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Quantenfeldtheorie

Die Quantenfeldtheorie (QFT) ist ein Gebiet der theoretischen Physik, in dem Prinzipien klassischer Feldtheorien (zum Beispiel der klassischen Elektrodynamik) und der Quantenmechanik zur Bildung einer erweiterten Theorie kombiniert werden. Sie geht über die Quantenmechanik hinaus, indem sie Teilchen und Felder einheitlich beschreibt. Dabei werden nicht nur sogenannte Observablen (also beobachtbare Größen wie Energie oder Impuls) quantisiert, sondern auch die wechselwirkenden (Teilchen-)Felder selbst; Felder und Observable werden analog behandelt. Die Quantisierung der Felder bezeichnet man auch als Zweite Quantisierung. Diese berücksichtigt explizit die Entstehung und Vernichtung von Elementarteilchen (Paarerzeugung, Annihilation).

Die Methoden der Quantenfeldtheorie kommen vor allem in der Elementarteilchenphysik und in der statistischen Mechanik zur Anwendung. Man unterscheidet dabei zwischen relativistischen Quantenfeldtheorien, die die spezielle Relativitätstheorie berücksichtigen und häufig in der Elementarteilchenphysik Anwendung finden, und nicht-relativistischen Quantenfeldtheorien, die beispielsweise in der Festkörperphysik relevant sind.

Die Objekte und Methoden der QFT sind physikalisch motiviert, auch wenn viele Teilbereiche der Mathematik zum Einsatz kommen. Die Axiomatische Quantenfeldtheorie versucht dabei, Grundlagen und Konzepte in einen mathematisch rigorosen Rahmen zu fassen.

Inhaltsverzeichnis

Die klassische Quantenmechanik befasste sich zunächst mit Atomen, Molekülen oder Festkörpern, d. h. mit Systemen mit einer vorgegebenen Zahl von Teilchen. Dabei wurden die Schrödingergleichung und ein von Wellenfunktionen aufgespannter Hilbertraum verwendet.

Zu einer Quantenfeldtheorie gelangt man beim konsequenten Übergang von einer Wellenfunktions- zu einer Teilchenzahl-Darstellung, der zweiten Quantisierung. Genauer bedeutet dies, dass sich ein solcher Vielteilchen-Hilbertraum nach Wahl eines Satzes von Ein-Teilchen-Funktionen durch alle möglichen (erlaubten) Produkte von Ein-Teilchen-Funktionen (z. B. Slater-Determinanten) aufspannen lässt. Ein vollständiger Satz solcher Basisvektoren ist dann allein durch die Besetzungszahlen der Einteilchen-Zustände charakterisierbar.

Eine Streuung von einem Teilchen an einem Potential erscheint in einer solchen Teilchenzahl-Darstellung als eine Änderung von Besetzungszahlen: der dem Impuls des einlaufenden Teilchens entsprechende Zustand enthält nach der Streuung ein Teilchen weniger, der dem Impuls des auslaufenden Teilchens entsprechende Zustand enthält nach der Streuung ein Teilchen mehr. Dies interpretiert man natürlicherweise als Vernichtung und Erzeugung von Teilchen gewisser Einteilchenzustände. Die grundlegenden Operatoren sind dann Teilchen-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, der Hilbertraum wird zu einem Fockraum. Der resultierende Formalismus ist eine Quantenfeldtheorie.

Quantenfeldtheorien sind i. d. R. das adäquate Mittel zur Beschreibung quantenmechanischer Vielteilchensysteme. Die richtige Vertauschungssymmetrie der Wellenfunktion ist dann implizit, und für das Pauli-Prinzip und das allgemeinere Spin-Statistik-Theorem ergeben sich einfache Begründungen oder Herleitungen.

Ein essentieller Aspekt der Quantenfeldtheorien ist, dass sich Teilchenzahlen ändern können. Die grundlegenden Operatoren sind dann nicht mehr die Teilchenkoordinaten und -Impulse, sondern Quantenfelder wie ϕ ( x ) {\displaystyle \phi \left(x\right)} oder ϕ ( x ) {\displaystyle \phi ^{\dagger }\left(x\right)} , welche ein Teilchen (oder Antiteilchen) am Ort x {\displaystyle x} vernichten oder erzeugen.

Sobald die Relativitätstheorie ins Spiel kommt, können entsprechend der Äquivalenz von Energie und Masse Teilchen entstehen oder verschwinden, und in der Elementarteilchenphysik ist der Quantenfeldtheorie-Formalismus daher das Mittel der Wahl. Klein-Gordon-Gleichung und Dirac-Gleichung erhalten eine neue Interpretation, und die im klassischen Formalismus mit Antiteilchen auftretenden Komplikationen verschwinden.

Die Quantenfeldtheorien sind ursprünglich als relativistische Streutheorien entwickelt worden. In gebundenen Systemen sind die Teilchenenergien im Allgemeinen deutlich kleiner als die Massenenergien mc2. Daher ist es in solchen Fällen meist ausreichend genau, in der nichtrelativistischen Quantenmechanik mit der Störungstheorie zu arbeiten. Bei Kollisionen zwischen kleinen Teilchen können jedoch sehr viel höhere Energien auftreten, so dass relativistische Effekte berücksichtigt werden müssen.

Im folgenden Abschnitt wird erklärt, welche Schritte zur Entwicklung einer relativistischen Streutheorie nötig sind. Zunächst wird dazu die Lagrangedichte aufgestellt, dann werden die Felder quantisiert. Zuletzt wird mit den quantisierten Feldern eine Streutheorie beschrieben und ein dabei auftretendes Problem durch die Renormierung gelöst.

Lagrangedichte

Der erste Schritt zu einer Quantenfeldtheorie besteht darin, Lagrangedichten für die Quantenfelder zu finden. Diese Lagrangedichten müssen als Euler-Lagrange-Gleichung die im Allgemeinen bekannte Differentialgleichung für das Feld liefern. Das sind für ein Skalarfeld die Klein-Gordon-Gleichung, für ein Spinorfeld die Dirac-Gleichung und für das Photon die Maxwellgleichungen.

Im Folgenden wird immer die 4er-(Raumzeit)-Vektoren-Schreibweise verwendet. Dabei werden die üblichen Kurzschreibweisen benutzt, nämlich die Kurzschreibweise μ = x μ {\displaystyle \textstyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}} für Differentiale und die Einsteinsche Summenkonvention, die besagt, dass über einen oben und einen unten stehenden Index (von 0 bis 3) summiert wird. Im verwendeten Einheitensystem gilt: c = = ε 0 = 1 {\displaystyle c=\hbar =\varepsilon _{0}=1} .

Freie Lagrangedichten verschiedener Felder
Feld Feldgleichung Lagrangedichte
Skalar ϕ {\displaystyle \phi \ } (Spin = 0) 0 = ( + m 2 ) ϕ {\displaystyle 0=(\square +m^{2})\phi } L = ( μ ϕ ) ( μ ϕ ) m 2 ϕ ϕ {\displaystyle {\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi ^{\dagger })(\partial ^{\,\mu }\phi )-m^{2}\phi ^{\dagger }\phi }
Spinor ψ {\displaystyle \psi \ } (Spin = 1/2) 0 = ( i γ μ μ m ) ψ {\displaystyle 0=(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi } L = i 2 ( ψ ¯ γ μ ( μ ψ ) ( μ ψ ¯ ) γ μ ψ ) m ψ ¯ ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {i}{2}}\left({\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }\psi )-(\partial _{\mu }{\overline {\psi }})\gamma ^{\mu }\psi \right)-m{\overline {\psi }}\psi }
Photon A μ {\displaystyle A^{\mu }\ } (Spin 1) 0 = μ F μ ν = A ν ν ( μ A μ ) {\displaystyle 0=\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\square A^{\nu }-\partial ^{\nu }(\partial _{\mu }A^{\mu })} L = 1 4 F μ ν F μ ν = 1 4 ( μ A ν ν A μ ) ( μ A ν ν A μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-{\tfrac {1}{4}}(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })}

Dabei bezeichnet γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }} die Dirac-Matrizen. ψ ¯ = ψ γ 0 {\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} ist der sogenannte adjungierte Spinor. F μ ν = μ A ν ν A μ {\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} sind die Komponenten des Feldstärketensors. Dabei wurden hier die Maxwellgleichungen in kovarianter Formulierung ohne die Quellenterme (Ladungs- und Stromdichte) benutzt.

Die oben aufgeführten Lagrangedichten beschreiben freie Felder, die nicht wechselwirken. Sie ergeben die Bewegungsgleichungen für freie Felder. Für Wechselwirkungen der Felder untereinander müssen den Lagrangedichten zusätzliche Terme hinzugefügt werden. Dabei ist auf folgende Punkte zu achten:

  1. Die hinzugefügten Terme müssen alle skalar sein. Das bedeutet, dass sie invariant unter Poincaré-Transformationen sind.
  2. Die hinzugefügten Terme müssen die Dimension (Länge)−4 haben, da die Lagrangedichte in der skalaren Wirkung über die Raumzeit integriert wird. Dies lässt sich gegebenenfalls durch einen konstanten Faktor mit passender Dimension erreichen. Solche Faktoren nennt man Kopplungskonstanten.
  3. Die Lagrangedichte muss eichinvariant sein. Das heißt, die Form der Lagrangedichte unter Eichtransformationen darf sich nicht ändern.

Erlaubte Terme sind zum Beispiel k ( ψ ¯ ψ ) n ( ϕ ϕ ) m , {\displaystyle k({\overline {\psi }}\psi )^{n}(\phi ^{\dagger }\phi )^{m}\,,} wobei m und n natürliche Zahlen sind (einschließlich Null) und k die Kopplungskonstante ist. Wechselwirkungen mit dem Photon werden meist durch die kovariante Ableitung ( μ μ + i e A μ {\displaystyle \partial _{\mu }\rightarrow \partial _{\mu }+ieA_{\mu }} ) in der Lagrangedichte für das freie Feld realisiert. Dabei ist die elektrische Ladung e des Elektrons hier zugleich die Kopplungskonstante des elektromagnetischen Feldes.

Feldquantisierung

Bisher wurde noch keine Aussage über die Eigenschaften der Felder gemacht. Bei starken Feldern mit einer großen Zahl von Bosonen-Anregungen können diese halbklassisch behandelt werden, im Allgemeinen muss man aber zunächst einen Mechanismus entwickeln, um die Auswirkungen der Quantennatur der Felder zu beschreiben. Die Entwicklung eines solchen Mechanismus bezeichnet man als Feldquantisierung und sie ist der erste Schritt, um das Verhalten der Felder berechenbar zu machen. Es gibt dabei zwei verschiedene Formalismen, die unterschiedliches Vorgehen beinhalten.

  • Der ältere kanonische Formalismus lehnt sich an den Formalismus der Quantenmechanik an. Er deutet die dort auftretenden Ein-Teilchen-Wellengleichungen als die Beschreibungen von Amplituden einer klassischen Feldtheorie, welche ihrerseits einer Quantisierung gemäß der kanonischen Vertauschungsregeln der Quantenmechanik bedürfen. Der Formalismus eignet sich damit, um fundamentale Eigenschaften der Felder, wie das Spin-Statistik-Theorem zu zeigen. Sein Nachteil ist jedoch, dass viele Aspekte in diesem Formalismus recht willkürlich wirken. Außerdem sind die Berechnung von Wechselwirkungsamplituden und die Feldquantisierung bei nicht-abelschen Eichtheorien recht kompliziert.
  • Der neuere Pfadintegral-Formalismus baut auf dem Prinzip der kleinsten Wirkung auf, das heißt, es wird über alle Feldkonfigurationen integriert, sich nicht aufhebende Beiträge kommen aber bei schwacher Kopplung nur von Pfaden in der Nähe der Minima der Wirkung. Der Vorteil dieses Formalismus ist, dass sich die Berechnung von Wechselwirkungsamplituden als vergleichsweise einfach darstellt und die Symmetrien der Felder klar zum Ausdruck kommen. Der aus mathematischer Sicht schwerwiegende Mangel dieses Formalismus ist, dass die Konvergenz des Pfadintegrals und damit das Funktionieren der Methoden des Formalismus nicht mathematisch streng bewiesen ist. Er wird daher besonders in der mathematischen Physik teilweise als heuristisch und „unpräzise“ bzw. „nichtkonstruktiv“ abgelehnt, obwohl er zugleich als Ausgangspunkt der Gittereichtheorien dient, die eines der Hauptwerkzeuge der numerischen Behandlung von Quantenfeldtheorien sind.

Im Folgenden werden die Grundlagen der Feldquantisierung für freie Felder in beiden Formalismen erklärt.

Kanonischer Formalismus

Für die Feldquantisierung im kanonischen Formalismus benutzt man den Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik. Man ordnet dabei jedem Feld ( ϕ {\displaystyle \phi } bzw. ψ {\displaystyle \psi } ) ein kanonisch konjugiertes Feld π {\displaystyle \pi } analog dem kanonischen Impuls zu. Das Feld und sein kanonisch konjugiertes Feld sind dann im Sinne der Quantenmechanik konjugierte Operatoren, sogenannte Feldoperatoren, und erfüllen eine Unschärferelation, wie Ort und Impuls in der Quantenmechanik. Die Unschärferelation kann entweder durch eine Kommutatorrelation (für Bosonen nach dem Spin-Statistik-Theorem) oder eine Antikommutatorrelation (für Fermionen) analog zum Kommutator von Ort und Impuls realisiert werden. Den Hamilton-Operator, der die Energie des Systems charakterisiert, erhält man, indem man die Hamilton-Funktion bildet und darin die Felder durch die Feldoperatoren ersetzt. Er ist in der Regel positiv definit oder darf zumindest keine unbeschränkt negativen Eigenwerte haben, da ein solches System unter beliebig großer Energieabgabe an die Umgebung in immer tiefere Energieeigenzustände fallen würde.

