Berechnung der Winkel im Kugeldreieck kann entsprechend der Sinussatz fur Kugeldreiecke und der Kosinussatz fur Kugeldreiecke verwendet werden indem die Gleichung durch Anwenden von Arkussinus oder Arkuskosinus nach dem gesuchten Winkel aufgelost wird Winkel im Tetraeder Bearbeiten Ein regelmassiges Tetraeder mit dem Innenwinkel a 60 displaystyle alpha 60 circ dem Tetraderwinkel t arccos 1 3 109 28 16 displaystyle tau arccos left frac 1 3 right approx 109 circ 28 prime 16 prime prime dem Diederwinkel b arccos 1 3 70 31 44 displaystyle beta arccos left frac 1 3 right approx 70 circ 31 prime 44 prime prime und dem Winkel g arctan 2 54 44 8 displaystyle gamma arctan left sqrt 2 right approx 54 circ 44 prime 8 prime prime zwischen Kante und Flache Siehe auch Tetraeder Berechnung des regelmassigen Tetraeders Siehe auch Tetraeder Berechnung eines beliebigen Tetraeders Im allgemeinen Tetraeder kommen zweidimensionale Winkel vor zum Beispiel als Innenwinkel der dreieckigen Seitenflachen Ausserdem hat ein Tetraeder Diederwinkel zwischen benachbarten Seitenflachen und Raumwinkel in den Ecken Das regelmassige Tetraeder und seine Winkel sind ein Spezialfall des allgemeinen Tetraeders Neigungswinkel einer Geraden Bearbeiten Ist eine Gerade in der Ebene mit a x b y c displaystyle ax by c in Koordinatenform gegeben dann gilt fur den Neigungswinkel a displaystyle alpha dieser Geraden tan a a b displaystyle tan alpha frac a b Das folgt aus der Definition des Tangens Anwenden der Umkehrfunktion des Tangens Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung ergibt a arctan a b displaystyle alpha arctan frac a b Fur den Spezialfall b 0 displaystyle b 0 verlauft die Gerade senkrecht und diese Gleichungen sind nicht definiert Die Funktion tan a displaystyle tan alpha Tangens hat Polstellen bei a 90 displaystyle alpha 90 circ und a 90 displaystyle alpha 90 circ 3 Schnittwinkel zwischen zwei Geraden Bearbeiten Sind die zwei sich schneidenden Geraden g 1 p 1 l r 1 l R displaystyle g 1 mathbf p 1 lambda mathbf r 1 mid lambda in mathbb R und g 2 p 2 l r 2 l R displaystyle g 2 mathbf p 2 lambda mathbf r 2 mid lambda in mathbb R mit den Ortsvektoren p 1 displaystyle mathbf p 1 und p 2 displaystyle mathbf p 2 und den linear unabhangigen Richtungsvektoren r 1 displaystyle mathbf r 1 und r 2 displaystyle mathbf r 2 gegeben dann ist der Schnittwinkel 8 displaystyle theta zwischen diesen Geraden der Winkel zwischen den Richtungsvektoren 8 arccos r 1 r 2 r 1 r 2 displaystyle theta arccos frac mathbf r 1 cdot mathbf r 2 mathbf r 1 mathbf r 2 Die Geraden sind orthogonal zueinander wenn der Schnittwinkel ein rechter Winkel ist also 8 90 displaystyle theta 90 circ Das ist genau dann der Fall wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren gleich 0 ist also r 1 r 2 0 displaystyle mathbf r 1 cdot mathbf r 2 0 4 Sind zwei Geraden in der Ebene mit a 1 x b 1 y c 1 displaystyle a 1 x b 1 y c 1 und a 2 x b 2 y c 2 displaystyle a 2 x b 2 y c 2 in Koordinatenform gegeben dann ist der Schnittwinkel 8 displaystyle theta die Differenz der Neigungswinkel a 1 displaystyle alpha 1 und a 2 displaystyle alpha 2 der Geraden 8 a 1 a 2 displaystyle theta alpha 1 alpha 2 Anwenden des Additionstheorems fur den Tangens ergibt tan 8 tan a 1 a 2 tan a 1 tan a 2 1 tan a 1 tan a 2 displaystyle tan theta tan alpha 1 alpha 2 frac tan alpha 1 tan alpha 2 1 tan alpha 1 tan alpha 2 Wegen