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Volumen

Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch Stereometrie) stammen schon aus dem frühen Ägypten. Das Moskauer Papyrus ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr 1850 v. Chr. datiert. Unter anderem sind hier die Formeln für die Bestimmung der Volumina für Rechteckkegel beschrieben. Die Bestimmung wurde durch Analyse und anschließender Synthese erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert.

Siehe auch: Volumenmessgeräte

Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:

  • Auslitern: Der Körper wird mit Sand oder Wasser gefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
  • Wasserverdrängung: Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das Volumen des übertretenden Wassers wird anschließend in einem geometrisch einfachen Gefäß (z. B. Zylinder) vermessen. Infolge möglicher Wechselwirkungen zwischen Probekörper und Wasser kann es zu Messfehlern kommen, weshalb auch andere Flüssigkeiten eingesetzt werden können.
  • Bei einem Körper mit einer bekannten Dichte lässt sich das Volumen auch erwiegen.

Mathematisch gesehen ist das Volumen (der Rauminhalt) ein Maß für eine messbare Teilmenge des gewöhnlichen dreidimensionalen Raums. Im Allgemeinen lässt sich das Volumen eines Körpers (Bereich B {\displaystyle B} im R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ) durch ein 3-fach-Integral V = B d V {\displaystyle \mathrm {V} =\iiint _{B}\mathrm {d} V} beschreiben. Solche Integrale können sehr schwierig oder nur numerisch lösbar sein. Bei vielen einfachen Fällen (Polyeder) lässt sich das Volumen ohne Integrale bestimmen. Bei Rotationskörper und solchen mit stetigen Querschnittsflächen (s. Tabelle) kommt man mit einfachen Integralen aus. Hier die Volumina einiger häufig vorkommender Körper:

Körper Volumen Parameter
Würfel V = a 3 {\displaystyle V=a^{3}\;}
Quader V = a b c {\displaystyle V=abc}
Prisma

(Grundfläche G)

V = G h {\displaystyle V=Gh}
Pyramide

(Grundfläche G)

V = 1 3 G h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}Gh}
Kugel V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
Ellipsoid V = 4 3 π a b c {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc}
senkrechter Kreiszylinder V = π r 2 h {\displaystyle V=\pi r^{2}h}
senkrechter Kreiskegel V = 1 3 π r 2 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h}
Torus V = 2 π 2 R r 2 {\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}}
Rotationskörper V = π a b f ( x ) 2 d x {\displaystyle V=\pi \cdot \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x}
Körper mit stetiger

Querschnittsfläche A ( x ) {\displaystyle A(x)}
(z. B. Steinmetz-Körper)

V = a b A ( x ) d x {\displaystyle V=\int _{a}^{b}A(x)\mathrm {d} x} Für den Rotationskörper ist

A ( x ) = π f ( x ) 2 {\displaystyle A(x)=\pi f(x)^{2}}

Man kann ein Volumen auch über mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten definieren, siehe dazu auch Volumenform. Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes sein Flächeninhalt und Entsprechendes gilt auch in höherdimensionalen euklidischen Räumen. Beispielsweise hat ein n-dimensionaler Hyperwürfel mit Kantenlänge a {\displaystyle a} ein Volumen von a n {\displaystyle a^{n}} .

Das Volumen einer orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeit ist definiert durch Integration der Volumenform über die Mannigfaltigkeit.

Ein Hohlraum ist ein mathematisches, ein physikalisches oder ein natürliches Objekt. Ein Hohlraum hat ein Volumen, das man als Hohlvolumen bezeichnet. Ein in einer Struktur eingeschlossenes Volumen kann ein Hohlraum sein. Dabei verändert die Existenz von Hohlräumen oft die umliegende Struktur, z. B. in Hinsicht auf Festigkeit oder Elastizität (Siehe Porosität).

Ein natürlicher Hohlraum enthält ein Vakuum oder ist mit Gasen, Flüssigkeiten oder anderen Stoffen gefüllt, was wiederum die umschließende Struktur beeinflussen kann. Insbesondere kann die Grenzfläche zwischen Hohlraum und Struktur sich verändern, schwer zu erkennen sein oder auch nur auf gedanklicher Ebene existieren. Auch ein Hohlraum, der eine oder mehrere Öffnungen hat, also nicht vollständig von der umschließenden Struktur umgeben ist, wird umgangssprachlich so bezeichnet.

