fbpx
Wikipedia

Mechanische Spannung

Physikalische Größe
Name mechanische Spannung
Formelzeichen σ {\displaystyle \sigma } (Normalspannungen),
τ {\displaystyle \tau } (Schub- oder Scherspannungen)
Siehe auch: Druck p

Die mechanische Spannung (Formelzeichen σ (kleines Sigma) und τ (kleines Tau), englischstress, französischcontrainte) ist ein Maß für die innere Beanspruchung eines Körpers infolge dessen Belastung von außen. Da innerhalb der Mechanik keine Verwechslungsgefahr mit der elektrischen Spannung besteht, wird sie kurz als Spannung bezeichnet.

Die mechanische Normal-Spannung σ auf einer gedachten Schnittfläche A (engl. area) durch einen Körper ist die auf sie bezogene senkrecht auf sie wirkende Komponente Fn einer äußeren Kraft F (engl. force):

σ = lim Δ A 0 Δ F n Δ A {\displaystyle \sigma =\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta F_{n}}{\Delta A}}} .

Die Definition des Spannungsbegriffs geht auf Cauchy (1823) zurück.

Die mechanische Schub- oder Scherspannung τ in einer gedachten Schnittfläche A durch einen Körper ist die auf sie bezogene in ihr verlaufende Komponente FA (Querkraft) einer äußeren Kraft F:

τ = F A A {\displaystyle \tau ={\frac {F_{A}}{A}}} , (Näherungsgleichung: Schubspannung ist über Fläche nicht konstant und am Flächenrand immer Null).

Die mechanische Spannung hat dieselbe physikalische Dimension wie der Druck, nämlich Kraft pro Flächeneinheit. In ruhenden Flüssigkeiten und Gasen ist Druck eine in allen Raumrichtungen gleichermaßen wirkende Normalspannung.

Im Maschinen- und konstruktiven Ingenieurbau erfordert die Dimensionierung von Objekten die Kenntnis der auftretenden mechanischen Spannungen. Als Komponenten des Spannungstensors kommen die mechanischen Spannungen in physikalischen Gesetzen vor.

Inhaltsverzeichnis

Hauptartikel: Schnittreaktion

Durch Anwendung des Schnittprinzips können innere Spannungen eines Körpers anschaulich dargestellt werden. An einem gedanklichen Schnitt an beliebiger Stelle eines Körpers werden die Schnittkräfte angetragen, die aus den von außen auf den Körper wirkenden Kräften resultieren und auf die inneren Beanspruchungen des Körpers schließen lassen.

Bei einer gleichförmigen Zug- oder Druckbelastung eines Stabes ist die Spannung über die Querschnittsfläche gleichmäßig verteilt. Die Normalspannung, d. h. die Spannung bei Normalkraftbeanspruchung durch Zug oder Druck, ergibt sich aus

σ N = F A , {\displaystyle \sigma _{N}={\frac {F}{A}},}

wobei F = F {\displaystyle F=F_{\perp }} die Kraft in Richtung der Flächennormale und A {\displaystyle A} der Flächeninhalt des Stabquerschnitts ist. Bei den wahren Spannungen ist dies der Flächeninhalt beim verformten Stab und bei den Nenn- oder Ingenieursspannungen der Nennwert des undeformierten Ausgangsstabquerschnitts, siehe Zugversuch. Der Spannungstensor hat immer 3 (für alle drei Raumrichtungen) Normalspannungskomponenten, ist diese in eine Raumrichtung positiv, liegt in dieser Raumrichtung Zug vor, ebenso bei Druckspannungen ist dann die Normalspannungskomponente in diese Richtung negativ.

Bei einer Biegebelastung des Stabes ergibt sich eine Biegespannung, die am Rand des Stab-Querschnitts am höchsten ist (in der sogenannten Randfaser) und zur Mitte hin auf Null abnimmt (in der sogenannten neutralen Faser). Als Biegespannung wird zusammenfassend die durch die Biegung jeweils in einem Teil des Querschnitts hervorgerufene Druck- und Zugspannung bezeichnet:

σ B ( x , y , z ) = M z ( x ) I y + M y I y z I y ( x ) I z ( x ) ( I y z ) 2 y + M y ( x ) I z ( x ) + M z ( x ) I y z I y ( x ) I z ( x ) ( I y z ) 2 z {\displaystyle \sigma _{B}(x,y,z)=-{\frac {M_{z}(x)\cdot I_{y}+M_{y}\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot y+{\frac {M_{y}(x)\cdot I_{z}(x)+M_{z}(x)\cdot I_{yz}}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz})^{2}}}\cdot z}

Bei konstanter einachsiger Biegung M y ( x ) = M y {\displaystyle M_{y}(x)=M_{y}} im Hauptträgheitsachsensystem vereinfacht sich die Formel zu:

σ B ( z ) = M y I y y z und | σ B | m a x = | M y | | W y | m i n mit W y , positiv = I y y z m a x und W y , negativ = I y y z m i n , {\displaystyle \sigma _{B}(z)={\frac {M_{y}}{I_{yy}}}\cdot z\quad {\text{und}}\quad |\sigma _{B}|_{\mathrm {max} }={\frac {|M_{y}|}{|W_{y}|_{\mathrm {min} }}}\quad {\text{mit}}\quad W_{y,{\text{positiv}}}={\frac {I_{yy}}{z_{\mathrm {max} }}}\quad {\text{und}}\quad W_{y,{\text{negativ}}}={\frac {I_{yy}}{z_{\mathrm {min} }}},}

wobei M y {\displaystyle M_{y}} das Biegemoment um die y-Achse, I y y {\displaystyle I_{yy}} das Flächenträgheitsmoment um die y-Achse, z {\displaystyle z} der Abstand von der neutralen Faser (bei σB = 0), z R {\displaystyle z_{R}} der maximal oder minimale auftretende Abstand der Schwerachse zur Randfaser und W {\displaystyle W} das Widerstandsmoment ist, siehe Balkentheorie. Die folgende Skizze verdeutlicht dies an einem Kragträger:

Als Vektor hat der Schnittspannungsvektor drei Komponenten, die von der Orientierung der Schnittfläche abhängen. Die senkrechten Pfeile an den Schnittufern deuten durch die Querkraft eingeleitete Schubspannungen an. Bei einem mit einer Querkraft belasteten Profil wie im Bild stellt sich ein nicht konstanter Schubspannungsverlauf über den Querschnitt ein. Greift die Querkraft außerhalb des Schubmittelpunktes an, tritt zusätzlich Torsion auf.

Bei der Torsion von Stäben mit Kreis(ring)querschnitt lautet die Schubspannung:

τ = M t I p r und τ m a x = M t W t mit W t := I p r a {\displaystyle \tau ={\frac {M_{t}}{I_{p}}}r\quad {\text{und}}\quad \tau _{\mathrm {max} }={\frac {M_{t}}{W_{t}}}\quad {\text{mit}}\quad W_{t}:={\frac {I_{p}}{r_{a}}}}

Darin ist Mt das Torsionsmoment, Ip das polare Flächenträgheitsmoment, Wt das Torsionswiderstandsmoment, r die radiale Zylinderkoordinate und ra der Außenradius des (Hohl-)Zylinders.

Die Formeln zur Biege- und Torsionsspannung setzen lineare Elastizität voraus.

Die Tensorrechnung erlaubt, den Spannungszustand zunächst unabhängig von einem bestimmten Koordinatensystem zu beschreiben und erst nach einer Herleitung des jeweiligen Berechnungsverfahrens (wie obige Formeln) den geometrischen Eigenschaften des Körpers anzupassen, beispielsweise in Zylinderkoordinaten wie bei der Torsion.

Hauptartikel: Spannungstensor
Quader mit mechanischen Spannungen

Die an einer bestimmten Stelle wirkenden Spannungen werden in ihrer Gesamtheit durch die Spannungen in drei Schnittflächen beschrieben, die sich an der Stelle kreuzen, also durch drei Spannungsvektoren mit je drei spannungsartigen Komponenten. Die drei Spannungsvektoren bilden zusammengenommen den von Augustin-Louis Cauchy definierten Spannungstensor. Die Ausrichtung der Schnittflächen ist dabei beliebig, solange ihre Normalen linear unabhängig sind, denn als Tensor ist der Spannungstensor unabhängig vom gewählten Basissystem. Beispielhaft kann man die drei Schnittflächen jeweils senkrecht zu einer Richtung eines kartesischen Koordinatensystems mit x-, y- und z-Koordinaten wählen. Die drei Spannungsvektoren auf den drei Schnittflächen entsprechen dann den Zeilen der folgenden Matrix mit den Spannungen als ihren Komponenten:

S = [ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ] {\displaystyle S={\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}

Bezüglich der Standardbasis entspricht sie dem Spannungstensor. Die Bedeutung der Indizes zeigt die Skizze eines herausgeschnittenen Volumenelements. Im Doppelindex gibt der erste Index die Richtung an, in die der Normalenvektor der Schnittfläche zeigt, und der zweite Index, in welcher Richtung die Spannung wirkt. Der Spannungstensor ergibt, multipliziert mit dem Normaleneinheitsvektor n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} einer Schnittfläche, den Spannungsvektor auf dieser Fläche (Kraftvektor pro Flächeneinheit):

T ( n ^ ) = S n ^ . {\displaystyle {\vec {T}}^{({\hat {n}})}=S^{\top }{\vec {\hat {n}}}.}

Bei den „aktuellen“ oder „wahren“ Cauchy’schen Spannungen ist die Matrix symmetrisch, so dass also beispielsweise τxy = τyx ist und daher in obiger Formel die Transposition ( · )T weggelassen werden kann.

Wenn die Spannungsmatrix in einem anderen Koordinatensystem aufgestellt wird, dann ändern sich ihre Komponenten in charakteristischer Weise, so wie sich auch die Komponenten eines geometrischen Vektors beim Wechsel des Basissystems ändern. Der Betrag des Vektors ändert sich dabei aber nicht und genauso gibt es beim Spannungstensor sogenannte Invarianten, die sich bei einem Basiswechsel nicht ändern. Beim Spannungstensor sind vor allem folgende Invarianten bedeutsam:

  • der Druck, der der negative Mittelwert der Diagonalelemente ist und der proportional zur Spur der Spannungsmatrix ist,
  • die von Mises Vergleichsspannung, die eine Invariante des Spannungsdeviators ist,
  • die Hauptspannungen und
  • die maximalen Schubspannungen, siehe unten.

