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Schwingung

Als Schwingungen oder Oszillationen (lateinischoscillare ‚schaukeln‘) werden wiederholte zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen eines Systems bezeichnet. Unter Schwankung ist dabei die Abweichung von einem Mittelwert zu verstehen. Schwingungen können in allen rückgekoppelten Systemen auftreten. Beispiele für Schwingungen sind in der Mechanik, in der Elektrotechnik, der Biologie, in der Wirtschaft und in vielen anderen Bereichen anzutreffen.

Man unterscheidet:

Alle diese Eigenschaften können kombiniert sein.

Als Vibration werden periodische, mit Verformung verbundene mechanische Schwingungen eines Körpers bezeichnet. Eine Schwingung, die zur Informationsübermittlung dient, nennt man manchmal Signal, zum Beispiel elektrisches Signal. Die räumliche Ausbreitung einer Störung oder Schwingung ist eine Welle.

Darstellung einer harmonischen Schwingung.

Als harmonisch wird eine Schwingung bezeichnet, deren Verlauf durch eine Sinusfunktion beschrieben werden kann.

Die Grafik zeigt eine harmonische Schwingung mit der Auslenkung y ( t ) {\displaystyle y(t)} , der Amplitude y 0 {\displaystyle y_{0}} und der Periodendauer T {\displaystyle T} .

Die Auslenkung y ( t ) {\displaystyle y(t)} zu einem Zeitpunkt t {\displaystyle t} gibt den momentanen, die Amplitude den maximal möglichen Wert der Größe y {\displaystyle y} an. Die Periodendauer oder die Schwingungsdauer ist die Zeit, die verstreicht, während ein schwingungsfähiges System genau eine Schwingungsperiode durchläuft, d. h. nach der es sich wieder im selben Schwingungszustand befindet. Der Kehrwert der Periodendauer T ist die Frequenz f, also: f = 1 T {\displaystyle f={1 \over T}\quad } .
Statt f wird auch der griechische Buchstabe ν {\displaystyle \nu } (sprich: "nü") verwendet. Die Einheit der Frequenz ist Hertz (1 Hz = 1 s−1).

Eine ungedämpfte Schwingung ist harmonisch, wenn die Rückstellgröße (die rückstellende Kraft) proportional zur Auslenkung beispielsweise eines Federpendels ist. Hierbei spricht man auch von einem harmonischen Oszillator oder einem linearen System, da die rückstellende Kraft sich linear mit der Auslenkung ändert: Verdoppelt sich diese, verdoppelt sich auch die rückstellende Kraft.

Eine solche Schwingung lässt sich beschreiben durch

y ( t ) = y 0 sin ( 2 π f t + φ 0 ) {\displaystyle y(t)=y_{0}\cdot \sin(2\pi ft+\varphi _{0})\,}

mit

y 0 {\displaystyle y_{0}} = Amplitude und
φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} = Nullphasenwinkel der Schwingung.

Das 2 π {\displaystyle 2\pi } -fache der Frequenz, ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi \cdot f} , ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Durch Verwendung der Kreisfrequenz ergibt sich eine kompaktere Schreibweise:

y ( t ) = y 0 sin ( ω t + φ 0 ) . {\displaystyle y(t)=y_{0}\cdot \sin(\omega \,t+\varphi _{0})\,.}
Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Größe x ( t ) {\displaystyle x(t)}
bei einer freien gedämpften Schwingung.

Makroskopische physikalische Systeme sind immer gedämpft. Da sie beispielsweise durch Reibung Energie an die Umgebung abgeben, nimmt die Amplitude ihrer Schwingung im Laufe der Zeit ab. Überlässt man ein solches System sich selbst (freie Schwingung), so führt dieses letztendlich zum „Stillstand“, wie aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik hervorgeht. Perpetua Mobilia sind also (siehe Energieerhaltungssatz) nicht möglich.

Stellt man die Bewegungsgleichung eines Federpendels mit einer zur Geschwindigkeit proportionalen Dämpfung auf, so ergibt sich folgende Differentialgleichung:

m x ¨ + d x ˙ + k x = 0 . {\displaystyle m{\ddot {x}}+d{\dot {x}}+kx=0\,.}

Dabei ist

m {\displaystyle m} die Masse,
d {\displaystyle d} die Dämpfungskonstante und
k {\displaystyle k} die Federkonstante.

(Für Drehschwingungen ist m {\displaystyle m} durch das Trägheitsmoment J {\displaystyle J} und x {\displaystyle x} durch den Auslenkungswinkel φ {\displaystyle \varphi } zu ersetzen.)

Hierbei handelt es sich um eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, die sich auf die allgemeine Form

x ¨ + 2 δ x ˙ + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+2\delta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0\,}

bringen lässt, wenn man die (positiven) Abkürzungen für die Abklingkonstante

δ = d 2 m {\displaystyle \delta ={\frac {d}{2m}}}

und die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz

ω 0 = k m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}

einführt, deren Bedeutungen erst bei der Interpretation der Lösung deutlich werden.

Beim klassischen Weg zur Lösung einer solchen linearen homogenen Differentialgleichung (alternativ kann man Methoden der Operatorenrechnung benutzen) können mit Hilfe des Ansatzes

x ( t ) = e λ t {\displaystyle x(t)=e^{\lambda t}\,}

mit gegebenenfalls komplexem Parameter λ {\displaystyle \lambda } zwei linear unabhängige Lösungen gefunden werden, welche ein Fundamentalsystem bilden. Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich:

( λ 2 + 2 δ λ + ω 0 2 ) e λ t = 0. {\displaystyle (\lambda ^{2}+2\delta \lambda +\omega _{0}^{2})\,e^{\lambda t}=0.}

In dieser Gleichung kann nur der Klammerausdruck gleich Null sein. Man erhält die sogenannte charakteristische Gleichung zur Bestimmung der Konstante λ {\displaystyle \lambda } :

λ 2 + 2 δ λ + ω 0 2 = 0. {\displaystyle \lambda ^{2}+2\delta \lambda +\omega _{0}^{2}=0.}

Das ist eine quadratische Gleichung, deren Diskriminante

δ 2 ω 0 2 {\displaystyle \delta ^{2}-\omega _{0}^{2}}

bestimmt, ob sie zwei reelle Lösungen, zwei konjugiert komplexe Lösungen oder eine sogenannte Doppelwurzel besitzt. Deshalb ist eine Fallunterscheidung erforderlich.