Die Größe des umschlossenen Volumens kann oft errechnet oder experimentell bestimmt werden. In manchen Fällen ist dies allerdings prinzipiell nicht möglich.

Hohlraumbildung ist ein oft auftretendes Phänomen bei geologischen und sonstigen physikalischen und chemischen Prozessen.

Evakuierte Hohlräume haben mehrere universelle Eigenschaften, eine davon ist die Hohlraumstrahlung.

Beispiele: Hohlraum

  • … als Gefäß: Flasche, Tank, Verdauungssystem, Schwamm
  • … als Aufenthaltsort: Wohnung, Höhle
  • … als Ergebnis chemischer oder physikalischer Vorgänge: Luftblase, Seifenblase, „Löcher“ im Käse, Lunker
  • Edmund Hlawka:
  1. In: Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache. Abgerufen am 6. September 2019
  2. Es gibt auch Teilmengen, für die man kein Volumen bestimmen kann, die also nicht messbar sind. Siehe dazu z. B. Satz von Vitali (Maßtheorie).
Normdaten (Sachbegriff): GND:(, )

Volumen
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Volumen raumlicher Inhalt eines geometrischen Korpers Sprache Beobachten Bearbeiten Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Weitere Bedeutungen sind unter Volumen Begriffsklarung aufgefuhrt Physikalische GrosseName Volumen RauminhaltFormelzeichen V displaystyle V Abgeleitet von LangeGrossen und Einheitensystem Einheit DimensionSI m3 L3cgs cm3 L3Planck Planck Volumen l P 3 ℏ G c 3 3 2 displaystyle l text P 3 left frac hbar G c 3 right frac 3 2 Das Volumen Pl Volumen oder Volumina von lat volumen Windung Krummung aus volvere walzen rollen auch Raum oder Kubikinhalt 1 ist der raumliche Inhalt eines geometrischen Korpers Ubliches Formelzeichen ist V In der Physik bezeichnet man mit dem Volumen die Ausdehnung den Platzbedarf eines Korpers Die koharente SI Einheit fur das Raummass ist der Kubikmeter Einheitenzeichen m3 Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkurzungen cbm fur m und ccm fur cm Die Einheit Liter ist fur Gase und Flussigkeiten gebrauchlich und als 1 dm3 10 10 10 cm definiert Technisch muss unterschieden werden Hohlvolumen der freie Raum innerhalb gewisser Grenzen etwa das Fassungsvermogen eines Behalters Rauminhalt das Volumen fester Korper von Flussigkeiten oder GasenInhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Messmethoden 3 Volumen Berechnung 4 Verallgemeinerung 5 Hohlraum 6 Siehe auch 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDie ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung auch Stereometrie stammen schon aus dem fruhen Agypten Das Moskauer Papyrus ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr 1850 v Chr datiert Unter anderem sind hier die Formeln fur die Bestimmung der Volumina fur Rechteckkegel beschrieben Die Bestimmung wurde durch Analyse und anschliessender Synthese erreicht Das heisst der Korper wurde in mehrere bekannte Korper zerlegt und die Einzelvolumina addiert Messmethoden BearbeitenSiehe auch Volumenmessgerate Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt Auslitern Der Korper wird mit Sand oder Wasser gefullt dessen Menge anschliessend in einem bekannten Gefass bestimmt wird somit lasst sich bei Gefassen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen Wasserverdrangung Der Korper wird in ein vollstandig mit Wasser gefulltes Gefass eingetaucht Das Volumen des ubertretenden Wassers wird anschliessend in einem geometrisch einfachen Gefass z B Zylinder vermessen Infolge moglicher Wechselwirkungen zwischen Probekorper und Wasser kann es zu Messfehlern kommen weshalb auch andere Flussigkeiten eingesetzt werden konnen Bei einem Korper mit einer bekannten Dichte lasst sich das Volumen auch erwiegen Volumen Berechnung BearbeitenMathematisch gesehen ist das Volumen der Rauminhalt ein Mass fur eine messbare Teilmenge 2 des gewohnlichen dreidimensionalen Raums Im Allgemeinen lasst sich das Volumen eines Korpers Bereich B displaystyle B im R 3 displaystyle mathbb