Skalare Felder

Für skalare Felder erhält man π = 0 ϕ {\displaystyle \pi =\partial _{0}\phi ^{\dagger }} als kanonisch konjugiertes Feld zu ϕ {\displaystyle \,\phi } und π = 0 ϕ {\displaystyle \pi ^{\dagger }=\partial _{0}\phi } als kanonisch konjugiertes Feld zu ϕ {\displaystyle \phi ^{\dagger }\ } . Die geforderte Kommutatorrelation lautet

[ ϕ ( x , t ) , π ( y , t ) ] = [ ϕ ( x , t ) , π ( y , t ) ] = i δ ( 3 ) ( x y ) . {\displaystyle [\phi ({\vec {x}},t),\pi ({\vec {y}},t)]=[\phi ^{\dagger }({\vec {x}},t),\pi ^{\dagger }({\vec {y}},t)]=i\delta ^{(3)}({\vec {x}}-{\vec {y}}).}

Es ist in Quantenfeldtheorien üblich, im Impulsraum zu rechnen. Dazu betrachtet man die Fourier-Darstellung des Feldoperators, die für das Skalarfeld lautet

ϕ ( x ) = d 4 k ( 2 π ) 4 2 π δ ( k 2 m 2 ) θ ( k 0 ) [ a ( k ) e i k x + b ( k ) e i k x ] . {\displaystyle \phi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}k}{(2\pi )^{4}}}2\pi \delta (k^{2}-m^{2})\theta (k_{0})\left[a(k)e^{-ikx}+b^{\dagger }(k)e^{ikx}\right].}

Dabei sind k {\displaystyle \,k} der Impuls und θ ( k 0 ) {\displaystyle \,\theta (k_{0})} die Stufenfunktion, die bei negativem Argument 0 und sonst 1 ist. Da ϕ ( x ) {\displaystyle \,\phi (x)} und ϕ ( x ) {\displaystyle \,\phi ^{\dagger }(x)} Operatoren sind, trifft dies auch auf a ( k ) {\displaystyle \,a(k)} , a ( k ) {\displaystyle a^{\dagger }(k)} , b ( k ) {\displaystyle \,b(k)} und b ( k ) {\displaystyle b^{\dagger }(k)} zu. Ihre Kommutatoren folgen aus dem Kommutator der Feldoperatoren. Der Operator a ( k ) {\displaystyle a^{\dagger }(k)} kann als Operator interpretiert werden, der ein Teilchen mit Impuls k {\displaystyle \,k} erzeugt, während b ( k ) {\displaystyle b^{\dagger }(k)} ein Antiteilchen mit Impuls k {\displaystyle \,k} erzeugt. Entsprechend können a ( k ) {\displaystyle \,a(k)} und b ( k ) {\displaystyle \,b(k)} als Operatoren interpretiert werden, die ein Teilchen oder Antiteilchen mit Impuls k {\displaystyle \,k} vernichten. Die Verwendung der Kommutatorrelationen führt wie gewünscht zu einem positiv definiten Hamilton-Operator. Es können beliebig viele Skalarfelder im selben Zustand sein (Bose-Einstein-Statistik).

Spinorfelder

Wenn man für ein Spinorfeld analog vorgeht, erhält man π = i ψ {\displaystyle \pi =i\psi ^{\dagger }\ } als kanonisch konjugiertes Feld zu ψ {\displaystyle \psi \ } und π ¯ = i γ 0 ψ {\displaystyle {\overline {\pi }}=i\gamma ^{0}\psi } als kanonisch konjugiertes Feld zu ψ ¯ {\displaystyle {\overline {\psi }}\ } . Damit ergeben sich die geforderten (Anti-)Kommutatorrelationen zu

{ ψ j ( x , t ) , π k ( y , t ) } = { ψ ¯ j ( x , t ) , π ¯ k ( y , t ) } = i δ j k δ ( 3 ) ( x y ) . {\displaystyle \{\psi _{j}({\vec {x}},t),\pi _{k}({\vec {y}},t)\}=\{{\overline {\psi }}_{j}({\vec {x}},t),{\overline {\pi }}_{k}({\vec {y}},t)\}=i\delta _{jk}\delta ^{(3)}({\vec {x}}-{\vec {y}}).}

Dabei sind j {\displaystyle j} und k {\displaystyle k} Spinorindizes. Man betrachtet dann wieder analog die Fourier-Darstellung des Feldoperators und berechnet den Hamilton-Operator. Einen positiven Hamilton-Operator erhält man beim Spinorfeld jedoch nur, wenn man Antikommutatoren benutzt. Diese werden mit geschweiften Klammern geschrieben, was in den obigen Formeln bereits vorweggenommen wurde. Aufgrund dieser Antikommutatoren ergibt die zweimalige Anwendung desselben Erzeugungsoperators auf einen Zustand den Nullzustand. Das bedeutet, dass nie zwei Spin-1/2-Teilchen im selben Zustand sein können (Pauli-Prinzip). Spinorfelder gehorchen daher der Fermi-Dirac-Statistik.

Eichfelder

Für Eichfelder lauten die geforderten Kommutatorrelationen

[ A μ ( x , t ) , π ν ( y , t ) ] = i g μ ν δ ( 3 ) ( x y ) , {\displaystyle [A_{\mu }({\vec {x}},t),\pi _{\nu }({\vec {y}},t)]=ig_{\mu \nu }\delta ^{(3)}({\vec {x}}-{\vec {y}}),}

wobei g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} die Komponenten der Minkowski-Metrik bezeichnet. Allerdings erhält man aus der Lagrangedichte π 0 = 0 {\displaystyle \,\pi _{0}=0} , was die geforderte Kommutatorrelation nicht erfüllen kann. Die Quantisierung von Eichfeldern ist daher nur bei Festlegung einer Eichbedingung möglich. Die Festlegung einer geeigneten Eichbedingung, die den Zugang über Kommutatorrelationen von Feldern ermöglicht und gleichzeitig die Lorentzinvarianz der Lagrangedichte erhält, ist kompliziert.

Man verwendet meist eine Abwandlung der Lorenz-Eichung, um sinnvoll ein kanonisch konjugiertes Feld definieren zu können. Der Formalismus wird nach seinen Entwicklern Suraj N. Gupta und Konrad Bleuler als Gupta-Bleuler-Formalismus bezeichnet.

Eine Alternative stellt eine physikalische Eichung wie z. B. die temporale plus eine weitere Eichbedingung dar. Hier werden zwei der vier Polarisationen des Eichfeldes als physikalische Freiheitsgrade direkt durch die Wahl der Eichung A 0 ( x ) = 0 {\displaystyle A_{0}(x)=0} sowie durch die anschließende Implementierung des Gaußschen Gesetzes G ( x ) | phys. = 0 {\displaystyle G(x)\,|{\text{phys.}}\rangle =0} als Bedingung an die physikalischen Zustände eliminiert. Der wesentliche Vorteil ist die Reduzierung des Hilbertraumes auf ausschließlich physikalische, transversale Freiheitsgrade. Dem steht als Nachteil der Verlust einer manifest kovarianten Formulierung gegenüber.

Pfadintegral

Hauptartikel: Pfadintegral

Im Pfadintegralformalismus werden die Felder nicht als Operatoren, sondern als einfache Funktionen behandelt. Das Pfadintegral stellt im Wesentlichen eine Übergangsamplitude von einem Vakuumzustand zum Zeitpunkt t = {\displaystyle t=-\infty } zu einem Vakuumzustand zum Zeitpunkt t = {\displaystyle t=\infty } dar, wobei über alle dazwischen möglichen Feldkonfigurationen (Pfade) integriert wird, mit einem Phasenfaktor, der durch die Wirkung festgelegt wird. Es hat für das Skalarfeld die Form

Z D ϕ exp { i d 4 x L ( ϕ ) } {\displaystyle Z\propto \int {\mathcal {D}}\phi \,\exp {\left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x{\mathcal {L}}(\phi )\right\}}} .

Um allerdings überhaupt Wechselwirkungen bei einem Übergang vom Vakuum zum Vakuum zu erhalten, müssen Felder erzeugt und vernichtet werden können. Dies wird im Pfadintegralformalismus nicht mithilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, sondern durch Quellenfelder erzielt. Es wird also zur Lagrangedichte ein Quellenterm der Form J ( x ) ϕ ( x ) + ϕ ( x ) J ( x ) {\displaystyle J^{\dagger }(x)\phi (x)+\phi ^{\dagger }(x)J(x)\ } hinzugefügt. Das Quellenfeld J(x) soll nur in einem endlichen Intervall auf der Zeitachse von Null verschieden sein. Das bedeutet, dass die wechselwirkenden Felder genau innerhalb dieses Zeitintervalls existieren. Das volle Pfadintegral für ein freies Skalarfeld hat damit die Form

Z [ J ] D ϕ exp { i d 4 x [ ( μ ϕ ) ( μ ϕ ) m 2 ϕ ϕ + J ϕ + ϕ J ] } {\displaystyle Z[J]\propto \int {\mathcal {D}}\phi \,\exp {\left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\left[(\partial _{\mu }\phi ^{\dagger })(\partial ^{\,\mu }\phi )-m^{2}\phi ^{\dagger }\phi +J^{\dagger }\phi +\phi ^{\dagger }J\right]\right\}}} .

Das lässt sich wegen der Integration über ϕ {\displaystyle \,\phi } mit einem Analogon des gaußschen Fehlerintegrals in eine Form bringen, die in bestimmter Weise nur noch vom Quellenfeld J(x) abhängt, und zwar:

Z [ J ] exp { i J ( x ) Δ F ( x y ) J ( y ) d 4 x d 4 y } {\displaystyle Z[J]\propto \exp {\left\{-i\int J^{\dagger }(x)\Delta _{F}(x-y)J(y)\,\mathrm {d} ^{4}x\,\mathrm {d} ^{4}y\right\}}} .

Dabei ist Δ F {\displaystyle \Delta _{F}} gegeben durch ( + m 2 ) Δ F ( x ) = δ ( 4 ) ( x ) {\displaystyle (\square +m^{2})\Delta _{F}(x)=-\delta ^{(4)}(x)} also gewissermaßen als das Inverse des Klein-Gordon-Operators ( {\displaystyle \square } ist der D’Alembert-Operator). Dieses Objekt wird als zeitgeordnete Greensche Funktion oder Feynman-Propagator bezeichnet. Man bezeichnet das Pfadintegral daher auch als Erzeugendenfunktional des Propagators, da die Ableitungen nach J {\displaystyle J^{\dagger }} und J {\displaystyle \,J} effektiv einer Multiplikation mit dem Propagator entsprechen.

Das Verhalten des freien Feldes in Anwesenheit von Quellen wird nur durch den Propagator und das Quellenfeld bestimmt. Dieses Ergebnis entspricht der Erwartung, denn das Verhalten eines Feldes, das nicht wechselwirkt, ist offenbar nur durch seine Eigenschaften bei Erzeugung und Vernichtung und seine freie Bewegung bestimmt. Erstere stecken im Quellenfeld und das Bewegungsverhalten wird durch den Klein-Gordon-Operator bestimmt, dessen Informationsgehalt hier durch sein Inverses gegeben ist.

Bei der Quantisierung des Spinorfeldes im Pfadintegral-Formalismus tritt das Problem auf, dass die Felder einerseits wie normale zahlenwertige Funktionen behandelt werden, auf der anderen Seite jedoch antikommutieren. Normale Zahlen kommutieren jedoch. Diese Schwierigkeit lässt sich lösen, indem man die Fermionfelder als Elemente einer Graßmann-Algebra, sogenannte Graßmann-Zahlen, auffasst. Rechnerisch bedeutet das nur, dass man sie wie antikommutierende Zahlen behandelt. Durch die Graßmann-Algebra ist diese Vorgehensweise theoretisch abgesichert. Das Pfadintegral mit Quellenfeldern η ¯ {\displaystyle {\overline {\eta }}\ } und η {\displaystyle \eta \ } hat dann die Form

Z [ η , η ¯ ] D ψ ¯ D ψ exp { i d 4 x [ ψ ¯ ( i γ μ μ m ) ψ + η ¯ ψ + ψ ¯ η ] } {\displaystyle Z[\eta ,{\overline {\eta }}]\propto \int {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \,\exp {\left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\left[\,{\overline {\psi }}(i\gamma ^{\,\mu }\partial _{\mu }-m)\psi +{\overline {\eta }}\psi +{\overline {\psi }}\eta \right]\right\}}} .