Die Theorie der linearen Differentialgleichungen zeigt, dass die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung eine Linearkombination der beiden ermittelten Lösungen ist. Besitzt die charakteristische Gleichung zwei Lösungen (also ist die Diskriminante ungleich 0), dann lässt sich die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung wie folgt schreiben:

x ( t ) = X 1 e λ 1 t + X 2 e λ 2 t . {\displaystyle x(t)=X_{1}e^{\lambda _{1}t}+X_{2}e^{\lambda _{2}t}.}

Die beiden (im Allgemeinen komplexen) Konstanten X 1 {\displaystyle X_{1}} und X 2 {\displaystyle X_{2}} repräsentieren die zwei noch vorhandenen Freiheitsgrade der allgemeinen Lösung. Durch die Festlegung von zwei Anfangsbedingungen (z. B. x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} oder/und x ˙ ( 0 ) {\displaystyle {\dot {x}}(0)} ) müssen die beiden Konstanten für einen konkreten Fall präzisiert werden.

Schwingfall (links), Aperiodischer Grenzfall (mittig) und Kriechfall (rechts) einer gedämpften Schwingung.

Schwingfall

Eine Schwingung kann es nur geben, wenn die Verluste gering sind. Dann ist mit δ < ω 0 {\displaystyle \delta <\omega _{0}} die Diskriminante negativ, der Wurzelausdruck imaginär und man erhält zwei konjugiert komplexe Lösungen:

λ 1 , 2 = δ ± i ω 0 2 δ 2 {\displaystyle \lambda _{1,2}=-\delta \pm \mathrm {i} {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}} .

Mit der gedämpften Eigenkreisfrequenz:

ω d = ω 0 2 δ 2 {\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}} .

ergibt sich kürzer:

λ 1 , 2 = δ ± i ω d {\displaystyle \lambda _{1,2}=-\delta \pm \mathrm {i} \omega _{d}} .

Damit erhält man

x ( t ) = e δ t ( X 1 e i ω d t + X 2 e i ω d t ) . {\displaystyle x(t)=e^{-\delta t}\left(X_{1}e^{\mathrm {i} \omega _{d}t}+X_{2}e^{-\mathrm {i} \omega _{d}t}\right).}

Mit Hilfe der Eulerschen Formeln lässt sich die Lösung der homogenen Differentialgleichung auch in trigonometrischer Form angeben. In der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten wird gezeigt, dass diese (im Gegensatz zur Exponentialform) rein reell und dadurch praktisch besser interpretierbar ist:

x ( t ) = e δ t ( X 3 sin ( ω d t ) + X 4 cos ( ω d t ) ) {\displaystyle x(t)=e^{-\delta t}\left(X_{3}\sin(\omega _{d}\,t)+X_{4}\cos(\omega _{d}\,t)\right)\,}

oder

x ( t ) = x 0 e δ t cos ( ω d t + φ 0 ) . {\displaystyle x(t)=x_{0}\,e^{-\delta t}\cos(\omega _{d}\,t+\varphi _{0})\,.}

Auch hier sind jeweils die beiden Konstanten X 3 {\displaystyle X_{3}} und X 4 {\displaystyle X_{4}} bzw. x 0 {\displaystyle x_{0}} und φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} durch die Anfangsbedingungen zu bestimmen. Insbesondere die letzte Form ist leicht als „gedämpfte Schwingung“ zu interpretieren.

Durch Vorgabe der zwei Anfangsbedingungen x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} und x ˙ ( 0 ) {\displaystyle {\dot {x}}(0)} können die beiden Konstanten eliminiert werden. Ausgehend von der ersten trigonometrischen Form erhält man die konkrete von beiden Anfangsbedingungen abhängige Lösung

x ( t ) = e δ t ( x ˙ ( 0 ) + δ x ( 0 ) ω d sin ( ω d t ) + x ( 0 ) cos ( ω d t ) ) . {\displaystyle x(t)=e^{-\delta t}\left({\frac {{\dot {x}}(0)+\delta x(0)}{\omega _{d}}}\cdot \sin(\omega _{d}\,t)+x(0)\cdot \cos(\omega _{d}\,t)\right)\,.}

Wenn die Abklingkonstante δ {\displaystyle \delta } gleich Null ist, bleibt die Amplitude konstant. Die Schwingung ist ungedämpft mit der Kreisfrequenz ω d = ω 0 {\displaystyle \omega _{d}=\omega _{0}} .

Aperiodischer Grenzfall

Die Grenze, ab der keine Schwingung mehr möglich ist, bildet der aperiodische Grenzfall ( δ = ω 0 {\displaystyle \delta =\omega _{0}} bzw. ω d = 0 {\displaystyle \omega _{d}=0} ). Die Lösung enthält dann keine Sinusfunktion. Da nun λ 1 = λ 2 = δ {\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=-\delta } gilt, muss eine zu e λ 1 t {\displaystyle e^{\lambda _{1}t}} unabhängige zweite Lösung auf andere Weise konstruiert werden. Es ergibt sich

x ( t ) = X 1 e δ t + X 2 t e δ t = X 1 e δ t ( 1 + δ t ) . {\displaystyle x(t)=X_{1}\;e^{-\delta t}+X_{2}\;t\;e^{-\delta t}=X_{1}\;e^{-\delta t}\cdot (1+\delta \;t).}

Kriechfall

Bei hoher Dämpfung, also für δ > ω 0 {\displaystyle \delta >\omega _{0}} ergibt sich der Kriechfall, dessen Lösung sich aus zwei Exponentialfunktionen mit den beiden reellen λ 1 , 2 {\displaystyle \lambda _{1,2}} zusammensetzt:

x ( t ) = X 1 e λ 1 t + X 2 e λ 2 t {\displaystyle x(t)=X_{1}e^{\lambda _{1}t}+X_{2}e^{\lambda _{2}t}} .
Zusammenhang von Zeit- und Frequenzbereich
Hauptartikel: Frequenzspektrum

Eine Schwingung lässt sich statt als zeitabhängige Änderung auch als Funktion im Frequenzraum betrachten. Die mathematische Transformation nennt man Fouriertransformation. Der Informationsgehalt bleibt dabei erhalten, daher lässt sich aus einem Frequenzspektrum durch Rücktransformation die entsprechende zeitabhängige Schwingung rekonstruieren. Hintergrund dieser Überlegung ist, dass sich jede Schwingung durch eine additive Überlagerung (Superposition) von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz darstellen lässt. Die Superposition zweier harmonischer Schwingungen nennt man Schwebung.

Siehe auch: Fourieranalyse

Freie Schwingungen

Freie Schwingungen führt ein schwingfähiges System aus, das – nach einer Störung/Auslenkung sich selbst überlassen – je nach Dämpfung oszillierend oder „kriechend“ in den Gleichgewichtszustand zurückkehrt (siehe oben). Die Frequenz der freien Schwingung ist die Eigenfrequenz des Schwingers. Bei Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden gibt es entsprechend viele Eigenfrequenzen.

