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Raumwinkel

Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstück zum zweidimensionalen für die Ebene definierten Winkel. Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum, der z. B. im Inneren eines gegebenen Kegel- oder Pyramidenmantels liegt.

Der Raumwinkel Ω {\displaystyle \Omega } ist definiert als der Flächeninhalt A {\displaystyle A} einer Teilfläche F {\displaystyle F} einer Kugeloberfläche, dividiert durch das Quadrat des Radius r {\displaystyle r} der Kugel:

Ω = A r 2 {\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}}} .

Bei Betrachtung der Einheitskugel ( r = 1 {\displaystyle r=1} ) ist A {\displaystyle A} also betragsgleich dem zugehörigen Raumwinkel. So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberfläche der Einheitskugel, nämlich 4 π {\displaystyle 4\cdot \pi } .

Die Teilfläche kann von beliebiger Umrissform sein. Vektoriell geschrieben als Flächenintegral ist

Ω = F n ^ d A r 2 {\displaystyle \Omega =\iint _{F}{\frac {{\hat {\vec {n}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}{r^{2}}}} .

Dabei ist n ^ {\displaystyle {\hat {\vec {n}}}} der Einheitsvektor vom Koordinatenursprung, d A {\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}} das differentielle Flächenelement und r {\displaystyle r} dessen Abstand vom Koordinatenursprung.

Anders als das Bild vielleicht vermuten lässt, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform einen Strahl mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.

Obwohl der Raumwinkel eine Größe der Dimension Zahl ist, wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben; dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m2. Da eine ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt 4 π r 2 {\displaystyle 4\cdot \pi \cdot r^{2}} hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel

Ω = 4 π s r 12,566 37 s r {\displaystyle \Omega =4\cdot \pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}56637\ \mathrm {sr} } .

Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad, (°)², angegeben. 1 (°)² ist gleich ( 2 π 360 ) 2 0,000 30462 s r {\displaystyle \left({\tfrac {2\pi }{360}}\right)^{2}\approx 0{,}00030462\ \mathrm {sr} } .

Die Verwendung einer Hilfsmaßeinheit für eine Größe der Dimension Zahl hat, wie auf vielen Gebieten, insbesondere auch beim Raumwinkel, den Vorteil, dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist, welche physikalische Größe gemeint ist. Die Lichtstärke (cd = lm/sr) zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom (lm) ihre Abhängigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit. Die Lichtstärke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhängigen Lichtstrom.

Drei von einem Punkt P ausgehende Vektoren r 1 {\displaystyle {\vec {r}}_{1}} , r 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{2}} und r 3 {\displaystyle {\vec {r}}_{3}} bestimmen ein allgemeines Dreieck. Für den aufgespannten Raumwinkel Ω {\displaystyle \Omega } mit dem Scheitel P gilt:

tan ( Ω 2 ) = ( r 1 , r 2 , r 3 ) | r 1 | | r 2 | | r 3 | + ( r 1 r 2 ) | r 3 | + ( r 1 r 3 ) | r 2 | + ( r 2 r 3 ) | r 1 | {\displaystyle \tan \left({\frac {\Omega }{2}}\right)={\frac {({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}{|{\vec {r}}_{1}|\cdot |{\vec {r}}_{2}|\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{2}|+({\vec {r}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{1}|}}} .

Dabei ist ( r 1 , r 2 , r 3 ) {\displaystyle ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})} das Spatprodukt der Vektoren r 1 {\displaystyle {\vec {r}}_{1}} , r 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{2}} und r 3 {\displaystyle {\vec {r}}_{3}} , ( r 1 r 2 ) {\displaystyle ({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})} ist das Skalarprodukt und | r 1 | {\displaystyle |{\vec {r}}_{1}|} ist die Länge des Vektors.

Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee angegeben und bewiesen.

Ein Raumwinkel aus einem kartesischen Polarkoordinatenabschnitt

Der Raumwinkel eines Kugeldreiecks beträgt in Abhängigkeit von seinen Innenwinkeln ( α + β + γ π ) {\displaystyle (\alpha +\beta +\gamma -\pi )} Steradiant (siehe Kugeldreieck - Eigenschaften).

In einem Kugelkoordinatensystem kann der Raumwinkel besonders übersichtlich definiert werden, da es keine radiale Variable gibt. Zwei Meridianwinkel φ 1 {\displaystyle \varphi _{1}} , φ 2 {\displaystyle \varphi _{2}} und zwei Breitenwinkel γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} , γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} bestimmen ein Flächenelement auf einer Kugeloberfläche. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:

Ω = φ 1 φ 2 γ 1 γ 2 sin ( γ ) d γ d φ {\displaystyle \Omega =\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\int \limits _{\gamma _{1}}^{\gamma _{2}}\sin(\gamma )\ \mathrm {d} \gamma \ \mathrm {d} \varphi }
Kanonischer Raumwinkel

Wählt man als Umrissform auf der Kugeloberfläche einen Kreis, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Ist 2 θ {\displaystyle 2\theta } der Öffnungswinkel in der Spitze des Kegels, dann ergibt sich der Raumwinkel Ω {\displaystyle \Omega } aus dem Doppelintegral