R 3 durch ein 3 fach Integral V B d V displaystyle mathrm V iiint B mathrm d V beschreiben Solche Integrale konnen sehr schwierig oder nur numerisch losbar sein Bei vielen einfachen Fallen Polyeder lasst sich das Volumen ohne Integrale bestimmen Bei Rotationskorper und solchen mit stetigen Querschnittsflachen s Tabelle kommt man mit einfachen Integralen aus Hier die Volumina einiger haufig vorkommender Korper Korper Volumen ParameterWurfel V a 3 displaystyle V a 3 Quader V a b c displaystyle V abc Prisma Grundflache G V G h displaystyle V Gh Pyramide Grundflache G V 1 3 G h displaystyle V frac 1 3 Gh Kugel V 4 3 p r 3 displaystyle V frac 4 3 pi r 3 Ellipsoid V 4 3 p a b c displaystyle V frac 4 3 pi abc senkrechter Kreiszylinder V p r 2 h displaystyle V pi r 2 h senkrechter Kreiskegel V 1 3 p r 2 h displaystyle V frac 1 3 pi r 2 h Torus V 2 p 2 R r 2 displaystyle V 2 pi 2 Rr 2 Rotationskorper V p a b f x 2 d x displaystyle V pi cdot int a b f x 2 mathrm d x Korper mit stetiger Querschnittsflache A x displaystyle A x z B Steinmetz Korper V a b A x d x displaystyle V int a b A x mathrm d x Fur den Rotationskorper ist A x p f x 2 displaystyle A x pi f x 2 Verallgemeinerung BearbeitenMan kann ein Volumen auch uber mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten definieren siehe dazu auch Volumenform Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes sein Flacheninhalt und Entsprechendes gilt auch in hoherdimensionalen euklidischen Raumen Beispielsweise hat ein n dimensionaler Hyperwurfel mit Kantenlange a displaystyle a ein Volumen von a n displaystyle a n Das Volumen einer orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeit ist definiert durch Integration der Volumenform uber die Mannigfaltigkeit Hohlraum BearbeitenEin Hohlraum ist ein mathematisches ein physikalisches oder ein naturliches Objekt Ein Hohlraum hat ein Volumen das man als Hohlvolumen bezeichnet Ein in einer Struktur eingeschlossenes Volumen kann ein Hohlraum sein Dabei verandert die Existenz von Hohlraumen oft die umliegende Struktur z B in Hinsicht auf Festigkeit oder Elastizitat Siehe Porositat Ein naturlicher Hohlraum enthalt ein Vakuum oder ist mit Gasen Flussigkeiten oder anderen Stoffen gefullt was wiederum die umschliessende Struktur beeinflussen kann Insbesondere kann die Grenzflache zwischen Hohlraum und Struktur sich verandern schwer zu erkennen sein oder auch nur auf gedanklicher Ebene existieren Auch ein Hohlraum der eine oder mehrere Offnungen hat also nicht vollstandig von der umschliessenden Struktur umgeben ist wird umgangssprachlich so bezeichnet Die Grosse des umschlossenen Volumens kann oft errechnet oder experimentell bestimmt werden In manchen Fallen ist dies allerdings prinzipiell nicht moglich Hohlraumbildung ist ein oft auftretendes Phanomen bei geologischen und sonstigen physikalischen und chemischen Prozessen Evakuierte Hohlraume haben mehrere universelle Eigenschaften eine davon ist die Hohlraumstrahlung Beispiele Hohlraum als Gefass Flasche Tank Verdauungssystem Schwamm als Aufenthaltsort Wohnung Hohle als Ergebnis chemischer oder physikalischer Vorgange Luftblase Seifenblase Locher im Kase LunkerSiehe auch BearbeitenBanach Tarski Paradoxon und Masstheorie zu den Grenzen des Volumenbegriffs der Mathematik bei Verwendung in der tatsachlichen Welt Liste von Grossenordnungen des Volumens RaummassWeblinks BearbeitenEdmund Hlawka Zur Geschichte des InhaltsbegriffesEinzelnachweise Bearbeiten Kubikinhalt In Digitales Worterbuch der deutschen Sprache Abgerufen am 6 September 2019 Es gibt auch Teilmengen fur die man kein Volumen bestimmen kann die also nicht messbar sind Siehe dazu z B Satz von Vitali Masstheorie Normdaten Sachbegriff GND 4136953 1 OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Volumen amp oldid 215026241, wikipedia, wiki, deutsches

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