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RC-Glied

Unter RC-Gliedern versteht man in der Elektrotechnik Schaltungen, die aus einem ohmschen Widerstand (R – engl. resistor) und einem Kondensator (C – engl. capacitor) aufgebaut sind. RC-Glieder sind lineare, zeitinvariante Systeme. Im engeren Sinne sind damit die Filter wie der Tiefpass oder Hochpass gemeint. Bei einem Tiefpass, wie in nebenstehendem Bild, ist der Kondensator parallel am Signalausgang geschaltet, beim Hochpass sind Kondensator und Widerstand vertauscht.

Zum Potentialausgleich beziehungsweise bei der Funktionserdung finden sich Parallelschaltungen von Kondensator und Widerstand. Zur Begrenzung von elektromagnetischen Störungen finden sich Reihenschaltungen von Kondensator und Widerstand, wie beispielsweise bei dem Snubber.

Allgemeine systemtheoretische Beschreibung des RC-Tiefpasses

Spannungen und Ströme am RC-Tiefpass

Das RC-Glied in Tiefpasskonfiguration ist ein integrierendes, zeitkontinuierliches, lineares, zeitinvariantes Übertragungsglied. Die allgemeine systemtheoretische Beschreibung ergibt sich aus den Kirchhoffsche Regeln und den Strom-/Spannungs-Beziehungen an Kondensator bzw. Widerstand. Die Maschengleichung ergibt

u e ( t ) + u r ( t ) + u c ( t ) = 0 {\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+u_{\text{r}}(t)+u_{\text{c}}(t)=0} .

Da es sich um einen unverzweigten Stromkreis handelt, gilt i c ( t ) = i r ( t ) {\displaystyle i_{\text{c}}(t)=i_{\text{r}}(t)} . Für den Spannungsabfall am Widerstand gilt

u r ( t ) = R i r ( t ) {\displaystyle u_{\text{r}}(t)=Ri_{\text{r}}(t)}

und der Strom durch den Kondensator ist durch die Beziehung

i c ( t ) = C d u c ( t ) d t {\displaystyle i_{\text{c}}(t)=C{\frac {{\text{d}}u_{\text{c}}(t)}{{\text{d}}t}}}

festgelegt. Setzen wir nun die Gleichung der Spannung über den Widerstand in die Maschengleichung ein, so erhalten wir

u e ( t ) + R i r ( t ) + u c ( t ) = 0 {\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+Ri_{\text{r}}(t)+u_{\text{c}}(t)=0} .

Einsetzen des Stroms ergibt letztendlich die Differentialgleichung

R C d u c ( t ) d t + u c ( t ) = u e ( t ) {\displaystyle RC{\frac {{\text{d}}u_{\text{c}}(t)}{{\text{d}}t}}+u_{\text{c}}(t)=u_{\text{e}}(t)} ,

welche das Übertragungsglied vollständig beschreibt: Das RC-Glied hat also ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 1. Ordnung und entspricht einem PT1-Glied mit der Zeitkonstante T = RC.

Um den integrierenden Charakter des Tiefpassfilters zu verdeutlichen, nehmen wir noch einige Umformungen vor. Die Gleichung wird auf beiden Seiten integriert

R C d u c ( t ) d t d t + u c ( t ) d t = u e ( t ) d t {\displaystyle \int RC{\frac {{\text{d}}u_{c}(t)}{{\text{d}}t}}\,{\text{d}}t+\int u_{\text{c}}(t)\,{\text{d}}t=\int u_{\text{e}}(t)\,{\text{d}}t} ,

wobei sich Differential- und Integraloperator in einem Term direkt aufheben und folgt

R C u c ( t ) + u c ( t ) d t = u e ( t ) d t {\displaystyle RCu_{\text{c}}(t)+\int u_{\text{c}}(t)\,{\text{d}}t=\int u_{\text{e}}(t)\,{\text{d}}t} .

Umstellen nach der Ausgangsspannung u c ( t ) {\displaystyle u_{\text{c}}(t)} ergibt letztendlich

Blockschaltbild des RC-Tiefpasses
u c ( t ) = 1 R C ( u e ( t ) d t u c ( t ) d t ) = 1 R C ( u e ( t ) u c ( t ) ) d t {\displaystyle u_{\text{c}}(t)={\frac {1}{RC}}\left(\int u_{\text{e}}(t)\,{\text{d}}t-\int u_{\text{c}}(t)\,{\text{d}}t\right)={\frac {1}{RC}}\int \left(u_{\text{e}}(t)\,-u_{\text{c}}(t)\right)\,{\text{d}}t} .

Die Integralgleichung im Zeitbereich kann direkt der Laplace-Transformation unterzogen werden, wodurch sich

u c ( s ) = 1 R C 1 s ( u e ( s ) u c ( s ) ) {\displaystyle u_{\text{c}}(s)={\frac {1}{RC}}{\frac {1}{\text{s}}}\left(u_{\text{e}}(s)-u_{\text{c}}(s)\right)}

ergibt. Durch Division des Ausgangssignals u c ( t ) {\displaystyle u_{\text{c}}(t)} durch das Eingangssignal u e ( t ) {\displaystyle u_{\text{e}}(t)} ergibt sich die Übertragungsfunktion des RC-Tiefpass:

G TP ( s ) = u c ( s ) u e ( s ) = 1 1 + R C s {\displaystyle G_{\text{TP}}(s)={\frac {u_{\text{c}}(s)}{u_{\text{e}}(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}} .

Durch Setzen von s = j ω {\displaystyle s=\mathrm {j} \omega } (mit der imaginären Einheit j {\displaystyle \mathrm {j} } und der Kreisfrequenz ω {\displaystyle \omega } ) ergibt sich die Fourier-Transformation und damit die spektrale Repräsentation des Systems:

G TP ( j ω ) = u c ( j ω ) u e ( j ω ) = 1 1 + j ω R C {\displaystyle G_{\text{TP}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {u_{\text{c}}(\mathrm {j} \omega )}{u_{\text{e}}(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {1}{1+\mathrm {j} \omega RC}}} .

Die wohl wichtigste Klasse von Signalen zur Betrachtung des Filterverhaltens sind harmonische Signale, deshalb ist es häufig von großem Interesse, welches Dämpfungsverhalten das Filter auf ein Sinussignal hat. Durch das Eingangssignal

Transientensimulation bei sinusförmigem Eingangssignal, R = 1 kΩ, C = 100 nF, f = 5 kHz
u e ( t ) = u ^ sin ( ω t + φ ) {\displaystyle u_{\text{e}}(t)={\hat {u}}\sin(\omega t+\varphi )}

folgt in der zuvor hergeleiteten Differential- bzw. Integralgleichung dann

R C d u c ( t ) d t + u c ( t ) = u e ( t ) = u ^ sin ( ω t + φ ) {\displaystyle RC{\frac {{\text{d}}u_{\text{c}}(t)}{{\text{d}}t}}+u_{\text{c}}(t)=u_{\text{e}}(t)={\hat {u}}\sin(\omega t+\varphi )} .

Um die Ausgangsspannung zu finden, muss nach u c ( t ) {\displaystyle u_{\text{c}}(t)} umgestellt werden, dies ist analytisch möglich. Es handelt sich um eine Lineare gewöhnliche Differentialgleichung, zu der es viele verschiedene Lösungsmethoden gibt. Betrachtet man die Anfangsbedingung u c ( 0 ) = 0 {\displaystyle u_{\text{c}}(0)=0} , also den Fall, dass das System beim Einschwingen zunächst energielos ist, dann ergibt sich die Lösung zu

u c,sin ( t ) = u ^ ( sin ( ω t + φ ) R C ω cos ( ω t + φ ) ) u ^ e t R C ( sin ( φ ) R C ω cos ( φ ) ) ( ω R C ) 2 + 1 {\displaystyle u_{\text{c,sin}}(t)={\frac {{\hat {u}}\left(\sin \left(\omega t+\varphi \right)-RC\omega \cos \left(\omega t+\varphi \right)\right)-{\hat {u}}{\text{e}}^{-{\frac {t}{RC}}}\left(\sin(\varphi )-RC\omega \cos(\varphi )\right)}{\left(\omega RC\right)^{2}+1}}} .