Schub-, Druck- und Zugspannung

Die Diagonalelemente σxxyyzz in der Spannungsmatrix stellen die Normalspannungen dar, also die Spannungen, die senkrecht zur Koordinatenfläche wirken. Anders gesagt: Normalen- und Wirkrichtung stimmen überein.

Normalspannungen werden je nach Vorzeichen Zugspannung (positives Vorzeichen) oder Druckspannung (negatives Vorzeichen) genannt. Druckspannung wird gelegentlich auch als Flächenpressung bezeichnet.

Im Gegensatz zur Druckspannung ist Druck ausschließlich isotrop. Das heißt, Druck ist kein Vektor, sondern der negative hydrostatische Anteil des Spannungstensors. Er wirkt in allen Richtungen zugleich und ist daher der negative Mittelwert der Normalspannungen in den drei Raumrichtungen ( p = ( σ x x + σ y y + σ z z ) / 3 {\displaystyle p=-(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz})/3} ). Er ist bei hydrostatischem Druck positiv und bei hydrostatischem Zug negativ. (Letzterer kann nur in Festkörpern vorkommen, da es sich beim scheinbaren hydrostatischen Zug in einem vakuumierten Gefäß tatsächlich um Druck handelt, der von außen auf das Gefäß wirkt.)

Die nichtdiagonalen Elemente τij werden als Schubspannungen bezeichnet. Sie wirken tangential zur Fläche, stellen also eine Scherbelastung dar.

Ebener Spannungszustand
Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand

Zu jedem Spannungszustand im Gleichgewicht lassen sich durch Hauptachsentransformation drei paarweise senkrechte Richtungen finden, in denen bei Zug und Druck keine Schubspannungen auftreten, siehe Bilder. In diesen Hauptspannungsrichtungen wirken die Hauptspannungen σ1,2,3.

Die Hauptspannungen lassen sich durch das Lösen der Gleichung det ( S σ E ) = 0 {\displaystyle \det(S-\sigma E)=0} errechnen, wobei E die 3×3-Einheitsmatrix ist. Ausmultiplizieren der Determinante det führt auf eine Gleichung dritten Grades in σ, deren Lösungen die gesuchten Hauptspannungen darstellen. Sie sind die Eigenwerte der Spannungsmatrix S und sämtlich reell, weil die Matrix symmetrisch ist. Ein hydrostatischer Spannungszustand liegt vor, wenn die drei Hauptspannungen gleich sind. (Hier treten keine Schubspannungen auf.)

Die jeweilige Hauptspannungsrichtung ergibt sich aus der Gleichung S e = σ e {\displaystyle S{\vec {e}}=\sigma {\vec {e}}} , wobei für σ {\displaystyle \sigma } die errechnete Hauptspannung eingesetzt wird. Die Lösungen e 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\vec {e}}_{1,2,3}} sind Eigenvektoren der Spannungsmatrix S und geben die Richtung der Hauptspannungen an. In normierter Form bilden sie eine Orthonormalbasis des dreidimensionalen Raumes oder lassen sich entsprechend orthogonalisieren. In den Hauptspannungsrichtungen sind die Schnittspannungen betraglich extremal. Die Kurvenschar der Hauptspannungslinien nennt man Spannungstrajektorien.

Der Mohrsche Spannungskreis gibt einen graphischen Eindruck der Abhängigkeit der Normal- und Schubspannung von der Normalenrichtung in der von zwei Hauptspannungsrichtungen aufgespannten Ebene. Die Hauptschubspannungen

τ 1 = | σ 2 σ 3 | 2 , τ 2 = | σ 3 σ 1 | 2 , τ 3 = | σ 1 σ 2 | 2 {\displaystyle \tau _{1}={\frac {|\sigma _{2}-\sigma _{3}|}{2}},\quad \tau _{2}={\frac {|\sigma _{3}-\sigma _{1}|}{2}},\quad \tau _{3}={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{2}|}{2}}}

sind kritische Schubspannungen und treten in Schnittebenen auf, die normal zu den Winkelhalbierenden zwischen den Hauptspannungsrichtungen sind. Sei σ1 die größte und σ3 die kleinste Hauptspannung. Dann ist die maximale Schubspannung

τ m a x = | σ 1 σ 3 | 2 . {\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {|\sigma _{1}-\sigma _{3}|}{2}}.}

Werde die xy-Ebene wie in den Bildern durch die 1- und 2-Hauptspannungsrichtungen aufgespannt. Dann lauten die Hauptspannungen und die Hauptschubspannung bei einem gegebenen Spannungszustand in dieser Ebene

σ 1 , 2 = σ x x + σ y y 2 ± τ 3 τ 3 = ( σ x x σ y y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1,2}=&{\frac {\sigma _{xx}+\sigma _{yy}}{2}}\pm \tau _{3}\\\tau _{3}=&{\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\end{aligned}}}

Die Winkel zur x-Achse, in denen die Hauptspannungen auftreten, ist

tan ( 2 φ 1 , 2 ) = 2 τ x y σ x x σ y y . {\displaystyle \tan(2\cdot \varphi _{1,2})={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}.}
Hauptartikel: Festigkeitslehre

Ein realer, Spannungen ausgesetzter Körper deformiert sich.