Daraus lässt sich, wie beim skalaren Feld, eine Form ableiten, die in bestimmter Weise nur noch von η ¯ {\displaystyle {\overline {\eta }}\ } und η {\displaystyle \eta \ } abhängt. Dabei lässt sich erneut ein Analogon des gaußschen Integrals anwenden, das allerdings nicht dem gewohnten Formalismus entspricht, sondern in gewisser Weise dazu „invers“ ist. Zunächst ist es jedenfalls nötig, einen Integralbegriff für Graßmann-Zahlen zu entwickeln. Dann lässt sich das Pfadintegral in die folgende Form bringen:

Z [ η , η ¯ ] exp { i η ¯ ( x ) S ( x y ) η ( y ) d 4 x d 4 y } {\displaystyle Z[\eta ,{\overline {\eta }}]\propto \exp {\left\{-i\int {\overline {\eta }}(x)S(x-y)\eta (y)\,\mathrm {d} ^{4}x\,\mathrm {d} ^{4}y\right\}}} .

Dabei ist S = ( i γ μ μ + m ) Δ F {\displaystyle S=(i\gamma ^{\,\mu }\partial _{\mu }+m)\Delta _{F}} das Inverse des Dirac-Operators, das auch als Dirac-Propagator bezeichnet wird. Analog zum skalaren Feld ergibt sich auch hier eine Form, die erwartungsgemäß nur von den Quellenfeldern und der Dynamik der Felder bestimmt ist.

Das Pfadintegral für ein Eichfeld ist von der Form

Z D A μ exp { i d 4 x [ 1 2 A μ ( g μ ν μ ν ) A ν ] } {\displaystyle Z\propto \int {\mathcal {D}}A_{\mu }\,\exp {\left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\left[-{\frac {1}{2}}A^{\mu }(g_{\mu \nu }\square -\partial _{\mu }\partial _{\nu })A^{\nu }\right]\right\}}} .

Der Operator ( g μ ν μ ν ) {\displaystyle (g_{\mu \nu }\square -\partial _{\mu }\partial _{\nu })\ } hat jedoch kein Inverses. Das erkennt man daran, dass er bei Anwendung auf Vektoren des Typs μ v {\displaystyle \partial _{\mu }v} Null ergibt. Mindestens einer seiner Eigenwerte ist also Null, was analog einer Matrix dafür sorgt, dass der Operator nicht invertierbar ist.

Daher lässt sich hier nicht dieselbe Vorgehensweise anwenden, wie beim skalaren Feld und beim Spinorfeld. Man muss der Lagrangedichte einen zusätzlichen Term hinzufügen, so dass man einen Operator erhält, zu dem es ein Inverses gibt. Dies ist äquivalent dazu, eine Eichung festzulegen. Daher bezeichnet man den neuen Term als eichfixierenden Term. Er ist allgemein von der Form L g f = 1 2 α f 2 ( A μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{gf}={\tfrac {1}{2\alpha }}f^{2}(A_{\mu })} . Die dazu korrespondierende Eichbedingung lautet f ( A μ ) = ! 0 {\displaystyle f(A_{\mu }){\stackrel {!}{=}}0\ } .

Das führt jedoch dazu, dass die Lagrangedichte von der Wahl des Eichterms f abhängt. Dieses Problem lässt sich durch das Einführen von sogenannten Faddejew-Popow-Geistern beheben. Diese Geister sind antikommutierende skalare Felder und widersprechen damit dem Spin-Statistik-Theorem. Sie können daher nicht als freie Felder auftreten, sondern nur als sogenannte virtuelle Teilchen. Durch die Wahl der sogenannten Axial-Eichung lässt sich das Auftreten dieser Felder vermeiden, was ihre Interpretation als mathematische Artefakte naheliegend erscheinen lässt. Ihr Auftreten in anderen Eichungen ist jedoch aus tieferliegenden theoretischen Gründen (Unitarität der S-Matrix) zwingend notwendig für die Konsistenz der Theorie.

Die vollständige Lagrangedichte mit eichfixierendem Term und Geistfeldern ist von der Eichbedingung abhängig. Für die Lorenz-Eichung lautet sie bei nichtabelschen Eichtheorien

L ( A , η ¯ , η ) = 1 4 F μ ν a F μ ν a 1 2 α ( μ A μ a ) 2 η ¯ a μ ( μ δ a c i g f a b c A μ b ) η c {\displaystyle {\mathcal {L}}(A,{\overline {\eta }},\eta )=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{\mu \nu \,a}-{\frac {1}{2\alpha }}(\partial _{\mu }A^{\mu \,a})^{2}-{\bar {\eta }}^{a}\partial ^{\mu }(\partial _{\mu }\delta ^{ac}-igf^{abc}A_{\mu }^{b})\eta ^{c}}

Dabei ist η {\displaystyle \eta \ } das Geistfeld und η ¯ {\displaystyle {\bar {\eta }}} das Anti-Geistfeld.

Für abelsche Eichtheorien wie den Elektromagnetismus nimmt der letzte Term unabhängig von der Eichung die Form η ¯ η {\displaystyle {\bar {\eta }}\square \eta } an. Daher kann dieser Teil des Pfadintegrals einfach integriert werden und trägt nicht zur Dynamik bei.

Das Pfadintegral liefert auch einen Zusammenhang mit den Verteilungsfunktionen der statistischen Mechanik. Dazu wird die imaginäre Zeitkoordinate im Minkowskiraum analytisch in den euklidischen Raum fortgesetzt und statt komplexer Phasenfaktoren im Wegintegral erhält man reelle ähnlich den Boltzmann-Faktoren der statistischen Mechanik. In dieser Form ist diese Formulierung auch Ausgangspunkt von numerischen Simulationen der Feldkonfigurationen (meist zufällig im Quanten-Monte-Carlo-Methoden mit einer Wichtung über diese Boltzmannfaktoren ausgewählt) in Gitter-Rechnungen. Sie liefern die bisher genauesten Methoden z. B. für die Berechnung von Hadronmassen in der Quantenchromodynamik.

Streuprozesse

Wie oben schon ausgeführt, ist das Ziel der vorangegangenen Verfahren die Beschreibung einer relativistischen Streutheorie. Obwohl die Methoden der Quantenfeldtheorien heute auch in anderen Zusammenhängen genutzt werden, ist die Streutheorie noch heute eines ihrer Hauptanwendungsgebiete. Daher werden die Grundlagen derselben an dieser Stelle erläutert.

Das zentrale Objekt der Streutheorie ist die sogenannte S-Matrix oder Streumatrix, deren Elemente die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Anfangszustand | α i n {\displaystyle |\alpha _{\mathrm {in} }\rangle } in einen Ausgangszustand | β o u t {\displaystyle |\beta _{\mathrm {out} }\rangle } beschreiben. Die Elemente der S-Matrix bezeichnet man als Streuamplituden. Auf der Ebene der Felder ist die S-Matrix also bestimmt durch die Gleichung

ϕ o u t ( x ) = S ϕ i n ( x ) S {\displaystyle \phi _{\mathrm {out} }(x)=S^{\dagger }\phi _{\mathrm {in} }(x)S\ } .

Die S-Matrix lässt sich im Wesentlichen als Summe von Vakuumerwartungswerten von zeitgeordneten Feldoperatorprodukten (auch n-Punkt-Funktionen, Korrelatoren oder Greensche Funktionen genannt) schreiben. Ein Beweis dieser sogenannten LSZ-Zerlegung ist einer der ersten großen Erfolge der axiomatischen Quantenfeldtheorie. Im Beispiel einer Quantenfeldtheorie, in der es nur ein Skalarfeld gibt, hat die Zerlegung die Form

S = n 0 1 n ! ( i = 0 n ϕ ( x i ) K ( x i ) ) 0 | T ( ϕ ( x 1 ) . . . ϕ ( x n ) ) | 0 {\displaystyle S=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\left(\prod _{i=0}^{n}\phi (x_{i})K(x_{i})\right)\langle 0|T\left(\phi (x_{1})\,...\,\phi (x_{n})\right)|0\rangle }

Dabei ist K der Klein-Gordon-Operator und T der Zeitordnungsoperator, der die Felder aufsteigend nach dem Wert der Zeit x i 0 {\displaystyle x_{i}^{0}} ordnet. Falls noch andere Felder als das Skalarfeld vorkommen, müssen jeweils die entsprechenden Hamilton-Operatoren verwendet werden. Für ein Spinorfeld muss z. B. der Dirac-Operator statt des Klein-Gordon-Operators verwendet werden.

Zur Berechnung der S-Matrix genügt es also, die zeitgeordneten n-Punkt-Funktionen 0 | T ( ϕ ( x 1 ) . . . ϕ ( x n ) ) | 0 {\displaystyle \langle 0|T\left(\phi (x_{1})\,...\,\phi (x_{n})\right)|0\rangle } berechnen zu können.

Feynman-Regeln und Störungstheorie

Als nützliches Werkzeug zur Vereinfachung der Berechnungen der n-Punkt-Funktionen haben sich die Feynman-Diagramme erwiesen. Diese Kurzschreibweise wurde 1950 von Richard Feynman entwickelt und nutzt aus, dass sich die Terme, die bei der Berechnung der n-Punkt-Funktionen auftreten, in eine kleine Anzahl elementarer Bausteine zerlegen lassen. Diesen Term-Bausteinen werden dann Bildelemente zugeordnet. Diese Regeln, nach denen diese Zuordnung geschieht, bezeichnet man als Feynman-Regeln. Die Feynman-Diagramme ermöglichen es damit, komplizierte Terme in Form kleiner Bilder darzustellen.

Dabei gibt es zu jedem Term in der Lagrangedichte ein entsprechendes Bildelement. Der Massenterm wird dabei zusammen mit dem Ableitungsterm als ein Term behandelt, der das freie Feld beschreibt. Diesen Termen werden für verschiedene Felder meist verschiedene Linien zugeordnet. Den Wechselwirkungstermen entsprechen dagegen Knotenpunkte, sogenannte Vertices, an denen für jedes Feld, das im Wechselwirkungsterm steht, eine entsprechende Linie endet. Linien, die nur an einem Ende mit dem Diagramm verbunden sind, werden als reale Teilchen interpretiert, während Linien, die zwei Vertices verbinden als virtuelle Teilchen interpretiert werden. Es lässt sich auch eine Zeitrichtung im Diagramm festlegen, so dass es als eine Art Veranschaulichung des Streuprozesses interpretiert werden kann. Dabei muss man jedoch zur vollständigen Berechnung einer bestimmten Streuamplitude alle Diagramme mit den entsprechenden Anfangs- und Endteilchen berücksichtigen. Wenn die Lagrangedichte der Quantenfeldtheorie Wechselwirkungsterme enthält, sind dies im Allgemeinen unendlich viele Diagramme.

Wenn die Kopplungskonstante kleiner ist als eins, werden die Terme mit höheren Potenzen der Kopplungskonstante immer kleiner. Da nach den Feynmanregeln jeder Vertex für die Multiplikation mit der entsprechenden Kopplungskonstante steht, werden die Beiträge von Diagrammen mit vielen Vertices sehr klein. Die einfachsten Diagramme liefern also den größten Beitrag zur Streuamplitude, während die Diagramme mit zunehmender Kompliziertheit gleichzeitig immer kleinere Beiträge liefern. Auf diese Weise lassen sich die Prinzipien der Störungstheorie unter Erzielung guter Ergebnisse für die Streuamplituden anwenden, indem nur die Diagramme niedriger Ordnung in der Kopplungskonstanten berechnet werden.

Renormierung

Hauptartikel: Renormierung

Die Feynman-Diagramme mit geschlossenen inneren Linien, die sogenannten Schleifendiagramme (z. B. Wechselwirkung eines Elektrons mit „virtuellen“ Photonen aus dem Vakuum, Wechselwirkung eines Photons mit virtuell erzeugten Teilchen-Antiteilchen Paaren aus dem Vakuum), sind meist divergent, da über alle Energien/Impulse (Frequenz/Wellenzahl) integriert wird. Das hat zur Folge, dass sich kompliziertere Feynman-Diagramme zunächst nicht berechnen lassen. Dieses Problem lässt sich jedoch häufig durch ein sogenanntes Renormierungsverfahren beheben, nach einer falschen Rückübersetzung aus dem Englischen auch manchmal als „Renormalisierung“ bezeichnet.

Es gibt grundsätzlich zwei verschiedene Sichtweisen auf diese Prozedur. Die erste traditionelle Sichtweise ordnet die Beiträge der divergierenden Schleifendiagramme so an, dass sie wenigen Parametern in der Lagrangefunktion wie Massen und Kopplungskonstanten entsprechen. Dann führt man Gegenterme (counter terms) in der Lagrangefunktion ein, die als unendliche „nackte“ Werte dieser Parameter diese Divergenzen aufheben. Das ist in der Quantenelektrodynamik möglich, ebenso in der Quantenchromodynamik und anderen solchen Eichtheorien, bei anderen Theorien wie der Gravitation dagegen nicht. Dort wären unendlich viele Gegenterme nötig, die Theorie ist „nicht renormierbar“.

Eine zweite neuere Sichtweise aus dem Umfeld der Renormierungsgruppe beschreibt die Physik je nach Energiebereich durch verschiedene „effektive“ Feldtheorien. Beispielsweise ist die Kopplungskonstante in der Quantenchromodynamik energieabhängig, für kleine Energien geht sie gegen Unendlich (confinement), für hohe Energien gegen Null (Asymptotische Freiheit). Während in der QED die „nackten“ Ladungen durch die Vakuumpolarisation (Paarerzeugung und -vernichtung) wirksam abgeschirmt werden, liegt der Fall bei Yang-Mills-Theorien wie der QCD wegen der Selbstwechselwirkung der geladenen Eichbosonen komplizierter.