Erzwungene Schwingungen

Hauptartikel: Erzwungene Schwingung

Erzwungene Schwingungen führt ein Schwinger aus, der durch zeitveränderliche äußere Einwirkung zum Schwingen angeregt (gezwungen) wird. Praktisch bedeutsam sind vor allem periodische Erregungen und darunter die harmonische, sinusförmige Erregung. Die Frequenz der periodischen Erregung wird als Erregerfrequenz bezeichnet. Es gibt auch mehrfrequente Erregungen oder Erregungen durch Zufallsprozesse.

Im Falle der harmonischen Erregung führt ein lineares System im Allgemeinen zwei Schwingungen gleichzeitig aus:

  • die freie Schwingung (mit der Eigenfrequenz bzw. mehreren Eigenfrequenzen), deren Größe von den Anfangsbedingungen abhängt und die durch die stets vorhandene Dämpfung während der Einschwingzeit abklingt, und
  • die erzwungene Schwingung mit der Erregerfrequenz bei konstanter Anregungsstärke. Die Amplitude dieser Schwingung ist nach Beendigung des Einschwingvorgangs konstant. Das Verhältnis zwischen der Amplitude und der Stärke der Erregung wird durch die Vergrößerungsfunktion quantifiziert.

In der Technischen Mechanik sind die wichtigsten Erregungsmechanismen die Wegerregung, die Krafterregung und die Unwuchterregung (siehe Vergrößerungsfunktion).

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung nimmt im Falle der Resonanz ein Maximum an. Bei fehlender Dämpfung und Gleichheit von (einer) Erregerfrequenz und (einer) Eigenfrequenz wird die Amplitude unendlich. Mit wachsendem Dämpfungswert verschiebt sich die Resonanzstelle geringfügig und die Resonanzamplitude nimmt ab.

Selbsterregte Schwingungen

Schwingungssysteme, bei denen die Energiezufuhr durch ein geeignetes Steuerelement und den Schwingungsvorgang selbst gesteuert wird, führen selbsterregte Schwingungen aus und werden Oszillator genannt. In den Differentialgleichungen wirkt sich diese Erscheinung so aus, dass der Dämpfungswert Null wird. Ein typisches Beispiel im Bereich der Mechanik sind die Schwingungen der Saiten einer Violine. Diese werden dadurch verursacht, dass die Haftreibung zwischen Bogen und Saite größer ist als die Gleitreibung und die Gleitreibung mit wachsender Differenzgeschwindigkeit noch abnimmt. Weitere Beispiele sind das Tönen von Gläsern durch Reiben des Randes und elektronische Taktgeber (Oszillatorschaltung).

Selbsterregte Schwingungen nehmen in der Amplitude zu, bis die überproportional mit der Amplitude zunehmende Dämpfung die Energieeinkopplung kompensiert oder das schwingende System zerstört wird.

Parametererregte Schwingungen

Hauptartikel: Parametrischer Oszillator

Eine parametererregte Schwingung tritt dann auf, wenn sich Parameter des Schwingungssystems (Trägheitsgrößen, Dämpfungswerte oder Federkonstanten) periodisch ändern, z. B. beim Schaukeln.

Lineare Schwingungen sind dadurch gekennzeichnet, dass sie sich mit Differentialgleichungen beschreiben lassen, bei denen alle Abhängigkeiten von der schwingenden Größe und ihren zeitlichen Ableitungen linear sind. Bei nichtlinearen Schwingungen ist dies nicht der Fall, sie sind daher nicht streng sinusförmig. Von größerer praktischer Bedeutung ist, dass sich bei einem getriebenen Oszillator das Resonanzverhalten erzwungener Schwingungen ändert und die Amplituden selbsterregter Schwingungen beschränkt bleiben.

Nichtlineare Systeme sind häufig nicht integrabel, d. h. die Differentialgleichung(en) besitzen keine analytische Lösung. Das Schwingverhalten solcher Systeme wird daher meist mit numerischen Computersimulationen untersucht. Eines der ersten dieser Experimente war das Fermi-Pasta-Ulam-Experiment, bei dem eine Saitenschwingung mit nichtlinearem Störterm untersucht wurde. Als Lösung solcher Systeme erhält man je nach Energie der Schwingung häufig eine quasiperiodische oder chaotische Oszillation. Chaotisches Verhalten lässt sich beispielsweise bei einem Doppelpendel beobachten. Ein nichtlineares System, das kein chaotisches Verhalten ermöglicht, ist der Van-der-Pol-Oszillator.

Diese Animation zeigt eine Lissajous-Figur, wie sie ein Oszilloskop bei einem Frequenz-Verhältnis von annähernd 2:3 anzeigen würde (Amplituden-Verhältnis 1:1)

Schwingungen mit einem Freiheitsgrad sind solche, die sich mit einer schwingenden Größe vollständig beschreiben lassen. Ein Beispiel dafür sind Schwingungen des ebenen Fadenpendels. Lässt man beim Pendel räumliche Bewegungen zu wie bei einem foucaultschen Pendel, so handelt es sich bereits um einen Schwinger mit zwei Freiheitsgraden. Im Folgenden beschränken wir uns auf die Betrachtung kleiner Auslenkungen.

An diesem Beispiel lässt sich sehen, dass die Bezeichnung als Schwingung von den betrachteten Größen abhängen kann, also der Wahl der generalisierten Koordinaten. So lässt sich das Pendel auslenken, sodass die Schwingung in einer Ebene stattfindet. Gibt man dem Pendel zusätzlich noch eine Anfangsgeschwindigkeit senkrecht zur Auslenkungsrichtung, so kann man Ellipsenbahnen oder eine Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit beobachten.

Betrachtet man Auslenkungswinkel des Pendels von der Seite von zwei verschiedenen Richtungen, erhält man zwei harmonischen Schwingungen gleicher Periodendauer. Eine Überlagerung von zwei harmonischen Schwingungen nennt man Lissajous-Figur. Eine andere Möglichkeit ist, das Pendel von oben zu betrachten und Abstand zur Ruhelage sowie die Richtung der Auslenkung als fortlaufende Entfernung zum Anfangswinkel zu notieren. Im Fall einer Kreisbahn sind beide keine Schwingungen mehr.

Die Anzahl der Freiheitsgrade eines mechanischen Systems mit mehreren Massen, die sich unabhängig voneinander bewegen können, ist die Summe aller einzelnen Freiheitsgrade. Weitere Beispiele für Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden sind Torsionsschwingungen einer Kurbelwelle oder die Horizontalschwingungen eines mehrgeschossigen Bauwerkes unter Erdbebeneinfluss.