Ω = 0 2 π 0 θ sin ( θ ) d θ d ϕ = 0 2 π d ϕ 0 θ sin ( θ ) d θ = 2 π 0 θ sin ( θ ) d θ = 2 π ( cos ( θ ) ( cos ( 0 ) ) ) = 2 π ( 1 cos ( θ ) ) = 2 π ( 1 ( 1 2 sin 2 ( θ 2 ) ) ) = 4 π sin 2 ( θ 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '\ \mathrm {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '=2\cdot \pi \cdot \int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '=2\cdot \pi \cdot (-\cos(\theta )-(-\cos(0)))\\&=2\cdot \pi \cdot (1-\cos(\theta ))=2\cdot \pi \cdot \left(1-\left(1-2\cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\right)\right)\\&=4\cdot \pi \cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}}

Öffnungswinkel 2 θ {\displaystyle 2\theta } in Grad 0 1 2 5 10 15 30 45 57,2958
Öffnungswinkel 2 θ {\displaystyle 2\theta } in Radiant 0,0000 0,0175 0,0349 0,0873 0,1745 0,2618 0,5236 0,7854 1,0000
Raumwinkel Ω {\displaystyle \Omega } in Quadratgrad 0,00 0,79 3,14 19,63 78,49 176,46 702,83 1570,10 2525,04
Raumwinkel Ω {\displaystyle \Omega } in Steradiant 0,0000 0,0002 0,0010 0,0060 0,0239 0,0538 0,2141 0,4783 0,7692
Öffnungswinkel 2 θ {\displaystyle 2\theta } in Grad 60 65,5411 75 90 120 150 180 270 360
Öffnungswinkel 2 θ {\displaystyle 2\theta } in Radiant 1,0472 1,1439 1,3090 1,5708 2,0944 2,6180 3,1416 4,7124 6,2832
Raumwinkel Ω {\displaystyle \Omega } in Quadratgrad 2763,42 3282,81 4262,39 6041,36 10313,24 15287,95 20626,48 35211,60 41252,96
Raumwinkel Ω {\displaystyle \Omega } in Steradiant 0,8418 1,0000 1,2984 1,8403 3,1416 4,6570 6,2832 10,7261 12,5664
Zum Raumwinkel einer Pyramide

Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide, wobei der Ursprung genau senkrecht über dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe, (siehe Abbildung). Dieser Raumwinkel tritt z. B. bei der Berechnung der Étendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.

Er lässt sich sehr leicht mit der Oosterom-und-Strackee-Formel berechnen. Mit den Pyramidengrundseiten w x {\displaystyle w_{x}} und w y {\displaystyle w_{y}} sowie der Höhe h ergibt sich:

Ω = 4 arctan ( w x w y 2 h 4 h 2 + w x 2 + w y 2 ) {\displaystyle \Omega =4\cdot \arctan \left({\frac {w_{x}\cdot w_{y}}{2\cdot h\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+w_{x}^{2}+w_{y}^{2}}}}}\right)}

Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel 2 φ x {\displaystyle 2\cdot \varphi _{x}} und 2 φ y {\displaystyle 2\cdot \varphi _{y}} , wobei tan ( φ x ) = w x 2 h {\displaystyle \tan(\varphi _{x})={\frac {w_{x}}{2\cdot h}}} und tan ( φ y ) = w y 2 h {\displaystyle \tan(\varphi _{y})={\frac {w_{y}}{2\cdot h}}} ist, so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen:

Ω = 4 arcsin ( sin ( φ x ) sin ( φ y ) ) {\displaystyle \Omega =4\cdot \arcsin \left(\sin(\varphi _{x})\cdot \sin(\varphi _{y})\right)}

Beispiele

Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45° ( φ x = 22 , 5 {\displaystyle \varphi _{x}=22{,}5^{\circ }} ) und 20° ( φ y = 10 {\displaystyle \varphi _{y}=10^{\circ }} ) ein. Der Raumwinkel beträgt 0,27 sr.

Handelt es sich um eine quadratische Blende und beide Winkel sind 20° groß, dann umfasst der Raumwinkel 0,12 sr. Der kanonische Raumwinkel einer 20°-Kreisblende liegt bei 0,10 sr.

Der Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.

Für den Raumwinkel, der in der Ecke mit den Innenwinkeln α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } liegt, gilt

Ω = 4 arctan ( tan ( θ s 2 ) tan ( θ s θ a 2 ) tan ( θ s θ b 2 ) tan ( θ s θ c 2 ) ) = 4 arctan ( tan ( α + β + γ 4 ) tan ( α + β + γ 4 ) tan ( α β + γ 4 ) tan ( α + β γ 4 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -\beta +\gamma }{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +\beta -\gamma }{4}}\right)}}\right)\end{aligned}}}

wobei θ s = α + β + γ 2 {\displaystyle \theta _{s}={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}} , θ a = α {\displaystyle \theta _{a}=\alpha } , θ b = β {\displaystyle \theta _{b}=\beta } und θ c = γ {\displaystyle \theta _{c}=\gamma } ist.

Beispiele

Die folgenden Raumwinkel ergeben sich mithilfe der Halbwinkelformeln, der Additionstheoreme für den Tangens und der Gleichungen 2 arctan ( x ) = arctan ( 2 x 1 x 2 ) {\displaystyle 2\cdot \arctan(x)=\arctan \left({\frac {2\cdot x}{1-x^{2}}}\right)} , arctan ( x ) = arcsin ( x 1 + x 2 ) {\displaystyle \arctan(x)=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)} und arctan ( x ) = arccos ( 1 1 + x 2 ) {\displaystyle \arctan(x)=\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)} .