Allgemeine systemtheoretische Beschreibung des RC-Hochpasses

Spannungen und Ströme am RC-Hochpass

Auch beim RC-Hochpass handelt es sich um einen unverzweigten Stromkreis, hierbei wird die Ausgangsspannung jedoch am Widerstand abgegriffen. Systemtheoretisch handelt es sich um ein differenzierendes Übertragungsglied. Die Maschengleichung ergibt

u e ( t ) + u r ( t ) + u c ( t ) = 0 {\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+u_{\text{r}}(t)+u_{\text{c}}(t)=0} .

Für die Spannung über dem Kondensator gilt die Integralbeziehung

u c ( t ) = 1 C i c ( t ) d t {\displaystyle u_{\text{c}}(t)={\frac {1}{C}}\int i_{\text{c}}(t)\,{\text{d}}t} .

Aufgrund der Unverzweigtheit des Stromkreises gilt i c ( t ) = i r ( t ) {\displaystyle i_{\text{c}}(t)=i_{\text{r}}(t)} , daraus folgt nach Einsetzen

u e ( t ) + 1 C i r ( t ) d t + u r ( t ) = 0 {\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+{\frac {1}{C}}\int i_{\text{r}}(t)\,{\text{d}}t+u_{\text{r}}(t)=0} .

Der Strom im Integral lässt sich schreiben als: i r ( t ) = u r ( t ) R {\displaystyle i_{\text{r}}(t)={\frac {u_{\text{r}}(t)}{R}}} , eingesetzt in die Gleichung folgt

u e ( t ) + 1 C u r ( t ) R d t + u r ( t ) = 0 {\displaystyle -u_{\text{e}}(t)+{\frac {1}{C}}\int {\frac {u_{\text{r}}(t)}{R}}\,{\text{d}}t+u_{\text{r}}(t)=0} ,

dabei handelt es sich um eine Integralgleichung, welche das System nun vollständig beschreibt. Um den differenzierenden Charakter des Hochpassfilters zu verdeutlichen, nehmen wir noch einige Umformungen vor. Die Gleichung wird auf beiden Seiten differenziert

d d t u e ( t ) + 1 C d d t u r ( t ) R d t + d d t u r ( t ) = 0 {\displaystyle -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}u_{\text{e}}(t)+{\frac {1}{C}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int {\frac {u_{\text{r}}(t)}{R}}\,{\text{d}}t+{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}u_{\text{r}}(t)=0} ,

wobei sich der Differential- und der Integraloperator wieder gegenseitig aufhebt

d d t u e ( t ) + 1 R C u r ( t ) + d d t u r ( t ) = 0 {\displaystyle -{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}u_{\text{e}}(t)+{\frac {1}{RC}}u_{\text{r}}(t)+{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}u_{\text{r}}(t)=0} .

Umstellen zur Ausgangsgröße ergibt dann

Blockdiagramm des RC-Hochpasses.
u r ( t ) = R C d d t ( u e ( t ) u r ( t ) ) {\displaystyle u_{\text{r}}(t)=RC{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left(u_{\text{e}}(t)-u_{\text{r}}(t)\right)} ,

wodurch das differenzierende Verhalten offensichtlich wird. Die Gleichung kann der Laplace-Transformation unterzogen werden, wodurch

u r ( s ) = R C s ( u e ( s ) u r ( s ) ) {\displaystyle u_{\text{r}}(s)=RCs\left(u_{\text{e}}(s)-u_{\text{r}}(s)\right)}

folgt. Durch Division des Ausgangssignals u r ( t ) {\displaystyle u_{\text{r}}(t)} durch das Eingangssignal u e ( t ) {\displaystyle u_{\text{e}}(t)} ergibt sich die Übertragungsfunktion des RC-Hochpass:

G HP ( s ) = u r ( s ) u e ( s ) = R C s 1 + R C s {\displaystyle G_{\text{HP}}(s)={\frac {u_{\text{r}}(s)}{u_{\text{e}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}}

Durch Setzen von s = j ω {\displaystyle s=\mathrm {j} \omega } ergibt sich die Fourier-Transformation und damit die spektrale Repräsentation des Systems:

G HP ( j ω ) = u r ( j ω ) u e ( j ω ) = j ω R C 1 + j ω R C {\displaystyle G_{\text{HP}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {u_{\text{r}}(\mathrm {j} \omega )}{u_{\text{e}}(\mathrm {j} \omega )}}={\frac {\mathrm {j} \omega RC}{1+\mathrm {j} \omega RC}}} .

Auch hier betrachten wir wieder die Lösung der Differentialgleichung für ein harmonisches Eingangssignal, dazu kann die Laplace-Transformation genutzt werden. Das Eingangssignal sei

Transientensimulation bei sinusförmigen Eingangssignal, R = 1 kΩ, C = 100 nF, f = 2 kHz
u e,sin ( t ) = u ^ sin ( ω t + φ ) {\displaystyle u_{\text{e,sin}}(t)={\hat {u}}\sin(\omega t+\varphi )} ,

dessen Laplace-Transformierte lautet

L { u ^ sin ( ω t + φ ) } = u ^ ω cos ( φ ) + s sin ( φ ) s 2 + ω 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\hat {u}}\sin(\omega t+\varphi )\right\}={\hat {u}}{\frac {\omega \cos(\varphi )+s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}} .

Einsetzen in die Übertragungsfunktion liefert

u r,sin ( s ) = R C s 1 + R C s u ^ ω cos ( φ ) + s sin ( φ ) s 2 + ω 2 {\displaystyle u_{\text{r,sin}}(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}{\hat {u}}{\frac {\omega \cos(\varphi )+s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}} .

Durch eine Umfangreiche Rücktransformation ergibt sich dann die Lösung der Differentialgleichung und damit das Transientenverhalten bei sinusförmigen Eingangssignal:

u r,sin ( t ) = u ^ e t R C ( sin ( φ ) ω R C cos ( φ ) ) + u ^ ω R C ( cos ( ω t + φ ) + ω R C sin ( ω t + φ ) ) ( ω R C ) 2 + 1 {\displaystyle u_{\text{r,sin}}(t)={\frac {{\hat {u}}{\text{e}}^{-{\frac {t}{RC}}}\left(\sin(\varphi )-\omega RC\cos(\varphi )\right)+{\hat {u}}\omega RC\left(\cos(\omega t+\varphi )+\omega RC\sin(\omega t+\varphi )\right)}{\left(\omega RC\right)^{2}+1}}}

Ladevorgang

Exemplarisch ist hier die Systemantwort auf eine Sprungfunktion dargestellt. Die Spannung beträgt null Volt bis zum Zeitpunkt null und steigt dann unmittelbar auf U m a x {\displaystyle U_{\rm {max}}} . In den Kondensator fließt so lange Strom, bis die Platten elektrisch aufgeladen sind und keine weitere Ladung annehmen. Das tritt auf, wenn die Kondensatorspannung U(t) genauso groß wie die angelegte Spannung Umax ist. Die eine Platte ist dann elektrisch positiv, die andere negativ geladen. Auf der negativ geladenen Seite herrscht ein Elektronenüberschuss.

Die Ladezeit des Kondensators ist proportional zur Größe des Widerstands R und zur Kapazität C des Kondensators. Das Produkt von Widerstand und Kapazität nennt man die Zeitkonstante τ {\displaystyle \tau } .

τ = R C {\displaystyle \tau =R\cdot C\,}

Theoretisch dauert es unendlich lange, bis U(t)=Umax ist. Für praktische Zwecke kann man als Ladezeit tL verwenden, nach der der Kondensator näherungsweise als vollständig (mehr als 99 %) geladen angesehen werden kann.

t L = 5 τ {\displaystyle t_{L}=5\cdot \tau \,}
Verlauf von Spannung U und Strom I beim Ladevorgang,
Umax ist die Spannung der Spannungsquelle als maximal mögliche Spannung

Die Zeitkonstante τ markiert zugleich den Zeitpunkt, an dem die am Beginn der Kurve angelegte Tangente den Endwert der Spannung erreicht. Nach dieser Zeit wäre der Kondensator auf den Endwert geladen, wenn man ihn mit dem konstanten Strom I m a x {\displaystyle I_{\rm {max}}} laden könnte. Tatsächlich nimmt die Stromstärke bei konstanter angelegter Spannung jedoch mit der Zeit exponentiell ab.