Den Zusammenhang zur Deformation stellt für elastische Verformungen das Hooke’sche Gesetz her. Wichtigste Materialkonstanten sind dabei Elastizitätsmodul, Schubmodul und Querkontraktionszahl.

Die plastische Deformation wird durch die Fließbedingung, das Fließgesetz und das Verfestigungsgesetz beschrieben. Im Hauptspannungsraum, in dem die Hauptspannungen auf den Koordinatenachsen aufgetragen werden, stellt ein Spannungszustand einen Punkt oder Vektor dar, den man in zwei Komponenten zerlegen kann:

  • Die (deviatorische) Komponente quer zur Raumdiagonalen im Hauptspannungsraum, also quer zum hydrostatischen Spannungsanteil, ist ein Maß dafür, wie groß die Schubspannungen je nach Schnittrichtung maximal werden können. Allein dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen relevant. Er entspricht der von Mises Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese und ist eine Funktion des Betrages des Spannungsdeviators. Wenn diese Vergleichsspannung die Fließspannung des Stahls überschreitet, verformt sich der Stahl plastisch.
  • Die Komponente in Richtung der Raumdiagonalen beschreibt den Druck; dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen irrelevant, da er in keinerlei Schnittrichtung zu Schubspannungen führt, und insofern auch zu keiner plastischen Verformung.

Ein Festkörper kann auch Eigenspannungen besitzen, die ohne von außen an den Körper angreifende Kräfte auftreten.

Im Allgemeinen hängt das Deformationsverhalten eines Körpers von seiner Form und den Eigenschaften der Materialien ab, aus denen er besteht. Die Materialeigenschaften werden in einem Materialmodell mathematisch durch einen Zusammenhang zwischen Spannungs- und Verzerrungstensor sowie ihren Raten und zeitlichen Verläufen beschrieben. Mit den Materialmodellen können bei gegebenem Körper, seinen Lagerungen und Belastungen die Spannungen in ihm berechnet werden. Die Rheologie, Materialwissenschaft und Werkstofftechnik sowie Materialtheorie beschäftigen sich mit dem Fließ- und Deformationsverhalten von Materialien und machen es möglich, die Spannungen rechnerisch zu ermitteln.

Den Zusammenhang zur Verformungsgeschwindigkeit in linear-viskosen Flüssigkeiten und Gasen (Fluide) stellt Newtons Zähigkeitsansatz her. Wichtigste Materialkonstante ist darin die dynamische Viskosität. Ursache der Viskosität ist die Reibung und der Impulstransport zwischen den Fluidelementen.

Bei laminarer Strömung und genügend großer Reynolds-Zahl kann im Großteil eines Strömungsfelds die Viskosität des strömenden Fluids vernachlässigt werden. Hier ist die dominierende Spannung im Fluid der Druck. Der Totaldruck teilt sich auf in den dynamischen und den statischen Druck. Der dynamische Druck speist sich aus der kinetischen Energie der Fluidelemente. Der statische Druck ist jener Druck, den ein mit der Strömung mitbewegtes Fluidelement verspürt. Er wird in Gasen mit Zustandsgleichungen und im Fall des idealen Gases durch Gasgesetze beschrieben.

Keinesfalls zu vernachlässigen ist der Einfluss der Viskosität in der Grenzschicht an umströmten Wänden. Die Dicke dieser Grenzschicht ist bei anliegender Strömung zwar sehr klein, in ihr bildet sich aber über die Wandschubspannung der Schubspannungswiderstand des umströmten Körpers, der mit dem Druckwiderstand zusammen den gesamten Strömungswiderstand eines Körpers ausmacht.

Bei Grenzschichtablösungen kann die Wandschubspannung verschwinden oder gar entgegen der Außenströmung wirken. Solche Ablösungen können dramatische Auswirkungen haben, wenn sie an Tragflügeln oder in Strahltriebwerken auftreten.

  • H. Balke: Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer-Vieweg, 2014, ISBN 978-3-642-40980-6.
  • Heinz Parkus: Mechanik der festen Körper. 2. Auflage, 6. Nachdruck. Springer, Wien/ New York 2009, ISBN 978-3-211-80777-4.
  • Christian Spura: Technische Mechanik 2. Elastostatik. 1. Auflage. Springer, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-19979-1.
  1. H. Balke: Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre. 2014, S. 32.
  2. Karl-Eugen Kurrer: The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium. Berlin: Ernst & Sohn, S. 396, ISBN 978-3-433-03229-9
  3. Herbert Mang, Günter Hofstetter: Festigkeitslehre. 3. Auflage. Springer Verlag, Wien/ New York 2008, ISBN 978-3-211-72453-8, 6.4 „Normalspannungen“,S.156 (springer.com).
  4. H. Balke: Einführung in die Technische Mechanik. Festigkeitslehre. 2014, S. 63ff.
Normdaten (Sachbegriff): GND:4134428-5(OGND, AKS)