Regelmäßiges Tetraeder

Ein regelmäßiges Tetraeder hat 4 Ecken mit jeweils 3 gleichen Innenwinkeln von 60°, denn alle 4 Seitenflächen sind gleichseitige Dreiecke. Es gilt also α = β = γ = 60 {\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }} und

Ω = 4 arctan ( tan ( 60 + 60 + 60 4 ) tan ( 60 + 60 + 60 4 ) tan ( 60 60 + 60 4 ) tan ( 60 + 60 60 4 ) ) = 4 arctan ( tan ( 45 ) tan 3 ( 15 ) ) = 4 arctan ( 1 ( tan ( 30 ) 1 + 1 + tan 2 ( 30 ) ) 3 ) = 4 arctan ( ( 1 3 1 + 1 + ( 1 3 ) 2 ) 3 ) = 4 arctan ( ( 2 3 ) 3 ) = 4 arctan ( 26 15 3 ) = 2 arctan ( 2 5 ) = arctan ( 10 2 23 ) = arcsin ( 10 2 27 ) = arccos ( 23 27 ) 0,551 285598 s r {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-60^{\circ }+60^{\circ }+60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }-60^{\circ }+60^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }-60^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(45^{\circ })\cdot \tan ^{3}(15^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {1\cdot \left({\frac {\tan(30^{\circ })}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}(30^{\circ })}}}}\right)^{3}}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\left({\frac {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{1+{\sqrt {1+\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2}}}}}\right)^{3}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {(2-{\sqrt {3}})^{3}}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {26-15\cdot {\sqrt {3}}}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{5}}\right)=\arctan \left({\frac {10\cdot {\sqrt {2}}}{23}}\right)\\&=\arcsin \left({\frac {10\cdot {\sqrt {2}}}{27}}\right)=\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\\&\approx 0{,}551285598\ \mathrm {sr} \end{aligned}}}

Quadratische Pyramide

Eine gerade quadratische Pyramide, die ein Quadrat und vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen hat, besitzt an der quadratischen Grundfläche 4 Ecken mit den Innenwinkeln α = 60 {\displaystyle \alpha =60^{\circ }} , β = 60 {\displaystyle \beta =60^{\circ }} , γ = 90 {\displaystyle \gamma =90^{\circ }} . Für den Raumwinkel in diesen 4 Ecken gilt

Ω = 4 arctan ( tan ( 60 + 60 + 90 4 ) tan ( 60 + 60 + 90 4 ) tan ( 60 60 + 90 4 ) tan ( 60 + 60 90 4 ) ) = 4 arctan ( tan ( 52 , 5 ) tan ( 7 , 5 ) tan 2 ( 22 , 5 ) ) = 4 arctan ( tan ( 30 + 22 , 5 ) tan ( 30 22 , 5 ) tan 2 ( 22 , 5 ) ) = 4 arctan ( tan 2 ( 30 ) tan 2 ( 22 , 5 ) 1 tan 2 ( 30 ) tan 2 ( 22 , 5 ) tan 2 ( 22 , 5 ) ) = 4 arctan ( ( 1 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 1 ( 1 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ) = 4 arctan ( ( 2 1 ) 4 ) = 4 arctan ( 3 2 2 ) = 2 arctan ( 2 4 ) = arctan ( 4 2 7 ) = arcsin ( 4 2 9 ) = arccos ( 7 9 ) 0,679 6738189 s r {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-60^{\circ }+60^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }-60^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {60^{\circ }+60^{\circ }-90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(52{,}5^{\circ })\cdot \tan(7{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(30^{\circ }+22{,}5^{\circ })\cdot \tan(30^{\circ }-22{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {\tan ^{2}(30^{\circ })-\tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}{1-\tan ^{2}(30^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2}-({\sqrt {2}}-1)^{2}}{1-\left({\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{2}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {({\sqrt {2}}-1)^{4}}}\right)=4\cdot \arctan \left(3-2\cdot {\sqrt {2}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{4}}\right)=\arctan \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{7}}\right)\\&=\arcsin \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{9}}\right)=\arccos \left({\frac {7}{9}}\right)\\&\approx 0{,}6796738189\ \mathrm {sr} \end{aligned}}}

Oktaeder

Ein Oktaeder besteht aus 2 kongruenten geraden quadratischen Pyramiden, die jeweils ein Quadrat und 4 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen haben. Der Raumwinkel in den 6 Ecken des Oktaeders - und in der Spitze der quadratischen Pyramide - ist daher doppelt so groß wie der Raumwinkel in den anderen 4 Ecken der quadratischen Pyramide und beträgt

Ω = 2 4 arctan ( 3 2 2 ) = 4 arctan ( 2 4 ) = 2 arctan ( 4 2 7 ) = arctan ( 56 2 17 ) = arcsin ( 56 2 81 ) = arccos ( 17 81 ) 1,359 3476378 s r {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=2\cdot 4\cdot \arctan \left(3-2\cdot {\sqrt {2}}\right)=4\cdot \arctan \left({\frac {\sqrt {2}}{4}}\right)=2\cdot \arctan \left({\frac {4\cdot {\sqrt {2}}}{7}}\right)=\arctan \left({\frac {56\cdot {\sqrt {2}}}{17}}\right)\\&=\arcsin \left({\frac {56\cdot {\sqrt {2}}}{81}}\right)=\arccos \left({\frac {17}{81}}\right)\\&\approx 1{,}3593476378\ \mathrm {sr} \end{aligned}}}