Der maximale Strom I m a x {\displaystyle I_{\rm {max}}} fließt zum Zeitpunkt t=0. Dieser ergibt sich durch den Widerstand R nach dem ohmschen Gesetz, wobei Umax die angelegte Spannung der Spannungsquelle ist:

I m a x = U m a x R {\displaystyle I_{\rm {max}}={\frac {U_{\rm {max}}}{R}}\,}

Der Verlauf der Ladespannung U(t) bzw. deren jeweilige zeitliche Größe wird mit der folgenden Gleichung beschrieben, wobei e die eulersche Zahl, t die Zeit nach Beginn der Ladung und τ {\displaystyle \tau } die Zeitkonstante sind:

U ( t ) = U m a x ( 1 e t τ ) {\displaystyle U(t)=U_{\rm {max}}\cdot (1-e^{-{\frac {t}{\tau }}})\,} ,

Dabei wird vorausgesetzt, dass der Kondensator zu Beginn ungeladen war: U ( t = 0 ) = 0 {\displaystyle U(t=0)=0} . Die Spannung ist also im ersten Moment null und steigt dann in Form einer Exponentialfunktion an. Nach der Zeit t = τ {\displaystyle t=\tau } hat die Spannung etwa 63 % der angelegten Spannung Umax erreicht. Nach der Zeit t = 5 τ {\displaystyle t=5\tau } ist der Kondensator auf mehr als 99 % aufgeladen.

Der Verlauf der Stromstärke I(t) bzw. deren jeweilige zeitliche Größe wird mit der folgenden Gleichung beschrieben:

I ( t ) = I m a x e t τ {\displaystyle I(t)=I_{\rm {max}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,}

Hier beträgt der Strom im ersten Moment I ( t = 0 ) = I m a x {\displaystyle I(t=0)=I_{\rm {max}}} und nimmt dann in Form einer Exponentialfunktion wie beim Entladevorgang ab. Nach der Zeit t = τ {\displaystyle t=\tau } beträgt der Strom nur noch etwa 37 % seines Anfangswertes und nach der Zeit t = 5 τ {\displaystyle t=5\tau } ist er auf weniger als 1 % abgefallen.

Differentialgleichung des Ladevorgangs

Für den Ladevorgang des Kondensators für eine ideale Spannungsquelle mit der Spannung E {\displaystyle E} gilt:

Q ( t ) = E C ( 1 e t R C ) {\displaystyle Q(t)=EC\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)}

Diese leitet sich wie folgt her. Für die Stromstärke gilt:

I ( t ) = d Q ( t ) d t = Q ˙ ( t ) {\displaystyle I(t)={\frac {\mathrm {d} Q(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}(t)}

Für die Spannung am ohmschen Widerstand gilt:

U R = R I ( t ) = R Q ˙ ( t ) {\displaystyle U_{R}=R\cdot I(t)=R\cdot {\dot {Q}}(t)}

Für die Spannung am Kondensator gilt:

U C = Q ( t ) C {\displaystyle U_{C}={\frac {Q(t)}{C}}}

Für eine einfache Schaltung aus Kondensator und Ohmschem Widerstand gilt gemäß Maschensatz:

U C + U R = E Q ( t ) C + R Q ˙ ( t ) = E 1 R C Q ( t ) + Q ˙ ( t ) = E R {\displaystyle {\begin{array}{crcl}&U_{C}+U_{R}&=&E\\\Leftrightarrow &{\frac {Q(t)}{C}}+R\cdot {\dot {Q}}(t)&=&E\\\Leftrightarrow &{\frac {1}{RC}}\cdot Q(t)+{\dot {Q}}(t)&=&{\frac {E}{R}}\\\end{array}}}

Diese Differentialgleichung löst man, indem man erst die homogene Gleichung löst, indem man vorerst E / R = 0 {\displaystyle E/R=0} setzt:

t 0 t Q ˙ ( t ) Q ( t ) d t = t 0 t 1 R C d t {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}{\frac {{\dot {Q}}(t)}{Q(t)}}\,\mathrm {d} t=\int _{t_{0}}^{t}-{\frac {1}{RC}}\,\mathrm {d} t}

Da 1 R C {\displaystyle -{\tfrac {1}{RC}}} konstant ist, gilt:

t 0 t Q ˙ ( t ) Q ( t ) d t = 1 R C t 0 t 1 d t {\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}{\frac {{\dot {Q}}(t)}{Q(t)}}\,\mathrm {d} t=-{\frac {1}{RC}}\int _{t_{0}}^{t}1\,\mathrm {d} t}

Nach der Substitutionsregel gilt:

ln | Q ( t ) | ln | Q ( t 0 ) | = t t 0 R C {\displaystyle \ln \left|Q(t)\right|-\ln \left|Q(t_{0})\right|=-{\frac {t-t_{0}}{RC}}}

Q v {\displaystyle Q_{v}} ist die vorweggenommene Bezeichnung für die in den nächsten Schritten verwendete Methode Variation der Konstanten, Q ( t ) {\displaystyle Q(t)} ist die elektrische Ladung des Kondensators zum Zeitpunkt t {\displaystyle t} , sie kann nicht negativ werden, t 0 {\displaystyle t_{0}} ist der Zeitpunkt zu Beginn der Aufladung und hat den Wert 0 s; es folgt:

ln ( Q ( t ) Q v ) = t R C {\displaystyle \ln \left({\frac {Q(t)}{Q_{v}}}\right)=-{\frac {t}{RC}}}

Durch Potenzieren zur Basis e erhält man:

Q ( t ) Q v = e t R C Q ( t ) = Q v e t R C {\displaystyle {\frac {Q(t)}{Q_{v}}}=e^{-{\frac {t}{RC}}}\Leftrightarrow Q(t)=Q_{v}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}}

Um jetzt die inhomogene Differentialgleichung lösen zu können, wenden wir die Methode Variation der Konstanten an, indem wir Q v ( t ) {\displaystyle Q_{v}(t)} als zeitlich abhängig betrachten und so wie sie ist und differenziert in die Ausgangsgleichung einsetzen.

Q ˙ ( t ) = Q ˙ v ( t ) e t R C Q v ( t ) R C e t R C {\displaystyle {\dot {Q}}(t)={\dot {Q}}_{v}(t)\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}-{\frac {Q_{v}(t)}{RC}}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}}

einsetzen in:

E R = 1 R C Q ( t ) + Q ˙ ( t ) = Q v ( t ) R C e t R C + Q ˙ v ( t ) e t R C Q v ( t ) R C e t R C = Q ˙ v ( t ) e t R C {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {E}{R}}&=&{\frac {1}{RC}}\cdot Q(t)+{\dot {Q}}(t)\\&=&{\frac {Q_{v}(t)}{RC}}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}+{\dot {Q}}_{v}(t)\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}-{\frac {Q_{v}(t)}{RC}}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}\\&=&{\dot {Q}}_{v}(t)\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}\\\end{array}}}

Das wird nach Q ˙ v ( t ) {\displaystyle {\dot {Q}}_{v}(t)} umgestellt und integriert:

t 0 t Q ˙ v ( t ) d t = t 0 t E R e t R C d t Q v ( t ) Q v ( t 0 ) = E R R C ( e t R C e t 0 R C ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{t_{0}}^{t}{\dot {Q}}_{v}(t)\,\mathrm {d} t&=&\int _{t_{0}}^{t}{\frac {E}{R}}\cdot e^{\frac {t}{RC}}\,\mathrm {d} t\\Q_{v}(t)-Q_{v}(t_{0})&=&{\frac {E}{R}}\cdot RC\left(e^{\frac {t}{RC}}-e^{\frac {t_{0}}{RC}}\right)\end{array}}}

Wie oben schon erwähnt, fängt das Aufladen beim Zeitpunkt t 0 = 0 {\displaystyle t_{0}=0} an. Zu diesem Zeitpunkt ist die Ladung auf dem Kondensator Q v ( t 0 ) = 0 {\displaystyle Q_{v}(t_{0})=0} :