Man vermutet, dass sich alle Kopplungskonstanten physikalischer Theorien bei genügend hohen Energien annähern, und dort wird die Physik dann durch eine große vereinheitlichte Theorie der Grundkräfte beschrieben. Das Verhalten von Kopplungskonstanten und die Möglichkeit von Phasenübergängen mit der Energie wird durch die Theorie der Renormierungsgruppe beschrieben. Aus solchen theoretischen Extrapolationen hat es in den 1990er Jahren erste Hinweise auf die Existenz supersymmetrischer Theorien gegeben, für die sich die Kopplungskonstanten am besten in einem Punkt treffen.

Die technische Vorgehensweise ist jedoch unabhängig von der Sichtweise. Es wird zunächst eine Regularisierung vorgenommen, indem ein zusätzlicher Parameter in die Rechnung eingeführt wird. Dieser Parameter muss zuletzt wieder gegen null oder unendlich laufen (je nach Wahl) um die ursprünglichen Terme wieder zu erhalten. Solange der Regularisierungsparameter jedoch als endlich angenommen wird, bleiben die Terme endlich. Man formt dann die Terme so um, dass die Unendlichkeiten nur noch in Termen auftreten, die reine Funktionen des Regularisierungsparameters sind. Diese Terme werden dann weggelassen. Danach setzt man den Regulierungsparameter null bzw. unendlich, wobei das Ergebnis nun endlich bleibt.

Diese Vorgehensweise wirkt auf den ersten Blick willkürlich, doch das „Weglassen“ muss nach bestimmten Regeln erfolgen. Dadurch wird sichergestellt, dass die renormierten Kopplungskonstanten bei niedrigen Energien den gemessenen Konstanten entsprechen.

Antiteilchen

Hauptartikel: Antiteilchen

Ein spezielles Gebiet der relativistischen Quantenmechanik betrifft Lösungen der relativistischen Klein-Gordon-Gleichung und der Dirac-Gleichung mit negativer Energie. Dies würde es Teilchen erlauben, zu unendlicher negativer Energie abzusteigen, was in der Realität nicht beobachtet wird. In der Quantenmechanik löst man dieses Problem, indem man die entsprechenden Lösungen willkürlich als Entitäten mit positiver Energie interpretiert, die sich rückwärts in der Zeit bewegen; man überträgt also in der Wellenfunktion das negative Vorzeichen von der Energie E auf die Zeit t, was wegen der Beziehung Δ E = h / Δ t {\displaystyle \Delta E=h/\Delta t} naheliegend ist ( h ist die Plancksche Konstante und h Δ f ( = h / Δ t ) {\displaystyle h\Delta f\,\,(=h/\Delta t)} das der Energiedifferenz Δ E {\displaystyle \Delta E} zugeordnete Frequenzintervall).

Paul Dirac interpretierte diese rückwärts bewegten Lösungen als Antiteilchen.

Standardmodell

Hauptartikel: Standardmodell

Durch Kombination des elektroschwachen Modells mit der Quantenchromodynamik entsteht eine vereinte Quantenfeldtheorie, das so genannte Standardmodell der Elementarteilchenphysik. Es enthält alle bekannten Teilchen und kann die meisten bekannten Vorgänge erklären.

Gleichzeitig ist aber bekannt, dass das Standardmodell nicht die endgültige Theorie sein kann. Zum einen ist die Gravitation nicht enthalten, zum anderen gibt es eine Reihe von Beobachtungen (Neutrinooszillationen, Dunkle Materie), nach denen eine Erweiterung des Standardmodells notwendig scheint. Außerdem enthält das Standardmodell viele willkürliche Parameter und erklärt z. B. das sehr unterschiedliche Massenspektrum der Elementarteilchenfamilien nicht.

Die im Folgenden erläuterten Quantenfeldtheorien sind alle im Standardmodell enthalten.

ϕ4-Theorie

Die Lagrangedichte der ϕ 4 {\displaystyle \phi ^{4}} -Theorie lautet

L = ( μ ϕ ) ( μ ϕ ) m 2 ϕ ϕ λ 4 ( ϕ ϕ ) 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi ^{\dagger })(\partial ^{\mu }\phi )-m^{2}\phi ^{\dagger }\phi -{\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{\dagger }\phi )^{2}}

Diese Quantenfeldtheorie besitzt große theoretische Bedeutung, da sie die einfachste denkbare Quantenfeldtheorie mit einer Wechselwirkung ist und hier im Gegensatz zu realistischeren Modellen einige exakte mathematische Aussagen über ihre Eigenschaften gemacht werden können. Sie beschreibt ein selbstwechselwirkendes reelles oder komplexes Skalarfeld.

In der statistischen Physik spielt sie eine Rolle als einfachstes Kontinuumsmodell für die (sehr allgemeine) Landau-Theorie der Phasenübergänge zweiter Ordnung und der kritischen Phänomene. Von der statistischen Interpretation aus bekommt man zugleich einen neuen und konstruktiven Zugang zum Renormierungsproblem, indem gezeigt wird, dass die Renormierung der Massen, Ladungen und Vertex-Funktionen durch Eliminierung kurzwelliger Wellenphänomene aus der sog. Zustandssumme Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} (englisch: „Partition Function“) erreicht werden kann. Auch das Higgsfeld des Standardmodells hat eine ϕ 4 {\displaystyle \phi ^{4}} -Selbstwechselwirkung, die allerdings noch um Wechselwirkungen mit den anderen Feldern des Standardmodells ergänzt wird. In diesen Fällen ist die Kopplungskonstante m2 negativ, was einer imaginären Masse entspräche. Diese Felder werden daher als tachyonische Felder bezeichnet. Diese Bezeichnung bezieht sich jedoch auf das Higgsfeld und nicht auf das Higgs-Teilchen, das sogenannte Higgs-Boson, welches kein Tachyon, sondern ein gewöhnliches Teilchen mit reeller Masse ist. Das Higgsteilchen wird auch nicht durch das Higgsfeld beschrieben, sondern nur durch einen bestimmten Anteil dieses Feldes.

Quantenelektrodynamik

Hauptartikel: Quantenelektrodynamik

Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik (QED) lautet

L = i ψ ¯ γ μ ( μ i e A μ ) ψ m ψ ¯ ψ 1 4 F μ ν F μ ν {\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }(\partial _{\mu }-ieA_{\mu })\psi -m{\overline {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}

Die QED ist die erste physikalisch erfolgreiche Quantenfeldtheorie. Sie beschreibt die Wechselwirkung eines Spinorfeldes mit Ladung -e, das das Elektron beschreibt, mit einem Eichfeld, das das Photon beschreibt. Man erhält ihre Bewegungsgleichungen aus der Elektrodynamik durch Quantisierung der maxwellschen Gleichungen. Die Quantenelektrodynamik erklärt mit hoher Genauigkeit die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen (zum Beispiel Elektronen, Myonen, Quarks) mittels Austausch von virtuellen Photonen sowie die Eigenschaften von elektromagnetischer Strahlung.

Dadurch lassen sich etwa die chemischen Elemente, ihre Eigenschaften und Bindungen und das Periodensystem der Elemente verstehen. Auch die Festkörperphysik mit der wirtschaftlich bedeutsamen Halbleiterphysik leiten sich letztendlich von der QED ab. Konkrete Rechnungen werden allerdings in der Regel im vereinfachten, aber ausreichenden Formalismus der Quantenmechanik durchgeführt.

Schwache Wechselwirkung

Hauptartikel: Schwache Wechselwirkung

Die schwache Wechselwirkung, deren bekanntester Effekt der Betazerfall ist, nimmt eine physikalisch geschlossene Formulierung nach Vereinheitlichung mit der QED im elektroschwachen Standardmodell an. Die Wechselwirkung wird hier durch Photonen, W- und Z-Bosonen vermittelt.

Quantenchromodynamik

Hauptartikel: Quantenchromodynamik

Ein anderes Beispiel einer QFT ist die Quantenchromodynamik (QCD), welche die Starke Wechselwirkung beschreibt. In ihr wird ein Teil der im Atomkern auftretenden Wechselwirkungen zwischen Protonen und Neutronen auf die subnukleare Wechselwirkung zwischen Quarks und Gluonen reduziert.

Interessant ist in der QCD, dass die Gluonen, welche die Wechselwirkung vermitteln, selbst miteinander wechselwirken. (Das wäre am Beispiel der QED etwa so, als ob sich zwei durchdringende Lichtstrahlen direkt beeinflussen würden.) Eine Konsequenz dieser gluonischen Selbstwechselwirkung ist, dass die elementaren Quarks nicht einzeln beobachtet werden können, sondern immer in Form von Quark-Antiquark-Zuständen oder Zuständen dreier Quarks (oder Antiquarks) auftreten (Confinement). Auf der anderen Seite folgt daraus, dass die Kopplungskonstante bei hohen Energien nicht zunimmt, sondern abnimmt. Dieses Verhalten wird als asymptotische Freiheit bezeichnet.

Spontane Symmetriebrechung

Wie oben schon angesprochen, eignet sich die ϕ 4 {\displaystyle \phi ^{4}} -Theorie zur Beschreibung von Systemen mit spontaner Symmetriebrechung oder kritischen Punkten. Der Massenterm wird dazu als Teil des Potentials verstanden. Für eine reelle Masse hat dieses Potential dann nur ein Minimum, während bei imaginärer Masse das Potential eine w-förmige Parabel vierten Grades beschreibt. Wenn das Feld mehr als eine reelle Komponente hat, erhält man noch mehr Minima. Bei einem komplexen Feld (mit zwei reellen Komponenten) erhält man zum Beispiel die Rotationsfigur der w-förmigen Parabel mit einem Minimakreis. Diese Form wird auch als Mexican Hat Potential bezeichnet, da das Potential an die Form eines Sombrero erinnert.

Jedes Minimum entspricht nun einem Zustand niedrigster Energie, die vom Feld alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit angenommen werden. In jedem dieser Zustände hat das Feld jedoch ein geringeres Maß an Symmetrie, da die Symmetrie der Minima untereinander durch Auswahl eines Minimums verloren geht. Diese Eigenschaft der klassischen Feldtheorie überträgt sich auf die Quantenfeldtheorie, so dass sich die Möglichkeit ergibt, Quantensysteme mit gebrochener Symmetrie zu beschreiben. Beispiele für solche Systeme sind das Ising-Modell aus der Thermodynamik, das die spontane Magnetisierung eines Ferromagneten erklärt, und der Higgs-Mechanismus, der die Massen der Eichbosonen in der schwachen Wechselwirkung erklärt. Durch die erhaltenen Massenterme der Eichbosonen wird nämlich die Eichsymmetrie reduziert.

Axiomatische Quantenfeldtheorie

Die Axiomatische Quantenfeldtheorie versucht, ausgehend von einem Satz möglichst weniger, als mathematisch oder physikalisch unumgänglich angesehener Axiome, eine konsistente Beschreibung der Quantenfeldtheorie zu erzielen.

Die axiomatische Quantenfeldtheorie wurde u. a. aus den Wightman-Axiomen, entstanden im Jahr 1956, begründet. Ein weiterer Zugang ist die von Haag und Araki 1962 formulierte algebraische Quantenfeldtheorie, die durch die Haag-Kastler-Axiome charakterisiert wird. Die Osterwalder-Schrader-Axiome stellen einen dritten axiomatischen Zugang zur Quantenfeldtheorie dar.

Etliche konkrete Ergebnisse konnten mit dieser Herangehensweise erzielt werden, zum Beispiel die Herleitung des Spin-Statistik-Theorems und des CPT-Theorems alleine aus den Axiomen, d. h. unabhängig von einer speziellen Quantenfeldtheorie. Ein früher Erfolg war die 1955 von Lehmann, Symanzik und Zimmermann entwickelte LSZ-Reduktionsformel für die S-Matrix. Außerdem existiert ein von Bogoliubov, Medvedev und Polianov begründeter funktionalanalytischer Zugang zur S-Matrix-Theorie (auch BMP-Theorie genannt).

Weitere Anwendungen im Bereich der klassischen Statistik und der Quantenstatistik sind schon sehr weit fortgeschritten. Sie reichen von der allgemeinen Ableitung der Existenz thermodynamischer Größen, Satz von Gibbs, Zustandsgrößen wie Druck, innerer Energie und Entropie bis zum Beweis der Existenz von Phasenübergängen und der exakten Behandlung wichtiger Vielteilchensysteme:

Versuche, diese Quantenfeldtheorien mit der allgemeinen Relativitätstheorie (Gravitation) zur Quantengravitation zu vereinen, sind bisher ohne Erfolg geblieben. Nach Ansicht vieler Forscher erfordert die Quantisierung der Gravitation neue, über die Quantenfeldtheorie hinausgehende Konzepte, da hier der Raum-Zeit-Hintergrund selbst dynamisch wird. Beispiele aus der aktuellen Forschung sind die Stringtheorie, die M-Theorie und die Loop-Quantengravitation. Weiter liefern die Supersymmetrie, die Twistor-Theorie, die Finite Quantenfeldtheorie und die Topologische Quantenfeldtheorie wichtige konzeptionelle Ideen, die zurzeit in der Fachwelt diskutiert werden.

Auch in der Festkörpertheorie finden sich Anwendungen der (nicht-relativistischen) Quantenfeldtheorie, und zwar hauptsächlich in der Vielteilchentheorie.