Prisma

Eine gerades Prisma hat Ecken mit einem beliebigen Innenwinkel α {\displaystyle \alpha } und zwei rechten Winkeln von 90°, denn die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken. Für den Raumwinkel in den Ecken gilt

Ω = 4 arctan ( tan ( α + 90 + 90 4 ) tan ( α + 90 + 90 4 ) tan ( α 90 + 90 4 ) tan ( α + 90 90 4 ) ) = 4 arctan ( tan ( 45 + α 4 ) tan ( 45 α 4 ) tan 2 ( α 4 ) ) = 4 arctan ( tan ( 45 + α 4 ) cot ( 45 + α 4 ) tan 2 ( α 4 ) ) = 4 arctan ( tan 2 ( α 4 ) ) = 4 arctan ( tan ( α 4 ) ) = α {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {\alpha +90^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-\alpha +90^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha -90^{\circ }+90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {\alpha +90^{\circ }-90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left(45^{\circ }+{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \tan \left(45^{\circ }-{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left(45^{\circ }+{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \cot \left(45^{\circ }+{\frac {\alpha }{4}}\right)\cdot \tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan ^{2}\left({\frac {\alpha }{4}}\right)}}\right)=4\cdot \arctan \left(\tan \left({\frac {\alpha }{4}}\right)\right)=\alpha \end{aligned}}}

Dieser Raumwinkel hat offensichtlich denselben Anteil am vollen Raumwinkel 4 π s r {\displaystyle 4\cdot \pi \ \mathrm {sr} } wie der Innenwinkel α {\displaystyle \alpha } am zweidimensionalen Vollwinkel 2 π {\displaystyle 2\cdot \pi } .

Oktaederstumpf

Raumfüllung mit kongruenten Oktaederstümpfen. In jeder Ecke treffen 4 Oktaederstümpfe zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel.

Ein Oktaederstumpf hat 24 Ecken, wo jeweils ein Quadrat und zwei regelmäßige Sechsecke zusammentreffen. Jede Ecke hat also die Innenwinkel α = 90 {\displaystyle \alpha =90^{\circ }} , β = 120 {\displaystyle \beta =120^{\circ }} , γ = 120 {\displaystyle \gamma =120^{\circ }} und den Raumwinkel

Ω = 4 arctan ( tan ( 90 + 120 + 120 4 ) tan ( 90 + 120 + 120 4 ) tan ( 90 120 + 120 4 ) tan ( 90 + 120 120 4 ) ) = 4 arctan ( tan ( 82 , 5 ) tan ( 37 , 5 ) tan 2 ( 22 , 5 ) ) = 4 arctan ( tan ( 60 + 22 , 5 ) tan ( 60 22 , 5 ) tan 2 ( 22 , 5 ) ) = 4 arctan ( tan 2 ( 60 ) tan 2 ( 22 , 5 ) 1 tan 2 ( 60 ) tan 2 ( 22 , 5 ) tan 2 ( 22 , 5 ) ) = 4 arctan ( ( 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 1 ( 3 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ) = 4 arctan ( 1 ) = π s r {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\frac {90^{\circ }+120^{\circ }+120^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {-90^{\circ }+120^{\circ }+120^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {90^{\circ }-120^{\circ }+120^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\frac {90^{\circ }+120^{\circ }-120^{\circ }}{4}}\right)}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(82{,}5^{\circ })\cdot \tan(37{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan(60^{\circ }+22{,}5^{\circ })\cdot \tan(60^{\circ }-22{,}5^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {\tan ^{2}(60^{\circ })-\tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}{1-\tan ^{2}(60^{\circ })\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\cdot \tan ^{2}(22{,}5^{\circ })}}\right)=4\cdot \arctan \left({\sqrt {{\frac {({\sqrt {3}})^{2}-({\sqrt {2}}-1)^{2}}{1-({\sqrt {3}})^{2}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\cdot ({\sqrt {2}}-1)^{2}}}\right)\\&=4\cdot \arctan \left(1\right)=\pi \ \mathrm {sr} \end{aligned}}}

Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} des vollen Raumwinkels. Dieses Ergebnis wird dadurch bestätigt, dass sich der dreidimensionale euklidische Raum lückenlos mit kongruenten Oktaederstümpfen ausfüllen lässt, wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstümpfe zusammentreffen (siehe Raumfüllung).

Commons: Solid angle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  1. A. Van Oosterom, J. Strackee: The Solid Angle of a Plane Triangle. In: Biomedical Engineering, IEEE Transactions on. BME-30,Nr.2, 1983,S.125–126, doi:10.1109/TBME.1983.325207.
  2. Oleg Mazonka: Solid Angle of Conical Surfaces, Polyhedral Cones, and Intersecting Spherical Caps
  3. Wolfram MathWorld: Spherical Excess