Mechanische Spannung
mechanische, spannung, kraftkomponente, technischen, mechanik, sprache, beobachten, bearbeiten, weitergeleitet, schubspannung, physikalische, größename, mechanische, spannungformelzeichen, displaystyle, sigma, normalspannungen, displaystyle, schub, oder, scher. Mechanische Spannung Kraftkomponente in der technischen Mechanik Sprache Beobachten Bearbeiten Weitergeleitet von Schubspannung Physikalische GrosseName mechanische SpannungFormelzeichen s displaystyle sigma Normalspannungen t displaystyle tau Schub oder Scherspannungen Grossen und Einheitensystem Einheit DimensionSI Pascal Pa N m2 M L 1 T 2Siehe auch Druck p Die mechanische Spannung Formelzeichen s kleines Sigma und t kleines Tau englisch stress franzosisch contrainte ist ein Mass fur die innere Beanspruchung eines Korpers infolge dessen Belastung von aussen Da innerhalb der Mechanik keine Verwechslungsgefahr mit der elektrischen Spannung besteht wird sie kurz als Spannung bezeichnet Die mechanische Normal Spannung s auf einer gedachten Schnittflache A engl area durch einen Korper ist die auf sie bezogene senkrecht auf sie wirkende Komponente Fn einer ausseren Kraft F engl force 1 s lim D A 0 D F n D A displaystyle sigma lim Delta A to 0 frac Delta F n Delta A Die Definition des Spannungsbegriffs geht auf Cauchy 1823 zuruck 2 Die mechanische Schub oder Scherspannung t in einer gedachten Schnittflache A durch einen Korper ist die auf sie bezogene in ihr verlaufende Komponente FA Querkraft einer ausseren Kraft F t F A A displaystyle tau frac F A A Naherungsgleichung Schubspannung ist uber Flache nicht konstant und am Flachenrand immer Null Die mechanische Spannung hat dieselbe physikalische Dimension wie der Druck namlich Kraft pro Flacheneinheit In ruhenden Flussigkeiten und Gasen ist Druck eine in allen Raumrichtungen gleichermassen wirkende Normalspannung Im Maschinen und konstruktiven Ingenieurbau erfordert die Dimensionierung von Objekten die Kenntnis der auftretenden mechanischen Spannungen Als Komponenten des Spannungstensors kommen die mechanischen Spannungen in physikalischen Gesetzen vor Inhaltsverzeichnis 1 Schnittspannungen 2 Normal Biege Schub Torsionsspannung und wahre Spannung 3 Spannungsvektoren und Spannungstensor 3 1 Schub Druck und Zugspannung 4 Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung 5 Zusammenhange in der Festigkeitslehre 6 Zusammenhange in der Stromungsmechanik 7 Literatur 8 EinzelnachweiseSchnittspannungen Bearbeiten Hauptartikel Schnittreaktion Durch Anwendung des Schnittprinzips konnen innere Spannungen eines Korpers anschaulich dargestellt werden An einem gedanklichen Schnitt an beliebiger Stelle eines Korpers werden die Schnittkrafte angetragen die aus den von aussen auf den Korper wirkenden Kraften resultieren und auf die inneren Beanspruchungen des Korpers schliessen lassen Normal Biege Schub Torsionsspannung und wahre Spannung BearbeitenBei einer gleichformigen Zug oder Druckbelastung eines Stabes ist die Spannung uber die Querschnittsflache gleichmassig verteilt Die Normalspannung d h die Spannung bei Normalkraftbeanspruchung durch Zug oder Druck ergibt sich aus s N F A displaystyle sigma N frac F A wobei F F displaystyle F F perp die Kraft in Richtung der Flachennormale und A displaystyle A der Flacheninhalt des Stabquerschnitts ist Bei den wahren Spannungen ist dies der Flacheninhalt beim verformten Stab und bei den Nenn oder Ingenieursspannungen der Nennwert des undeformierten Ausgangsstabquerschnitts siehe Zugversuch Der Spannungstensor hat immer 3 fur alle drei Raumrichtungen Normalspannungskomponenten ist diese in eine Raumrichtung positiv liegt in dieser Raumrichtung Zug vor ebenso bei Druckspannungen ist dann die Normalspannungskomponente in diese Richtung negativ Bei einer Biegebelastung des Stabes ergibt sich eine Biegespannung die am Rand des Stab Querschnitts am hochsten ist in der sogenannten Randfaser und zur Mitte hin auf Null abnimmt in der sogenannten neutralen Faser Als Biegespannung wird zusammenfassend die durch die Biegung jeweils in einem Teil des Querschnitts hervorgerufene Druck und Zugspannung bezeichnet s B x y z M z x I y M y I y z I y x I z x I y z 2 y M y x I z x M z x I y z I y x I z x I y z 2 z displaystyle sigma B x y z frac M z x cdot I y M y cdot I yz I y x cdot I z x I yz 2 cdot y frac M y x cdot I z x M z x cdot I yz I y x cdot I z x I yz 2 cdot z 3 Bei konstanter einachsiger Biegung M y x M y displaystyle M y x M y im Haupttragheitsachsensystem