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Teileranzahlfunktion

Die Teileranzahlfunktion gibt an, wie viele Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie wird meist mit d {\displaystyle d} oder τ {\displaystyle \tau } bezeichnet – da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt, auch als σ 0 ( n ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)} .

d ( n ) {\displaystyle d(n)} … Anzahl der Teiler von n {\displaystyle n} .
n m i n {\displaystyle n_{\mathrm {min} }} … kleinstes n {\displaystyle n} mit d ( n ) {\displaystyle d(n)} Teilern.
d ( n ) {\displaystyle d(n)} n m i n {\displaystyle n_{\mathrm {min} }} Faktorisierung
von n m i n {\displaystyle n_{\mathrm {min} }}
1 1 1
2 2 2
3 4 22
4 6 2 · 3
5 16 24
6 12 22 · 3
7 64 26
8 24 23 · 3
9 36 22 · 32
10 48 24 · 3
11 1.024 210
12 60 22 · 3 · 5
13 4.096 212
14 192 26 · 3
15 144 24 · 32
16 120 23 · 3 · 5
17 65.536 216
18 180 22 · 32 · 5
19 262.144 218
20 240 24 · 3 · 5
21 576 26 · 32
22 3.072 210 · 3
23 4.194.304 222
24 360 23 · 32 · 5
25 1.296 24 · 34
26 12.288 212 · 3
27 900 22 · 32 · 52
28 960 26 · 3 · 5
29 268.435.456 228
30 720 24 · 32 · 5
31 1.073.741.824 230
32 840 23 · 3 · 5 · 7
33 9.216 210 · 32
34 196.608 216 · 3
35 5.184 26 · 34
36 1.260 22 · 32 · 5 · 7

Inhaltsverzeichnis

Für jede natürliche Zahl n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } wird definiert:

d ( n ) := # { d N : d n } {\displaystyle d(n):=\#\{d\in \mathbb {N} :d\mid n\}} .

Die ersten Werte sind:

n {\displaystyle n} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Teiler von n {\displaystyle n} 1 1, 2 1, 3 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 6 1, 7 1, 2, 4, 8 1, 3, 9 1, 2, 5, 10 1, 11 1, 2, 3, 4, 6, 12
d ( n ) {\displaystyle d(n)} 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6
n = p 1 e 1 p 2 e 2 p r e r , {\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}\cdot p_{2}^{e_{2}}\dotsm p_{r}^{e_{r}},}
so gilt:
d ( n ) = ( e 1 + 1 ) ( e 2 + 1 ) ( e r + 1 ) {\displaystyle d(n)=(e_{1}+1)(e_{2}+1)\dotsm (e_{r}+1)}
  • Für teilerfremde Zahlen m {\displaystyle m} und n {\displaystyle n} gilt:
d ( m n ) = d ( m ) d ( n ) {\displaystyle d(mn)=d(m)\cdot d(n)}
Die Teileranzahlfunktion ist also eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
  • Eine Zahl n {\displaystyle n} ist genau dann eine Primzahl, wenn d ( n ) = 2 {\displaystyle d(n)=2} gilt.
  • Eine Zahl n {\displaystyle n} ist genau dann eine Quadratzahl, wenn d ( n ) {\displaystyle d(n)} ungerade ist.
  • Die zur Teileranzahlfunktion gehörige Dirichlet-Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion:
ζ ( s ) 2 = n = 1 d ( n ) n s {\displaystyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}} (für Re s > 1 {\displaystyle \operatorname {Re} \,s>1} ).

Im Mittel ist d ( n ) log n {\displaystyle d(n)\approx \log n} , präziser: Es gibt Konstanten β 1 2 {\displaystyle \beta \leq {\tfrac {1}{2}}} , sodass

n x d ( n ) = x log x + ( 2 γ 1 ) x + O ( x β ) {\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O(x^{\beta })}

gilt. (Dabei sind „ O {\displaystyle O} “ ein Landau-Symbol und γ {\displaystyle \gamma } die Euler-Mascheroni-Konstante.)

Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl d x {\displaystyle d\leq x} ein Teiler von etwa x d {\displaystyle {\tfrac {x}{d}}} Zahlen n x {\displaystyle n\leq x} ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu

x d = 1 x 1 d x log x . {\displaystyle x\cdot \sum _{d=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{d}}\approx x\log x.}

(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)

Der Wert β = 1 2 {\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{2}}} wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen; die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.

Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, x 1 3 log x {\displaystyle x^{\tfrac {1}{3}}\log x} ), J. van der Corput (1922, β = 33 100 {\displaystyle \beta ={\tfrac {33}{100}}} ) sowie M. N. Huxley ( β = 131 416 {\displaystyle \beta ={\tfrac {131}{416}}} ) angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass β 1 4 {\displaystyle \beta \geq {\tfrac {1}{4}}} gelten muss. Die möglichen Werte für β {\displaystyle \beta } sind immer noch Forschungsgegenstand.

Die Teilerfunktion σ k ( n ) {\displaystyle \sigma _{k}(n)} ordnet jeder Zahl n {\displaystyle n} die Summe der k {\displaystyle k} -ten Potenzen ihrer Teiler zu:

σ k ( n ) = d n d k {\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid n}d^{k}}

Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion für k = 1 {\displaystyle k=1} , und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für k = 0 {\displaystyle k=0} :

σ ( n ) = σ 1 ( n ) = d n d 1 = d n d {\displaystyle \sigma (n)=\sigma _{1}(n)=\sum _{d\mid n}d^{1}=\sum _{d\mid n}d}
d ( n ) = σ 0 ( n ) = d n d 0 = d n 1 {\displaystyle d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{d\mid n}d^{0}=\sum _{d\mid n}1}
  • G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1.
  1. Weitere Anfangswerte siehe auch Folge A000005 in OEIS.
  2. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 273, S. 239.
  3. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 289, S. 250.
  4. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, Theorem 320, S. 264.
  5. P. G. L. Dirichlet: Über die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie. In: Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften. 1849, S. 69–83; oder Werke, Band II, S. 49–66.
  6. G. Voronoï: Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques. In: J. Reine Angew. Math. 126 (1903) S. 241–282.
  7. J. G. van der Corput: Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem. In: Math. Ann. 87 (1922) 39–65. Berichtigungen 89 (1923) S. 160.
  8. M. N. Huxley: Exponential Sums and Lattice Points III. In: Proc. London Math. Soc.Band87,Nr.3, 2003,S.591–609.
  9. G. H. Hardy: On Dirichlet’s divisor problem. In: Lond. M. S. Proc. (2) 15 (1915) 1–25.
    Vgl. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1, S. 272.
  10. Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).