tan a 1 a 1 b 1 displaystyle tan alpha 1 tfrac a 1 b 1 und tan a 2 a 2 b 2 displaystyle tan alpha 2 tfrac a 2 b 2 folgt daraus tan a 1 tan a 2 1 tan a 1 tan a 2 a 1 b 1 a 2 b 2 1 a 1 a 2 b 1 b 2 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 displaystyle frac tan alpha 1 tan alpha 2 1 tan alpha 1 tan alpha 2 frac frac a 1 b 1 frac a 2 b 2 1 frac a 1 a 2 b 1 b 2 frac a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 Insgesamt ergibt sich tan 8 a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 displaystyle tan theta frac a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 Anwenden der Umkehrfunktion des Tangens Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung ergibt 8 arctan a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 displaystyle theta arctan frac a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 b 1 b 2 Die Geraden sind genau dann orthogonal zueinander wenn der Nenner gleich 0 ist also a 1 a 2 b 1 b 2 0 displaystyle a 1 a 2 b 1 b 2 0 Fur diese Spezialfalle namlich fur 8 90 displaystyle theta 90 circ und 8 90 displaystyle theta 90 circ sind die genannten Gleichungen nicht definiert Die Funktion tan 8 displaystyle tan theta Tangens hat Polstellen bei 8 90 displaystyle theta 90 circ und 8 90 displaystyle theta 90 circ 5 Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene Bearbeiten Siehe auch Schnittwinkel Geometrie Schnittwinkel einer Kurve mit einer Flache Der Schnittwinkel a displaystyle alpha zwischen einer Gerade mit dem Richtungsvektor x displaystyle vec x und einer Ebene mit dem Normalenvektor n displaystyle vec n ist durch sin a n x n x displaystyle sin alpha frac vec n cdot vec x vec n vec x gegeben Schnittwinkel a displaystyle alpha Gerade g Ebene E Projektionsgerade p g b 90 a sin a sin 90 g cos g n x n x displaystyle begin aligned amp gamma beta 90 circ alpha Rightarrow amp sin alpha sin 90 circ gamma cos gamma frac n cdot x n x end aligned Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen a b g displaystyle alpha beta gamma Schnittwinkel zweier Ebenen Bearbeiten Siehe auch Schnittwinkel Geometrie Schnittwinkel zweier Flachen Der Schnittwinkel a displaystyle alpha zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren n displaystyle vec n und m displaystyle vec m ist entsprechend cos a n m n m displaystyle cos alpha frac vec n cdot vec m vec n vec m Winkelkonstruktion BearbeitenEinige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren Dazu gehoren der 90 Grad 60 Grad 72 Grad und 54 Grad Winkel sowie samtliche Winkel die durch Verdoppelung Halbierung Addition oder Subtraktion siehe unten dieser Winkel entstehen Die Winkel 0 lt a 180 displaystyle 0 circ lt alpha leq 180 circ sind in Dezimalgrad als Naherungskonstruktion mithilfe des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlengeraden konstruierbar Konstruktion des 90 Grad Winkels rechten Winkels Bearbeiten Hauptartikel Rechter Winkel Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke s displaystyle s Konstruktion fur vorgegebenen Schnittpunkt auf der Geraden Bearbeiten Fallen des Lotes Konstruktion fur vorgegebenen Schnittpunkt auf der Geraden Zeichne einen Kreis um P displaystyle P mit beliebigem Radius Dieser Kreis schneidet g displaystyle g in zwei Punkten Zeichne um diese beiden Punkte jeweils einen Kreis Die Radien der beiden Kreise mussen so gewahlt sein dass sich die Kreise in zwei Punkten