vereinfacht sich die Formel zu s B z M y I y y z und s B m a x M y W y m i n mit W y positiv I y y z m a x und W y negativ I y y z m i n displaystyle sigma B z frac M y I yy cdot z quad text und quad sigma B mathrm max frac M y W y mathrm min quad text mit quad W y text positiv frac I yy z mathrm max quad text und quad W y text negativ frac I yy z mathrm min wobei M y displaystyle M y das Biegemoment um die y Achse I y y displaystyle I yy das Flachentragheitsmoment um die y Achse z displaystyle z der Abstand von der neutralen Faser bei sB 0 z R displaystyle z R der maximal oder minimale auftretende Abstand der Schwerachse zur Randfaser und W displaystyle W das Widerstandsmoment ist siehe Balkentheorie Die folgende Skizze verdeutlicht dies an einem Kragtrager Als Vektor hat der Schnittspannungsvektor drei Komponenten die von der Orientierung der Schnittflache abhangen Die senkrechten Pfeile an den Schnittufern deuten durch die Querkraft eingeleitete Schubspannungen an Bei einem mit einer Querkraft belasteten Profil wie im Bild stellt sich ein nicht konstanter Schubspannungsverlauf uber den Querschnitt ein Greift die Querkraft ausserhalb des Schubmittelpunktes an tritt zusatzlich Torsion auf Bei der Torsion von Staben mit Kreis ring querschnitt lautet die Schubspannung t M t I p r und t m a x M t W t mit W t I p r a displaystyle tau frac M t I p r quad text und quad tau mathrm max frac M t W t quad text mit quad W t frac I p r a Darin ist Mt das Torsionsmoment Ip das polare Flachentragheitsmoment Wt das Torsionswiderstandsmoment r die radiale Zylinderkoordinate und ra der Aussenradius des Hohl Zylinders 4 Die Formeln zur Biege und Torsionsspannung setzen lineare Elastizitat voraus Die Tensorrechnung erlaubt den Spannungszustand zunachst unabhangig von einem bestimmten Koordinatensystem zu beschreiben und erst nach einer Herleitung des jeweiligen Berechnungsverfahrens wie obige Formeln den geometrischen Eigenschaften des Korpers anzupassen beispielsweise in Zylinderkoordinaten wie bei der Torsion Spannungsvektoren und Spannungstensor Bearbeiten Hauptartikel Spannungstensor Quader mit mechanischen Spannungen Die an einer bestimmten Stelle wirkenden Spannungen werden in ihrer Gesamtheit durch die Spannungen in drei Schnittflachen beschrieben die sich an der Stelle kreuzen also durch drei Spannungsvektoren mit je drei spannungsartigen Komponenten Die drei Spannungsvektoren bilden zusammengenommen den von Augustin Louis Cauchy definierten Spannungstensor Die Ausrichtung der Schnittflachen ist dabei beliebig solange ihre Normalen linear unabhangig sind denn als Tensor ist der Spannungstensor unabhangig vom gewahlten Basissystem Beispielhaft kann man die drei Schnittflachen jeweils senkrecht zu einer Richtung eines kartesischen Koordinatensystems mit x y und z Koordinaten wahlen Die drei Spannungsvektoren auf den drei Schnittflachen entsprechen dann den Zeilen der folgenden Matrix mit den Spannungen als ihren Komponenten S s x t x y t x z t y x s y t y z t z x t z y s z displaystyle S begin bmatrix sigma x amp tau xy amp tau xz tau yx amp sigma y amp tau yz tau zx amp tau zy amp sigma z end bmatrix Bezuglich der Standardbasis entspricht sie dem Spannungstensor Die Bedeutung der Indizes zeigt die Skizze eines herausgeschnittenen Volumenelements Im Doppelindex gibt der erste Index die Richtung an in die der Normalenvektor der Schnittflache zeigt und der zweite Index in welcher Richtung die Spannung wirkt Der Spannungstensor ergibt multipliziert mit dem Normaleneinheitsvektor n displaystyle hat n einer Schnittflache den Spannungsvektor auf dieser Flache Kraftvektor pro Flacheneinheit T n S n displaystyle vec T hat n S top vec hat n Bei den aktuellen oder wahren Cauchy schen Spannungen ist die Matrix symmetrisch so dass also beispielsweise txy tyx ist und daher in obiger Formel die Transposition T weggelassen werden kann Wenn die Spannungsmatrix in einem anderen Koordinatensystem aufgestellt wird dann andern sich ihre Komponenten in charakteristischer Weise so wie sich auch die Komponenten eines geometrischen Vektors beim Wechsel des Basissystems andern Der Betrag des Vektors andert sich dabei aber nicht und genauso gibt es beim Spannungstensor sogenannte Invarianten die sich bei einem Basiswechsel nicht andern Beim Spannungstensor sind vor allem folgende Invarianten bedeutsam der Druck der der negative Mittelwert der Diagonalelemente ist und der proportional zur Spur der Spannungsmatrix ist die von