Q v ( t ) 0 = E C ( e t R C e 0 R C ) Q v ( t ) = E C ( e t R C 1 ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}Q_{v}(t)-0&=&EC\left(e^{\frac {t}{RC}}-e^{\frac {0}{RC}}\right)\\Q_{v}(t)&=&EC\cdot \left(e^{\frac {t}{RC}}-1\right)\\\end{array}}}

Das muss in die Lösung der DGL eingesetzt werden:

Q ( t ) = Q v e t R C = E C ( e t R C 1 ) e t R C = E C ( 1 e t R C ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}Q(t)&=&Q_{v}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}\\&=&EC\cdot \left(e^{\frac {t}{RC}}-1\right)\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}\\&=&EC\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\end{array}}}

Das ist die Gleichung wie sie oben steht. Wenn man E C = Q E {\displaystyle EC=Q_{E}} als Wert eines theoretisch vollständig geladenen Kondensators wählt, wird aus der Gleichung:

Q ( t ) = Q E ( 1 e t R C ) {\displaystyle Q(t)=Q_{E}\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)}

Analog dazu gilt für die Spannung U {\displaystyle U} :

U ( t ) = Q ( t ) C = E ( 1 e t R C ) {\displaystyle U(t)={\frac {Q(t)}{C}}=E\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)}

und für die Stromstärke I ( t ) {\displaystyle I(t)} :

I ( t ) = Q ˙ ( t ) = ( E C R C ) e t R C = I 0 e t R C {\displaystyle I(t)={\dot {Q}}(t)=\left({\frac {EC}{RC}}\right)\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}=I_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}}

Entladevorgang

Verlauf von Spannung U und Strom I beim Entladevorgang,
Umax ist die Anfangsspannung

Das Bild zeigt den Entladevorgang, wenn der Kondensator zu Beginn auf den Wert Umax geladen ist und über den Widerstand R entladen wird. Hier sind sowohl die Spannung als auch die Stromstärke zu Beginn am größten:

Für t = 0 gilt: I m a x = U m a x R {\displaystyle I_{\rm {max}}={\frac {U_{\rm {max}}}{R}}} und beträgt zu einem beliebigen Zeitpunkt danach I ( t ) = U ( t ) R {\displaystyle I(t)={\frac {U(t)}{R}}}

Die Spannung nimmt im Verlauf der Entladung mit der Zeit ab gemäß

U ( t ) = U m a x e t τ {\displaystyle U(t)=U_{\rm {max}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,}

Der Strom, der mit der Spannung U(t) über den Entladewiderstand R verknüpft ist, zeigt den entsprechenden Verlauf

I ( t ) = I m a x e t τ {\displaystyle I(t)=I_{\rm {max}}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,}

Der Entladestrom ist bei der vorgegebenen Zählpfeilrichtung negativ.

Differentialgleichung der Entladung

Für den Entladevorgang des Kondensators gilt:

Q ( t ) = Q 0 e t R C {\displaystyle Q(t)=Q_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}}

Diese leitet sich wie beim Aufladevorgang her. Die gelöste Differentialgleichung lässt sich von dort entnehmen. Die Anfangsbedingungen sind lediglich andere und die Methode der Variation der Konstanten ist nicht erforderlich:

ln | Q ( t ) | ln | Q ( t 0 ) | = t t 0 R C {\displaystyle \ln \left|Q(t)\right|-\ln \left|Q(t_{0})\right|=-{\frac {t-t_{0}}{RC}}}

Q ( t ) {\displaystyle Q(t)} ist die elektrische Ladung des Kondensators zum Zeitpunkt t {\displaystyle t} , sie kann nicht negativ werden, t 0 {\displaystyle t_{0}} ist der Zeitpunkt zu Beginn der Entladung und hat den Wert 0 s. Hier gibt es keine Entladung, aber eine Anfangsladung Q 0 {\displaystyle Q_{0}} ; es folgt:

ln ( Q ( t ) Q ( 0 ) ) = t R C {\displaystyle \ln \left({\frac {Q(t)}{Q(0)}}\right)=-{\frac {t}{RC}}}

Durch Potenzieren zur Basis e erhält man:

Q ( t ) Q 0 = e t R C Q ( t ) = Q 0 e t R C {\displaystyle {\frac {Q(t)}{Q_{0}}}=e^{-{\frac {t}{RC}}}\Leftrightarrow Q(t)=Q_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}}

Analog dazu gilt für die Spannung U {\displaystyle U} :

U ( t ) = Q ( t ) C = U 0 e t R C {\displaystyle U(t)={\frac {Q(t)}{C}}=U_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}}

und für die Stromstärke I {\displaystyle I} :

I ( t ) = Q ˙ ( t ) = I 0 e t R C {\displaystyle I(t)={\dot {Q}}(t)=-I_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}}

Impulsantwort

Verlauf von Ladestrom (blau) und Kondensatorspannung (rosa) an einem RC-Glied an einem Spannungsimpuls

Die Impulsantwort beschreibt den Ausgangsspannungsverlauf auf eine diracimpulsförmige Eingangsspannung. Der Ausgangsspannungsverlauf wird durch deren Zeitableitung beschrieben:

U ˙ ( t ) = d U d t = U q τ e t τ {\displaystyle {\dot {U}}(t)={\frac {dU}{dt}}={\frac {U_{q}}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,}

Dabei ist U q {\displaystyle {U_{q}}} die momentane Spannung am Widerstand, die eine Umladung des Kondensators bewirkt. Der Spannungsimpuls wird durch das RC-Glied integriert und hinterlässt eine Kondensatorladung, die sich anschließend in Form einer e-Funktion entlädt.

Die Spannungsanstiegsgeschwindigkeit d U d t {\displaystyle {\frac {dU}{dt}}} (Volt pro Sekunde) ist eine wichtige Größe in der Elektronik und Leistungselektronik.

Periodische Signale

Zeitlicher Verlauf der Spannung (blau) über einem Kondensator, der periodisch über einen Widerstand aus einer idealen Rechteck-Spannungsquelle (rot) geladen und wieder entladen wird

Die Filterwirkung wird insbesondere bei Rechtecksignalen deutlich; die Filterantwort setzt sich aus Segmenten des Lade- und Entladeverhaltens zusammen. Die Flankensteilheit wird geringer, dementsprechend fehlen im Frequenzspektrum hohe Frequenzen. RC-Glieder werden dementsprechend zur Entstörung und als Tiefpass eingesetzt.

Die Flankensteilheit der Spannung am Kondensator bei einer Amplitude U0 der Rechteck-Spannungsquelle sinkt vom unendlichen Wert der speisenden Rechteckspannung auf maximal

d U d t = U 0 R C = U 0 τ {\displaystyle {\frac {dU}{dt}}={\frac {U_{0}}{RC}}={\frac {U_{0}}{\tau }}} .

ab. Der maximale Ladestrom (Spitzenstrom, Pulsstrom Ip) beträgt

I p = U 0 R {\displaystyle {I_{p}}={\frac {U_{0}}{R}}} .

Diesen Strom müssen zum Beispiel mit einem RC-Entstörglied beschaltete Schaltkontakte oder Halbleiterschalter aushalten können.