schneiden Verbinde die beiden Schnittpunkte dieser Kreise durch eine Gerade Die so gezeichnete Gerade schneidet g displaystyle g im rechten Winkel und zwar genau im Punkt P displaystyle P Konstruktion fur vorgegebenen Punkt ausserhalb der Geraden Fallen des Lotes Bearbeiten Zeichne einen Kreis um P displaystyle P mit einem Radius grosser als der Abstand des Punkts von der Geraden Dieser Kreis schneidet g displaystyle g in zwei Punkten Die weitere Vorgehensweise entspricht der Konstruktion fur vorgegebenen Schnittpunkt Konstruktion fur vorgegebenen Schnittpunkt auf oder ausserhalb der Geraden Bearbeiten Konstruktion fur vorgegebenen Schnittpunkt auf oder ausserhalb der Geraden mithilfe des sogenannten Thaleskreises Wahle einen Punkt M displaystyle M in der Nahe des gegebenen Punktes P 1 displaystyle P 1 bzw P 2 displaystyle P 2 siehe nebenstehendes Bild Ziehe einen etwas grosseren Halbkreis mit Radius M P 1 displaystyle MP 1 bzw M P 2 displaystyle MP 2 bis dieser die Gerade g displaystyle g in A displaystyle A schneidet Falls P 2 displaystyle P 2 gegeben ist ergibt sich zusatzlich P 1 displaystyle P 1 als Schnittpunkt Zeichne den Durchmesser des Halbkreises A P 2 displaystyle AP 2 ein Die abschliessende Gerade durch die Punkte P 1 displaystyle P 1 und P 2 displaystyle P 2 liefert den rechten Winkel am Scheitel P 1 displaystyle P 1 Konstruktion ohne vorgegebenen Schnittpunkt Bearbeiten Bei beliebigem Schnittpunkt entfallt die Festlegung symmetrischer Punkte auf der Geraden Wahle zwei Punkte M 1 displaystyle M 1 und M 2 displaystyle M 2 auf der Geraden und zu diesen zwei Punkten zwei Kreisradien gross genug dass die entsprechenden Kreise um M 1 displaystyle M 1 und M 2 displaystyle M 2 sich in zwei Punkten im Weiteren S 1 displaystyle S 1 und S 2 displaystyle S 2 genannt schneiden Zeichne diese beiden Kreise sie mussen nur soweit gezeichnet werden dass die beiden Schnittpunkte erkennbar werden Zeichne die durch die beiden Schnittpunkte S 1 displaystyle S 1 und S 2 displaystyle S 2 gehende Gerade Diese Gerade ist senkrecht zu g displaystyle g Hinweise Bearbeiten Man muss die Kreise nicht vollstandig zeichnen Es reicht wenn die Schnittpunkte erkennbar sind Prinzipiell wird die Konstruktion umso genauer je grosser der Abstand der beiden Schnittpunkte voneinander ist Denn mit grosserem Abstand werden die Auswirkungen von solchen Fehlern kleiner die dadurch entstehen dass die neugezeichnete Gerade oder auch schon die gezeichneten Schnittpunkte nicht genau mit den idealen Schnittpunkten ubereinstimmen Andererseits wird die genaue Erkennbarkeit der Schnittpunkte geringer je flacher sich die Kreise schneiden was umso mehr der Fall ist je weiter die Kreisradien von einem Idealradius entfernt sind bei dem sich die Kreise senkrecht schneiden Streckenhalbierung Mittelsenkrechte Bearbeiten Streckenhalbierung Mittelsenkrechte Man halbiert eine gegebene Strecke indem man die Endpunkte A displaystyle A und B displaystyle B der Strecke als Mittelpunkte zweier gleicher Kreisbogen wahlt und deren zwei gemeinsamen Kreuzungspunkte P displaystyle P und Q displaystyle Q miteinander verbindet Der dadurch erzeugte Schnittpunkt M displaystyle M liefert somit die gesuchte Mitte der Strecke A B displaystyle overline AB Konstruktion eines 60 Grad Winkels Bearbeiten Antragen eines 60 Grad Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt Bearbeiten Ziehe einen Kreis