Mises Vergleichsspannung die eine Invariante des Spannungsdeviators ist die Hauptspannungen und die maximalen Schubspannungen siehe unten Schub Druck und Zugspannung Bearbeiten Die Diagonalelemente sxx syy szz in der Spannungsmatrix stellen die Normalspannungen dar also die Spannungen die senkrecht zur Koordinatenflache wirken Anders gesagt Normalen und Wirkrichtung stimmen uberein Normalspannungen werden je nach Vorzeichen Zugspannung positives Vorzeichen oder Druckspannung negatives Vorzeichen genannt Druckspannung wird gelegentlich auch als Flachenpressung bezeichnet Im Gegensatz zur Druckspannung ist Druck ausschliesslich isotrop Das heisst Druck ist kein Vektor sondern der negative hydrostatische Anteil des Spannungstensors Er wirkt in allen Richtungen zugleich und ist daher der negative Mittelwert der Normalspannungen in den drei Raumrichtungen p s x x s y y s z z 3 displaystyle p sigma xx sigma yy sigma zz 3 Er ist bei hydrostatischem Druck positiv und bei hydrostatischem Zug negativ Letzterer kann nur in Festkorpern vorkommen da es sich beim scheinbaren hydrostatischen Zug in einem vakuumierten Gefass tatsachlich um Druck handelt der von aussen auf das Gefass wirkt Die nichtdiagonalen Elemente tij werden als Schubspannungen bezeichnet Sie wirken tangential zur Flache stellen also eine Scherbelastung dar Hauptspannung und Hauptspannungsrichtung Bearbeiten Ebener Spannungszustand Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand Zu jedem Spannungszustand im Gleichgewicht lassen sich durch Hauptachsentransformation drei paarweise senkrechte Richtungen finden in denen bei Zug und Druck keine Schubspannungen auftreten siehe Bilder In diesen Hauptspannungsrichtungen wirken die Hauptspannungen s1 2 3 Die Hauptspannungen lassen sich durch das Losen der Gleichung det S s E 0 displaystyle det S sigma E 0 errechnen wobei E die 3 3 Einheitsmatrix ist Ausmultiplizieren der Determinante det fuhrt auf eine Gleichung dritten Grades in s deren Losungen die gesuchten Hauptspannungen darstellen Sie sind die Eigenwerte der Spannungsmatrix S und samtlich reell weil die Matrix symmetrisch ist Ein hydrostatischer Spannungszustand liegt vor wenn die drei Hauptspannungen gleich sind Hier treten keine Schubspannungen auf Die jeweilige Hauptspannungsrichtung ergibt sich aus der Gleichung S e s e displaystyle S vec e sigma vec e wobei fur s displaystyle sigma die errechnete Hauptspannung eingesetzt wird Die Losungen e 1 2 3 displaystyle vec e 1 2 3 sind Eigenvektoren der Spannungsmatrix S und geben die Richtung der Hauptspannungen an In normierter Form bilden sie eine Orthonormalbasis des dreidimensionalen Raumes oder lassen sich entsprechend orthogonalisieren In den Hauptspannungsrichtungen sind die Schnittspannungen betraglich extremal Die Kurvenschar der Hauptspannungslinien nennt man Spannungstrajektorien Der Mohrsche Spannungskreis gibt einen graphischen Eindruck der Abhangigkeit der Normal und Schubspannung von der Normalenrichtung in der von zwei Hauptspannungsrichtungen aufgespannten Ebene Die Hauptschubspannungen t 1 s 2 s 3 2 t 2 s 3 s 1 2 t 3 s 1 s 2 2 displaystyle tau 1 frac sigma 2 sigma 3 2 quad tau 2 frac sigma 3 sigma 1 2 quad tau 3 frac sigma 1 sigma 2 2 sind kritische Schubspannungen und treten in Schnittebenen auf die normal zu den Winkelhalbierenden zwischen den Hauptspannungsrichtungen sind Sei s1 die grosste und s3 die kleinste Hauptspannung Dann ist die maximale Schubspannung t m a x s 1 s 3 2 displaystyle tau mathrm max frac sigma 1 sigma 3 2 Werde die xy Ebene wie in den Bildern durch die 1 und 2 Hauptspannungsrichtungen aufgespannt Dann lauten die Hauptspannungen und die Hauptschubspannung bei einem gegebenen Spannungszustand in dieser Ebene s 1 2 s x x s y y 2 t 3 t 3 s x x s y y 2 2 t x y 2 displaystyle begin aligned sigma 1 2 amp frac sigma xx sigma yy 2 pm tau 3 tau 3 amp sqrt left frac sigma xx sigma yy 2 right 2 tau xy 2 end aligned Die Winkel zur x Achse in denen die Hauptspannungen auftreten ist tan 2 f 1 2 2 t x y s x x s y y displaystyle tan 2 cdot varphi 1 2 frac 2 tau xy sigma xx sigma yy Zusammenhange in der Festigkeitslehre Bearbeiten Hauptartikel Festigkeitslehre Ein realer Spannungen ausgesetzter Korper deformiert sich Den Zusammenhang zur Deformation stellt fur elastische Verformungen das Hooke sche Gesetz her Wichtigste Materialkonstanten sind dabei Elastizitatsmodul Schubmodul und Querkontraktionszahl Die plastische Deformation wird durch die Fliessbedingung das