Teileranzahlfunktion
teileranzahlfunktion, gibt, viele, teiler, eine, natürliche, zahl, sprache, beobachten, bearbeiten, gibt, viele, teiler, eine, natürliche, zahl, dabei, werden, eins, zahl, selbst, mitgezählt, gehört, mathematischen, teilgebiet, zahlentheorie, wird, meist, disp. Teileranzahlfunktion gibt an wie viele Teiler eine naturliche Zahl hat Sprache Beobachten Bearbeiten Die Teileranzahlfunktion gibt an wie viele Teiler eine naturliche Zahl hat dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezahlt Die Teileranzahlfunktion gehort zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie Sie wird meist mit d displaystyle d oder t displaystyle tau bezeichnet da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt auch als s 0 n displaystyle sigma 0 n d n displaystyle d n Anzahl der Teiler von n displaystyle n n m i n displaystyle n mathrm min kleinstes n displaystyle n mit d n displaystyle d n Teilern d n displaystyle d n n m i n displaystyle n mathrm min Faktorisierung von n m i n displaystyle n mathrm min 1 1 12 2 23 4 224 6 2 35 16 246 12 22 37 64 268 24 23 39 36 22 3210 48 24 311 1 024 21012 60 22 3 513 4 096 21214 192 26 315 144 24 3216 120 23 3 517 65 536 21618 180 22 32 519 262 144 21820 240 24 3 521 576 26 3222 3 072 210 323 4 194 304 22224 360 23 32 525 1 296 24 3426 12 288 212 327 900 22 32 5228 960 26 3 529 268 435 456 22830 720 24 32 531 1 073 741 824 23032 840 23 3 5 733 9 216 210 3234 196 608 216 335 5 184 26 3436 1 260 22 32 5 7Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Asymptotik 4 Verallgemeinerungen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 QuellenDefinition BearbeitenFur jede naturliche Zahl n N displaystyle n in mathbb N wird definiert d n d N d n displaystyle d n d in mathbb N d mid n Die ersten Werte sind 1 n displaystyle n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Teiler von n displaystyle n 1 1 2 1 3 1 2 4 1 5 1 2 3 6 1 7 1 2 4 8 1 3 9 1 2 5 10 1 11 1 2 3 4 6 12d n displaystyle d n 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6Eigenschaften BearbeitenHat die Zahl n displaystyle n die Primfaktorzerlegungn p 1 e 1 p 2 e 2 p r e r displaystyle n p 1 e 1 cdot p 2 e 2 dotsm p r e r dd so gilt 2 d n e 1 1 e 2 1 e r 1 displaystyle d n e 1 1 e 2 1 dotsm e r 1 dd Fur teilerfremde Zahlen m displaystyle m und n displaystyle n gilt d m n d m d n displaystyle d mn d m cdot d n dd Die Teileranzahlfunktion ist also eine multiplikative zahlentheoretische Funktion Eine Zahl n displaystyle n ist genau dann eine Primzahl wenn d n 2 displaystyle d n 2 gilt Eine Zahl n displaystyle n ist genau dann eine Quadratzahl wenn d n displaystyle d n ungerade ist Die zur Teileranzahlfunktion gehorige Dirichlet Reihe ist das Quadrat der riemannschen Zetafunktion 3 z s 2 n 1 d n n s displaystyle zeta s 2 sum n 1 infty frac d n n s fur Re s gt 1 displaystyle operatorname Re s gt 1 dd Asymptotik BearbeitenIm Mittel ist d n log n displaystyle d n approx log n praziser Es gibt Konstanten b 1 2 displaystyle beta leq tfrac 1 2 sodass 4 n x d n x log x 2 g 1 x O x b displaystyle sum n leq x d n x log x 2 gamma 1 x O x beta gilt Dabei sind O displaystyle O ein Landau Symbol und g displaystyle gamma die Euler Mascheroni Konstante Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen dass eine Zahl d x displaystyle d leq x ein Teiler von etwa x d displaystyle tfrac x d Zahlen n x displaystyle n leq x ist damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu x d 1 x 1 d x log x displaystyle x cdot sum d 1 lfloor x rfloor frac 1 d approx x log x Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe Der Wert b 1 2 displaystyle beta tfrac 1 2 wurde bereits von P G L Dirichlet bewiesen 5 die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt Bessere Werte wurden von G F Woronoi 1903 x 1 3 log x displaystyle x tfrac 1 3 log x 6 J van der Corput 1922 b 33 100 displaystyle beta tfrac 33 100 7 sowie M N Huxley b 131 416 displaystyle beta tfrac 131 416 8 angegeben Auf der anderen Seite zeigten G H Hardy und E Landau dass b 1 4 displaystyle beta geq tfrac 1 4 gelten muss 9 Die moglichen Werte fur b displaystyle beta sind immer noch Forschungsgegenstand Verallgemeinerungen BearbeitenDie Teilerfunktion s k n displaystyle sigma k n ordnet jeder Zahl n displaystyle n die Summe der k displaystyle k ten Potenzen ihrer Teiler zu 10 s k n d n d k displaystyle sigma k n sum d mid n d k Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion fur k 1 displaystyle k 1 und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion fur k 0 displaystyle k 0 s n s 1 n d n d 1 d n d displaystyle sigma n sigma 1 n sum d mid n d 1 sum d mid n d d n s 0 n d n d 0 d n 1 displaystyle d n sigma 0 n sum d mid n d 0 sum d mid n 1 Siehe auch BearbeitenHochzusammengesetzte Zahl Zahlentheoretische FunktionLiteratur BearbeitenG H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 4 Auflage Oxford University Press Oxford 1975 ISBN 0 19 853310 1 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Divisor Function In MathWorld englisch Quellen Bearbeiten Weitere Anfangswerte siehe auch Folge A000005 in OEIS G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 4 Auflage Oxford University Press Oxford 1975 ISBN 0 19 853310 1 Theorem 273 S 239 G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 4 Auflage Oxford University Press Oxford 1975 ISBN 0 19 853310 1 Theorem 289 S 250 G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 4 Auflage Oxford University Press Oxford 1975 ISBN 0 19 853310 1 Theorem 320 S 264 P G L Dirichlet Uber die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie In Abhandlungen der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1849 S 69 83 oder Werke Band II S 49 66 G Voronoi Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques In J Reine Angew Math 126 1903 S 241 282 J G van der Corput Verscharfung der Abschatzung beim Teilerproblem In Math Ann 87 1922 39 65 Berichtigungen 89 1923 S 160 M N Huxley Exponential Sums and Lattice Points III In Proc London Math Soc Band 87 Nr 3 2003 S 591 609 G H Hardy On Dirichlet s divisor problem In Lond M S Proc 2 15 1915 1 25 Vgl G H Hardy E M Wright An Introduction to the Theory of Numbers 4 Auflage Oxford University Press Oxford 1975 ISBN 0 19 853310 1 S 272 Eric W Weisstein Divisor Function In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Teileranzahlfunktion amp oldid 217257076, wikipedia, wiki, deutsches

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