Raumwinkel
raumwinkel, physikalische, größe, sprache, beobachten, bearbeiten, dreidimensionale, gegenstück, zweidimensionalen, für, ebene, definierten, winkel, beschreibt, anteil, gesamten, dreidimensionalen, raum, inneren, eines, gegebenen, kegel, oder, pyramidenmantels. Raumwinkel physikalische Grosse Sprache Beobachten Bearbeiten Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstuck zum zweidimensionalen fur die Ebene definierten Winkel Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum der z B im Inneren eines gegebenen Kegel oder Pyramidenmantels liegt Raumwinkel W displaystyle W in einer Kugel mit Radius R Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Masseinheiten 3 Darstellung mit Vektoren 4 Darstellung mit Kugelkoordinaten 5 Raumwinkel eines Kegels 6 Raumwinkel einer Pyramide 6 1 Beispiele 7 Raumwinkel eines Polyeders 7 1 Beispiele 7 1 1 Regelmassiges Tetraeder 7 1 2 Quadratische Pyramide 7 1 3 Oktaeder 7 1 4 Prisma 7 1 5 Oktaederstumpf 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDer Raumwinkel W displaystyle Omega ist definiert als der Flacheninhalt A displaystyle A einer Teilflache F displaystyle F einer Kugeloberflache dividiert durch das Quadrat des Radius r displaystyle r der Kugel W A r 2 displaystyle Omega frac A r 2 Bei Betrachtung der Einheitskugel r 1 displaystyle r 1 ist A displaystyle A also betragsgleich dem zugehorigen Raumwinkel So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberflache der Einheitskugel namlich 4 p displaystyle 4 cdot pi Die Teilflache kann von beliebiger Umrissform sein Vektoriell geschrieben als Flachenintegral ist W F n d A r 2 displaystyle Omega iint F frac hat vec n cdot mathrm d vec A r 2 Dabei ist n displaystyle hat vec n der Einheitsvektor vom Koordinatenursprung d A displaystyle mathrm d vec A das differentielle Flachenelement und r displaystyle r dessen Abstand vom Koordinatenursprung Anders als das Bild vielleicht vermuten lasst spielt die Umrissform des Flachenstucks keine Rolle Jede Umrissform auf der Kugeloberflache mit dem gleichen Flacheninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Grosse Legt man durch jeden Punkt der Umrissform einen Strahl mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt dann erhalt man eine geometrische Figur die den Raumwinkel veranschaulicht Dies ist vergleichbar mit der Darstellung fur einen Winkel in der Ebene Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt Masseinheiten BearbeitenObwohl der Raumwinkel eine Grosse der Dimension Zahl ist wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant sr angegeben dies entspricht dem Bogenmass mit der Einheit Radiant rad beim ebenen Winkel Ein Raumwinkel von 1 sr umschliesst auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Flache von 1 m2 Da eine ganze Kugeloberflache den Flacheninhalt 4 p r 2 displaystyle 4 cdot pi cdot r 2 hat ist der zugehorige volle Raumwinkel W 4 p s r 12 566 37 s r displaystyle Omega 4 cdot pi mathrm sr approx 12 56637 mathrm sr Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad angegeben 1 ist gleich 2 p 360 2 0 000 30462 s r displaystyle left tfrac 2 pi 360 right 2 approx 0 00030462 mathrm sr Die Verwendung einer Hilfsmasseinheit fur eine Grosse der Dimension Zahl hat wie auf vielen Gebieten insbesondere auch beim Raumwinkel den Vorteil dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist welche physikalische Grosse gemeint ist Die Lichtstarke cd lm sr zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom lm ihre Abhangigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit Die Lichtstarke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhangigen Lichtstrom Darstellung mit Vektoren BearbeitenDrei von einem Punkt P ausgehende Vektoren r 1 displaystyle vec r 1 r 2 displaystyle vec r 2 und r 3 displaystyle vec r 3 bestimmen ein allgemeines Dreieck Fur den aufgespannten Raumwinkel W displaystyle Omega mit dem Scheitel P gilt tan W 2 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 2 r 3 r 1 r 3 r 2 r 2 r 3 r 1 displaystyle tan left frac Omega 2 right frac vec r 1 vec r 2 vec r 3 vec r 1 cdot vec r 2 cdot vec r 3 vec r 1 cdot vec r 2 cdot vec r 3 vec r 1 cdot vec r 3 cdot vec r 2 vec r 2 cdot vec r 3 cdot vec r 1 Dabei ist r 1 r 2 r 3 displaystyle vec r 1 vec r 2 vec r 3 das Spatprodukt der Vektoren r 1 displaystyle vec r 1 r 2 displaystyle vec r 2 und r 3 displaystyle