Fliessgesetz und das Verfestigungsgesetz beschrieben Im Hauptspannungsraum in dem die Hauptspannungen auf den Koordinatenachsen aufgetragen werden stellt ein Spannungszustand einen Punkt oder Vektor dar den man in zwei Komponenten zerlegen kann Die deviatorische Komponente quer zur Raumdiagonalen im Hauptspannungsraum also quer zum hydrostatischen Spannungsanteil ist ein Mass dafur wie gross die Schubspannungen je nach Schnittrichtung maximal werden konnen Allein dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen relevant Er entspricht der von Mises Vergleichsspannung nach der Gestaltanderungshypothese und ist eine Funktion des Betrages des Spannungsdeviators Wenn diese Vergleichsspannung die Fliessspannung des Stahls uberschreitet verformt sich der Stahl plastisch Die Komponente in Richtung der Raumdiagonalen beschreibt den Druck dieser Anteil ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen irrelevant da er in keinerlei Schnittrichtung zu Schubspannungen fuhrt und insofern auch zu keiner plastischen Verformung Ein Festkorper kann auch Eigenspannungen besitzen die ohne von aussen an den Korper angreifende Krafte auftreten Im Allgemeinen hangt das Deformationsverhalten eines Korpers von seiner Form und den Eigenschaften der Materialien ab aus denen er besteht Die Materialeigenschaften werden in einem Materialmodell mathematisch durch einen Zusammenhang zwischen Spannungs und Verzerrungstensor sowie ihren Raten und zeitlichen Verlaufen beschrieben Mit den Materialmodellen konnen bei gegebenem Korper seinen Lagerungen und Belastungen die Spannungen in ihm berechnet werden Die Rheologie Materialwissenschaft und Werkstofftechnik sowie Materialtheorie beschaftigen sich mit dem Fliess und Deformationsverhalten von Materialien und machen es moglich die Spannungen rechnerisch zu ermitteln Zusammenhange in der Stromungsmechanik BearbeitenDen Zusammenhang zur Verformungsgeschwindigkeit in linear viskosen Flussigkeiten und Gasen Fluide stellt Newtons Zahigkeitsansatz her Wichtigste Materialkonstante ist darin die dynamische Viskositat Ursache der Viskositat ist die Reibung und der Impulstransport zwischen den Fluidelementen Bei laminarer Stromung und genugend grosser Reynolds Zahl kann im Grossteil eines Stromungsfelds die Viskositat des stromenden Fluids vernachlassigt werden Hier ist die dominierende Spannung im Fluid der Druck Der Totaldruck teilt sich auf in den dynamischen und den statischen Druck Der dynamische Druck speist sich aus der kinetischen Energie der Fluidelemente Der statische Druck ist jener Druck den ein mit der Stromung mitbewegtes Fluidelement verspurt Er wird in Gasen mit Zustandsgleichungen und im Fall des idealen Gases durch Gasgesetze beschrieben Keinesfalls zu vernachlassigen ist der Einfluss der Viskositat in der Grenzschicht an umstromten Wanden Die Dicke dieser Grenzschicht ist bei anliegender Stromung zwar sehr klein in ihr bildet sich aber uber die Wandschubspannung der Schubspannungswiderstand des umstromten Korpers der mit dem Druckwiderstand zusammen den gesamten Stromungswiderstand eines Korpers ausmacht Bei Grenzschichtablosungen kann die Wandschubspannung verschwinden oder gar entgegen der Aussenstromung wirken Solche Ablosungen konnen dramatische Auswirkungen haben wenn sie an Tragflugeln oder in Strahltriebwerken auftreten Literatur BearbeitenH Balke Einfuhrung in die Technische Mechanik Festigkeitslehre 3 Auflage Springer Vieweg 2014 ISBN 978 3 642 40980 6 Heinz Parkus Mechanik der festen Korper 2 Auflage 6 Nachdruck Springer Wien New York 2009 ISBN 978 3 211 80777 4 Christian Spura Technische Mechanik 2 Elastostatik 1 Auflage Springer Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 19979 1 Einzelnachweise Bearbeiten H Balke Einfuhrung in die Technische Mechanik Festigkeitslehre 2014 S 32 Karl Eugen Kurrer The History of the Theory of Structures Searching for Equilibrium Berlin Ernst amp Sohn S 396 ISBN 978 3 433 03229 9 Herbert Mang Gunter Hofstetter Festigkeitslehre 3 Auflage Springer Verlag Wien New York 2008 ISBN 978 3 211 72453 8 6 4 Normalspannungen S 156 springer com H Balke Einfuhrung in die Technische Mechanik Festigkeitslehre 2014 S 63ff Normdaten Sachbegriff GND 4134428 5 OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Mechanische Spannung amp oldid 213657465 Schubspannung, wikipedia, wiki, deutsches

deutschland

buch, bücher, bibliothek

artikel

lesen, herunterladen

kostenlos

kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele