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Radiant (Einheit)

Physikalische Einheit
Einheitenname Radiant
Einheitenzeichen r a d {\displaystyle \mathrm {rad} }
Physikalische Größe(n) Ebener Winkel
Formelzeichen α , β , γ . . . {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ...}
Dimension L L = 1 {\displaystyle {\mathsf {{\frac {L}{L}}=1}}}
System Internationales Einheitensystem
In SI-Einheiten 1 r a d = 1 1 m 1 m = 1 {\displaystyle \mathrm {1\,rad=1\,{\frac {1\;m}{1\;m}}=1} }
Benannt nach lateinischradius, „Strahl“
Siehe auch: Winkelmaße

Der Radiant (Einheitenzeichen: rad) ist ein Winkelmaß, bei dem der Winkel durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben wird. Wegen der Betrachtung des Kreisbogens zur Kennzeichnung des Winkels wird die Angabe „im Bogenmaß“ auch Bogenwinkel genannt. Die Bogenlänge eines gegebenen Winkels ist proportional dem Radius r {\displaystyle r} . Auf einem Kreis mit 5 cm Radius markiert ein Winkel von 1 rad also einen 5 cm langen Bogen. Der Vollkreis (360°) hat die Bogenlänge U = 2 {\displaystyle U=2} π {\displaystyle \pi } r {\displaystyle r} , also beträgt der Vollwinkel 2 π {\displaystyle 2\pi } rad.

Der Winkel, der auf dem Kreisumfang die Länge des Radius markiert, beträgt 1 rad, der Vollwinkel also 2 π {\displaystyle 2\pi } rad.

In vielen Berechnungen der Physik und der Mathematik ist das Bogenmaß das zweckmäßigste Winkelmaß, siehe etwa Winkelgeschwindigkeit und Sinus und Kosinus.

Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist Radiant der besondere Name für die kohärente, abgeleitete SI-Einheit m/m mit der Dimension Zahl. Er ist also eine Hilfsmaßeinheit und kann in Rechnungen einfach durch 1 ersetzt werden, d. h. 1 rad = 1. Die Einheit kann mit SI-Präfixen kombiniert werden, z. B. mrad für Milliradiant.

In der Praxis wird das nachgestellte Einheitenkürzel rad häufig dann weggelassen, wenn das Winkelmaß als Vielfaches von π {\displaystyle \pi } angegeben wird, da dann eine Verwechslung mit den Angaben in Winkelgrad ° oder in gon unwahrscheinlich ist.

Inhaltsverzeichnis

Häufig benötigte Werte:
Grad Radiant
180 {\displaystyle 180^{\circ }} π 3,141 6 {\displaystyle \pi \approx 3{,}1416}
90 {\displaystyle 90^{\circ }} 1 2 π 1,570 8 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \approx 1{,}5708}
45 {\displaystyle 45^{\circ }} 1 4 π 0,785 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi \approx 0{,}7854}
57 17 45 {\displaystyle 57^{\circ }\,17'\,45''} 1 {\displaystyle \approx 1}
57,295 77951 {\displaystyle 57{,}29577951^{\circ }}
1 {\displaystyle 1^{\circ }} π 180 17 , 45 mrad {\displaystyle {\frac {\pi }{180}}\approx 17{,}45\,{\text{mrad}}}
3 , 44 {\displaystyle 3{,}44'} 1 mrad = 0,001 {\displaystyle 1\,{\text{mrad}}=0{,}001}
1 {\displaystyle 1''} 4 , 85 μ rad {\displaystyle 4{,}85\,\mu {\text{rad}}}

Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise in Grad oder in Radiant, manchmal zusätzlich auch in Gon, wo der Vollwinkel 400 gon umfasst. Die Modi zur Berechnung heißen auf den meisten Taschenrechnern „DEG“ (vonenglischdegree für Grad) für das Gradmaß, „RAD“ für das Bogenmaß und „GRD“, „GRA“ oder „GRAD“ für das Gon-Winkelmaß, und sind manchmal über eine Kombitaste „DRG“ (von den Anfangsbuchstaben der Einheiten) zyklisch umschaltbar.

Winkelfunktionen in mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen und in Programmen zur Tabellenkalkulation verwenden in der Regel das Bogenmaß, Gradangaben müssen daher meist umgerechnet werden. Der Vollwinkel hat 2 π {\displaystyle \pi } Radiant oder 360 Grad, daher gilt:

2 π r a d = 360 {\displaystyle 2\pi \,\mathrm {rad} =360^{\circ }}
1 r a d = 360 2 π = 180 π 57,295 77951 {\displaystyle 1\,\mathrm {rad} ={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}29577951^{\circ }}

oder:

1 = 2 π 360 r a d = π 180 r a d 0,017 453293 r a d {\displaystyle 1^{\circ }={\frac {2\pi }{360}}\,\mathrm {rad} ={\frac {\pi }{180}}\,\mathrm {rad} \approx 0{,}017453293\,\mathrm {rad} }

Der Faktor für die Umrechnung von Radiant auf Grad ist also 180 π ( = 1 r a d = 1 ) {\displaystyle {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\ \left(=1\,\mathrm {rad} =1\right)}

Beispiele:

  • α = 3 2 π r a d = 3 2 π 180 π = 3 2 180 = 270 {\displaystyle \alpha ={\frac {3}{2}}\,\pi \,\mathrm {rad} ={\frac {3}{2}}\,\pi \cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}={\frac {3}{2}}\cdot 180^{\circ }=270^{\circ }}
  • β = 45 = 45 π 180 = π 4 = π 4 r a d {\displaystyle \beta =45^{\circ }=45^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{\displaystyle 180^{\circ }}}={\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{4}}\,\mathrm {rad} }

Im SI war zunächst offengelassen worden, ob Radiant und Steradiant abgeleitete Einheiten oder Basiseinheiten sind; für beide wurde die Klasse der „ergänzenden Einheiten“ geschaffen. 1980 empfahl das CIPM, diese ergänzenden Einheiten als abgeleitete zu interpretieren. Dem folgte 1995 die 20. CGPM und beschloss die Aufhebung der Klasse der ergänzenden Einheiten.

Commons: Radiant – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  1. 9e édition, 2019 (die sogenannte „SI-Broschüre“, französisch und englisch).
  2. Bureau International des Poids et Mesures, abgerufen am 12. April 2021 (englisch).

Radiant (Einheit)
radiant, einheit, einheit, größe, eines, ebenen, winkels, sprache, beobachten, bearbeiten, physikalische, einheiteinheitenname, radianteinheitenzeichen, displaystyle, mathrm, physikalische, größe, ebener, winkelformelzeichen, displaystyle, alpha, beta, gamma, . Radiant Einheit SI Einheit der Grosse eines ebenen Winkels Sprache Beobachten Bearbeiten Physikalische EinheitEinheitenname RadiantEinheitenzeichen r a d displaystyle mathrm rad Physikalische Grosse n Ebener WinkelFormelzeichen a b g displaystyle alpha beta gamma Dimension L L 1 displaystyle mathsf frac L L 1 System Internationales EinheitensystemIn SI Einheiten 1 r a d 1 1 m 1 m 1 displaystyle mathrm 1 rad 1 frac 1 m 1 m 1 Benannt nach lateinisch radius Strahl Siehe auch Winkelmasse Der Radiant Einheitenzeichen rad ist ein Winkelmass bei dem der Winkel durch die Lange des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben wird Wegen der Betrachtung des Kreisbogens zur Kennzeichnung des Winkels wird die Angabe im Bogenmass auch Bogenwinkel genannt Die Bogenlange eines gegebenen Winkels ist proportional dem Radius r displaystyle r Auf einem Kreis mit 5 cm Radius markiert ein Winkel von 1 rad also einen 5 cm langen Bogen Der Vollkreis 360 hat die Bogenlange U 2 displaystyle U 2 p displaystyle pi r displaystyle r also betragt der Vollwinkel 2 p displaystyle 2 pi rad Der Winkel der auf dem Kreisumfang die Lange des Radius markiert betragt 1 rad der Vollwinkel also 2 p displaystyle 2 pi rad In vielen Berechnungen der Physik und der Mathematik ist das Bogenmass das zweckmassigste Winkelmass siehe etwa Winkelgeschwindigkeit und Sinus und Kosinus Im Internationalen Einheitensystem SI ist Radiant der besondere Name fur die koharente abgeleitete SI Einheit m m mit der Dimension Zahl Er ist also eine Hilfsmasseinheit und kann in Rechnungen einfach durch 1 ersetzt werden d h 1 rad 1 Die Einheit kann mit SI Prafixen kombiniert werden z B mrad fur Milliradiant 1 In der Praxis wird das nachgestellte Einheitenkurzel rad haufig dann weggelassen wenn das Winkelmass als Vielfaches von p displaystyle pi angegeben wird da dann eine Verwechslung mit den Angaben in Winkelgrad oder in gon unwahrscheinlich ist Inhaltsverzeichnis 1 Umrechnung zwischen Radiant und Grad 2 Historisches 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseUmrechnung zwischen Radiant und Grad BearbeitenHaufig benotigte Werte Grad Radiant180 displaystyle 180 circ p 3 141 6 displaystyle pi approx 3 1416 90 displaystyle 90 circ 1 2 p 1 570 8 displaystyle frac 1 2 pi approx 1 5708 45 displaystyle 45 circ 1 4 p 0 785 4 displaystyle frac 1 4 pi approx 0 7854 57 17 45 displaystyle 57 circ 17 45 1 displaystyle approx 1 57 295 77951 displaystyle 57 29577951 circ 1 displaystyle 1 circ p 180 17 45 mrad displaystyle frac pi 180 approx 17 45 text mrad 3 44 displaystyle 3 44 1 mrad 0 001 displaystyle 1 text mrad 0 001 1 displaystyle 1 4 85 m rad displaystyle 4 85 mu text rad Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise in Grad oder in Radiant manchmal zusatzlich auch in Gon wo der Vollwinkel 400 gon umfasst Die Modi zur Berechnung heissen auf den meisten Taschenrechnern DEG von englisch degree fur Grad fur das Gradmass RAD fur das Bogenmass und GRD GRA oder GRAD fur das Gon Winkelmass und sind manchmal uber eine Kombitaste DRG von den Anfangsbuchstaben der Einheiten zyklisch umschaltbar Winkelfunktionen in mathematischen Bibliotheken fur Programmiersprachen und in Programmen zur Tabellenkalkulation verwenden in der Regel das Bogenmass Gradangaben mussen daher meist umgerechnet werden Der Vollwinkel hat 2 p displaystyle pi Radiant oder 360 Grad daher gilt 2 p r a d 360 displaystyle 2 pi mathrm rad 360 circ 1 r a d 360 2 p 180 p 57 295 77951 displaystyle 1 mathrm rad frac 360 circ 2 pi frac 180 circ pi approx 57 29577951 circ oder 1 2 p 360 r a d p 180 r a d 0 017 453293 r a d displaystyle 1 circ frac 2 pi 360 mathrm rad frac pi 180 mathrm rad approx 0 017453293 mathrm rad Der Faktor fur die Umrechnung von Radiant auf Grad ist also 180 p 1 r a d 1 displaystyle frac 180 circ pi left 1 mathrm rad 1 right Beispiele a 3 2 p r a d 3 2 p 180 p 3 2 180 270 displaystyle alpha frac 3 2 pi mathrm rad frac 3 2 pi cdot frac 180 circ pi frac 3 2 cdot 180 circ 270 circ b 45 45 p 180 p 4 p 4 r a d displaystyle beta 45 circ 45 circ cdot frac pi displaystyle 180 circ frac pi 4 frac pi 4 mathrm rad Historisches BearbeitenIm SI war zunachst offengelassen worden ob Radiant und Steradiant abgeleitete Einheiten oder Basiseinheiten sind fur beide wurde die Klasse der erganzenden Einheiten geschaffen 1980 empfahl das CIPM diese erganzenden Einheiten als abgeleitete zu interpretieren Dem folgte 1995 die 20 CGPM und beschloss die Aufhebung der Klasse der erganzenden Einheiten 2 Weblinks Bearbeiten Commons Radiant Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Le Systeme international d unites 9e edition 2019 die sogenannte SI Broschure franzosisch und englisch Resolution 8 of the 20st CGPM 1995 Elimination of the class of supplementary units in the SI Bureau International des Poids et Mesures abgerufen am 12 April 2021 englisch SI EinheitenSI Basiseinheiten Sekunde Meter Kilogramm Ampere Kelvin Mol CandelaAbgeleitete SI Einheiten mit besonderem Namen Radiant Steradiant Hertz Newton Pascal Joule Watt Coulomb Volt Farad Ohm Siemens Weber Tesla Henry Grad Celsius Lumen Lux Becquerel Gray Sievert KatalZum Gebrauch mit dem SI zugelassene Einheiten Minute Stunde Tag Astronomische Einheit Winkelgrad Winkelminute Winkelsekunde Hektar Liter Tonne Atomare Masseneinheit Elektronenvolt Neper Bel DezibelAbgerufen von https de wikipedia org w index php title Radiant Einheit amp oldid 212255878, wikipedia, wiki, deutsches

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