Allgemeine Einführungen in das Thema (jeweils in alphabetischer Reihenfolge der (Erst-)Autoren)

Deutsch:

  • Christoph Berger: Elementarteilchenphysik. 2. Auflage, Springer, 2006
  • Freeman Dyson: Quantenfeldtheorie. Springer Spektrum, 2014, ISBN 978-3-642-37677-1
  • Walter Greiner u. a.: Theoretische Physik. Verlag Harri Deutsch, Bände Feldquantisierung 1993, Quantenelektrodynamik 1994, Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung, 1994, Quantenchromodynamik
  • Gernot Münster: Von der Quantenfeldtheorie zum Standardmodell. de Gruyter, 2019, ISBN 978-3-11-063853-0

Englisch:

Speziellere und verwandte Themen:

Normdaten (Sachbegriff): GND:(, )

Quantenfeldtheorie
quantenfeldtheorie, physikalische, theorie, quantenmechanischen, beschreibung, feldern, sprache, beobachten, bearbeiten, gebiet, theoretischen, physik, prinzipien, klassischer, feldtheorien, beispiel, klassischen, elektrodynamik, quantenmechanik, bildung, eine. Quantenfeldtheorie physikalische Theorie zur quantenmechanischen Beschreibung von Feldern Sprache Beobachten Bearbeiten Die Quantenfeldtheorie QFT ist ein Gebiet der theoretischen Physik in dem Prinzipien klassischer Feldtheorien zum Beispiel der klassischen Elektrodynamik und der Quantenmechanik zur Bildung einer erweiterten Theorie kombiniert werden Sie geht uber die Quantenmechanik hinaus indem sie Teilchen und Felder einheitlich beschreibt Dabei werden nicht nur sogenannte Observablen also beobachtbare Grossen wie Energie oder Impuls quantisiert sondern auch die wechselwirkenden Teilchen Felder selbst Felder und Observable werden analog behandelt Die Quantisierung der Felder bezeichnet man auch als Zweite Quantisierung Diese berucksichtigt explizit die Entstehung und Vernichtung von Elementarteilchen Paarerzeugung Annihilation Die Methoden der Quantenfeldtheorie kommen vor allem in der Elementarteilchenphysik und in der statistischen Mechanik zur Anwendung Man unterscheidet dabei zwischen relativistischen Quantenfeldtheorien die die spezielle Relativitatstheorie berucksichtigen und haufig in der Elementarteilchenphysik Anwendung finden und nicht relativistischen Quantenfeldtheorien die beispielsweise in der Festkorperphysik relevant sind Die Objekte und Methoden der QFT sind physikalisch motiviert auch wenn viele Teilbereiche der Mathematik zum Einsatz kommen Die Axiomatische Quantenfeldtheorie versucht dabei Grundlagen und Konzepte in einen mathematisch rigorosen Rahmen zu fassen Inhaltsverzeichnis 1 Von der Quantenmechanik zur Quantenfeldtheorie 2 Grundlagen 2 1 Lagrangedichte 2 2 Feldquantisierung 2 2 1 Kanonischer Formalismus 2 2 1 1 Skalare Felder 2 2 1 2 Spinorfelder 2 2 1 3 Eichfelder 2 2 2 Pfadintegral 2 3 Streuprozesse 2 4 Feynman Regeln und Storungstheorie 2 5 Renormierung 2 6 Antiteilchen 3 Konkrete Quantenfeldtheorien 3 1 Standardmodell 3 2 ϕ4 Theorie 3 3 Quantenelektrodynamik 3 4 Schwache Wechselwirkung 3 5 Quantenchromodynamik 4 Weiterfuhrende Aspekte 4 1 Spontane Symmetriebrechung 4 2 Axiomatische Quantenfeldtheorie 5 Verhaltnis zu anderen Theorien 6 Literatur 7 WeblinksVon der Quantenmechanik zur Quantenfeldtheorie BearbeitenDie klassische Quantenmechanik befasste sich zunachst mit Atomen Molekulen oder Festkorpern d h mit Systemen mit einer vorgegebenen Zahl von Teilchen Dabei wurden die Schrodingergleichung und ein von Wellenfunktionen aufgespannter Hilbertraum verwendet Zu einer Quantenfeldtheorie gelangt man beim konsequenten Ubergang von einer Wellenfunktions zu einer Teilchenzahl Darstellung der zweiten Quantisierung Genauer bedeutet dies dass sich ein solcher Vielteilchen Hilbertraum nach Wahl eines Satzes von Ein Teilchen Funktionen durch alle moglichen erlaubten Produkte von Ein Teilchen Funktionen z B Slater Determinanten aufspannen lasst Ein vollstandiger Satz solcher Basisvektoren ist dann allein durch die Besetzungszahlen der Einteilchen Zustande charakterisierbar Eine Streuung von einem Teilchen an einem Potential erscheint in einer solchen Teilchenzahl Darstellung als eine Anderung von Besetzungszahlen der dem Impuls des einlaufenden Teilchens entsprechende Zustand enthalt nach der Streuung ein Teilchen weniger der dem Impuls des auslaufenden Teilchens entsprechende Zustand enthalt nach der Streuung ein Teilchen mehr Dies interpretiert man naturlicherweise als Vernichtung und Erzeugung von Teilchen gewisser Einteilchenzustande Die grundlegenden Operatoren sind dann Teilchen Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren der Hilbertraum wird zu einem Fockraum Der resultierende Formalismus ist eine Quantenfeldtheorie Quantenfeldtheorien sind i d R das adaquate Mittel zur Beschreibung quantenmechanischer Vielteilchensysteme Die richtige Vertauschungssymmetrie der Wellenfunktion ist dann implizit und fur das Pauli Prinzip und das allgemeinere Spin Statistik Theorem ergeben sich einfache Begrundungen oder Herleitungen Ein essentieller Aspekt der Quantenfeldtheorien ist dass sich Teilchenzahlen andern konnen Die grundlegenden Operatoren sind dann nicht mehr die Teilchenkoordinaten und Impulse sondern Quantenfelder wie ϕ x displaystyle phi left x right oder ϕ x displaystyle phi dagger left x right welche ein Teilchen oder Antiteilchen am Ort x displaystyle x vernichten oder erzeugen Sobald die Relativitatstheorie ins Spiel kommt konnen entsprechend der Aquivalenz von Energie und Masse Teilchen entstehen oder verschwinden und in der Elementarteilchenphysik ist der Quantenfeldtheorie Formalismus daher das Mittel der Wahl Klein Gordon Gleichung und Dirac Gleichung erhalten eine neue Interpretation und die im klassischen Formalismus mit Antiteilchen auftretenden Komplikationen verschwinden Grundlagen BearbeitenDie Quantenfeldtheorien sind ursprunglich als relativistische Streutheorien entwickelt worden In gebundenen Systemen sind die Teilchenenergien im Allgemeinen deutlich kleiner als die Massenenergien mc2 Daher ist es in solchen Fallen meist ausreichend genau in der nichtrelativistischen Quantenmechanik mit der Storungstheorie zu arbeiten Bei Kollisionen zwischen kleinen Teilchen konnen jedoch sehr viel hohere Energien auftreten so dass relativistische Effekte berucksichtigt werden mussen Im folgenden Abschnitt wird erklart welche Schritte zur Entwicklung einer relativistischen Streutheorie notig sind Zunachst wird dazu die Lagrangedichte aufgestellt dann werden die Felder quantisiert Zuletzt wird mit den quantisierten Feldern eine Streutheorie beschrieben und ein dabei auftretendes Problem durch die Renormierung gelost Lagrangedichte Bearbeiten Der erste Schritt zu einer Quantenfeldtheorie besteht darin Lagrangedichten fur die Quantenfelder zu finden Diese Lagrangedichten mussen als Euler Lagrange Gleichung die im Allgemeinen bekannte Differentialgleichung fur das Feld liefern Das sind fur ein Skalarfeld die Klein Gordon Gleichung fur ein Spinorfeld die Dirac Gleichung und fur das Photon die Maxwellgleichungen Im Folgenden wird immer die 4er Raumzeit Vektoren Schreibweise verwendet Dabei werden die ublichen Kurzschreibweisen benutzt namlich die Kurzschreibweise m x m displaystyle textstyle partial mu frac partial partial x mu fur Differentiale und die Einsteinsche Summenkonvention die besagt dass uber einen oben und einen unten stehenden Index von 0 bis 3 summiert wird Im verwendeten Einheitensystem gilt c ℏ e 0 1 displaystyle c hbar varepsilon 0 1 Freie Lagrangedichten verschiedener Felder Feld Feldgleichung LagrangedichteSkalar ϕ displaystyle phi Spin 0 0 m 2 ϕ displaystyle 0 square m 2 phi L m ϕ m ϕ m 2 ϕ ϕ displaystyle mathcal L partial mu phi dagger partial mu phi m 2 phi dagger phi Spinor ps displaystyle psi Spin 1 2 0 i g m m m ps displaystyle 0 i gamma mu partial mu m psi L i 2 ps g m m ps m ps g m ps m ps ps displaystyle mathcal L tfrac i 2 left overline psi gamma mu partial mu psi partial mu overline psi gamma mu psi right m overline psi psi Photon A m displaystyle A mu Spin 1 0 m F m n A n n m A m displaystyle 0 partial mu F mu nu square A nu partial nu partial mu A mu L 1 4 F m n F m n 1 4 m A n n A m m A n n A m displaystyle mathcal L tfrac 1 4 F mu nu F mu nu tfrac 1 4 partial mu A nu partial nu A mu partial mu A nu partial nu A mu Dabei bezeichnet g m displaystyle gamma mu die Dirac Matrizen ps ps g 0 displaystyle overline psi psi dagger gamma 0 ist der sogenannte adjungierte Spinor F m n m A n n A m displaystyle F mu nu partial mu A nu partial nu A mu sind die Komponenten des Feldstarketensors Dabei wurden hier die Maxwellgleichungen in kovarianter Formulierung ohne die Quellenterme Ladungs und Stromdichte benutzt Die oben aufgefuhrten Lagrangedichten beschreiben freie Felder die nicht wechselwirken Sie ergeben die Bewegungsgleichungen fur freie Felder Fur Wechselwirkungen der Felder untereinander mussen den Lagrangedichten zusatzliche Terme hinzugefugt werden Dabei ist auf folgende Punkte zu achten Die hinzugefugten Terme mussen alle skalar sein Das bedeutet dass sie invariant unter Poincare Transformationen sind Die hinzugefugten Terme mussen die Dimension Lange 4 haben da die Lagrangedichte in der skalaren Wirkung uber die Raumzeit integriert wird Dies lasst sich gegebenenfalls durch einen konstanten Faktor mit passender Dimension erreichen Solche Faktoren nennt man Kopplungskonstanten Die Lagrangedichte muss eichinvariant sein Das heisst die Form der Lagrangedichte unter Eichtransformationen darf sich nicht andern Erlaubte Terme sind zum Beispiel k ps ps n ϕ ϕ m displaystyle k overline psi psi n phi dagger phi m wobei m und n naturliche Zahlen sind einschliesslich Null und k die Kopplungskonstante ist Wechselwirkungen mit dem Photon werden meist durch die kovariante Ableitung m m i e A m displaystyle partial mu rightarrow partial mu ieA mu in der Lagrangedichte fur das freie Feld realisiert Dabei ist die elektrische Ladung e des Elektrons hier zugleich die Kopplungskonstante des elektromagnetischen Feldes Feldquantisierung Bearbeiten Bisher wurde noch keine Aussage uber die Eigenschaften der Felder gemacht Bei starken Feldern mit einer grossen Zahl von Bosonen Anregungen konnen diese halbklassisch behandelt werden im Allgemeinen muss man aber zunachst einen Mechanismus entwickeln um die Auswirkungen der Quantennatur der Felder zu beschreiben Die Entwicklung eines solchen Mechanismus bezeichnet man als Feldquantisierung und sie ist der erste Schritt um das Verhalten der Felder berechenbar zu machen Es gibt dabei zwei verschiedene Formalismen die unterschiedliches Vorgehen beinhalten Der altere kanonische Formalismus lehnt sich an den Formalismus der Quantenmechanik an Er deutet die dort auftretenden Ein Teilchen Wellengleichungen als die Beschreibungen von Amplituden einer klassischen Feldtheorie welche ihrerseits einer Quantisierung gemass der kanonischen Vertauschungsregeln der Quantenmechanik bedurfen Der Formalismus eignet sich damit um fundamentale Eigenschaften der Felder wie das Spin Statistik Theorem zu zeigen Sein Nachteil ist jedoch dass viele Aspekte in diesem Formalismus recht willkurlich wirken Ausserdem sind die Berechnung von Wechselwirkungsamplituden und die Feldquantisierung bei nicht abelschen Eichtheorien recht kompliziert Der neuere Pfadintegral Formalismus baut auf dem Prinzip der kleinsten Wirkung auf das heisst es wird uber alle Feldkonfigurationen integriert sich nicht aufhebende Beitrage kommen aber bei schwacher Kopplung nur von Pfaden in der Nahe der Minima der Wirkung Der Vorteil dieses Formalismus ist dass sich die Berechnung von Wechselwirkungsamplituden als vergleichsweise einfach darstellt und die Symmetrien der Felder klar zum Ausdruck kommen Der aus mathematischer Sicht schwerwiegende Mangel dieses Formalismus ist dass die Konvergenz des Pfadintegrals und damit das Funktionieren der Methoden des Formalismus nicht mathematisch streng bewiesen ist Er wird daher besonders in der mathematischen Physik