Tiefpass

Amplitudengang eines RC-Tiefpassfilters. Die Ordinate zeigt das Amplitudenverhältnis | H | {\displaystyle |H|} in Dezibel, die Abszisse die normierte Kreisfrequenz Ω in logarithmischer Darstellung.
Phasenverschiebung als Funktion der normierten Frequenz Ω am RC-Glied.
Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung am Kondensator
Z,R,Xc
V,Vr,Vc

Widerstand und Kondensator bilden einen frequenzabhängigen Spannungsteiler, der auch eine Phasenverschiebung von maximal π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} (90°) bewirkt. Die Impedanzen Z sind R bzw. 1 / ( j ω C ) {\displaystyle 1/(\mathrm {j} \omega C)} . Für das RC-Glied gilt für eine harmonisch oszillierende Spannung der Frequenz f = ω 2 π {\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}} :

U a = U e Z C Z R + Z C {\displaystyle U_{a}=U_{e}\cdot {\frac {Z_{C}}{Z_{R}+Z_{C}}}\,}

und somit für das Übertragungsverhalten, das als Quotient von Ausgangs- zur Eingangsspannung definiert ist:

H = U a U e = Z C Z R + Z C = 1 j ω C R + 1 j ω C = 1 1 + j ω R C = 1 1 + j Ω {\displaystyle H={\frac {U_{a}}{U_{e}}}={\frac {Z_{C}}{Z_{R}+Z_{C}}}={\frac {\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}{R+{\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}}}={\frac {1}{1+\mathrm {j} \omega RC}}={\frac {1}{1+\mathrm {j} {\mathit {\Omega }}}}\,} ,

wobei die normierte Frequenz Ω = ω/ω0 sich aus der Division von Kreisfrequenz ω = 2πf und Grenz-Kreisfrequenz (Übergangsfrequenz, Eckfrequenz oder englisch cutoff frequency) ωc = 1/τ = 1/(RC) ergibt. Daraus ergibt sich die Grenzfrequenz fc, bei der Blindwiderstand und Widerstand den gleichen Wert annehmen, die Phasenverschiebung also π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} (45°) und die Dämpfung etwa 3 dB beträgt:

f c = 1 2 π R C {\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi \cdot R\cdot C}}\,}

Für tiefe Frequenzen Ω << 1 ist H ungefähr 1, Ein- und Ausgangsspannung etwa gleich, weshalb man den Bereich auch engl. als Passband bezeichnet.
Für Frequenzen Ω >> 1 fällt H mit 20 dB pro Dekade = 6 dB pro Oktave ab. Der weggefilterte Bereich wird englisch mit Stopband bezeichnet.

Bei sehr tiefen Frequenzen, die deutlich kleiner als die Grenzfrequenz sind, fällt der Ladestrom des Kondensators nicht ins Gewicht und Eingangs- und Ausgangsspannung unterscheiden sich nur unmerklich. Die Phasenverschiebung beträgt annähernd 0°.

Steigt die Frequenz, dauert es – im Vergleich zur Schwingungsdauer – immer länger, bis der Kondensator auf die Eingangsspannung aufgeladen ist. Deshalb steigt die Phasenverschiebung.

Bei sehr hoher Frequenz strebt diese dem Grenzwert von 90° zu, allerdings wird dann die Spannung am Kondensator auch unmessbar klein.

Hochpass

Die Verschaltung als Hochpass unterscheidet sich von der des Tiefpasses durch Vertauschung von R und C. Demgemäß gilt

U a = U e Z R Z C + Z R {\displaystyle U_{a}=U_{e}\cdot {\frac {Z_{R}}{Z_{C}+Z_{R}}}\,}

und

H = U a U e = Z R Z C + Z R = R 1 j ω C + R = j ω R C 1 + j ω R C = j Ω 1 + j Ω {\displaystyle H={\frac {U_{a}}{U_{e}}}={\frac {Z_{R}}{Z_{C}+Z_{R}}}={\frac {R}{{\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}+R}}={\frac {\mathrm {j} \omega RC}{1+\mathrm {j} \omega RC}}={\frac {\mathrm {j} {\mathit {\Omega }}}{1+\mathrm {j} {\mathit {\Omega }}}}\,} ,

Der Amplitudengang ist gegenüber dem Tiefpass entlang Ω = 1 gespiegelt, hohe Frequenzen können nahezu ungedämpft passieren.

Mit einer analogen Herleitung erhält man für den Tiefpass

H ( s ) = 1 1 + s R C {\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+sRC}}\,} ,

eine Polstelle bei s = 1 / R C {\displaystyle s=-1/RC} .

Bei dem Hochpass

H ( s ) = s R C 1 + s R C {\displaystyle H(s)={\frac {sRC}{1+sRC}}\,} ,

ergibt sich ebenfalls eine Polstelle bei s = 1 / R C {\displaystyle s=-1/RC} , zusätzlich eine Nullstelle im Ursprung. Das RC-Glied stellt damit einen Butterworth-Filter 1. Ordnung dar.