auf der Geraden g 1 displaystyle g 1 um den gegebenen Punkt P displaystyle P Bild 1 Es ergeben sich die zwei Schnittpunkte A displaystyle A und B displaystyle B Ziehe einen Kreis mit gleichem Radius z B um den Schnittpunkt B displaystyle B alternativ um A displaystyle A und markiere die Kreuzung der beiden Kreise oberhalb der Geraden g 1 displaystyle g 1 als Schnittpunkt C displaystyle C Zeichne eine Gerade g 2 displaystyle g 2 durch den Punkt P displaystyle P und den Schnittpunkt C displaystyle C Somit schneidet die Gerade g 2 displaystyle g 2 im Scheitelpunkt P displaystyle P die Gerade g 1 displaystyle g 1 im Winkel von 60 displaystyle 60 circ Bild 1 Antragen eines 60 Grad Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt Bild 2 Antragen eines 60 Winkels durch einen Punkt ausserhalb der Geraden Antragen eines 60 Grad Winkels an eine Gerade durch einen Punkt ausserhalb der Geraden Bearbeiten Falle das Lot vom gegebenen Punkt P displaystyle P auf die Gerade g displaystyle g Bild 2 Du erhaltst die Hilfspunkte A displaystyle A und B displaystyle B sowie den Gegenpunkt C displaystyle C Der Schnittpunkt ist der Fusspunkt M displaystyle M Ziehe einen Kreis k 1 displaystyle k 1 um den Fusspunkt durch den gegebenen Punkt Ziehe mit gleichem Radius einen Kreisbogen k 2 displaystyle k 2 um den Gegenpunkt C displaystyle C du bekommst die Punkte D displaystyle D und E displaystyle E deren Verbindungsgerade die Mittelsenkrechte der Strecke C M displaystyle overline CM ist Zeichne das gleichseitige Dreieck P D E displaystyle PDE Die an P displaystyle P anliegenden Seiten schneiden die Gerade auf gewunschte Weise Bild 3 Antragen eines 60 Grad Winkels an eine Gerade durch einen Punkt ausserhalb der Geraden auch moglich mithilfe eines sogenannten kollabierenden Zirkels Die nebenstehende Abbildung Bild 3 zeigt eine alternative Vorgehensweise die neben dem gegebenen Punkt P displaystyle P und der gegebenen Geraden g 1 displaystyle g 1 nur vier Kreise mit gleichem Radius und die Gerade g 2 displaystyle g 2 fur die Losung benotigt Im Verlauf der Konstruktion werden fur das Ziehen eines Kreises stets zwei Punkte genutzt Der Abstand der beiden Punkte ist gleich dem Kreisradius aufgrund dessen konnte auch ein sogenannter euklidischer oder kollabierender Zirkel eingesetzt werden Ziehe einen Kreis mit einem beliebigen Radius um P displaystyle P es ergibt den Schnittpunkt A displaystyle A auf der Geraden g 1 displaystyle g 1 Ziehe den zweiten Kreis um Punkt A displaystyle A durch P displaystyle P sowie den dritten Kreis um den soeben erzeugten Punkt B displaystyle B auf g 1 displaystyle g 1 durch A displaystyle A er schneidet den Kreis um P displaystyle P in C displaystyle C Die Abstande von den Punkten P displaystyle P und C displaystyle C zu der Geraden g 1 displaystyle g 1 sind gleich Schliesslich ziehe den vierten Kreis um C displaystyle C durch P displaystyle P der den Kreis um P displaystyle P in D displaystyle D schneidet und zeichne die Gerade g 2 displaystyle g 2 durch die Punkte P displaystyle P und D displaystyle D Sie schneidet die Gerade g 1 displaystyle g 1 im Scheitelpunkt E displaystyle E und liefert somit den Winkel A E D displaystyle AED mit der gesuchten Winkelweite 60 displaystyle 60 circ Konstruktion eines 30 Grad Winkels Bearbeiten Der erste Gedanke ist vielleicht die Konstruktionen des 60 Grad Winkels zu verwenden um den 30 Grad Winkel durch einfache Halbierung des 60 Grad Winkels zu erreichen Die ersten beiden im Folgenden beschriebenen Vorgehensweisen zeigen aber es geht auch mit weniger Konstruktionsschritten Antragen eines 30 Grad Winkels an eine Gerade in einem gegebenen Scheitelpunkt Bearbeiten Bestimme den Punkt A displaystyle A beliebig auf der Geraden g 1 displaystyle g 1 und ziehe einen Kreis um A displaystyle A durch den gegebenen Punkt P displaystyle P siehe Bild 4 Es ergibt sich der Schnittpunkt B displaystyle B Ziehe einen Kreis mit gleichem Radius um B displaystyle B und markiere die Kreuzung der beiden Kreise oberhalb der Geraden g 1 displaystyle g 1 als Schnittpunkt C displaystyle C Zeichne eine Gerade g 2 displaystyle g 2 durch den Punkt P displaystyle P und den Schnittpunkt C displaystyle C Somit schneidet die Gerade g 2 displaystyle g 2 im Scheitelpunkt P displaystyle P die Gerade g 1 displaystyle g 1 im Winkel von 30 displaystyle 30 circ Bild 4 Antragen eines 30 Grad Winkels an eine Gerade g 1 displaystyle g 1 in einem gegebenen Scheitelpunkt P displaystyle P Antragen eines 30 Grad Winkels an eine Gerade durch einen Punkt ausserhalb der Geraden Bearbeiten Falle das Lot vom gegebenen Punkt P displaystyle P auf die Gerade g 1 displaystyle g 1 folgendermassen siehe Bild 5 Mit einem beliebigen Radius um P displaystyle P ergeben sich die Hilfspunkte A displaystyle A und B displaystyle B zwei kleine Kreisbogen mit dem Radius A P displaystyle overline AP um A displaystyle A bzw B displaystyle B schneiden sich im Gegenpunkt C displaystyle C Die Verbindung P displaystyle P mit C displaystyle C liefert den Fusspunkt D displaystyle D Ziehe einen Kreisbogen mit dem Radius C D displaystyle overline CD um den Gegenpunkt C displaystyle C und einen mit gleichem Radius um den Fusspunkt D displaystyle D dabei ergibt sich der Punkt E displaystyle E Verbinde den Punkt P displaystyle P mit E displaystyle E dabei ergibt sich der Punkt F displaystyle F und am Scheitel P displaystyle P der Winkel 30 displaystyle 30 circ Ziehe einen Kreisbogen mit dem Radius F P displaystyle overline FP um den Punkt F displaystyle F Schnittpunkt mit g 1 displaystyle g 1 ist G displaystyle G Ziehe einen Halbkreis mit dem Radius G F displaystyle overline GF um den Punkt G displaystyle G Schnittpunkt mit g 1 displaystyle g 1 ist H displaystyle H Die abschliessende Gerade g 2 displaystyle g 2 durch H displaystyle H und P displaystyle P liefert am Scheitel H displaystyle H den Winkel F H P displaystyle FHP mit der Winkelweite 30 displaystyle 30 circ Bild 5 Antragen eines 30 Grad Winkels durch einen Punkt P displaystyle P ausserhalb der Geraden g 1 displaystyle g 1 Bild 6 Antragen eines 30 Grad Winkels an eine Gerade g 1 displaystyle g 1 durch einen Punkt P displaystyle P ausserhalb der Geraden g 1 displaystyle g 1 auch moglich mithilfe eines sogenannten kollabierenden Zirkels Die Darstellung im Bild 6 zeigt eine alternative Vorgehensweise Sie benotigt fur die Losung neben dem gegebenen Punkt P displaystyle P und der gegebenen Geraden g 1 displaystyle g 1 nur funf Kreise mit gleichem Radius und die Gerade g 2 displaystyle g 2 Die Konstruktion ist eine Weiterfuhrung der Konstruktion des 60 Grad Winkels Bild 3 Dafur bedarf es nur noch des funften Kreises gezogen um Punkt D displaystyle D durch P displaystyle P und schliesslich der Geraden g 2 displaystyle g 2 durch die Punkte P displaystyle