Manche Schwingungen eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden lassen sich bei geeigneter Wahl der Koordinaten als mehrere unabhängige Schwingungen betrachten. Für eine Schwingung, die sich mittels Differentialgleichungen beschreiben lässt, bedeutet dies, die Gleichungen der einzelnen Koordinaten zu entkoppeln. Sind die einzelnen Schwingungen periodisch, lassen sich dann aus den entkoppelten Differentialgleichungen die Eigenfrequenzen des Systems bestimmen. Lassen sich alle Eigenfrequenzen als ganzzahliges Vielfaches einer Konstanten schreiben, so ist auch die Schwingung des Gesamtsystems periodisch.

Bei nichtlinearen Schwingungssystemen ist eine Entkopplung der Differentialgleichungen in geschlossener Form meist nicht möglich. Es existieren jedoch Näherungsverfahren, die ausgehend von einer Linearisierung der Differentialgleichungen eine iterative Lösung ermöglichen.

Schwingungen quadratischer Platten. Dargestellt sind die Knotenlinien von stehenden Wellen, auch Chladnische Klangfiguren genannt.
Siehe auch: Stehende Welle

Eine an einer Stelle in einem Kontinuum angeregte Schwingung breitet sich darin als Welle aus. An Grenzflächen, an denen das Ausbreitungsmedium wechselt, kann die Welle reflektiert werden. Innerhalb des schwingenden Körpers überlagern sich die ursprüngliche und die reflektierte Welle, so dass eine stehende Welle entsteht; Beispiele sind eine schwingende Saite eines Musikinstruments – geometrisch eindimensional – oder die zweidimensional schwingende Membran in einem Lautsprecher. Die stehende Welle lässt sich mathematisch durch unendlich viele gekoppelte Oszillatoren, also ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden beschreiben.

Von praktischem Interesse in der Technik sind des Weiteren die Schwingungen von Stäben, Platten und Schalen. Ein einseitig eingespannter Balken besitzt viele Freiheitsgrade der Schwingung, die sich nicht nur durch ihre Resonanzfrequenzen, sondern auch durch die Art ihrer Bewegung unterscheiden.

  • Schwingungsform eines einseitig eingespannten Balkens bei der tiefsten Eigenfrequenz – erste Querbiegungsmode

  • Schwingungsform desselben Balkens bei einer höheren Eigenfrequenz – zweite Vertikalbiegungsmode

  • Schwingungsform desselben Balkens bei einer höheren Eigenfrequenz – erste Torsionsmode

  • Schwingungsform desselben Balkens bei einer höheren Eigenfrequenz – zweite Torsionsmode

Im Alltag begegnen uns Schwingungen zum Beispiel in Musikinstrumenten und am Uhrpendel, aber auch in Schwingquarzen von Uhren oder zur Takterzeugung in anderen elektronischen Geräten.

Auch die Atome in einem Kristallgitter oder Moleküle können um eine Gleichgewichtslage schwingen und erzeugen so zum Beispiel charakteristische Absorptionsspektren.

Oszillierende Reaktionen geben den Takt vor für die Atmung und den Herzschlag.

Bei Elektronenröhren wird häufig Mikrofonie beobachtet. Sie entsteht durch von außen auf die Bauteile einwirkende störende mechanische Schwingungen etwa durch nah dabeistehende Lautsprecher.

Als Regenerativeffekt bezeichnet man in der Fertigungstechnik Schwingungen, die während des Fertigungsvorganges innerhalb einer Maschine auftreten.

In der Geologie und Meteorologie werden kleinere und mit gewisser Regelmäßigkeit wiederkehrende Schwankungen des Meeresspiegels, der Eisrandlagen, der Erdkrustenstücke, des Erdmagnetfeldes oder des Klimas beobachtet.

In der Wirtschaft dient das Goodwin-Modell zur Erklärung von Konjunkturzyklen.

Die Lotka-Volterra-Gleichungen beschreiben näherungsweise die Schwankungen von Räuber- und Beutepopulationen.

  • Hans Dresig, Alexander Fidlin: Schwingungen und mechanische Antriebssysteme: Modellbildung, Berechnung, Analyse, Synthese. 3., überarb. und erw. Auflage. Springer Vieweg Verlag, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-24116-1.
  • N. N. Bogoliubow, Y. A. Mitropolski: Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. 2. Auflage. Hindustan Pub. Corp. / Gordon and Breach Science Publishers, Delhi / New York / London 1961, OCLC 564000480 (englisch, Inhaltsverzeichnis – eingeschränkte Vorschau).
  • Th. Frey, M. Bossert: Signal- und Systemtheorie. In: Teubner Informationstechnik. Teubner Verlag, Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-06193-7.
  • Anatole Katok, Boris Hasselblatt: Introduction to the modern theory of dynamical systems. In: Encyclopedia of mathematics and its applications.Band54. Cambridge University Press, Cambridge 1996, ISBN 0-521-57557-5 (englisch).
Wikibooks: Schwingbewegungen – Lern- und Lehrmaterialien
Wiktionary: oszillieren – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  1. Kurt Magnus, Karl Popp: Schwingungen. 7. Auflage. Teubner, 2005, ISBN 3-519-52301-9,S.13 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche): „Als Schwingungen werden mehr oder weniger regelmäßig erfolgende zeitliche Schwankungen von Zustandsgrößen bezeichnet.“
  2. DIN 1311-1:2000: Schwingungen und schwingungsfähige Systeme – Teil 1: Grundbegriffe, Einteilung. Abschnitt 3 „Eine Schwingung ist eine zeitliche Änderung einer Zustandsgröße eines Systems, bei der im allgemeinen diese Zustandsgröße abwechselnd zu- und abnimmt. Spezielle zeitliche Änderungen wie Stoß- und Kriechvorgänge werden im erweiterten Sinn auch als Schwingungen bezeichnet.“
  3. 13 Schwingungen. (PDF; 92 kB) TU Cottbus.
  4. Rudolf Jürgler: Maschinendynamik. 3., neu bearbeitete Auflage. Springer, 2004, ISBN 3-540-62227-6,S.3 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  5. Michel Hénon: Numerical exploration of Hamiltonian Systems. Iooss, Helleman, Stora (Hrsg.): Chaotic Behaviour of Deterministic Systems. North-Holland, 1983, S. 53–76.
  6. Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics and Chaos. Perseus Books, 2001, S. 273 ff., Kapitel 8.6 – Coupled Oscillators and Quasiperiodicity.
  7. Wladimir Iwanowitsch Smirnow: Lehrgang der höheren Mathematik. 8. Auflage.Band2. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1968, DNB 368242544.
Normdaten (Sachbegriff): GND:4053999-4(OGND, AKS)

Schwingung
schwingung, zeitliches, schwanken, einer, zustandsgröße, sprache, beobachten, bearbeiten, oder, oszillationen, lateinisch, oscillare, schaukeln, werden, wiederholte, zeitliche, schwankungen, zustandsgrößen, eines, systems, bezeichnet, unter, schwankung, dabei,. Schwingung zeitliches Schwanken einer Zustandsgrosse Sprache Beobachten Bearbeiten Als Schwingungen oder Oszillationen lateinisch oscillare schaukeln werden wiederholte zeitliche Schwankungen von Zustandsgrossen eines Systems bezeichnet 1 2 Unter Schwankung ist dabei die Abweichung von einem Mittelwert zu verstehen Schwingungen konnen in allen ruckgekoppelten Systemen auftreten 3 Beispiele fur Schwingungen sind in der Mechanik in der Elektrotechnik der Biologie in der Wirtschaft und in vielen anderen Bereichen anzutreffen Man unterscheidet periodische 4 und nichtperiodische quasiperiodische oder chaotische 5 6 Schwingungen ungedampfte gedampfte und aperiodische Schwingungen freie erzwungene fremderregte selbsterregte und parametererregte Schwingungen lineare und nichtlineare Schwingungen Schwingungen mit einem Freiheitsgrad mit mehreren Freiheitsgraden und mit unendlich vielen Freiheitsgraden Schwingungen eines Kontinuums kontinuierliche Schwingungen und Oszillation zwischen diskreten Zustanden Alle diese Eigenschaften konnen kombiniert sein Als Vibration werden periodische mit Verformung verbundene mechanische Schwingungen eines Korpers bezeichnet Eine Schwingung die zur Informationsubermittlung dient nennt man manchmal Signal zum Beispiel elektrisches Signal Die raumliche Ausbreitung einer Storung oder Schwingung ist eine Welle Gegenuberstellung elementarer Schwingungsformen Die waagerechte Achse stellt die Zeit dar Inhaltsverzeichnis 1 Harmonische Schwingungen 2 Linear gedampfte Schwingung 2 1 Schwingfall 2 2 Aperiodischer Grenzfall 2 3 Kriechfall 3 Frequenzspektrum 4 Anregung 4 1 Freie Schwingungen 4 2 Erzwungene Schwingungen 4 3 Selbsterregte Schwingungen 4 4 Parametererregte Schwingungen 5 Lineare und nichtlineare Schwingungen 6 Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden 7 Schwingungen eines Kontinuums 8 Weitere Beispiele 9 Siehe auch 10 Literatur 11 Weblinks 12 EinzelnachweiseHarmonische Schwingungen BearbeitenSiehe auch Harmonischer Oszillator Darstellung einer harmonischen Schwingung Als harmonisch wird eine Schwingung bezeichnet deren Verlauf durch eine Sinusfunktion beschrieben werden kann Die Grafik zeigt eine harmonische Schwingung mit der Auslenkung y t displaystyle y t der Amplitude y 0 displaystyle y 0 und der Periodendauer T displaystyle T Die Auslenkung y t displaystyle y t zu einem Zeitpunkt t displaystyle t gibt den momentanen die Amplitude den maximal moglichen Wert der Grosse y displaystyle y an Die Periodendauer oder die Schwingungsdauer ist die Zeit die verstreicht wahrend ein schwingungsfahiges System genau eine Schwingungsperiode durchlauft d h nach der es sich wieder im selben Schwingungszustand befindet Der Kehrwert der Periodendauer T ist die Frequenz f also f 1 T displaystyle f 1 over T quad Statt f wird auch der griechische Buchstabe n displaystyle nu sprich nu verwendet Die Einheit der Frequenz ist Hertz 1 Hz 1 s 1 Eine ungedampfte Schwingung ist harmonisch wenn die Ruckstellgrosse die ruckstellende Kraft proportional zur Auslenkung beispielsweise eines Federpendels ist Hierbei spricht man auch von einem harmonischen Oszillator oder einem linearen System da die ruckstellende Kraft sich linear mit der Auslenkung andert Verdoppelt sich diese verdoppelt sich auch die ruckstellende Kraft Eine solche Schwingung lasst sich beschreiben durch y t y 0 sin 2 p f t f 0 displaystyle y t y 0 cdot sin 2 pi ft varphi 0 mit y 0 displaystyle y 0 Amplitude und f 0 displaystyle varphi 0 Nullphasenwinkel der Schwingung Das 2 p displaystyle 2 pi fache der Frequenz w 2 p f displaystyle omega 2 pi cdot f ist die Kreisfrequenz der Schwingung Durch Verwendung der Kreisfrequenz ergibt sich eine kompaktere Schreibweise y t y 0 sin w t f 0 displaystyle y t y 0 cdot sin omega t varphi 0 Linear gedampfte Schwingung Bearbeiten Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Grosse x t displaystyle x t bei einer freien gedampften Schwingung Makroskopische physikalische Systeme sind immer gedampft Da sie beispielsweise durch Reibung Energie an die Umgebung abgeben nimmt die Amplitude ihrer Schwingung im Laufe der Zeit ab Uberlasst man ein solches System sich selbst freie Schwingung so fuhrt dieses letztendlich zum Stillstand wie aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik hervorgeht Perpetua Mobilia sind also siehe Energieerhaltungssatz nicht moglich Stellt man die Bewegungsgleichung eines Federpendels mit einer zur Geschwindigkeit proportionalen Dampfung auf so ergibt sich folgende Differentialgleichung m x d x k x 0 displaystyle m ddot x d dot x kx 0 Dabei ist m displaystyle m die Masse d displaystyle d die Dampfungskonstante und k displaystyle k die Federkonstante Fur Drehschwingungen ist m displaystyle m durch das Tragheitsmoment J displaystyle J und x displaystyle x durch den Auslenkungswinkel f displaystyle varphi zu ersetzen Hierbei handelt es sich um eine homogene lineare gewohnliche Differentialgleichung 2 Ordnung die sich auf die allgemeine Form x 2 d x w 0 2 x 0 displaystyle ddot x 2 delta dot x omega 0 2 x 0 bringen lasst wenn man die positiven Abkurzungen fur die Abklingkonstante d d 2 m displaystyle delta frac d 2m und die ungedampfte Eigenkreisfrequenz w 0 k m displaystyle omega 0 sqrt frac k m einfuhrt deren Bedeutungen erst bei der Interpretation der Losung deutlich werden Beim klassischen Weg zur Losung einer solchen linearen homogenen Differentialgleichung alternativ kann man Methoden der Operatorenrechnung benutzen konnen mit Hilfe des Ansatzes x t e l t displaystyle x t e lambda t mit gegebenenfalls komplexem Parameter l displaystyle lambda zwei linear unabhangige Losungen gefunden werden welche ein Fundamentalsystem bilden Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt sich l 2 2 d l w 0 2 e l t 0 displaystyle lambda 2 2 delta lambda omega 0 2 e lambda t 0 In dieser Gleichung kann nur der Klammerausdruck gleich Null sein Man erhalt die sogenannte charakteristische Gleichung zur Bestimmung der Konstante l displaystyle lambda l 2 2 d l w 0 2 0 displaystyle lambda 2 2 delta lambda omega 0 2 0 Das ist eine quadratische Gleichung deren Diskriminante d 2 w 0 2 displaystyle delta 2 omega 0 2 bestimmt ob sie zwei reelle Losungen zwei konjugiert komplexe Losungen oder eine sogenannte Doppelwurzel besitzt Deshalb ist eine Fallunterscheidung erforderlich Die Theorie der linearen Differentialgleichungen zeigt dass die allgemeine Losung der homogenen Differentialgleichung eine Linearkombination der beiden ermittelten Losungen ist Besitzt die charakteristische Gleichung zwei Losungen also ist die Diskriminante ungleich 0 dann lasst sich die allgemeine Losung der Bewegungsgleichung wie folgt schreiben x t X 1 e l 1 t X 2 e l 2 t displaystyle x t X 1 e lambda 1 t X 2 e lambda 2 t Die beiden im Allgemeinen komplexen Konstanten X 1 displaystyle X 1 und X 2 displaystyle X 2 reprasentieren die zwei noch vorhandenen Freiheitsgrade der allgemeinen Losung Durch die Festlegung von zwei Anfangsbedingungen z B x 0 displaystyle x 0 oder und x 0 displaystyle dot x 0 mussen die beiden Konstanten fur einen konkreten Fall prazisiert werden Schwingfall links Aperiodischer Grenzfall mittig und Kriechfall rechts einer gedampften Schwingung Schwingfall Bearbeiten Eine Schwingung kann es nur geben wenn die Verluste gering sind Dann ist mit d lt w 0 displaystyle delta lt omega 0 die Diskriminante negativ der Wurzelausdruck imaginar und man erhalt zwei konjugiert komplexe Losungen l 1 2 d i w 0 2 d 2 displaystyle lambda 1 2 delta pm mathrm i sqrt omega 0 2 delta 2 Mit der gedampften Eigenkreisfrequenz w d w 0 2 d 2 displaystyle omega d sqrt omega 0 2 delta 2 ergibt sich kurzer l 1 2 d i w d displaystyle lambda 1 2 delta pm mathrm i omega d Damit erhalt man x t e d t X 1 e i w d t X 2 e i w d t displaystyle x t e delta t left X 1 e mathrm i omega d t X 2 e mathrm i omega d t right Mit Hilfe der Eulerschen Formeln lasst sich die Losung der homogenen Differentialgleichung auch in trigonometrischer Form angeben In der Theorie der linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 7 wird gezeigt dass diese im Gegensatz zur Exponentialform rein reell und dadurch praktisch besser interpretierbar ist x t e d t X 3 sin w d t X 4 cos w d t displaystyle x t e delta t left X 3 sin omega d t X 4 cos omega d t right oder x t x 0 e d t cos w d t f 0 displaystyle x t x 0 e delta t cos omega d t varphi 0 Auch hier sind jeweils die beiden Konstanten X 3 displaystyle X 3 und X 4 displaystyle X 4 bzw x 0 displaystyle x 0 und f 0 displaystyle varphi 0 durch die Anfangsbedingungen zu bestimmen Insbesondere die letzte Form ist leicht als gedampfte Schwingung zu interpretieren Durch Vorgabe der zwei Anfangsbedingungen x 0 displaystyle x 0 und x 0 displaystyle dot x 0 konnen die beiden Konstanten eliminiert werden Ausgehend von der ersten trigonometrischen Form erhalt man die konkrete von beiden Anfangsbedingungen abhangige Losung x t e d t x 0 d x 0 w d sin w d t x 0 cos w d t displaystyle x t e delta t left frac dot x 0 delta x 0 omega d cdot sin omega d t x 0 cdot cos omega d t right Wenn die Abklingkonstante d displaystyle delta gleich Null ist bleibt die Amplitude konstant Die Schwingung ist ungedampft mit der Kreisfrequenz w d w 0 displaystyle omega d omega 0 Aperiodischer Grenzfall Bearbeiten Die Grenze ab der keine Schwingung mehr moglich ist bildet der aperiodische Grenzfall d w 0 displaystyle delta omega 0 bzw w d 0 displaystyle omega d 0 Die Losung enthalt dann keine Sinusfunktion Da nun l 1 l 2 d displaystyle lambda 1 lambda 2 delta gilt muss eine zu e l 1 t displaystyle e lambda 1 t unabhangige zweite Losung auf andere Weise konstruiert werden Es ergibt sich x t X 1 e d t X 2 t e d t X 1 e d t 1 d t displaystyle x t X 1 e delta t X 2 t e delta t X 1 e delta t cdot 1 delta t Kriechfall Bearbeiten Bei hoher Dampfung also fur d gt w 0 displaystyle delta gt omega 0 ergibt sich der Kriechfall dessen Losung sich aus zwei Exponentialfunktionen mit den beiden reellen l 1 2 displaystyle lambda 1 2 zusammensetzt x t X 1 e l 1 t X 2 e l 2 t displaystyle x t X 1 e lambda 1 t X 2 e lambda 2 t Frequenzspektrum Bearbeiten Zusammenhang von Zeit und Frequenzbereich Hauptartikel Frequenzspektrum Eine Schwingung lasst sich statt als zeitabhangige Anderung auch als Funktion im Frequenzraum betrachten Die mathematische Transformation nennt man Fouriertransformation Der Informationsgehalt bleibt dabei erhalten daher lasst sich aus einem Frequenzspektrum durch Rucktransformation die entsprechende zeitabhangige Schwingung rekonstruieren Hintergrund dieser Uberlegung ist dass sich jede Schwingung durch eine additive Uberlagerung Superposition von harmonischen Schwingungen unterschiedlicher Frequenz darstellen lasst Die Superposition zweier harmonischer Schwingungen nennt man Schwebung Siehe auch FourieranalyseAnregung BearbeitenFreie Schwingungen Bearbeiten Freie Schwingungen fuhrt ein schwingfahiges System aus das nach einer Storung Auslenkung sich selbst uberlassen je nach Dampfung oszillierend oder kriechend in den Gleichgewichtszustand zuruckkehrt siehe oben Die Frequenz der freien Schwingung ist die Eigenfrequenz des Schwingers Bei Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden gibt es entsprechend viele Eigenfrequenzen Erzwungene Schwingungen Bearbeiten Hauptartikel Erzwungene Schwingung Erzwungene Schwingungen fuhrt ein Schwinger aus der durch zeitveranderliche aussere Einwirkung zum Schwingen angeregt gezwungen wird Praktisch bedeutsam sind vor allem periodische Erregungen und darunter die