teilweise als heuristisch und unprazise bzw nichtkonstruktiv abgelehnt obwohl er zugleich als Ausgangspunkt der Gittereichtheorien dient die eines der Hauptwerkzeuge der numerischen Behandlung von Quantenfeldtheorien sind Im Folgenden werden die Grundlagen der Feldquantisierung fur freie Felder in beiden Formalismen erklart Kanonischer Formalismus Bearbeiten Fur die Feldquantisierung im kanonischen Formalismus benutzt man den Hamilton Formalismus der klassischen Mechanik Man ordnet dabei jedem Feld ϕ displaystyle phi bzw ps displaystyle psi ein kanonisch konjugiertes Feld p displaystyle pi analog dem kanonischen Impuls zu Das Feld und sein kanonisch konjugiertes Feld sind dann im Sinne der Quantenmechanik konjugierte Operatoren sogenannte Feldoperatoren und erfullen eine Unscharferelation wie Ort und Impuls in der Quantenmechanik Die Unscharferelation kann entweder durch eine Kommutatorrelation fur Bosonen nach dem Spin Statistik Theorem oder eine Antikommutatorrelation fur Fermionen analog zum Kommutator von Ort und Impuls realisiert werden Den Hamilton Operator der die Energie des Systems charakterisiert erhalt man indem man die Hamilton Funktion bildet und darin die Felder durch die Feldoperatoren ersetzt Er ist in der Regel positiv definit oder darf zumindest keine unbeschrankt negativen Eigenwerte haben da ein solches System unter beliebig grosser Energieabgabe an die Umgebung in immer tiefere Energieeigenzustande fallen wurde Skalare Felder Bearbeiten Fur skalare Felder erhalt man p 0 ϕ displaystyle pi partial 0 phi dagger als kanonisch konjugiertes Feld zu ϕ displaystyle phi und p 0 ϕ displaystyle pi dagger partial 0 phi als kanonisch konjugiertes Feld zu ϕ displaystyle phi dagger Die geforderte Kommutatorrelation lautet ϕ x t p y t ϕ x t p y t i d 3 x y displaystyle phi vec x t pi vec y t phi dagger vec x t pi dagger vec y t i delta 3 vec x vec y Es ist in Quantenfeldtheorien ublich im Impulsraum zu rechnen Dazu betrachtet man die Fourier Darstellung des Feldoperators die fur das Skalarfeld lautet ϕ x d 4 k 2 p 4 2 p d k 2 m 2 8 k 0 a k e i k x b k e i k x displaystyle phi x int frac mathrm d 4 k 2 pi 4 2 pi delta k 2 m 2 theta k 0 left a k e ikx b dagger k e ikx right Dabei sind k displaystyle k der Impuls und 8 k 0 displaystyle theta k 0 die Stufenfunktion die bei negativem Argument 0 und sonst 1 ist Da ϕ x displaystyle phi x und ϕ x displaystyle phi dagger x Operatoren sind trifft dies auch auf a k displaystyle a k a k displaystyle a dagger k b k displaystyle b k und b k displaystyle b dagger k zu Ihre Kommutatoren folgen aus dem Kommutator der Feldoperatoren Der Operator a k displaystyle a dagger k kann als Operator interpretiert werden der ein Teilchen mit Impuls k displaystyle k erzeugt wahrend b k displaystyle b dagger k ein Antiteilchen mit Impuls k displaystyle k erzeugt Entsprechend konnen a k displaystyle a k und b k displaystyle b k als Operatoren interpretiert werden die ein Teilchen oder Antiteilchen mit Impuls k displaystyle k vernichten Die Verwendung der Kommutatorrelationen fuhrt wie gewunscht zu einem positiv definiten Hamilton Operator Es konnen beliebig viele Skalarfelder im selben Zustand sein Bose Einstein Statistik Spinorfelder Bearbeiten Wenn man fur ein Spinorfeld analog vorgeht erhalt man p i ps displaystyle pi i psi dagger als kanonisch konjugiertes Feld zu ps displaystyle psi und p i g 0 ps displaystyle overline pi i gamma 0 psi als kanonisch konjugiertes Feld zu ps displaystyle overline psi Damit ergeben sich die geforderten Anti Kommutatorrelationen zu ps j x t p k y t ps j x t p k y t i d j k d 3 x y displaystyle psi j vec x t pi k vec y t overline psi j vec x t overline pi k vec y t i delta jk delta 3 vec x vec y Dabei sind j displaystyle j und k displaystyle k Spinorindizes Man betrachtet dann wieder analog die Fourier Darstellung des Feldoperators und berechnet den Hamilton Operator Einen positiven Hamilton Operator erhalt man beim Spinorfeld jedoch nur wenn man Antikommutatoren benutzt Diese werden mit geschweiften Klammern geschrieben was in den obigen Formeln bereits vorweggenommen wurde Aufgrund dieser Antikommutatoren ergibt die zweimalige Anwendung desselben Erzeugungsoperators auf einen Zustand den Nullzustand Das bedeutet dass nie zwei Spin 1 2 Teilchen im selben Zustand sein konnen Pauli Prinzip Spinorfelder gehorchen daher der Fermi Dirac Statistik Eichfelder Bearbeiten Fur Eichfelder lauten die geforderten Kommutatorrelationen A m x t p n y t i g m n d 3 x y displaystyle A mu vec x t pi nu vec y t ig mu nu delta 3 vec x vec y wobei g m n displaystyle g mu nu die Komponenten der Minkowski Metrik bezeichnet Allerdings erhalt man aus der Lagrangedichte p 0 0 displaystyle pi 0 0 was die geforderte Kommutatorrelation nicht erfullen kann Die Quantisierung von Eichfeldern ist daher nur bei Festlegung einer Eichbedingung moglich Die Festlegung einer geeigneten Eichbedingung die den Zugang uber Kommutatorrelationen von Feldern ermoglicht und gleichzeitig die Lorentzinvarianz der Lagrangedichte erhalt ist kompliziert Man verwendet meist eine Abwandlung der Lorenz Eichung um sinnvoll ein kanonisch konjugiertes Feld definieren zu konnen Der Formalismus wird nach seinen Entwicklern Suraj N Gupta und Konrad Bleuler als Gupta Bleuler Formalismus bezeichnet Eine Alternative stellt eine physikalische Eichung wie z B die temporale plus eine weitere Eichbedingung dar Hier werden zwei der vier Polarisationen des Eichfeldes als physikalische Freiheitsgrade direkt durch die Wahl der Eichung A 0 x 0 displaystyle A 0 x 0 sowie durch die anschliessende Implementierung des Gaussschen Gesetzes G x phys 0 displaystyle G x text phys rangle 0 als Bedingung an die physikalischen Zustande eliminiert Der wesentliche Vorteil ist die Reduzierung des Hilbertraumes auf ausschliesslich physikalische transversale Freiheitsgrade Dem steht als Nachteil der Verlust einer manifest kovarianten Formulierung gegenuber Pfadintegral Bearbeiten Hauptartikel Pfadintegral Im Pfadintegralformalismus werden die Felder nicht als Operatoren sondern als einfache Funktionen behandelt Das Pfadintegral stellt im Wesentlichen eine Ubergangsamplitude von einem Vakuumzustand zum Zeitpunkt t displaystyle t infty zu einem Vakuumzustand zum Zeitpunkt t displaystyle t infty dar wobei uber alle dazwischen moglichen Feldkonfigurationen Pfade integriert wird mit einem Phasenfaktor der durch die Wirkung festgelegt wird Es hat fur das Skalarfeld die Form Z D ϕ exp i d 4 x L ϕ displaystyle Z propto int mathcal D phi exp left i int mathrm d 4 x mathcal L phi right Um allerdings uberhaupt Wechselwirkungen bei einem Ubergang vom Vakuum zum Vakuum zu erhalten mussen Felder erzeugt und vernichtet werden konnen Dies wird im Pfadintegralformalismus nicht mithilfe von Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren sondern durch Quellenfelder erzielt Es wird also zur Lagrangedichte ein Quellenterm der Form J x ϕ x ϕ x J x displaystyle J dagger x phi x phi dagger x J x hinzugefugt Das Quellenfeld J x soll nur in einem endlichen Intervall auf der Zeitachse von Null verschieden sein Das bedeutet dass die wechselwirkenden Felder genau innerhalb dieses Zeitintervalls existieren Das volle Pfadintegral fur ein freies Skalarfeld hat damit die Form Z J D ϕ exp i d 4 x m ϕ m ϕ m 2 ϕ ϕ J ϕ ϕ J displaystyle Z J propto int mathcal D phi exp left i int mathrm d 4 x left partial mu phi dagger partial mu phi m 2 phi dagger phi J dagger phi phi dagger J right right Das lasst sich wegen der Integration uber ϕ displaystyle phi mit einem Analogon des gaussschen Fehlerintegrals in eine Form bringen die in bestimmter Weise nur noch vom Quellenfeld J x abhangt und zwar Z J exp i J x D F x y J y d 4 x d 4 y displaystyle Z J propto exp left i int J dagger x Delta F x y J y mathrm d 4 x mathrm d 4 y right Dabei ist D F displaystyle Delta F gegeben durch m 2 D F x d 4 x displaystyle square m 2 Delta F x delta 4 x also gewissermassen als das Inverse des Klein Gordon Operators displaystyle square ist der D Alembert Operator Dieses Objekt wird als zeitgeordnete Greensche Funktion oder Feynman Propagator bezeichnet Man bezeichnet das Pfadintegral daher auch als Erzeugendenfunktional des Propagators da die Ableitungen nach J displaystyle J dagger und J displaystyle J effektiv einer Multiplikation mit dem Propagator entsprechen Das Verhalten des freien Feldes in Anwesenheit von Quellen wird nur durch den Propagator und das Quellenfeld bestimmt Dieses Ergebnis entspricht der Erwartung denn das Verhalten eines Feldes das nicht wechselwirkt ist offenbar nur durch seine Eigenschaften bei Erzeugung und Vernichtung und seine freie Bewegung bestimmt Erstere stecken im Quellenfeld und das Bewegungsverhalten wird durch den Klein Gordon Operator bestimmt dessen Informationsgehalt hier durch sein Inverses gegeben ist Bei der Quantisierung des Spinorfeldes im Pfadintegral Formalismus tritt das Problem auf dass die Felder einerseits wie normale zahlenwertige Funktionen behandelt werden auf der anderen Seite jedoch antikommutieren Normale Zahlen kommutieren jedoch Diese Schwierigkeit lasst sich losen indem man die Fermionfelder als Elemente einer Grassmann Algebra sogenannte Grassmann Zahlen auffasst Rechnerisch bedeutet das nur dass man sie wie antikommutierende Zahlen behandelt Durch die Grassmann Algebra ist diese Vorgehensweise theoretisch abgesichert Das Pfadintegral mit Quellenfeldern h displaystyle overline eta und h displaystyle eta hat dann die Form Z h h D ps D ps exp i d 4 x ps i g m m m ps h ps ps h displaystyle Z eta overline eta propto int mathcal D overline psi mathcal D psi exp left i int mathrm d 4 x left overline psi i gamma mu partial mu m psi overline eta psi overline psi eta right right Daraus lasst sich wie beim skalaren Feld eine Form ableiten die in bestimmter Weise nur noch von h displaystyle overline eta und h displaystyle eta abhangt Dabei lasst sich erneut ein Analogon des gaussschen Integrals anwenden das allerdings nicht dem gewohnten Formalismus entspricht sondern in gewisser Weise dazu invers ist Zunachst ist es jedenfalls notig einen Integralbegriff fur Grassmann Zahlen zu entwickeln Dann lasst sich das Pfadintegral in die folgende Form bringen Z h h exp i h x S x y h y d 4 x d 4 y displaystyle Z eta overline eta propto exp left i int overline eta x S x y eta y mathrm d 4 x mathrm d 4 y right Dabei ist S i g m m m D F displaystyle S i gamma mu partial mu m Delta F das Inverse des Dirac Operators das auch als Dirac Propagator bezeichnet wird Analog zum skalaren Feld ergibt sich auch hier eine Form die erwartungsgemass nur von den Quellenfeldern und der Dynamik der Felder bestimmt ist Das Pfadintegral fur ein Eichfeld ist von der Form Z D A m exp i d 4 x 1 2 A m g m n m n A n displaystyle Z propto int mathcal D A mu exp left i int mathrm d 4 x left frac 1 2 A mu g mu nu square partial mu partial nu A nu right right Der Operator g m n m n displaystyle g mu nu square partial mu partial nu hat jedoch kein Inverses Das erkennt man daran dass er bei Anwendung auf Vektoren des Typs m v displaystyle partial mu v Null ergibt Mindestens einer seiner Eigenwerte ist also Null was analog einer Matrix dafur sorgt dass der Operator nicht invertierbar ist Daher lasst sich hier nicht dieselbe Vorgehensweise anwenden wie beim skalaren Feld und beim Spinorfeld Man muss der Lagrangedichte einen zusatzlichen Term hinzufugen so dass man einen Operator erhalt zu dem es ein Inverses gibt Dies ist aquivalent dazu eine Eichung festzulegen Daher bezeichnet man den neuen Term als eichfixierenden Term Er ist allgemein von der Form L g f 1 2 a f 2 A m displaystyle mathcal L gf tfrac 1 2 alpha f 2 A mu Die dazu korrespondierende Eichbedingung lautet f A m 0 displaystyle f A mu stackrel 0 Das fuhrt jedoch dazu dass die Lagrangedichte von der Wahl des Eichterms f abhangt Dieses Problem lasst