RC-Glied
glied, schaltungen, einem, ohmschen, widerstand, einem, kondensator, aufgebaut, sind, sprache, beobachten, bearbeiten, unter, versteht, elektrotechnik, schaltungen, einem, ohmschen, widerstand, engl, resistor, einem, kondensator, engl, capacitor, aufgebaut, si. RC Glied Schaltungen die aus einem ohmschen Widerstand und einem Kondensator aufgebaut sind Sprache Beobachten Bearbeiten Unter RC Gliedern versteht man in der Elektrotechnik Schaltungen die aus einem ohmschen Widerstand R engl resistor und einem Kondensator C engl capacitor aufgebaut sind RC Glieder sind lineare zeitinvariante Systeme Im engeren Sinne sind damit die Filter wie der Tiefpass oder Hochpass gemeint Bei einem Tiefpass wie in nebenstehendem Bild ist der Kondensator parallel am Signalausgang geschaltet beim Hochpass sind Kondensator und Widerstand vertauscht Zum Potentialausgleich beziehungsweise bei der Funktionserdung finden sich Parallelschaltungen von Kondensator und Widerstand Zur Begrenzung von elektromagnetischen Storungen finden sich Reihenschaltungen von Kondensator und Widerstand wie beispielsweise bei dem Snubber Einfacher RC Tiefpass Ue Eingangsspannung Ua Ausgangsspannung Inhaltsverzeichnis 1 Verhalten im Zeitbereich 1 1 Allgemeine systemtheoretische Beschreibung des RC Tiefpasses 1 2 Allgemeine systemtheoretische Beschreibung des RC Hochpasses 1 3 Ladevorgang 1 4 Differentialgleichung des Ladevorgangs 1 5 Entladevorgang 1 6 Differentialgleichung der Entladung 1 7 Impulsantwort 1 8 Periodische Signale 2 Verhalten im Frequenzbereich 2 1 Tiefpass 2 2 Hochpass 3 Beschreibung im Spektralbereich 4 WeblinksVerhalten im Zeitbereich BearbeitenAllgemeine systemtheoretische Beschreibung des RC Tiefpasses Bearbeiten Spannungen und Strome am RC Tiefpass Das RC Glied in Tiefpasskonfiguration ist ein integrierendes zeitkontinuierliches lineares zeitinvariantes Ubertragungsglied Die allgemeine systemtheoretische Beschreibung ergibt sich aus den Kirchhoffsche Regeln und den Strom Spannungs Beziehungen an Kondensator bzw Widerstand Die Maschengleichung ergibt u e t u r t u c t 0 displaystyle u text e t u text r t u text c t 0 Da es sich um einen unverzweigten Stromkreis handelt gilt i c t i r t displaystyle i text c t i text r t Fur den Spannungsabfall am Widerstand gilt u r t R i r t displaystyle u text r t Ri text r t und der Strom durch den Kondensator ist durch die Beziehung i c t C d u c t d t displaystyle i text c t C frac text d u text c t text d t festgelegt Setzen wir nun die Gleichung der Spannung uber den Widerstand in die Maschengleichung ein so erhalten wir u e t R i r t u c t 0 displaystyle u text e t Ri text r t u text c t 0 Einsetzen des Stroms ergibt letztendlich die Differentialgleichung R C d u c t d t u c t u e t displaystyle RC frac text d u text c t text d t u text c t u text e t welche das Ubertragungsglied vollstandig beschreibt Das RC Glied hat also ein proportionales Ubertragungsverhalten mit Verzogerung 1 Ordnung und entspricht einem PT1 Glied mit der Zeitkonstante T RC Um den integrierenden Charakter des Tiefpassfilters zu verdeutlichen nehmen wir noch einige Umformungen vor Die Gleichung wird auf beiden Seiten integriert R C d u c t d t d t u c t d t u e t d t displaystyle int RC frac text d u c t text d t text d t int u text c t text d t int u text e t text d t wobei sich Differential und Integraloperator in einem Term direkt aufheben und folgt R C u c t u c t d t u e t d t displaystyle RCu text c t int u text c t text d t int u text e t text d t Umstellen nach der Ausgangsspannung u c t displaystyle u text c t ergibt letztendlich Blockschaltbild des RC Tiefpasses u c t 1 R C u e t d t u c t d t 1 R C u e t u c t d t displaystyle u text c t frac 1 RC left int u text e t text d t int u text c t text d t right frac 1 RC int left u text e t u text c t right text d t Die Integralgleichung im Zeitbereich kann direkt der Laplace Transformation unterzogen werden wodurch sich u c s 1 R C 1 s u e s u c s displaystyle u text c s frac 1 RC frac 1 text s left u text e s u text c s right ergibt Durch Division des Ausgangssignals u c t displaystyle u text c t durch das Eingangssignal u e t displaystyle u text e t ergibt sich die Ubertragungsfunktion des RC Tiefpass G TP s u c s u e s 1 1 R C s displaystyle G text TP s frac u text c s u text e s frac 1 1 RCs Durch Setzen von s j w displaystyle s mathrm j omega mit der imaginaren Einheit j displaystyle mathrm j und der Kreisfrequenz w displaystyle omega ergibt sich die Fourier Transformation und damit die spektrale Reprasentation des Systems G TP j w u c j w u e j w 1 1 j w R C displaystyle G text TP mathrm j omega frac u text c mathrm j omega u text e mathrm j omega frac 1 1 mathrm j omega RC Die wohl wichtigste Klasse von Signalen zur Betrachtung des Filterverhaltens sind harmonische Signale deshalb ist es haufig von grossem Interesse welches Dampfungsverhalten das Filter auf ein Sinussignal hat Durch das Eingangssignal Transientensimulation bei sinusformigem Eingangssignal R 1 kW C 100 nF f 5 kHz u e t u sin w t f displaystyle u text e t hat u sin omega t varphi folgt in der zuvor hergeleiteten Differential bzw Integralgleichung dann R C d u c t d t u c t u e t u sin w t f displaystyle RC frac text d u text c t text d t u text c t u text e t hat u sin omega t varphi Um die Ausgangsspannung zu finden muss nach u c t displaystyle u text c t umgestellt werden dies ist analytisch moglich Es handelt sich um eine Lineare gewohnliche Differentialgleichung zu der es viele verschiedene Losungsmethoden gibt Betrachtet man die Anfangsbedingung u c 0 0 displaystyle u text c 0 0 also den Fall dass das System beim Einschwingen zunachst energielos ist dann ergibt sich die Losung zu u c sin t u sin w t f R C w cos w t f u e t R C sin f R C w cos f w R C 2 1 displaystyle u text c sin t frac hat u left sin left omega t varphi right RC omega cos left omega t varphi right right hat u text e frac t RC left sin varphi RC omega cos varphi right left omega RC right 2 1 Allgemeine systemtheoretische Beschreibung des RC Hochpasses Bearbeiten Spannungen und Strome am RC Hochpass Auch beim RC Hochpass handelt es sich um einen unverzweigten Stromkreis hierbei wird die Ausgangsspannung jedoch am Widerstand abgegriffen Systemtheoretisch handelt es sich um ein differenzierendes Ubertragungsglied Die Maschengleichung ergibt u e t u r t u c t 0 displaystyle u text e t u text r t u text c t 0 Fur die Spannung uber dem Kondensator gilt die Integralbeziehung u c t 1 C i c t d t displaystyle u text c t frac 1 C int i text c t text d t Aufgrund der Unverzweigtheit des Stromkreises gilt i c t i r t displaystyle i text c t i text r t daraus folgt nach Einsetzen u e t 1 C i r t d t u r t 0 displaystyle u text e t frac 1 C int i text r t text d t u text r t 0 Der Strom im Integral lasst sich schreiben als i r t u r t R displaystyle i text r t frac u text r t R eingesetzt in die Gleichung folgt u e t 1 C u r t R d t u r t 0 displaystyle u text e t frac 1 C int frac u text r t R text d t u text r t 0 dabei handelt es sich um eine Integralgleichung welche das System nun vollstandig beschreibt Um den differenzierenden Charakter des Hochpassfilters zu verdeutlichen nehmen wir noch einige Umformungen vor Die Gleichung wird auf beiden Seiten differenziert d d t u e t 1 C d d t u r t R d t d d t u r t 0 displaystyle frac text d text d t u text e t frac 1 C frac text d text d t int frac u text r t R text d t frac text d text d t u text r t 0 wobei sich der Differential und der Integraloperator wieder gegenseitig aufhebt d d t u e t 1 R C u r t d d t u r t 0 displaystyle frac text d text d t u text e t frac 1 RC u text r t frac text d text d t u text r t 0 Umstellen zur Ausgangsgrosse ergibt dann Blockdiagramm des RC Hochpasses u r t R C d d t u e t u r t displaystyle u text r t RC frac text d text d t left u text e t u text r t right wodurch das differenzierende Verhalten offensichtlich wird Die Gleichung kann der Laplace Transformation unterzogen werden wodurch u r s R C s u e s u r s displaystyle u text r s RCs left u text e s u text r s right folgt Durch Division des Ausgangssignals u r t displaystyle u text r t durch das Eingangssignal u e t displaystyle u