vec r 3 r 1 r 2 displaystyle vec r 1 cdot vec r 2 ist das Skalarprodukt und r 1 displaystyle vec r 1 ist die Lange des Vektors Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee 1 angegeben und bewiesen Darstellung mit Kugelkoordinaten Bearbeiten Ein Raumwinkel aus einem kartesischen Polarkoordinatenabschnitt Der Raumwinkel eines Kugeldreiecks betragt in Abhangigkeit von seinen Innenwinkeln a b g p displaystyle alpha beta gamma pi Steradiant siehe Kugeldreieck Eigenschaften In einem Kugelkoordinatensystem kann der Raumwinkel besonders ubersichtlich definiert werden da es keine radiale Variable gibt Zwei Meridianwinkel f 1 displaystyle varphi 1 f 2 displaystyle varphi 2 und zwei Breitenwinkel g 1 displaystyle gamma 1 g 2 displaystyle gamma 2 bestimmen ein Flachenelement auf einer Kugeloberflache Der zugehorige Raumwinkel betragt W f 1 f 2 g 1 g 2 sin g d g d f displaystyle Omega int limits varphi 1 varphi 2 int limits gamma 1 gamma 2 sin gamma mathrm d gamma mathrm d varphi Raumwinkel eines Kegels Bearbeiten Kanonischer Raumwinkel Wahlt man als Umrissform auf der Kugeloberflache einen Kreis so erhalt man den kanonischen Raumwinkel Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt Ist 2 8 displaystyle 2 theta der Offnungswinkel in der Spitze des Kegels dann ergibt sich der Raumwinkel W displaystyle Omega aus dem Doppelintegral 2 W 0 2 p 0 8 sin 8 d 8 d ϕ 0 2 p d ϕ 0 8 sin 8 d 8 2 p 0 8 sin 8 d 8 2 p cos 8 cos 0 2 p 1 cos 8 2 p 1 1 2 sin 2 8 2 4 p sin 2 8 2 displaystyle begin aligned Omega amp int 0 2 pi int 0 theta sin theta mathrm d theta mathrm d phi int 0 2 pi mathrm d phi int 0 theta sin theta mathrm d theta 2 cdot pi cdot int 0 theta sin theta mathrm d theta 2 cdot pi cdot cos theta cos 0 amp 2 cdot pi cdot 1 cos theta 2 cdot pi cdot left 1 left 1 2 cdot sin 2 left tfrac theta 2 right right right amp 4 cdot pi cdot sin 2 left tfrac theta 2 right end aligned Offnungswinkel 2 8 displaystyle 2 theta in Grad 0 1 2 5 10 15 30 45 57 2958Offnungswinkel 2 8 displaystyle 2 theta in Radiant 0 0000 0 0175 0 0349 0 0873 0 1745 0 2618 0 5236 0 7854 1 0000Raumwinkel W displaystyle Omega in Quadratgrad 0 00 0 79 3 14 19 63 78 49 176 46 702 83 1570 10 2525 04Raumwinkel W displaystyle Omega in Steradiant 0 0000 0 0002 0 0010 0 0060 0 0239 0 0538 0 2141 0 4783 0 7692Offnungswinkel 2 8 displaystyle 2 theta in Grad 60 65 5411 75 90 120 150 180 270 360Offnungswinkel 2 8 displaystyle 2 theta in Radiant 1 0472 1 1439 1 3090 1 5708 2 0944 2 6180 3 1416 4 7124 6 2832Raumwinkel W displaystyle Omega in Quadratgrad 2763 42 3282 81 4262 39 6041 36 10313 24 15287 95 20626 48 35211 60 41252 96Raumwinkel W displaystyle Omega in Steradiant 0 8418 1 0000 1 2984 1 8403 3 1416 4 6570 6 2832 10 7261 12 5664Raumwinkel einer Pyramide Bearbeiten Zum Raumwinkel einer Pyramide Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide wobei der Ursprung genau senkrecht uber dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe siehe Abbildung Dieser Raumwinkel tritt z B bei der Berechnung der Etendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf Er lasst sich sehr leicht mit der Oosterom und Strackee Formel berechnen Mit den Pyramidengrundseiten w x displaystyle w x und w y displaystyle w y sowie der Hohe h ergibt sich W 4 arctan w x w y 2 h 4 h 2 w x 2 w y 2 displaystyle Omega 4 cdot arctan left frac w x cdot w y 2 cdot h cdot sqrt 4 cdot h 2 w x 2 w y 2 right Verwendet man fur die Berechnung die beiden Offnungswinkel 2 f x displaystyle 2 cdot varphi x und 2 f y displaystyle 2 cdot varphi y wobei tan f x w x 2 h displaystyle tan varphi x frac w x 2 cdot h und tan f y w y 2 h displaystyle tan varphi y frac w y 2 cdot h ist so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen W 4 arcsin sin f x sin f y displaystyle Omega 4 cdot arcsin left sin varphi x cdot sin varphi y right Beispiele Bearbeiten Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45 f x 22 5 displaystyle varphi x 22 5 circ und 20 f y 10 displaystyle varphi y 10 circ ein Der Raumwinkel betragt 0 27 sr Handelt es sich um eine quadratische Blende und beide Winkel sind 20 gross dann umfasst der Raumwinkel 0 12 sr Der kanonische Raumwinkel einer 20 Kreisblende liegt bei 0 10 sr Raumwinkel eines Polyeders BearbeitenDer Raumwinkel in der Ecke eines Polyeders kann mit dem Satz von L Huilier berechnet werden 3 Fur den Raumwinkel der in der Ecke mit den