sich durch das Einfuhren von sogenannten Faddejew Popow Geistern beheben Diese Geister sind antikommutierende skalare Felder und widersprechen damit dem Spin Statistik Theorem Sie konnen daher nicht als freie Felder auftreten sondern nur als sogenannte virtuelle Teilchen Durch die Wahl der sogenannten Axial Eichung lasst sich das Auftreten dieser Felder vermeiden was ihre Interpretation als mathematische Artefakte naheliegend erscheinen lasst Ihr Auftreten in anderen Eichungen ist jedoch aus tieferliegenden theoretischen Grunden Unitaritat der S Matrix zwingend notwendig fur die Konsistenz der Theorie Die vollstandige Lagrangedichte mit eichfixierendem Term und Geistfeldern ist von der Eichbedingung abhangig Fur die Lorenz Eichung lautet sie bei nichtabelschen Eichtheorien L A h h 1 4 F m n a F m n a 1 2 a m A m a 2 h a m m d a c i g f a b c A m b h c displaystyle mathcal L A overline eta eta frac 1 4 F mu nu a F mu nu a frac 1 2 alpha partial mu A mu a 2 bar eta a partial mu partial mu delta ac igf abc A mu b eta c Dabei ist h displaystyle eta das Geistfeld und h displaystyle bar eta das Anti Geistfeld Fur abelsche Eichtheorien wie den Elektromagnetismus nimmt der letzte Term unabhangig von der Eichung die Form h h displaystyle bar eta square eta an Daher kann dieser Teil des Pfadintegrals einfach integriert werden und tragt nicht zur Dynamik bei Das Pfadintegral liefert auch einen Zusammenhang mit den Verteilungsfunktionen der statistischen Mechanik Dazu wird die imaginare Zeitkoordinate im Minkowskiraum analytisch in den euklidischen Raum fortgesetzt und statt komplexer Phasenfaktoren im Wegintegral erhalt man reelle ahnlich den Boltzmann Faktoren der statistischen Mechanik In dieser Form ist diese Formulierung auch Ausgangspunkt von numerischen Simulationen der Feldkonfigurationen meist zufallig im Quanten Monte Carlo Methoden mit einer Wichtung uber diese Boltzmannfaktoren ausgewahlt in Gitter Rechnungen Sie liefern die bisher genauesten Methoden z B fur die Berechnung von Hadronmassen in der Quantenchromodynamik Streuprozesse Bearbeiten Wie oben schon ausgefuhrt ist das Ziel der vorangegangenen Verfahren die Beschreibung einer relativistischen Streutheorie Obwohl die Methoden der Quantenfeldtheorien heute auch in anderen Zusammenhangen genutzt werden ist die Streutheorie noch heute eines ihrer Hauptanwendungsgebiete Daher werden die Grundlagen derselben an dieser Stelle erlautert Das zentrale Objekt der Streutheorie ist die sogenannte S Matrix oder Streumatrix deren Elemente die Ubergangswahrscheinlichkeit von einem Anfangszustand a i n displaystyle alpha mathrm in rangle in einen Ausgangszustand b o u t displaystyle beta mathrm out rangle beschreiben Die Elemente der S Matrix bezeichnet man als Streuamplituden Auf der Ebene der Felder ist die S Matrix also bestimmt durch die Gleichung ϕ o u t x S ϕ i n x S displaystyle phi mathrm out x S dagger phi mathrm in x S Die S Matrix lasst sich im Wesentlichen als Summe von Vakuumerwartungswerten von zeitgeordneten Feldoperatorprodukten auch n Punkt Funktionen Korrelatoren oder Greensche Funktionen genannt schreiben Ein Beweis dieser sogenannten LSZ Zerlegung ist einer der ersten grossen Erfolge der axiomatischen Quantenfeldtheorie Im Beispiel einer Quantenfeldtheorie in der es nur ein Skalarfeld gibt hat die Zerlegung die Form S n 0 1 n i 0 n ϕ x i K x i 0 T ϕ x 1 ϕ x n 0 displaystyle S sum n geq 0 frac 1 n left prod i 0 n phi x i K x i right langle 0 T left phi x 1 phi x n right 0 rangle Dabei ist K der Klein Gordon Operator und T der Zeitordnungsoperator der die Felder aufsteigend nach dem Wert der Zeit x i 0 displaystyle x i 0 ordnet Falls noch andere Felder als das Skalarfeld vorkommen mussen jeweils die entsprechenden Hamilton Operatoren verwendet werden Fur ein Spinorfeld muss z B der Dirac Operator statt des Klein Gordon Operators verwendet werden Zur Berechnung der S Matrix genugt es also die zeitgeordneten n Punkt Funktionen 0 T ϕ x 1 ϕ x n 0 displaystyle langle 0 T left phi x 1 phi x n right 0 rangle berechnen zu konnen Feynman Regeln und Storungstheorie Bearbeiten Als nutzliches Werkzeug zur Vereinfachung der Berechnungen der n Punkt Funktionen haben sich die Feynman Diagramme erwiesen Diese Kurzschreibweise wurde 1950 von Richard Feynman entwickelt und nutzt aus dass sich die Terme die bei der Berechnung der n Punkt Funktionen auftreten in eine kleine Anzahl elementarer Bausteine zerlegen lassen Diesen Term Bausteinen werden dann Bildelemente zugeordnet Diese Regeln nach denen diese Zuordnung geschieht bezeichnet man als Feynman Regeln Die Feynman Diagramme ermoglichen es damit komplizierte Terme in Form kleiner Bilder darzustellen Dabei gibt es zu jedem Term in der Lagrangedichte ein entsprechendes Bildelement Der Massenterm wird dabei zusammen mit dem Ableitungsterm als ein Term behandelt der das freie Feld beschreibt Diesen Termen werden fur verschiedene Felder meist verschiedene Linien zugeordnet Den Wechselwirkungstermen entsprechen dagegen Knotenpunkte sogenannte Vertices an denen fur jedes Feld das im Wechselwirkungsterm steht eine entsprechende Linie endet Linien die nur an einem Ende mit dem Diagramm verbunden sind werden als reale Teilchen interpretiert wahrend Linien die zwei Vertices verbinden als virtuelle Teilchen interpretiert werden Es lasst sich auch eine Zeitrichtung im Diagramm festlegen so dass es als eine Art Veranschaulichung des Streuprozesses interpretiert werden kann Dabei muss man jedoch zur vollstandigen Berechnung einer bestimmten Streuamplitude alle Diagramme mit den entsprechenden Anfangs und Endteilchen berucksichtigen Wenn die Lagrangedichte der Quantenfeldtheorie Wechselwirkungsterme enthalt sind dies im Allgemeinen unendlich viele Diagramme Wenn die Kopplungskonstante kleiner ist als eins werden die Terme mit hoheren Potenzen der Kopplungskonstante immer kleiner Da nach den Feynmanregeln jeder Vertex fur die Multiplikation mit der entsprechenden Kopplungskonstante steht werden die Beitrage von Diagrammen mit vielen Vertices sehr klein Die einfachsten Diagramme liefern also den grossten Beitrag zur Streuamplitude wahrend die Diagramme mit zunehmender Kompliziertheit gleichzeitig immer kleinere Beitrage liefern Auf diese Weise lassen sich die Prinzipien der Storungstheorie unter Erzielung guter Ergebnisse fur die Streuamplituden anwenden indem nur die Diagramme niedriger Ordnung in der Kopplungskonstanten berechnet werden Renormierung Bearbeiten Hauptartikel Renormierung Die Feynman Diagramme mit geschlossenen inneren Linien die sogenannten Schleifendiagramme z B Wechselwirkung eines Elektrons mit virtuellen Photonen aus dem Vakuum Wechselwirkung eines Photons mit virtuell erzeugten Teilchen Antiteilchen Paaren aus dem Vakuum sind meist divergent da uber alle Energien Impulse Frequenz Wellenzahl integriert wird Das hat zur Folge dass sich kompliziertere Feynman Diagramme zunachst nicht berechnen lassen Dieses Problem lasst sich jedoch haufig durch ein sogenanntes Renormierungsverfahren beheben nach einer falschen Ruckubersetzung aus dem Englischen auch manchmal als Renormalisierung bezeichnet Es gibt grundsatzlich zwei verschiedene Sichtweisen auf diese Prozedur Die erste traditionelle Sichtweise ordnet die Beitrage der divergierenden Schleifendiagramme so an dass sie wenigen Parametern in der Lagrangefunktion wie Massen und Kopplungskonstanten entsprechen Dann fuhrt man Gegenterme counter terms in der Lagrangefunktion ein die als unendliche nackte Werte dieser Parameter diese Divergenzen aufheben Das ist in der Quantenelektrodynamik moglich ebenso in der Quantenchromodynamik und anderen solchen Eichtheorien bei anderen Theorien wie der Gravitation dagegen nicht Dort waren unendlich viele Gegenterme notig die Theorie ist nicht renormierbar Eine zweite neuere Sichtweise aus dem Umfeld der Renormierungsgruppe beschreibt die Physik je nach Energiebereich durch verschiedene effektive Feldtheorien Beispielsweise ist die Kopplungskonstante in der Quantenchromodynamik energieabhangig fur kleine Energien geht sie gegen Unendlich confinement fur hohe Energien gegen Null Asymptotische Freiheit Wahrend in der QED die nackten Ladungen durch die Vakuumpolarisation Paarerzeugung und vernichtung wirksam abgeschirmt werden liegt der Fall bei Yang Mills Theorien wie der QCD wegen der Selbstwechselwirkung der geladenen Eichbosonen komplizierter Man vermutet dass sich alle Kopplungskonstanten physikalischer Theorien bei genugend hohen Energien annahern und dort wird die Physik dann durch eine grosse vereinheitlichte Theorie der Grundkrafte beschrieben Das Verhalten von Kopplungskonstanten und die Moglichkeit von Phasenubergangen mit der Energie wird durch die Theorie der Renormierungsgruppe beschrieben Aus solchen theoretischen Extrapolationen hat es in den 1990er Jahren erste Hinweise auf die Existenz supersymmetrischer Theorien gegeben fur die sich die Kopplungskonstanten am besten in einem Punkt treffen Die technische Vorgehensweise ist jedoch unabhangig von der Sichtweise Es wird zunachst eine Regularisierung vorgenommen indem ein zusatzlicher Parameter in die Rechnung eingefuhrt wird Dieser Parameter muss zuletzt wieder gegen null oder unendlich laufen je nach Wahl um die ursprunglichen Terme wieder zu erhalten Solange der Regularisierungsparameter jedoch als endlich angenommen wird bleiben die Terme endlich Man formt dann die Terme so um dass die Unendlichkeiten nur noch in Termen auftreten die reine Funktionen des Regularisierungsparameters sind Diese Terme werden dann weggelassen Danach setzt man den Regulierungsparameter null bzw unendlich wobei das Ergebnis nun endlich bleibt Diese Vorgehensweise wirkt auf den ersten Blick willkurlich doch das Weglassen muss nach bestimmten Regeln erfolgen Dadurch wird sichergestellt dass die renormierten Kopplungskonstanten bei niedrigen Energien den gemessenen Konstanten entsprechen Antiteilchen Bearbeiten Hauptartikel Antiteilchen Ein spezielles Gebiet der relativistischen Quantenmechanik betrifft Losungen der relativistischen Klein Gordon Gleichung und der Dirac Gleichung mit negativer Energie Dies wurde es Teilchen erlauben zu unendlicher negativer Energie abzusteigen was in der Realitat nicht beobachtet wird In der Quantenmechanik lost man dieses Problem indem man die entsprechenden Losungen willkurlich als Entitaten mit positiver Energie interpretiert die sich ruckwarts in der Zeit bewegen man ubertragt also in der Wellenfunktion das negative Vorzeichen von der Energie E auf die Zeit t was wegen der Beziehung D E h D t displaystyle Delta E h Delta t naheliegend ist h ist die Plancksche Konstante und h D f h D t displaystyle h Delta f h Delta t das der Energiedifferenz D E displaystyle Delta E zugeordnete Frequenzintervall Paul Dirac interpretierte diese ruckwarts bewegten Losungen als Antiteilchen Konkrete Quantenfeldtheorien BearbeitenStandardmodell Bearbeiten Hauptartikel Standardmodell Durch Kombination des elektroschwachen Modells mit der Quantenchromodynamik entsteht eine vereinte Quantenfeldtheorie das so genannte Standardmodell der Elementarteilchenphysik Es enthalt alle bekannten Teilchen und kann die meisten bekannten Vorgange erklaren Gleichzeitig ist aber bekannt dass das Standardmodell nicht die endgultige Theorie sein kann Zum einen ist die Gravitation nicht enthalten zum anderen gibt es eine Reihe von Beobachtungen Neutrinooszillationen Dunkle Materie nach denen eine Erweiterung des Standardmodells notwendig scheint Ausserdem enthalt das Standardmodell viele willkurliche Parameter und erklart z B das sehr unterschiedliche Massenspektrum der Elementarteilchenfamilien nicht Die im Folgenden erlauterten Quantenfeldtheorien sind alle im Standardmodell enthalten ϕ4 Theorie Bearbeiten Die Lagrangedichte der ϕ 4 displaystyle phi 4 Theorie lautet L m ϕ m ϕ m 2 ϕ ϕ l 4 ϕ ϕ 2 displaystyle mathcal