text e t ergibt sich die Ubertragungsfunktion des RC Hochpass G HP s u r s u e s R C s 1 R C s displaystyle G text HP s frac u text r s u text e s frac RCs 1 RCs Durch Setzen von s j w displaystyle s mathrm j omega ergibt sich die Fourier Transformation und damit die spektrale Reprasentation des Systems G HP j w u r j w u e j w j w R C 1 j w R C displaystyle G text HP mathrm j omega frac u text r mathrm j omega u text e mathrm j omega frac mathrm j omega RC 1 mathrm j omega RC Auch hier betrachten wir wieder die Losung der Differentialgleichung fur ein harmonisches Eingangssignal dazu kann die Laplace Transformation genutzt werden Das Eingangssignal sei Transientensimulation bei sinusformigen Eingangssignal R 1 kW C 100 nF f 2 kHz u e sin t u sin w t f displaystyle u text e sin t hat u sin omega t varphi dessen Laplace Transformierte lautet L u sin w t f u w cos f s sin f s 2 w 2 displaystyle mathcal L left hat u sin omega t varphi right hat u frac omega cos varphi s sin varphi s 2 omega 2 Einsetzen in die Ubertragungsfunktion liefert u r sin s R C s 1 R C s u w cos f s sin f s 2 w 2 displaystyle u text r sin s frac RCs 1 RCs hat u frac omega cos varphi s sin varphi s 2 omega 2 Durch eine Umfangreiche Rucktransformation ergibt sich dann die Losung der Differentialgleichung und damit das Transientenverhalten bei sinusformigen Eingangssignal u r sin t u e t R C sin f w R C cos f u w R C cos w t f w R C sin w t f w R C 2 1 displaystyle u text r sin t frac hat u text e frac t RC left sin varphi omega RC cos varphi right hat u omega RC left cos omega t varphi omega RC sin omega t varphi right left omega RC right 2 1 Ladevorgang Bearbeiten Exemplarisch ist hier die Systemantwort auf eine Sprungfunktion dargestellt Die Spannung betragt null Volt bis zum Zeitpunkt null und steigt dann unmittelbar auf U m a x displaystyle U rm max In den Kondensator fliesst so lange Strom bis die Platten elektrisch aufgeladen sind und keine weitere Ladung annehmen Das tritt auf wenn die Kondensatorspannung U t genauso gross wie die angelegte Spannung Umax ist Die eine Platte ist dann elektrisch positiv die andere negativ geladen Auf der negativ geladenen Seite herrscht ein Elektronenuberschuss Die Ladezeit des Kondensators ist proportional zur Grosse des Widerstands R und zur Kapazitat C des Kondensators Das Produkt von Widerstand und Kapazitat nennt man die Zeitkonstante t displaystyle tau t R C displaystyle tau R cdot C Theoretisch dauert es unendlich lange bis U t Umax ist Fur praktische Zwecke kann man als Ladezeit tL verwenden nach der der Kondensator naherungsweise als vollstandig mehr als 99 geladen angesehen werden kann t L 5 t displaystyle t L 5 cdot tau Verlauf von Spannung U und Strom I beim Ladevorgang Umax ist die Spannung der Spannungsquelle als maximal mogliche Spannung Die Zeitkonstante t markiert zugleich den Zeitpunkt an dem die am Beginn der Kurve angelegte Tangente den Endwert der Spannung erreicht Nach dieser Zeit ware der Kondensator auf den Endwert geladen wenn man ihn mit dem konstanten Strom I m a x displaystyle I rm max laden konnte Tatsachlich nimmt die Stromstarke bei konstanter angelegter Spannung jedoch mit der Zeit exponentiell ab Der maximale Strom I m a x displaystyle I rm max fliesst zum Zeitpunkt t 0 Dieser ergibt sich durch den Widerstand R nach dem ohmschen Gesetz wobei Umax die angelegte Spannung der Spannungsquelle ist I m a x U m a x R displaystyle I rm max frac U rm max R Der Verlauf der Ladespannung U t bzw deren jeweilige zeitliche Grosse wird mit der folgenden Gleichung beschrieben wobei e die eulersche Zahl t die Zeit nach Beginn der Ladung und t displaystyle tau die Zeitkonstante sind U t U m a x 1 e t t displaystyle U t U rm max cdot 1 e frac t tau Dabei wird vorausgesetzt dass der Kondensator zu Beginn ungeladen war U t 0 0 displaystyle U t 0 0 Die Spannung ist also im ersten Moment null und steigt dann in Form einer Exponentialfunktion an Nach der Zeit t t displaystyle t tau hat die Spannung etwa 63 der angelegten Spannung Umax erreicht Nach der Zeit t 5 t displaystyle t 5 tau ist der Kondensator auf mehr als 99 aufgeladen Der Verlauf der Stromstarke I t bzw deren jeweilige zeitliche Grosse wird mit der folgenden Gleichung beschrieben I t I m a x e t t displaystyle I t I rm max cdot e frac t tau Hier betragt der Strom im ersten Moment I t 0 I m a x displaystyle I t 0 I rm max und nimmt dann in Form einer Exponentialfunktion wie beim Entladevorgang ab Nach der Zeit t t displaystyle t tau betragt der Strom nur noch etwa 37 seines Anfangswertes und nach der Zeit t 5 t displaystyle t 5 tau ist er auf weniger als 1 abgefallen Differentialgleichung des Ladevorgangs Bearbeiten Fur den Ladevorgang des Kondensators fur eine ideale Spannungsquelle mit der Spannung E displaystyle E gilt Q t E C 1 e t R C displaystyle Q t EC cdot left 1 e frac t RC right Diese leitet sich wie folgt her Fur die Stromstarke gilt I t d Q t d t Q t displaystyle I t frac mathrm d Q t mathrm d t dot Q t Fur die Spannung am ohmschen Widerstand gilt U R R I t R Q t displaystyle U R R cdot I t R cdot dot Q t Fur die Spannung am Kondensator gilt U C Q t C displaystyle U C frac Q t C Fur eine einfache Schaltung aus Kondensator und Ohmschem Widerstand gilt gemass Maschensatz U C U R E Q t C R Q t E 1 R C Q t Q t E R displaystyle begin array crcl amp U C U R amp amp E Leftrightarrow amp frac Q t C R cdot dot Q t amp amp E Leftrightarrow amp frac 1 RC cdot Q t dot Q t amp amp frac E R end array Diese Differentialgleichung lost man indem man erst die homogene Gleichung lost indem man vorerst E R 0 displaystyle E R 0 setzt t 0 t Q t Q t d t t 0 t 1 R C d t displaystyle int t 0 t frac dot Q t Q t mathrm d t int t 0 t frac 1 RC mathrm d t Da 1 R C displaystyle tfrac 1 RC konstant ist gilt t 0 t Q t Q t d t 1 R C t 0 t 1 d t displaystyle int t 0 t frac dot Q t Q t mathrm d t frac 1 RC int t 0 t 1 mathrm d t Nach der Substitutionsregel gilt ln Q t ln Q t 0 t t 0 R C displaystyle ln left Q t right ln left Q t 0 right frac t t 0 RC Q v displaystyle Q v ist die vorweggenommene Bezeichnung fur die in den nachsten Schritten verwendete Methode Variation der Konstanten Q t displaystyle Q t ist die elektrische Ladung des Kondensators zum Zeitpunkt t displaystyle t sie kann nicht negativ werden t 0 displaystyle t 0 ist der Zeitpunkt zu Beginn der Aufladung und hat den Wert 0 s es folgt ln Q t Q v t R C displaystyle ln left frac Q t Q v right frac t RC Durch Potenzieren zur Basis e erhalt man Q t Q v e t R C Q t Q v e t R C displaystyle frac Q t Q v e frac t RC Leftrightarrow Q t Q v cdot e frac t RC Um jetzt die inhomogene Differentialgleichung losen zu konnen wenden wir die Methode Variation der Konstanten an indem wir Q v t displaystyle Q v t als zeitlich abhangig betrachten und so wie sie ist und differenziert in die Ausgangsgleichung einsetzen Q t Q v t e t R C Q v t R C e t R C displaystyle dot Q t dot Q v t cdot e frac t RC frac Q v t RC cdot e frac t RC einsetzen in E R 1 R C Q t Q t Q v t R C e t R C Q v t e t R C Q v t R C e t R C Q v t e t R C displaystyle begin array rcl frac E R amp amp frac 1 RC cdot Q t dot Q t amp amp frac Q v t RC cdot e frac t RC dot Q v t cdot e frac t RC frac Q v t RC cdot e frac t RC amp amp dot Q v t cdot e frac t RC end array Das wird nach Q v t displaystyle dot Q v t umgestellt und integriert t 0 t Q v t d t t 0 t E R e t R C d t Q v t Q v t 0 E R R C e t R C e t 0 R C displaystyle begin array rcl int t 0 t dot Q v t mathrm d t amp amp int t 0 t frac E R cdot e frac t RC mathrm d t Q v t Q v t 0 amp amp frac E R cdot RC left e frac t RC e frac t 0 RC right end array Wie oben schon erwahnt fangt das Aufladen beim Zeitpunkt t 0 0 displaystyle t 0 0 an Zu diesem Zeitpunkt ist die Ladung auf dem Kondensator Q v t 0 0 displaystyle Q v t 0 0 Q v t 0 E C e t R C e 0 R C Q v t E C e t R C 1 displaystyle begin array rcl Q v t 0 amp amp EC left e frac t RC e frac 0 RC right Q v t amp amp EC cdot left e frac t RC 1 right end array Das muss in die Losung der DGL eingesetzt werden Q t Q v e t R C E C e t R C 1 e t R C E C 1 e t R C displaystyle begin array rcl Q t amp amp Q v cdot e frac t RC amp amp EC cdot left e frac t RC 1 right cdot e frac t RC amp amp EC