harmonische sinusformige Erregung Die Frequenz der periodischen Erregung wird als Erregerfrequenz bezeichnet Es gibt auch mehrfrequente Erregungen oder Erregungen durch Zufallsprozesse Im Falle der harmonischen Erregung fuhrt ein lineares System im Allgemeinen zwei Schwingungen gleichzeitig aus die freie Schwingung mit der Eigenfrequenz bzw mehreren Eigenfrequenzen deren Grosse von den Anfangsbedingungen abhangt und die durch die stets vorhandene Dampfung wahrend der Einschwingzeit abklingt und die erzwungene Schwingung mit der Erregerfrequenz bei konstanter Anregungsstarke Die Amplitude dieser Schwingung ist nach Beendigung des Einschwingvorgangs konstant Das Verhaltnis zwischen der Amplitude und der Starke der Erregung wird durch die Vergrosserungsfunktion quantifiziert In der Technischen Mechanik sind die wichtigsten Erregungsmechanismen die Wegerregung die Krafterregung und die Unwuchterregung siehe Vergrosserungsfunktion Die Amplitude der erzwungenen Schwingung nimmt im Falle der Resonanz ein Maximum an Bei fehlender Dampfung und Gleichheit von einer Erregerfrequenz und einer Eigenfrequenz wird die Amplitude unendlich Mit wachsendem Dampfungswert verschiebt sich die Resonanzstelle geringfugig und die Resonanzamplitude nimmt ab Selbsterregte Schwingungen Bearbeiten Schwingungssysteme bei denen die Energiezufuhr durch ein geeignetes Steuerelement und den Schwingungsvorgang selbst gesteuert wird fuhren selbsterregte Schwingungen aus und werden Oszillator genannt In den Differentialgleichungen wirkt sich diese Erscheinung so aus dass der Dampfungswert Null wird Ein typisches Beispiel im Bereich der Mechanik sind die Schwingungen der Saiten einer Violine Diese werden dadurch verursacht dass die Haftreibung zwischen Bogen und Saite grosser ist als die Gleitreibung und die Gleitreibung mit wachsender Differenzgeschwindigkeit noch abnimmt Weitere Beispiele sind das Tonen von Glasern durch Reiben des Randes und elektronische Taktgeber Oszillatorschaltung Selbsterregte Schwingungen nehmen in der Amplitude zu bis die uberproportional mit der Amplitude zunehmende Dampfung die Energieeinkopplung kompensiert oder das schwingende System zerstort wird Parametererregte Schwingungen Bearbeiten Hauptartikel Parametrischer Oszillator Eine parametererregte Schwingung tritt dann auf wenn sich Parameter des Schwingungssystems Tragheitsgrossen Dampfungswerte oder Federkonstanten periodisch andern z B beim Schaukeln Lineare und nichtlineare Schwingungen BearbeitenLineare Schwingungen sind dadurch gekennzeichnet dass sie sich mit Differentialgleichungen beschreiben lassen bei denen alle Abhangigkeiten von der schwingenden Grosse und ihren zeitlichen Ableitungen linear sind Bei nichtlinearen Schwingungen ist dies nicht der Fall sie sind daher nicht streng sinusformig Von grosserer praktischer Bedeutung ist dass sich bei einem getriebenen Oszillator das Resonanzverhalten erzwungener Schwingungen andert und die Amplituden selbsterregter Schwingungen beschrankt bleiben Nichtlineare Systeme sind haufig nicht integrabel d h die Differentialgleichung en besitzen keine analytische Losung Das Schwingverhalten solcher Systeme wird daher meist mit numerischen Computersimulationen untersucht Eines der ersten dieser Experimente war das Fermi Pasta Ulam Experiment bei dem eine Saitenschwingung mit nichtlinearem Storterm untersucht wurde Als Losung solcher Systeme erhalt man je nach Energie der Schwingung haufig eine quasiperiodische oder chaotische Oszillation Chaotisches Verhalten lasst sich beispielsweise bei einem Doppelpendel beobachten Ein nichtlineares System das kein chaotisches Verhalten ermoglicht ist der Van der Pol Oszillator Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden Bearbeiten Diese Animation zeigt eine Lissajous Figur wie sie ein Oszilloskop bei einem Frequenz Verhaltnis von annahernd 2 3 anzeigen wurde Amplituden Verhaltnis 1 1 Schwingungen mit einem Freiheitsgrad sind solche die sich mit einer schwingenden Grosse vollstandig beschreiben lassen Ein Beispiel dafur sind Schwingungen des ebenen Fadenpendels Lasst man beim Pendel raumliche Bewegungen zu wie bei einem foucaultschen Pendel so handelt es sich bereits um einen Schwinger mit zwei Freiheitsgraden Im Folgenden beschranken wir uns auf die Betrachtung kleiner Auslenkungen An diesem Beispiel lasst sich sehen dass die Bezeichnung als Schwingung von den betrachteten Grossen abhangen kann also der Wahl der generalisierten Koordinaten So lasst sich das Pendel auslenken sodass die Schwingung in einer Ebene stattfindet Gibt man dem Pendel zusatzlich noch eine Anfangsgeschwindigkeit senkrecht zur Auslenkungsrichtung so kann man Ellipsenbahnen oder eine Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit beobachten Betrachtet man Auslenkungswinkel des Pendels von der Seite von zwei verschiedenen Richtungen erhalt man zwei harmonischen Schwingungen gleicher Periodendauer Eine Uberlagerung von zwei harmonischen Schwingungen nennt man Lissajous Figur Eine andere Moglichkeit ist das Pendel von oben zu betrachten und Abstand zur Ruhelage sowie die Richtung der Auslenkung als fortlaufende Entfernung zum Anfangswinkel zu notieren Im Fall einer Kreisbahn sind beide keine Schwingungen mehr Die Anzahl der Freiheitsgrade eines mechanischen Systems mit mehreren Massen die sich unabhangig voneinander bewegen konnen ist die Summe aller einzelnen Freiheitsgrade Weitere Beispiele fur Schwingungen mit mehreren Freiheitsgraden sind Torsionsschwingungen einer Kurbelwelle oder die Horizontalschwingungen eines mehrgeschossigen Bauwerkes unter Erdbebeneinfluss Manche Schwingungen eines Systems mit mehreren Freiheitsgraden lassen sich bei geeigneter Wahl der Koordinaten als mehrere unabhangige Schwingungen betrachten Fur eine Schwingung die sich mittels Differentialgleichungen beschreiben lasst bedeutet dies die Gleichungen der einzelnen Koordinaten zu entkoppeln Sind die