Innenwinkeln a displaystyle alpha b displaystyle beta g displaystyle gamma liegt gilt W 4 arctan tan 8 s 2 tan 8 s 8 a 2 tan 8 s 8 b 2 tan 8 s 8 c 2 4 arctan tan a b g 4 tan a b g 4 tan a b g 4 tan a b g 4 displaystyle begin aligned Omega amp 4 cdot arctan left sqrt tan left frac theta s 2 right cdot tan left frac theta s theta a 2 right cdot tan left frac theta s theta b 2 right cdot tan left frac theta s theta c 2 right right amp 4 cdot arctan left sqrt tan left frac alpha beta gamma 4 right cdot tan left frac alpha beta gamma 4 right cdot tan left frac alpha beta gamma 4 right cdot tan left frac alpha beta gamma 4 right right end aligned wobei 8 s a b g 2 displaystyle theta s frac alpha beta gamma 2 8 a a displaystyle theta a alpha 8 b b displaystyle theta b beta und 8 c g displaystyle theta c gamma ist Beispiele Bearbeiten Die folgenden Raumwinkel ergeben sich mithilfe der Halbwinkelformeln der Additionstheoreme fur den Tangens und der Gleichungen 2 arctan x arctan 2 x 1 x 2 displaystyle 2 cdot arctan x arctan left frac 2 cdot x 1 x 2 right arctan x arcsin x 1 x 2 displaystyle arctan x arcsin left frac x sqrt 1 x 2 right und arctan x arccos 1 1 x 2 displaystyle arctan x arccos left frac 1 sqrt 1 x 2 right Regelmassiges Tetraeder Bearbeiten Ein regelmassiges Tetraeder hat 4 Ecken mit jeweils 3 gleichen Innenwinkeln von 60 denn alle 4 Seitenflachen sind gleichseitige Dreiecke Es gilt also a b g 60 displaystyle alpha beta gamma 60 circ und W 4 arctan tan 60 60 60 4 tan 60 60 60 4 tan 60 60 60 4 tan 60 60 60 4 4 arctan tan 45 tan 3 15 4 arctan 1 tan 30 1 1 tan 2 30 3 4 arctan 1 3 1 1 1 3 2 3 4 arctan 2 3 3 4 arctan 26 15 3 2 arctan 2 5 arctan 10 2 23 arcsin 10 2 27 arccos 23 27 0 551 285598 s r displaystyle begin aligned Omega amp 4 cdot arctan left sqrt tan left frac 60 circ 60 circ 60 circ 4 right cdot tan left frac 60 circ 60 circ 60 circ 4 right cdot tan left frac 60 circ 60 circ 60 circ 4 right cdot tan left frac 60 circ 60 circ 60 circ 4 right right amp 4 cdot arctan left sqrt tan 45 circ cdot tan 3 15 circ right 4 cdot arctan left sqrt 1 cdot left frac tan 30 circ 1 sqrt 1 tan 2 30 circ right 3 right 4 cdot arctan left sqrt left frac tfrac 1 sqrt 3 1 sqrt 1 left tfrac 1 sqrt 3 right 2 right 3 right amp 4 cdot arctan left sqrt 2 sqrt 3 3 right 4 cdot arctan left sqrt 26 15 cdot sqrt 3 right 2 cdot arctan left frac sqrt 2 5 right arctan left frac 10 cdot sqrt 2 23 right amp arcsin left frac 10 cdot sqrt 2 27 right arccos left frac 23 27 right amp approx 0 551285598 mathrm sr end aligned Quadratische Pyramide Bearbeiten Eine gerade quadratische Pyramide die ein Quadrat und vier gleichseitige Dreiecke als Seitenflachen hat besitzt an der quadratischen Grundflache 4 Ecken mit den Innenwinkeln a 60 displaystyle alpha 60 circ b 60 displaystyle beta 60 circ g 90 displaystyle gamma 90 circ Fur den Raumwinkel in diesen 4 Ecken gilt W 4 arctan tan 60 60 90 4 tan 60 60 90 4 tan 60 60 90 4 tan 60 60 90 4 4 arctan tan 52 5 tan 7 5 tan 2 22 5 4 arctan tan 30 22 5 tan 30 22 5 tan 2 22 5 4 arctan tan 2 30 tan 2 22 5 1 tan 2 30 tan 2 22 5 tan 2 22 5 4 arctan 1 3 2 2 1 2 1 1 3 2 2 1 2 2 1 2 4 arctan 2 1 4 4 arctan 3 2 2 2 arctan 2 4 arctan 4 2 7 arcsin 4 2 9 arccos 7 9 0 679 6738189 s r displaystyle begin aligned Omega amp 4 cdot arctan left sqrt tan left frac 60 circ 60 circ 90 circ 4 right cdot tan left frac 60 circ 60 circ 90 circ 4 right cdot tan left frac 60 circ 60 circ 90 circ 4 right cdot tan left frac 60 circ 60 circ 90 circ 4 right right amp 4 cdot arctan left sqrt tan 52 5 circ cdot tan 7 5 circ cdot tan 2 22 5 circ right 4 cdot arctan left sqrt tan 30 circ 22 5 circ cdot tan 30 circ 22 5 circ cdot tan 2 22 5 circ right amp 4 cdot arctan left sqrt frac tan 2 30 circ tan 2 22 5 circ 1 tan 2 30 circ cdot tan 2 22 5 circ cdot tan 2 22 5 circ right 4 cdot arctan left sqrt frac left tfrac 1 sqrt 3 right 2 sqrt 2 1 2 1 left tfrac 1 sqrt 3 right 2 cdot sqrt 2 1 2 cdot sqrt 2 1 2 right amp 4 cdot arctan left sqrt sqrt 2 1 4 right 4 cdot arctan left 3 2 cdot sqrt 2 right 2 cdot arctan left frac sqrt 2 4 right arctan left frac 4 cdot sqrt 2 7 right amp arcsin left frac 4 cdot sqrt 2 9 right arccos left frac 7 9 right amp approx 0 6796738189 mathrm sr end aligned Oktaeder Bearbeiten Ein Oktaeder besteht aus 2 kongruenten geraden quadratischen Pyramiden die jeweils ein Quadrat und 4 gleichseitige Dreiecke als