cdot left 1 e frac t RC right end array Das ist die Gleichung wie sie oben steht Wenn man E C Q E displaystyle EC Q E als Wert eines theoretisch vollstandig geladenen Kondensators wahlt wird aus der Gleichung Q t Q E 1 e t R C displaystyle Q t Q E cdot left 1 e frac t RC right Analog dazu gilt fur die Spannung U displaystyle U U t Q t C E 1 e t R C displaystyle U t frac Q t C E cdot left 1 e frac t RC right und fur die Stromstarke I t displaystyle I t I t Q t E C R C e t R C I 0 e t R C displaystyle I t dot Q t left frac EC RC right cdot e frac t RC I 0 cdot e frac t RC Entladevorgang Bearbeiten Verlauf von Spannung U und Strom I beim Entladevorgang Umax ist die Anfangsspannung Das Bild zeigt den Entladevorgang wenn der Kondensator zu Beginn auf den Wert Umax geladen ist und uber den Widerstand R entladen wird Hier sind sowohl die Spannung als auch die Stromstarke zu Beginn am grossten Fur t 0 gilt I m a x U m a x R displaystyle I rm max frac U rm max R und betragt zu einem beliebigen Zeitpunkt danach I t U t R displaystyle I t frac U t R Die Spannung nimmt im Verlauf der Entladung mit der Zeit ab gemass U t U m a x e t t displaystyle U t U rm max cdot e frac t tau Der Strom der mit der Spannung U t uber den Entladewiderstand R verknupft ist zeigt den entsprechenden Verlauf I t I m a x e t t displaystyle I t I rm max cdot e frac t tau Der Entladestrom ist bei der vorgegebenen Zahlpfeilrichtung negativ Differentialgleichung der Entladung Bearbeiten Fur den Entladevorgang des Kondensators gilt Q t Q 0 e t R C displaystyle Q t Q 0 cdot e frac t RC Diese leitet sich wie beim Aufladevorgang her Die geloste Differentialgleichung lasst sich von dort entnehmen Die Anfangsbedingungen sind lediglich andere und die Methode der Variation der Konstanten ist nicht erforderlich ln Q t ln Q t 0 t t 0 R C displaystyle ln left Q t right ln left Q t 0 right frac t t 0 RC Q t displaystyle Q t ist die elektrische Ladung des Kondensators zum Zeitpunkt t displaystyle t sie kann nicht negativ werden t 0 displaystyle t 0 ist der Zeitpunkt zu Beginn der Entladung und hat den Wert 0 s Hier gibt es keine Entladung aber eine Anfangsladung Q 0 displaystyle Q 0 es folgt ln Q t Q 0 t R C displaystyle ln left frac Q t Q 0 right frac t RC Durch Potenzieren zur Basis e erhalt man Q t Q 0 e t R C Q t Q 0 e t R C displaystyle frac Q t Q 0 e frac t RC Leftrightarrow Q t Q 0 cdot e frac t RC Analog dazu gilt fur die Spannung U displaystyle U U t Q t C U 0 e t R C displaystyle U t frac Q t C U 0 cdot e frac t RC und fur die Stromstarke I displaystyle I I t Q t I 0 e t R C displaystyle I t dot Q t I 0 cdot e frac t RC Impulsantwort Bearbeiten Verlauf von Ladestrom blau und Kondensatorspannung rosa an einem RC Glied an einem Spannungsimpuls Die Impulsantwort beschreibt den Ausgangsspannungsverlauf auf eine diracimpulsformige Eingangsspannung Der Ausgangsspannungsverlauf wird durch deren Zeitableitung beschrieben U t d U d t U q t e t t displaystyle dot U t frac dU dt frac U q tau e frac t tau Dabei ist U q displaystyle U q die momentane Spannung am Widerstand die eine Umladung des Kondensators bewirkt Der Spannungsimpuls wird durch das RC Glied integriert und hinterlasst eine Kondensatorladung die sich anschliessend in Form einer e Funktion entladt Die Spannungsanstiegsgeschwindigkeit d U d t displaystyle frac dU dt Volt pro Sekunde ist eine wichtige Grosse in der Elektronik und Leistungselektronik Periodische Signale Bearbeiten Zeitlicher Verlauf der Spannung blau uber einem Kondensator der periodisch uber einen Widerstand aus einer idealen Rechteck Spannungsquelle rot geladen und wieder entladen wird Die Filterwirkung wird insbesondere bei Rechtecksignalen deutlich die Filterantwort setzt sich aus Segmenten des Lade und Entladeverhaltens zusammen Die Flankensteilheit wird geringer dementsprechend fehlen im Frequenzspektrum hohe Frequenzen RC Glieder werden dementsprechend zur Entstorung und als Tiefpass eingesetzt Die Flankensteilheit der Spannung am Kondensator bei einer Amplitude U0 der Rechteck Spannungsquelle sinkt vom unendlichen Wert der speisenden Rechteckspannung auf maximal d U d t U 0 R C U 0 t displaystyle frac dU dt frac U 0 RC frac U 0 tau ab Der maximale Ladestrom Spitzenstrom Pulsstrom Ip betragt I p U 0 R displaystyle I p frac U 0 R Diesen Strom mussen zum Beispiel mit einem RC Entstorglied beschaltete Schaltkontakte oder Halbleiterschalter aushalten konnen Verhalten im Frequenzbereich BearbeitenTiefpass Bearbeiten Amplitudengang eines RC Tiefpassfilters Die Ordinate zeigt das Amplitudenverhaltnis H displaystyle H in Dezibel die Abszisse die normierte Kreisfrequenz W in logarithmischer Darstellung Phasenverschiebung als Funktion der normierten Frequenz W am RC Glied Phasenverschiebung von 90 zwischen Strom und Spannung am Kondensator Z R Xc V Vr Vc Widerstand und Kondensator bilden einen frequenzabhangigen Spannungsteiler der auch eine Phasenverschiebung von maximal p 2 displaystyle frac pi 2 90 bewirkt Die Impedanzen Z sind R bzw 1 j w C displaystyle 1 mathrm j omega C Fur das RC Glied gilt fur eine harmonisch oszillierende Spannung der Frequenz f w 2 p displaystyle f frac omega 2 pi U a U e Z C Z R Z C displaystyle U a U e cdot frac Z C Z R Z C und somit fur das Ubertragungsverhalten das als Quotient von Ausgangs zur Eingangsspannung definiert ist H U a U e Z C Z R Z C 1 j w C R 1 j w C 1 1 j w R C 1 1 j W displaystyle H frac U a U e frac Z C Z R Z C frac frac 1 mathrm j omega C R frac 1 mathrm j omega C frac 1 1 mathrm j omega RC frac 1 1 mathrm j mathit Omega wobei die normierte Frequenz W w w0 sich aus der Division von Kreisfrequenz w 2pf und Grenz Kreisfrequenz Ubergangsfrequenz Eckfrequenz oder englisch cutoff frequency wc 1 t 1 RC ergibt Daraus ergibt sich die Grenzfrequenz fc bei der Blindwiderstand und Widerstand den gleichen Wert annehmen die Phasenverschiebung also p 4 displaystyle frac pi 4 45 und die Dampfung etwa 3 dB betragt f c 1 2 p R C displaystyle f c frac 1 2 pi cdot R cdot C Fur tiefe Frequenzen W lt lt 1 ist H ungefahr 1 Ein und Ausgangsspannung etwa gleich weshalb man den Bereich auch engl als Passband bezeichnet Fur Frequenzen W gt gt 1 fallt H mit 20 dB pro Dekade 6 dB pro Oktave ab Der weggefilterte Bereich wird englisch mit Stopband bezeichnet Bei sehr tiefen Frequenzen die deutlich kleiner als die Grenzfrequenz sind fallt der Ladestrom des Kondensators nicht ins Gewicht und Eingangs und Ausgangsspannung unterscheiden sich nur unmerklich Die Phasenverschiebung betragt annahernd 0 Steigt die Frequenz dauert es im Vergleich zur Schwingungsdauer immer langer bis der Kondensator auf die Eingangsspannung aufgeladen ist Deshalb steigt die Phasenverschiebung Bei sehr hoher Frequenz strebt diese dem Grenzwert von 90 zu allerdings wird dann die Spannung am Kondensator auch unmessbar klein Hochpass Bearbeiten Die Verschaltung als Hochpass unterscheidet sich von der des Tiefpasses durch Vertauschung von R und C Demgemass gilt U a U e Z R Z C Z R displaystyle U a U e cdot frac Z R Z C Z R und H U a U e Z R Z C Z R R 1 j w C R j w R C 1 j w R C j W 1 j W displaystyle H frac U a U e frac Z R Z C Z R frac R frac 1 mathrm j omega C R frac mathrm j omega RC 1 mathrm j omega RC frac mathrm j mathit Omega 1 mathrm j mathit Omega Der Amplitudengang ist gegenuber dem Tiefpass entlang W 1 gespiegelt hohe Frequenzen konnen nahezu ungedampft passieren Beschreibung im Spektralbereich BearbeitenMit einer analogen Herleitung erhalt man fur den Tiefpass H s 1 1 s R C displaystyle H s frac 1 1 sRC eine Polstelle bei s 1 R C displaystyle s 1 RC Bei dem Hochpass H s s R C 1 s R C displaystyle H s frac sRC 1 sRC ergibt sich ebenfalls eine Polstelle bei s 1 R C displaystyle s 1 RC zusatzlich eine Nullstelle im Ursprung Das RC Glied stellt damit einen Butterworth Filter 1 Ordnung dar Weblinks BearbeitenInteraktive Darstellung des zeitlichen Verlaufs von Lade und Entladevorgang In GeoGebra Abgerufen am 5 Januar 2021 RC Glied Berechnung Ubergangsfrequenz und Zeitkonstante Animation zum Auf und Entladen des KondensatorsAbgerufen von https de wikipedia org w index php title RC Glied amp oldid 214079135, wikipedia, wiki, deutsches

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