einzelnen Schwingungen periodisch lassen sich dann aus den entkoppelten Differentialgleichungen die Eigenfrequenzen des Systems bestimmen Lassen sich alle Eigenfrequenzen als ganzzahliges Vielfaches einer Konstanten schreiben so ist auch die Schwingung des Gesamtsystems periodisch Bei nichtlinearen Schwingungssystemen ist eine Entkopplung der Differentialgleichungen in geschlossener Form meist nicht moglich Es existieren jedoch Naherungsverfahren die ausgehend von einer Linearisierung der Differentialgleichungen eine iterative Losung ermoglichen Schwingungen eines Kontinuums Bearbeiten Schwingungen quadratischer Platten Dargestellt sind die Knotenlinien von stehenden Wellen auch Chladnische Klangfiguren genannt Siehe auch Stehende Welle Eine an einer Stelle in einem Kontinuum angeregte Schwingung breitet sich darin als Welle aus An Grenzflachen an denen das Ausbreitungsmedium wechselt kann die Welle reflektiert werden Innerhalb des schwingenden Korpers uberlagern sich die ursprungliche und die reflektierte Welle so dass eine stehende Welle entsteht Beispiele sind eine schwingende Saite eines Musikinstruments geometrisch eindimensional oder die zweidimensional schwingende Membran in einem Lautsprecher Die stehende Welle lasst sich mathematisch durch unendlich viele gekoppelte Oszillatoren also ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden beschreiben Von praktischem Interesse in der Technik sind des Weiteren die Schwingungen von Staben Platten und Schalen Ein einseitig eingespannter Balken besitzt viele Freiheitsgrade der Schwingung die sich nicht nur durch ihre Resonanzfrequenzen sondern auch durch die Art ihrer Bewegung unterscheiden Schwingungsform eines einseitig eingespannten Balkens bei der tiefsten Eigenfrequenz erste Querbiegungsmode Schwingungsform desselben Balkens bei einer hoheren Eigenfrequenz zweite Vertikalbiegungsmode Schwingungsform desselben Balkens bei einer hoheren Eigenfrequenz erste Torsionsmode Schwingungsform desselben Balkens bei einer hoheren Eigenfrequenz zweite TorsionsmodeWeitere Beispiele BearbeitenIm Alltag begegnen uns Schwingungen zum Beispiel in Musikinstrumenten und am Uhrpendel aber auch in Schwingquarzen von Uhren oder zur Takterzeugung in anderen elektronischen Geraten Auch die Atome in einem Kristallgitter oder Molekule konnen um eine Gleichgewichtslage schwingen und erzeugen so zum Beispiel charakteristische Absorptionsspektren Oszillierende Reaktionen geben den Takt vor fur die Atmung und den Herzschlag Bei Elektronenrohren wird haufig Mikrofonie beobachtet Sie entsteht durch von aussen auf die Bauteile einwirkende storende mechanische Schwingungen etwa durch nah dabeistehende Lautsprecher Als Regenerativeffekt bezeichnet man in der Fertigungstechnik Schwingungen die wahrend des Fertigungsvorganges innerhalb einer Maschine auftreten In der Geologie und Meteorologie werden kleinere und mit gewisser Regelmassigkeit wiederkehrende Schwankungen des Meeresspiegels der Eisrandlagen der Erdkrustenstucke des Erdmagnetfeldes oder des Klimas beobachtet In der Wirtschaft dient das Goodwin Modell zur Erklarung von Konjunkturzyklen Die Lotka Volterra Gleichungen beschreiben naherungsweise die Schwankungen von Rauber und Beutepopulationen Siehe auch BearbeitenHarmonograph Humanschwingungen mechanische Schwingungen die auf den Menschen einwirken Vibrationen Schwingungen von Stoffen und Korpern ZeigermodellLiteratur BearbeitenHans Dresig Alexander Fidlin Schwingungen und mechanische Antriebssysteme Modellbildung Berechnung Analyse Synthese 3 uberarb und erw Auflage Springer Vieweg Verlag Berlin Heidelberg 2014 ISBN 978 3 642 24116 1 N N Bogoliubow Y A Mitropolski Asymptotic Methods in the Theory of Non Linear Oscillations 2 Auflage Hindustan Pub Corp Gordon and Breach Science Publishers Delhi New York London 1961 OCLC 564000480 englisch Inhaltsverzeichnis eingeschrankte Vorschau Th Frey M Bossert Signal und Systemtheorie In Teubner Informationstechnik Teubner Verlag Stuttgart Leipzig Wiesbaden 2004 ISBN 3 519 06193 7 Anatole Katok Boris Hasselblatt Introduction to the modern theory of dynamical systems In Encyclopedia of mathematics and its applications Band 54 Cambridge University Press Cambridge 1996 ISBN 0 521 57557 5 englisch Weblinks Bearbeiten Wikibooks Schwingbewegungen Lern und Lehrmaterialien Wiktionary oszillieren Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Schwingungen Kurs Uni GottingenEinzelnachweise Bearbeiten Kurt Magnus Karl Popp Schwingungen 7 Auflage Teubner 2005 ISBN 3 519 52301 9 S 13 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Als Schwingungen werden mehr oder weniger regelmassig erfolgende zeitliche Schwankungen von Zustandsgrossen bezeichnet DIN 1311 1 2000 Schwingungen und schwingungsfahige Systeme Teil 1 Grundbegriffe Einteilung Abschnitt 3 Eine Schwingung ist eine zeitliche Anderung einer Zustandsgrosse eines Systems bei der im allgemeinen diese Zustandsgrosse abwechselnd zu und abnimmt Spezielle zeitliche Anderungen wie Stoss und Kriechvorgange werden im erweiterten Sinn auch als Schwingungen bezeichnet 13 Schwingungen PDF 92 kB TU Cottbus Rudolf Jurgler Maschinendynamik 3 neu bearbeitete Auflage Springer 2004 ISBN 3 540 62227 6 S 3 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Michel Henon Numerical exploration of Hamiltonian Systems Iooss Helleman Stora Hrsg Chaotic Behaviour of Deterministic Systems North Holland 1983 S 53 76 Steven H Strogatz Nonlinear Dynamics and Chaos Perseus Books 2001 S 273 ff Kapitel 8 6 Coupled Oscillators and Quasiperiodicity Wladimir Iwanowitsch Smirnow Lehrgang der hoheren Mathematik 8 Auflage Band 2 Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1968 DNB 368242544 Normdaten Sachbegriff GND 4053999 4 OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Schwingung amp oldid 213271119, wikipedia, wiki, deutsches

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