P und E displaystyle E Die Gerade g 2 displaystyle g 2 schneidet die Gerade g 1 displaystyle g 1 im Scheitelpunkt F displaystyle F und liefert somit den Winkel A F P displaystyle AFP mit der gesuchten Winkelweite 30 displaystyle 30 circ Konstruktion eines 72 54 oder 18 Grad Winkels Bearbeiten Die etwas exotischere Konstruktion eines 72 oder 54 Grad Winkels findet man im regelmassigen Funfeck Winkel 72 54 und 18 im Funfeck EF EC BH CG Addition und Subtraktion von Winkeln Bearbeiten Winkelweite a 1 displaystyle alpha 1 und a 2 displaystyle alpha 2 Jeder Winkel lasst sich zu einem anderen Winkel konstruktiv sprich geometrisch addieren und subtrahieren Mit anderen Worten mochte man z B siehe drei Bilder einen Winkel um die Grosse eines anderen vermehren bzw vermindern so zeichnet man zunachst um die Scheitelpunkte der Winkel jeweils einen fur beide Winkel gleich grossen Kreisbogen der beide Schenkel des jeweiligen Winkels schneidet oder beruhrt Winkel addieren Zuerst wird der Kreisbogen A B C 1 displaystyle ABC 1 des ersten Winkels B A C 1 displaystyle BAC 1 uber C 1 displaystyle C 1 hinaus verlangert damit darauf auch der zweite Winkel B A C 2 displaystyle BAC 2 genugend Platz findet Nun nimmt man die Winkelweite a 2 displaystyle alpha 2 am Abstand B C 2 displaystyle BC 2 in den Zirkel und ubertragt sie damit ab dem Schnittpunkt C 1 displaystyle C 1 auf den verlangerten Kreisbogen Es ergibt sich der Schnittpunkt C 3 displaystyle C 3 Abschliessend wird der neue Winkelschenkel A C 3 displaystyle overline AC 3 eingezeichnet Der somit durch geometrische Addition erzeugte Summenwinkel B A C 3 displaystyle BAC 3 hat die Winkelweite a 1 a 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 Addition Winkelweiten a 1 a 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 Subtraktion Winkelweiten a 2 a 1 displaystyle alpha 2 alpha 1 Winkel subtrahieren Um den kleineren Winkel B A C 1 displaystyle BAC 1 vom grosseren Winkel B A C 2 displaystyle BAC 2 zu subtrahieren Bild Winkelweite a 1 displaystyle alpha 1 und a 2 displaystyle alpha 2 nimmt man die Winkelweite a 1 displaystyle alpha 1 am Abstand B C 1 displaystyle BC 1 in den Zirkel und ubertragt sie damit ab dem Schnittpunkt C 2 displaystyle C 2 auf den Kreisbogen A B C 2 displaystyle ABC 2 Es ergibt sich der Schnittpunkt C 3 displaystyle C 3 Abschliessend wird der neue Winkelschenkel A C 3 displaystyle overline AC 3 eingezeichnet Der somit durch geometrische Subtraktion erzeugte Differenzwinkel B A C 3 displaystyle BAC 3 hat die Winkelweite a 2 a 1 displaystyle alpha 2 alpha 1 Winkelteilungen Bearbeiten Winkelhalbierung Bearbeiten Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln die sich im Scheitelpunkt treffen Zieht man nun zwei gleich grosse Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden ist gleich weit von den Schenkeln entfernt Konstruktion Winkelhalbierung Winkelhalbierende rot Der zuerst gezeichnete Kreisbogen um den Scheitelpunkt A displaystyle A mit einem beliebigen Radius schneidet die Schenkel des Winkels in B displaystyle B bzw C displaystyle C Nun wird entweder mit der gleichen siehe Bild oder mit geanderter Zirkeloffnung um die Schnittpunkte B displaystyle B und C displaystyle C jeweils ein gleich grosser Kreisbogen geschlagen Abschliessend zieht man ab dem Scheitelpunkt math, wikipedia, wiki, deutsches

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