L partial mu phi dagger partial mu phi m 2 phi dagger phi frac lambda 4 phi dagger phi 2 Diese Quantenfeldtheorie besitzt grosse theoretische Bedeutung da sie die einfachste denkbare Quantenfeldtheorie mit einer Wechselwirkung ist und hier im Gegensatz zu realistischeren Modellen einige exakte mathematische Aussagen uber ihre Eigenschaften gemacht werden konnen Sie beschreibt ein selbstwechselwirkendes reelles oder komplexes Skalarfeld In der statistischen Physik spielt sie eine Rolle als einfachstes Kontinuumsmodell fur die sehr allgemeine Landau Theorie der Phasenubergange zweiter Ordnung und der kritischen Phanomene Von der statistischen Interpretation aus bekommt man zugleich einen neuen und konstruktiven Zugang zum Renormierungsproblem indem gezeigt wird dass die Renormierung der Massen Ladungen und Vertex Funktionen durch Eliminierung kurzwelliger Wellenphanomene aus der sog Zustandssumme Z displaystyle mathcal Z englisch Partition Function erreicht werden kann Auch das Higgsfeld des Standardmodells hat eine ϕ 4 displaystyle phi 4 Selbstwechselwirkung die allerdings noch um Wechselwirkungen mit den anderen Feldern des Standardmodells erganzt wird In diesen Fallen ist die Kopplungskonstante m2 negativ was einer imaginaren Masse entsprache Diese Felder werden daher als tachyonische Felder bezeichnet Diese Bezeichnung bezieht sich jedoch auf das Higgsfeld und nicht auf das Higgs Teilchen das sogenannte Higgs Boson welches kein Tachyon sondern ein gewohnliches Teilchen mit reeller Masse ist Das Higgsteilchen wird auch nicht durch das Higgsfeld beschrieben sondern nur durch einen bestimmten Anteil dieses Feldes Quantenelektrodynamik Bearbeiten Hauptartikel Quantenelektrodynamik Die Lagrangedichte der Quantenelektrodynamik QED lautet L i ps g m m i e A m ps m ps ps 1 4 F m n F m n displaystyle mathcal L i overline psi gamma mu partial mu ieA mu psi m overline psi psi frac 1 4 F mu nu F mu nu Die QED ist die erste physikalisch erfolgreiche Quantenfeldtheorie Sie beschreibt die Wechselwirkung eines Spinorfeldes mit Ladung e das das Elektron beschreibt mit einem Eichfeld das das Photon beschreibt Man erhalt ihre Bewegungsgleichungen aus der Elektrodynamik durch Quantisierung der maxwellschen Gleichungen Die Quantenelektrodynamik erklart mit hoher Genauigkeit die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen zum Beispiel Elektronen Myonen Quarks mittels Austausch von virtuellen Photonen sowie die Eigenschaften von elektromagnetischer Strahlung Dadurch lassen sich etwa die chemischen Elemente ihre Eigenschaften und Bindungen und das Periodensystem der Elemente verstehen Auch die Festkorperphysik mit der wirtschaftlich bedeutsamen Halbleiterphysik leiten sich letztendlich von der QED ab Konkrete Rechnungen werden allerdings in der Regel im vereinfachten aber ausreichenden Formalismus der Quantenmechanik durchgefuhrt Schwache Wechselwirkung Bearbeiten Hauptartikel Schwache Wechselwirkung Die schwache Wechselwirkung deren bekanntester Effekt der Betazerfall ist nimmt eine physikalisch geschlossene Formulierung nach Vereinheitlichung mit der QED im elektroschwachen Standardmodell an Die Wechselwirkung wird hier durch Photonen W und Z Bosonen vermittelt Quantenchromodynamik Bearbeiten Hauptartikel Quantenchromodynamik Ein anderes Beispiel einer QFT ist die Quantenchromodynamik QCD welche die Starke Wechselwirkung beschreibt In ihr wird ein Teil der im Atomkern auftretenden Wechselwirkungen zwischen Protonen und Neutronen auf die subnukleare Wechselwirkung zwischen Quarks und Gluonen reduziert Interessant ist in der QCD dass die Gluonen welche die Wechselwirkung vermitteln selbst miteinander wechselwirken Das ware am Beispiel der QED etwa so als ob sich zwei durchdringende Lichtstrahlen direkt beeinflussen wurden Eine Konsequenz dieser gluonischen Selbstwechselwirkung ist dass die elementaren Quarks nicht einzeln beobachtet werden konnen sondern immer in Form von Quark Antiquark Zustanden oder Zustanden dreier Quarks oder Antiquarks auftreten Confinement Auf der anderen Seite folgt daraus dass die Kopplungskonstante bei hohen Energien nicht zunimmt sondern abnimmt Dieses Verhalten wird als asymptotische Freiheit bezeichnet Weiterfuhrende Aspekte BearbeitenSpontane Symmetriebrechung Bearbeiten Hauptartikel Spontane Symmetriebrechung Wie oben schon angesprochen eignet sich die ϕ 4 displaystyle phi 4 Theorie zur Beschreibung von Systemen mit spontaner Symmetriebrechung oder kritischen Punkten Der Massenterm wird dazu als Teil des Potentials verstanden Fur eine reelle Masse hat dieses Potential dann nur ein Minimum wahrend bei imaginarer Masse das Potential eine w formige Parabel vierten Grades beschreibt Wenn das Feld mehr als eine reelle Komponente hat erhalt man noch mehr Minima Bei einem komplexen Feld mit zwei reellen Komponenten erhalt man zum Beispiel die Rotationsfigur der w formigen Parabel mit einem Minimakreis Diese Form wird auch als Mexican Hat Potential bezeichnet da das Potential an die Form eines Sombrero erinnert Jedes Minimum entspricht nun einem Zustand niedrigster Energie die vom Feld alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit angenommen werden In jedem dieser Zustande hat das Feld jedoch ein geringeres Mass an Symmetrie da die Symmetrie der Minima untereinander durch Auswahl eines Minimums verloren geht Diese Eigenschaft der klassischen Feldtheorie ubertragt sich auf die Quantenfeldtheorie so dass sich die Moglichkeit ergibt Quantensysteme mit gebrochener Symmetrie zu beschreiben Beispiele fur solche Systeme sind das Ising Modell aus der Thermodynamik das die spontane Magnetisierung eines Ferromagneten erklart und der Higgs Mechanismus der die Massen der Eichbosonen in der schwachen Wechselwirkung erklart Durch die erhaltenen Massenterme der Eichbosonen wird namlich die Eichsymmetrie reduziert Axiomatische Quantenfeldtheorie Bearbeiten Hauptartikel Axiomatische Quantenfeldtheorie Die Axiomatische Quantenfeldtheorie versucht ausgehend von einem Satz moglichst weniger als mathematisch oder physikalisch unumganglich angesehener Axiome eine konsistente Beschreibung der Quantenfeldtheorie zu erzielen Die axiomatische Quantenfeldtheorie wurde u a aus den Wightman Axiomen entstanden im Jahr 1956 begrundet Ein weiterer Zugang ist die von Haag und Araki 1962 formulierte algebraische Quantenfeldtheorie die durch die Haag Kastler Axiome charakterisiert wird Die Osterwalder Schrader Axiome stellen einen dritten axiomatischen Zugang zur Quantenfeldtheorie dar Etliche konkrete Ergebnisse konnten mit dieser Herangehensweise erzielt werden zum Beispiel die Herleitung des Spin Statistik Theorems und des CPT Theorems alleine aus den Axiomen d h unabhangig von einer speziellen Quantenfeldtheorie Ein fruher Erfolg war die 1955 von Lehmann Symanzik und Zimmermann entwickelte LSZ Reduktionsformel fur die S Matrix Ausserdem existiert ein von Bogoliubov Medvedev und Polianov begrundeter funktionalanalytischer Zugang zur S Matrix Theorie auch BMP Theorie genannt Weitere Anwendungen im Bereich der klassischen Statistik und der Quantenstatistik sind schon sehr weit fortgeschritten Sie reichen von der allgemeinen Ableitung der Existenz thermodynamischer Grossen Satz von Gibbs Zustandsgrossen wie Druck innerer Energie und Entropie bis zum Beweis der Existenz von Phasenubergangen und der exakten Behandlung wichtiger Vielteilchensysteme des Bardeen Cooper Schrieffer Modells der Supraleitfahigkeit des Heisenbergschen Ferromagneten des idealen Bose Gases Verhaltnis zu anderen Theorien BearbeitenVersuche diese Quantenfeldtheorien mit der allgemeinen Relativitatstheorie Gravitation zur Quantengravitation zu vereinen sind bisher ohne Erfolg geblieben Nach Ansicht vieler Forscher erfordert die Quantisierung der Gravitation neue uber die Quantenfeldtheorie hinausgehende Konzepte da hier der Raum Zeit Hintergrund selbst dynamisch wird Beispiele aus der aktuellen Forschung sind die Stringtheorie die M Theorie und die Loop Quantengravitation Weiter liefern die Supersymmetrie die Twistor Theorie die Finite Quantenfeldtheorie und die Topologische Quantenfeldtheorie wichtige konzeptionelle Ideen die zurzeit in der Fachwelt diskutiert werden Auch in der Festkorpertheorie finden sich Anwendungen der nicht relativistischen Quantenfeldtheorie und zwar hauptsachlich in der Vielteilchentheorie Literatur BearbeitenAllgemeine Einfuhrungen in das Thema jeweils in alphabetischer Reihenfolge der Erst Autoren Deutsch Christoph Berger Elementarteilchenphysik 2 Auflage Springer 2006 Freeman Dyson Quantenfeldtheorie Springer Spektrum 2014 ISBN 978 3 642 37677 1 Walter Greiner u a Theoretische Physik Verlag Harri Deutsch Bande Feldquantisierung 1993 Quantenelektrodynamik 1994 Eichtheorie der schwachen Wechselwirkung 1994 Quantenchromodynamik Gernot Munster Von der Quantenfeldtheorie zum Standardmodell de Gruyter 2019 ISBN 978 3 11 063853 0 Englisch James Bjorken Sidney Drell Relativistische Quantenfeldtheorie BI Wissenschaftsverlag Mannheim Zurich 1993 ISBN 3 411 00101 1 englisch Relativistic Quantum Fields Ubersetzt von J Benecke D Maison E Riedel Claude Itzykson und Jean Bernard Zuber Quantum field theory Dover 2006 ISBN 978 0 486 44568 7 Michio Kaku Quantum field theory a modern introduction Oxford University Press New York Oxford 1993 ISBN 0 19 509158 2 englisch Michael Peskin und Daniel Schroder Introduction to Quantum Field Theory Westview Press Boulder Col 2007 ISBN 978 0 201 50397 5 englisch Franz Mandl und Graham Shaw Quantum field theory Wiley 1993 ISBN 978 0 471 94186 6 Deutsche Ausgabe Quantenfeldtheorie Ubersetzt von Ralf Bonisch Aula 1993 ISBN 978 3 89104 532 9 Lewis Ryder Quantum field theory Cambridge 1996 ISBN 978 0 521 47814 4 Matthew D Schwartz Quantum Field Theory and the Standard Model Cambridge 2013 ISBN 978 1 107 03473 0 Steven Weinberg The Quantum Theory of Fields 3 Bande Cambridge University Press 1995 2005 Band 3 zu Supersymmetrie Band 1 ISBN 978 0 521 67053 1 Band 2 ISBN 978 0 521 67054 8 Anthony Zee Quantum field theory in a nutshell Princeton University Press Princeton 2003 ISBN 0 691 01019 6 englisch Speziellere und verwandte Themen Aitchison Hey Gauge theories in particle physics 2 Bande 3 Auflage IOP Publishing Bristol 2003 2004 N D Birrell P C W Davies Quantum fields in curved space Cambridge Univ Press Cambridge 1984 ISBN 0 521 27858 9 James Glimm Arthur Jaffe Quantum physics a functional integral point of view 2 Auflage Springer 1987 ISBN 978 0 387 96477 5 Hermann Haken Quantenfeldtheorie des Festkorpers Stuttgart Teubner 1993 Claude Itzykson Jean Michel Drouffe Statistical field theory 2 Bande Cambridge University Press 1989 auch Anwendungen in statistischer Mechanik Hagen Kleinert Verena Schulte Frohlinde Critical Properties of f4 Theories World Scientific 2001 ISBN 981 02 4658 7 Hagen Kleinert Multivalued Fields in Condensed Matter Electrodynamics and Gravitation PDF World Scientific 2008 ISBN 978 981 279 170 2 Richard Mattuck A guide to Feynman diagrams in the many body problem Dover Publications New York 1992 ISBN 0 486 67047 3 englisch Jean Zinn Justin Quantum field theory and critical phenomena Clarendon Press Oxford u a 2003 ISBN 0 19 850923 5 Eine sehr umfangreiche Darstellung die beiden Gesichtspunkten gerecht wird Weblinks BearbeitenEintrag in Edward N Zalta Hrsg Stanford Encyclopedia of Philosophy Vorlage SEP Wartung Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3 Links zu Skripten und Aufsatzen engl mit edu David Tong Lectures on Quantum Field Theory cam ac uk Links zu deutschsprachigem Skripten uber die QFT Memento vom 15 Juli 2014 im Internet Archive Uni Aachen abgerufen am 14 Juli 2014Normdaten Sachbegriff GND 4047984 5 OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quantenfeldtheorie amp oldid 215319348, wikipedia, wiki, deutsches

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