Seitenflachen haben Der Raumwinkel in den 6 Ecken des Oktaeders und in der Spitze der quadratischen Pyramide ist daher doppelt so gross wie der Raumwinkel in den anderen 4 Ecken der quadratischen Pyramide und betragt W 2 4 arctan 3 2 2 4 arctan 2 4 2 arctan 4 2 7 arctan 56 2 17 arcsin 56 2 81 arccos 17 81 1 359 3476378 s r displaystyle begin aligned Omega amp 2 cdot 4 cdot arctan left 3 2 cdot sqrt 2 right 4 cdot arctan left frac sqrt 2 4 right 2 cdot arctan left frac 4 cdot sqrt 2 7 right arctan left frac 56 cdot sqrt 2 17 right amp arcsin left frac 56 cdot sqrt 2 81 right arccos left frac 17 81 right amp approx 1 3593476378 mathrm sr end aligned Prisma Bearbeiten Eine gerades Prisma hat Ecken mit einem beliebigen Innenwinkel a displaystyle alpha und zwei rechten Winkeln von 90 denn die Mantelflache eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken Fur den Raumwinkel in den Ecken gilt W 4 arctan tan a 90 90 4 tan a 90 90 4 tan a 90 90 4 tan a 90 90 4 4 arctan tan 45 a 4 tan 45 a 4 tan 2 a 4 4 arctan tan 45 a 4 cot 45 a 4 tan 2 a 4 4 arctan tan 2 a 4 4 arctan tan a 4 a displaystyle begin aligned Omega amp 4 cdot arctan left sqrt tan left frac alpha 90 circ 90 circ 4 right cdot tan left frac alpha 90 circ 90 circ 4 right cdot tan left frac alpha 90 circ 90 circ 4 right cdot tan left frac alpha 90 circ 90 circ 4 right right amp 4 cdot arctan left sqrt tan left 45 circ frac alpha 4 right cdot tan left 45 circ frac alpha 4 right cdot tan 2 left frac alpha 4 right right 4 cdot arctan left sqrt tan left 45 circ frac alpha 4 right cdot cot left 45 circ frac alpha 4 right cdot tan 2 left frac alpha 4 right right amp 4 cdot arctan left sqrt tan 2 left frac alpha 4 right right 4 cdot arctan left tan left frac alpha 4 right right alpha end aligned Dieser Raumwinkel hat offensichtlich denselben Anteil am vollen Raumwinkel 4 p s r displaystyle 4 cdot pi mathrm sr wie der Innenwinkel a displaystyle alpha am zweidimensionalen Vollwinkel 2 p displaystyle 2 cdot pi Oktaederstumpf Bearbeiten Raumfullung mit kongruenten Oktaederstumpfen In jeder Ecke treffen 4 Oktaederstumpfe zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel Ein Oktaederstumpf hat 24 Ecken wo jeweils ein Quadrat und zwei regelmassige Sechsecke zusammentreffen Jede Ecke hat also die Innenwinkel a 90 displaystyle alpha 90 circ b 120 displaystyle beta 120 circ g 120 displaystyle gamma 120 circ und den Raumwinkel W 4 arctan tan 90 120 120 4 tan 90 120 120 4 tan 90 120 120 4 tan 90 120 120 4 4 arctan tan 82 5 tan 37 5 tan 2 22 5 4 arctan tan 60 22 5 tan 60 22 5 tan 2 22 5 4 arctan tan 2 60 tan 2 22 5 1 tan 2 60 tan 2 22 5 tan 2 22 5 4 arctan 3 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 2 1 2 4 arctan 1 p s r displaystyle begin aligned Omega amp 4 cdot arctan left sqrt tan left frac 90 circ 120 circ 120 circ 4 right cdot tan left frac 90 circ 120 circ 120 circ 4 right cdot tan left frac 90 circ 120 circ 120 circ 4 right cdot tan left frac 90 circ 120 circ 120 circ 4 right right amp 4 cdot arctan left sqrt tan 82 5 circ cdot tan 37 5 circ cdot tan 2 22 5 circ right 4 cdot arctan left sqrt tan 60 circ 22 5 circ cdot tan 60 circ 22 5 circ cdot tan 2 22 5 circ right amp 4 cdot arctan left sqrt frac tan 2 60 circ tan 2 22 5 circ 1 tan 2 60 circ cdot tan 2 22 5 circ cdot tan 2 22 5 circ right 4 cdot arctan left sqrt frac sqrt 3 2 sqrt 2 1 2 1 sqrt 3 2 cdot sqrt 2 1 2 cdot sqrt 2 1 2 right amp 4 cdot arctan left 1 right pi mathrm sr end aligned Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich 1 4 displaystyle tfrac 1 4 des vollen Raumwinkels Dieses Ergebnis wird dadurch bestatigt dass sich der dreidimensionale euklidische Raum luckenlos mit kongruenten Oktaederstumpfen ausfullen lasst wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstumpfe zusammentreffen siehe Raumfullung Weblinks Bearbeiten Commons Solid angle Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten A Van Oosterom J Strackee The Solid Angle of a Plane Triangle In Biomedical Engineering IEEE Transactions on BME 30 Nr 2 1983 S 125 126 doi 10 1109 TBME 1983 325207 Oleg Mazonka Solid Angle of Conical Surfaces Polyhedral Cones and Intersecting Spherical Caps Wolfram MathWorld Spherical ExcessAbgerufen von https de wikipedia org w index php title Raumwinkel amp oldid 213147097, wikipedia, wiki, deutsches

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