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Polynom

Ein Polynom summiert die Vielfachen von Potenzen einer Variablen bzw. Unbestimmten:

P ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n , n 0 {\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n}x^{n},\quad n\geq 0}

oder kurz mit dem Summenzeichen:

P ( x ) = i = 0 n a i x i , n 0 {\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},\quad n\geq 0}

Dabei ist {\displaystyle \textstyle \sum } das Summenzeichen, die Zahlen a i {\displaystyle a_{i}} sind die Koeffizienten (das können beispielsweise reelle Zahlen oder allgemeiner Elemente aus einem beliebigen Ring sein) und x {\displaystyle x} ist die Unbestimmte.

Exponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heißen formale Potenzreihen.

Für Mathematik und Physik gibt es einige wichtige spezielle Polynome.

In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in x {\displaystyle x} (einer Polynomfunktion). In der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom als Element eines Polynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion oft auch als ganzrationale Funktion bezeichnet.

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms und Absolutglied.

Inhaltsverzeichnis

Das Wort Polynom bedeutet so viel wie „mehrnamig“. Es entstammt dem griech. πολύ polý „viel“ und όνομα onoma „Name“. Diese Bezeichnung geht zurück bis auf Euklids Elemente. In Buch X nennt er eine zweigliedrige Summe a + b {\displaystyle a+b} ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): „aus zwei Namen (bestehend)“. Die Bezeichnung Polynom geht auf Viëta zurück: In seiner Isagoge (1591) verwendet er den Ausdruck polynomia magnitudo für eine mehrgliedrige Größe.

Graph einer Polynomfunktion 5. Grades
Hauptartikel: Polynomfunktion

Im Gegensatz zur abstrakten Algebra werden Polynome in der elementaren Algebra als Funktionen aufgefasst. Daher wird in diesem Abschnitt der Begriff Polynomfunktion anstatt Polynom verwendet.

Definition

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion eine Funktion P {\displaystyle P} der Form

P ( x ) = i = 0 n a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n 1 x n 1 + a n x n , n 0 {\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dotsb +a_{n-1}x^{n-1}+a_{n}x^{n},\quad n\geq 0} ,

wobei als Definitionsbereich für die (unabhängige) Variable x {\displaystyle x} jede beliebige R {\displaystyle R} -Algebra in Frage kommt, wenn R {\displaystyle R} der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten). Häufig ist dieser jedoch die Menge der ganzen, der reellen oder der komplexen Zahlen. Die a i {\displaystyle a_{i}} stammen aus einem Ring R {\displaystyle R} , zum Beispiel einem Körper oder einem Restklassenring, und werden Koeffizienten genannt.

  • Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent i { 0 , , n } {\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}} bezeichnet, für den der Koeffizient a i {\displaystyle a_{i}} des Monoms a i x i {\displaystyle a_{i}x^{i}} nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient (auch: führender Koeffizient). (Die Schreibweise deg f {\displaystyle \deg f} für den Grad des Polynoms f {\displaystyle f} ist vom englischen Begriff degree abgeleitet. In der deutschsprachigen Literatur findet sich häufig auch die aus dem Deutschen kommende Schreibweise g r a d f {\displaystyle \mathrm {grad} \,f} oder G r a d f {\displaystyle \mathrm {Grad} \,f} .)
  • Die Menge aller reellen Polynomfunktionen beliebigen (aber endlichen) Grades ist ein Vektorraum, der sich nicht offensichtlich mittels geometrischer Vorstellungen veranschaulichen lässt.
  • Für das Nullpolynom, bei dem alle a i {\displaystyle a_{i}} Null sind, wird der Grad als {\displaystyle -\infty } definiert.
  • Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert oder auch monisch.
  • Sind die Koeffizienten teilerfremd, bzw. ist der Inhalt 1, dann heißt das Polynom primitiv.

Der Koeffizient a 0 {\displaystyle a_{0}} heißt Absolutglied. a 1 x {\displaystyle a_{1}x} wird als lineares Glied bezeichnet, a 2 x 2 {\displaystyle a_{2}x^{2}} als quadratisches Glied und a 3 x 3 {\displaystyle a_{3}x^{3}} als kubisches.

Einfaches Beispiel

Durch

P ( x ) := 9 x 3 + x 2 + 7 x 3 , 8 {\displaystyle P(x):=9x^{3}+x^{2}+7x-3{,}8}

ist ein Polynom dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist 3). In diesem Beispiel ist 9 der Leitkoeffizient (als Faktor vor der höchsten Potenz von x {\displaystyle x} ), die weiteren Koeffizienten lauten: 1; 7 und −3,8.

Bezeichnung spezieller Polynomfunktionen

Polynome des Grades

  • 0 werden konstante Funktionen genannt (z. B. P ( x ) = 1 {\displaystyle P(x)=-1} ).
  • 1 werden lineare Funktionen oder genauer affin lineare Funktionen genannt (z. B. P ( x ) = 3 x + 5 {\displaystyle P(x)=3x+5} ).
  • 2 werden quadratische Funktionen genannt (z. B. P ( x ) = 3 x 2 4 x + 1 {\displaystyle P(x)=-3x^{2}-4x+1} ).
  • 3 werden kubische Funktionen genannt (z. B. P ( x ) = 4 x 3 2 x 2 + 7 x + 2 {\displaystyle P(x)=4x^{3}-2x^{2}+7x+2} ).
  • 4 werden quartische Funktionen genannt (z. B. P ( x ) = 6 x 4 x 3 + 4 x 2 + 2 x + 2 {\displaystyle P(x)=6x^{4}-x^{3}+4x^{2}+2x+2} ).

Nullstellen

Als Nullstellen einer Polynomfunktion oder Wurzeln bzw. Lösungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von x {\displaystyle x} bezeichnet, für die der Funktionswert P ( x ) {\displaystyle P(x)} null ist, das heißt, die die Gleichung P ( x ) = 0 {\displaystyle P(x)=0} erfüllen. Eine Polynomfunktion über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsring) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Weiterhin besagt der Fundamentalsatz der Algebra, dass eine komplexe Polynomfunktion (das heißt eine Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten) vom Grad n 1 {\displaystyle n\geq 1} mindestens eine komplexe Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann gibt es genau n {\displaystyle n} Nullstellen (Polynomdivision), wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. So ist beispielsweise die Nullstelle x = 2 {\displaystyle x=2} der Polynomfunktion ( x 2 ) 2 {\displaystyle (x-2)^{2}} eine doppelte. Im Ergebnis lässt sich jede komplexe Polynomfunktion positiven Grades in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen. Allgemein kann man zu jedem Körper K {\displaystyle K} eine algebraische Körpererweiterung L {\displaystyle L} finden, in der alle Polynome positiven Grades mit Koeffizienten in K {\displaystyle K} als Polynome über L {\displaystyle L} in Linearfaktoren zerfallen. In diesem Fall nennt man L {\displaystyle L} den algebraischen Abschluss von K {\displaystyle K} .

Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (zum Beispiel durch die pq-Formel für quadratische Gleichungen), dagegen lassen sich Polynomfunktionen höheren Grades nur in Spezialfällen mit Hilfe von Wurzelzeichen exakt faktorisieren. Dies ist die Aussage der Satzes von Abel-Ruffini.

Hauptartikel: Polynomring

Definition

In der abstrakten Algebra definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes R [ X ] {\displaystyle R[X]} . Dieser wiederum ist die Erweiterung des Koeffizientenringes R {\displaystyle R} durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element X {\displaystyle X} . Damit enthält R [ X ] {\displaystyle R[X]} die Potenzen X n {\displaystyle X^{n}} , n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } und deren Linearkombinationen a 0 + k = 1 n a k X k {\displaystyle \textstyle a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}X^{k}} mit a k R {\displaystyle a_{k}\in R} . Dies sind auch schon alle Elemente, d. h., jedes Polynom ist eindeutig durch die Folge

( a 0 , a 1 , , a n , 0 , 0 , ) R × R × R × {\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},0,0,\dots )\in R\times R\times R\times \dots }

seiner Koeffizienten charakterisiert.

Konstruktion

Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings R [ X ] {\displaystyle R[X]} durch die Menge der endlichen Folgen in R × R × R × {\displaystyle R\times R\times R\times \dots } konstruiert werden. Dazu wird auf R [ X ] {\displaystyle R[X]} eine Addition „ + {\displaystyle +} “ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation „ {\displaystyle \cdot } “ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also a = ( a n ) n N 0 {\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}} und b = ( b n ) n N 0 {\displaystyle b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}} , so ist

a + b := ( a n + b n ) n N 0 {\displaystyle a+b:=(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}

und

a b := ( i = 0 n a i b n i ) n N 0 = ( i + j = n a i b j ) n N 0 , {\displaystyle a\cdot b:=\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}=\left(\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}},}

R [ X ] {\displaystyle R[X]} mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, der Polynomring (in einer Unbestimmten) über R {\displaystyle R} .

Identifiziert man die Unbestimmte als Folge X := ( 0 , 1 , 0 , 0 , ) {\displaystyle X:=(0,1,0,0,\dotsc )} , so dass X 2 = X X = ( 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , ) {\displaystyle X^{2}=X\cdot X=(0,0,1,0,0,\dotsc )} , X 3 = X 2 X = ( 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , ) {\displaystyle X^{3}=X^{2}\cdot X=(0,0,0,1,0,0,\dotsc )} etc., so kann jede Folge ( a 0 , a 1 , a 2 , ) R [ X ] {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )\in R[X]} wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als

( a 0 , a 1 , a 2 , ) = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 + = a 0 + n N > 0 a n X n . {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )=a_{0}+a_{1}\cdot X+a_{2}\cdot X^{2}+\dotsb =a_{0}+\sum _{n\in \mathbb {N} _{>0}}a_{n}\cdot X^{n}.}

Zusammenhang mit der analytischen Definition

Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl n N 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} existiert, so dass a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} für alle i > n {\displaystyle i>n} gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom f R [ X ] {\displaystyle f\in R[X]} über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als f = a 0 + a 1 X + + a n X n {\displaystyle f=a_{0}+a_{1}\cdot X+\dotsb +a_{n}\cdot X^{n}} . Dabei ist f {\displaystyle f} jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes R [ X ] {\displaystyle R[X]} ) und X {\displaystyle X} ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge ( 0 , 1 , 0 , 0 , ) {\displaystyle (0,1,0,0,\dotsc )} . Man kann jedoch f {\displaystyle f} als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d. h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenannten Einsetzungshomomorphismus.

Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise R {\displaystyle R} der Restklassenring Z / 3 Z = { 0 ¯ , 1 ¯ , 2 ¯ } {\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{{\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {2}}\}} , so induzieren die Polynome f , g ( Z / 3 Z ) [ X ] {\displaystyle f,g\in (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )[X]}

f = X ( X 1 ¯ ) ( X 2 ¯ ) = X 3 3 ¯ X 2 + 2 ¯ X = X 3 X {\displaystyle f=X(X-{\bar {1}})(X-{\bar {2}})=X^{3}-{\bar {3}}X^{2}+{\bar {2}}X=X^{3}-X}

und

das Nullpolynom g = 0 {\displaystyle g=0}

beide die Nullabbildung 0 Abb ( Z / 3 Z , Z / 3 Z ) {\displaystyle 0\in \operatorname {Abb} \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)} , das heißt: f ( x ) = g ( x ) = 0 ¯ = 0 ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)={\bar {0}}=0(x)} für alle x Z / 3 Z . {\displaystyle x\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} .}

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsring ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in R {\displaystyle R} bildet einen Ring (Unterring des Funktionenrings), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von R [ X ] {\displaystyle R[X]} in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

Polynome in mehreren Unbestimmten

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form a i 1 , , i n X 1 i 1 X n i n {\displaystyle a_{i_{1},\dotsc ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}} als Polynom (in mehreren Unbestimmten):

P ( X 1 , , X n ) = i 1 , , i n a i 1 , , i n X 1 i 1 X n i n {\displaystyle P(X_{1},\dotsc ,X_{n})=\sum _{i_{1},\dotsc ,i_{n}}a_{i_{1},\dotsc ,i_{n}}X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}}
Lies: „Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“

Durch eine Monomordnung ist es möglich die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.

Die Größe i 1 + + i n {\displaystyle i_{1}+\dotsb +i_{n}} heißt der Totalgrad eines Monoms X 1 i 1 X n i n {\displaystyle X_{1}^{i_{1}}\dotsm X_{n}^{i_{n}}} . Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der Grad des Polynoms.

Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades ist

( n + k 1 k ) , {\displaystyle {\binom {n+k-1}{k}},}
Lies: „n+k-1 über k“ oder „k aus n+k-1“

wobei n {\displaystyle n} die Anzahl der vorkommenden Unbestimmten und k {\displaystyle k} der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.

Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades bis k {\displaystyle k} , erhält man für die Anzahl der möglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades:

( n + k k ) {\displaystyle {\binom {n+k}{k}}}
Lies: „n+k über k“ oder „k aus n+k“

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom symmetrisch. Gemeint ist: wenn das Polynom sich bei Vertauschungen der Unbestimmten nicht ändert.

Auch die Polynome in den n {\displaystyle n} Unbestimmten X 1 , , X n {\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}} über dem Ring R {\displaystyle R} bilden einen Polynomring, geschrieben als R [ X 1 , , X n ] {\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]} .

Formale Potenzreihen

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

f = i = 0 a i X i {\displaystyle f=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“

über, erhält man formale Potenzreihen.

Laurent-Polynome und Laurent-Reihen

Lässt man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu, so erhält man ein Laurent-Polynom. Entsprechend zu den formalen Potenzreihen können auch formale Laurent-Reihen betrachtet werden. Es handelt sich dabei um Objekte der Form

f = i = N a i X i . {\displaystyle f=\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}X^{i}.}
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“

Posynomialfunktionen

Lässt man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu, so erhält man den Begriff der Posynomialfunktion.

Wiktionary: Polynom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  • zur Berechnung der (auch komplexen) Nullstellen von Polynomen maximal 24. Grades (nach dem Newton-Verfahren)
  1. cf. Barth, Federle, Haller: Algebra 1. Ehrenwirth-Verlag, München 1980, S. 187, Fußnote **, dort Erklärung zur Bezeichnung „Binomische Formel“
  2. Für die Zweckmäßigkeit dieser Setzung siehe Division mit Rest.
  3. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. S. 213, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3.

Polynom
polynom, summe, vielfachen, potenzen, natürlichzahligen, exponenten, einer, variablen, sprache, beobachten, bearbeiten, summiert, vielfachen, potenzen, einer, variablen, unbestimmten, displaystyle, dotsb, quad, oder, kurz, summenzeichen, displaystyle, quad, da. Polynom Summe von Vielfachen von Potenzen mit naturlichzahligen Exponenten einer Variablen Sprache Beobachten Bearbeiten Ein Polynom summiert die Vielfachen von Potenzen einer Variablen bzw Unbestimmten P x a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n n 0 displaystyle P x a 0 a 1 x a 2 x 2 dotsb a n x n quad n geq 0 oder kurz mit dem Summenzeichen P x i 0 n a i x i n 0 displaystyle P x sum i 0 n a i x i quad n geq 0 Dabei ist displaystyle textstyle sum das Summenzeichen die Zahlen a i displaystyle a i sind die Koeffizienten das konnen beispielsweise reelle Zahlen oder allgemeiner Elemente aus einem beliebigen Ring sein und x displaystyle x ist die Unbestimmte Exponenten der Potenzen sind naturliche Zahlen Die Summe ist ausserdem stets endlich Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit naturlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heissen formale Potenzreihen Fur Mathematik und Physik gibt es einige wichtige spezielle Polynome In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in x displaystyle x einer Polynomfunktion In der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom als Element eines Polynomrings In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion oft auch als ganzrationale Funktion bezeichnet Dieser Artikel erklart ausserdem die mathematischen Begriffe Leitkoeffizient Normieren eines Polynoms und Absolutglied Inhaltsverzeichnis 1 Etymologie 2 Polynome in der elementaren Algebra 2 1 Definition 2 2 Einfaches Beispiel 2 3 Bezeichnung spezieller Polynomfunktionen 2 4 Nullstellen 3 Polynome in der abstrakten Algebra 3 1 Definition 3 2 Konstruktion 3 3 Zusammenhang mit der analytischen Definition 4 Verallgemeinerungen 4 1 Polynome in mehreren Unbestimmten 4 2 Formale Potenzreihen 4 3 Laurent Polynome und Laurent Reihen 4 4 Posynomialfunktionen 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseEtymologie BearbeitenDas Wort Polynom bedeutet so viel wie mehrnamig Es entstammt dem griech poly poly viel und onoma onoma Name Diese Bezeichnung geht zuruck bis auf Euklids Elemente In Buch X nennt er eine zweigliedrige Summe a b displaystyle a b ἐk dyo ὀnomatwn ek dyo onomatōn aus zwei Namen bestehend Die Bezeichnung Polynom geht auf Vieta zuruck In seiner Isagoge 1591 verwendet er den Ausdruck polynomia magnitudo fur eine mehrgliedrige Grosse 1 Polynome in der elementaren Algebra Bearbeiten Graph einer Polynomfunktion 5 Grades Hauptartikel Polynomfunktion Im Gegensatz zur abstrakten Algebra werden Polynome in der elementaren Algebra als Funktionen aufgefasst Daher wird in diesem Abschnitt der Begriff Polynomfunktion anstatt Polynom verwendet Definition Bearbeiten In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion eine Funktion P displaystyle P der Form P x i 0 n a i x i a 0 a 1 x a 2 x 2 a n 1 x n 1 a n x n n 0 displaystyle P x sum i 0 n a i x i a 0 a 1 x a 2 x 2 dotsb a n 1 x n 1 a n x n quad n geq 0 wobei als Definitionsbereich fur die unabhangige Variable x displaystyle x jede beliebige R displaystyle R Algebra in Frage kommt wenn R displaystyle R der Wertebereich der Koeffizienten ist siehe unten Haufig ist dieser jedoch die Menge der ganzen der reellen oder der komplexen Zahlen Die a i displaystyle a i stammen aus einem Ring R displaystyle R zum Beispiel einem Korper oder einem Restklassenring und werden Koeffizienten genannt Alle Exponenten sind naturliche Zahlen Als Grad des Polynoms wird der hochste Exponent i 0 n displaystyle i in 0 ldots n bezeichnet fur den der Koeffizient a i displaystyle a i des Monoms a i x i displaystyle a i x i nicht null ist Dieser Koeffizient heisst Leitkoeffizient auch fuhrender Koeffizient Die Schreibweise deg f displaystyle deg f fur den Grad des Polynoms f displaystyle f ist vom englischen Begriff degree abgeleitet In der deutschsprachigen Literatur findet sich haufig auch die aus dem Deutschen kommende Schreibweise g r a d f displaystyle mathrm grad f oder G r a d f displaystyle mathrm Grad f Die Menge aller reellen Polynomfunktionen beliebigen aber endlichen Grades ist ein Vektorraum der sich nicht offensichtlich mittels geometrischer Vorstellungen veranschaulichen lasst Fur das Nullpolynom bei dem alle a i displaystyle a i Null sind wird der Grad als displaystyle infty definiert 2 Ist der Leitkoeffizient 1 dann heisst das Polynom normiert oder auch monisch Sind die Koeffizienten teilerfremd bzw ist der Inhalt 1 dann heisst das Polynom primitiv Der Koeffizient a 0 displaystyle a 0 heisst Absolutglied a 1 x displaystyle a 1 x wird als lineares Glied bezeichnet a 2 x 2 displaystyle a 2 x 2 als quadratisches Glied und a 3 x 3 displaystyle a 3 x 3 als kubisches Einfaches Beispiel Bearbeiten Durch P x 9 x 3 x 2 7 x 3 8 displaystyle P x 9x 3 x 2 7x 3 8 ist ein Polynom dritten Grades gegeben der hochste vorkommende Exponent ist 3 In diesem Beispiel ist 9 der Leitkoeffizient als Faktor vor der hochsten Potenz von x displaystyle x die weiteren Koeffizienten lauten 1 7 und 3 8 Bezeichnung spezieller Polynomfunktionen Bearbeiten Polynome des Grades 0 werden konstante Funktionen genannt z B P x 1 displaystyle P x 1 1 werden lineare Funktionen oder genauer affin lineare Funktionen genannt z B P x 3 x 5 displaystyle P x 3x 5 2 werden quadratische Funktionen genannt z B P x 3 x 2 4 x 1 displaystyle P x 3x 2 4x 1 3 werden kubische Funktionen genannt z B P x 4 x 3 2 x 2 7 x 2 displaystyle P x 4x 3 2x 2 7x 2 4 werden quartische Funktionen genannt z B P x 6 x 4 x 3 4 x 2 2 x 2 displaystyle P x 6x 4 x 3 4x 2 2x 2 Nullstellen Bearbeiten Als Nullstellen einer Polynomfunktion oder Wurzeln bzw Losungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von x displaystyle x bezeichnet fur die der Funktionswert P x displaystyle P x null ist das heisst die die Gleichung P x 0 displaystyle P x 0 erfullen Eine Polynomfunktion uber einem Korper oder allgemeiner einem Integritatsring hat stets hochstens so viele Nullstellen wie sein Grad angibt Weiterhin besagt der Fundamentalsatz der Algebra dass eine komplexe Polynomfunktion das heisst eine Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten vom Grad n 1 displaystyle n geq 1 mindestens eine komplexe Nullstelle hat reiner Existenzsatz Dann gibt es genau n displaystyle n Nullstellen Polynomdivision wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezahlt werden So ist beispielsweise die Nullstelle x 2 displaystyle x 2 der Polynomfunktion x 2 2 displaystyle x 2 2 eine doppelte Im Ergebnis lasst sich jede komplexe Polynomfunktion positiven Grades in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen Allgemein kann man zu jedem Korper K displaystyle K eine algebraische Korpererweiterung L displaystyle L finden in der alle Polynome positiven Grades mit Koeffizienten in K displaystyle K als Polynome uber L displaystyle L in Linearfaktoren zerfallen In diesem Fall nennt man L displaystyle L den algebraischen Abschluss von K displaystyle K Die Nullstellen von Polynomen ersten zweiten dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen zum Beispiel durch die pq Formel fur quadratische Gleichungen dagegen lassen sich Polynomfunktionen hoheren Grades nur in Spezialfallen mit Hilfe von Wurzelzeichen exakt faktorisieren Dies ist die Aussage der Satzes von Abel Ruffini Polynome in der abstrakten Algebra Bearbeiten Hauptartikel Polynomring Definition Bearbeiten In der abstrakten Algebra definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes R X displaystyle R X Dieser wiederum ist die Erweiterung des Koeffizientenringes R displaystyle R durch ein unbestimmtes algebraisch freies Element X displaystyle X Damit enthalt R X displaystyle R X die Potenzen X n displaystyle X n n N displaystyle n in mathbb N und deren Linearkombinationen a 0 k 1 n a k X k displaystyle textstyle a 0 sum k 1 n a k X k mit a k R displaystyle a k in R Dies sind auch schon alle Elemente d h jedes Polynom ist eindeutig durch die Folge a 0 a 1 a n 0 0 R R R displaystyle a 0 a 1 dots a n 0 0 dots in R times R times R times dots seiner Koeffizienten charakterisiert Konstruktion Bearbeiten Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings R X displaystyle R X durch die Menge der endlichen Folgen in R R R displaystyle R times R times R times dots konstruiert werden Dazu wird auf R X displaystyle R X eine Addition displaystyle als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation displaystyle cdot durch Faltung der Folgen definiert Ist also a a n n N 0 displaystyle a a n n in mathbb N 0 und b b n n N 0 displaystyle b b n n in mathbb N 0 so ist a b a n b n n N 0 displaystyle a b a n b n n in mathbb N 0 und a b i 0 n a i b n i n N 0 i j n a i b j n N 0 displaystyle a cdot b left sum i 0 n a i b n i right n in mathbb N 0 left sum i j n a i b j right n in mathbb N 0 R X displaystyle R X mit diesen Verknupfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring der Polynomring in einer Unbestimmten uber R displaystyle R Identifiziert man die Unbestimmte als Folge X 0 1 0 0 displaystyle X 0 1 0 0 dotsc so dass X 2 X X 0 0 1 0 0 displaystyle X 2 X cdot X 0 0 1 0 0 dotsc X 3 X 2 X 0 0 0 1 0 0 displaystyle X 3 X 2 cdot X 0 0 0 1 0 0 dotsc etc so kann jede Folge a 0 a 1 a 2 R X displaystyle a 0 a 1 a 2 dotsc in R X wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als a 0 a 1 a 2 a 0 a 1 X a 2 X 2 a 0 n N gt 0 a n X n displaystyle a 0 a 1 a 2 dotsc a 0 a 1 cdot X a 2 cdot X 2 dotsb a 0 sum n in mathbb N gt 0 a n cdot X n Zusammenhang mit der analytischen Definition Bearbeiten Bedenkt man nun dass nach der Voraussetzung eine naturliche Zahl n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 existiert so dass a i 0 displaystyle a i 0 fur alle i gt n displaystyle i gt n gilt so lasst sich nach den obigen Uberlegungen jedes Polynom f R X displaystyle f in R X uber einem kommutativen unitaren Ring eindeutig schreiben als f a 0 a 1 X a n X n displaystyle f a 0 a 1 cdot X dotsb a n cdot X n Dabei ist f displaystyle f jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra sondern eine unendliche Folge ein Element des Ringes R X displaystyle R X und X displaystyle X ist keine Unbekannte sondern die Folge 0 1 0 0 displaystyle 0 1 0 0 dotsc Man kann jedoch f displaystyle f als Muster benutzen um danach eine Polynomfunktion d h ein Polynom im gewohnlichen analytischen Sinne zu bilden Dazu benutzt man den sogenannten Einsetzungshomomorphismus Man sollte allerdings beachten dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren konnen Ist beispielsweise R displaystyle R der Restklassenring Z 3 Z 0 1 2 displaystyle mathbb Z 3 mathbb Z bar 0 bar 1 bar 2 so induzieren die Polynome f g Z 3 Z X displaystyle f g in mathbb Z 3 mathbb Z X f X X 1 X 2 X 3 3 X 2 2 X X 3 X displaystyle f X X bar 1 X bar 2 X 3 bar 3 X 2 bar 2 X X 3 X und das Nullpolynom g 0 displaystyle g 0 beide die Nullabbildung 0 Abb Z 3 Z Z 3 Z displaystyle 0 in operatorname Abb left mathbb Z 3 mathbb Z mathbb Z 3 mathbb Z right das heisst f x g x 0 0 x displaystyle f x g x bar 0 0 x fur alle x Z 3 Z displaystyle x in mathbb Z 3 mathbb Z Fur Polynome uber den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritatsring ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in R displaystyle R bildet einen Ring Unterring des Funktionenrings der jedoch nur selten betrachtet wird Es gibt einen naturlichen Ring Homomorphismus von R X displaystyle R X in den Ring der Polynomfunktionen dessen Kern die Menge der Polynome ist die die Nullfunktion induzieren Verallgemeinerungen BearbeitenPolynome in mehreren Unbestimmten Bearbeiten Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form a i 1 i n X 1 i 1 X n i n displaystyle a i 1 dotsc i n X 1 i 1 dotsm X n i n als Polynom in mehreren Unbestimmten P X 1 X n i 1 i n a i 1 i n X 1 i 1 X n i n displaystyle P X 1 dotsc X n sum i 1 dotsc i n a i 1 dotsc i n X 1 i 1 dotsm X n i n Lies Gross p von Gross x 1 bis Gross x n ist gleich die Summe uber alle i 1 bis i n von a i 1 bis i n mal Gross x 1 hoch i 1 bis Gross x n hoch i n Durch eine Monomordnung ist es moglich die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern Die Grosse i 1 i n displaystyle i 1 dotsb i n heisst der Totalgrad eines Monoms X 1 i 1 X n i n displaystyle X 1 i 1 dotsm X n i n Haben alle nichtverschwindenden Monome in einem Polynom denselben Totalgrad so heisst es homogen Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der Grad des Polynoms Die maximale Anzahl der moglichen Monome eines bestimmten Grades 3 ist n k 1 k displaystyle binom n k 1 k Lies n k 1 uber k oder k aus n k 1 wobei n displaystyle n die Anzahl der vorkommenden Unbestimmten und k displaystyle k der Grad ist Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung Zurucklegen betrachtet Summiert man die Anzahl der moglichen Monome des Grades bis k displaystyle k erhalt man fur die Anzahl der moglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades n k k displaystyle binom n k k Lies n k uber k oder k aus n k Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise gleichberechtigt so heisst das Polynom symmetrisch Gemeint ist wenn das Polynom sich bei Vertauschungen der Unbestimmten nicht andert Auch die Polynome in den n displaystyle n Unbestimmten X 1 X n displaystyle X 1 dotsc X n uber dem Ring R displaystyle R bilden einen Polynomring geschrieben als R X 1 X n displaystyle R X 1 dotsc X n Formale Potenzreihen Bearbeiten Geht man zu unendlichen Reihen der Form f i 0 a i X i displaystyle f sum i 0 infty a i X i Lies f ist gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a i mal Gross x hoch i uber erhalt man formale Potenzreihen Laurent Polynome und Laurent Reihen Bearbeiten Lasst man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu so erhalt man ein Laurent Polynom Entsprechend zu den formalen Potenzreihen konnen auch formale Laurent Reihen betrachtet werden Es handelt sich dabei um Objekte der Form f i N a i X i displaystyle f sum i N infty a i X i Lies f ist gleich die Summe von i gleich minus Gross n bis Unendlich von a i mal Gross x hoch i Posynomialfunktionen Bearbeiten Lasst man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu so erhalt man den Begriff der Posynomialfunktion Literatur BearbeitenAlbrecht Beutelspacher Lineare Algebra 8 Auflage ISBN 978 3 658 02413 0 doi 10 1007 978 3 658 02413 0 Michael Holz amp Detlef Wille Repetitorium der Linearen Algebra Teil 2 ISBN 978 3923923427 Gerd Fischer Lehrbuch der Algebra ISBN 978 3 658 02221 1 doi 10 1007 978 3 658 02221 1Weblinks Bearbeiten Wiktionary Polynom Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Java Applet zur Berechnung der auch komplexen Nullstellen von Polynomen maximal 24 Grades nach dem Newton Verfahren Einzelnachweise Bearbeiten cf Barth Federle Haller Algebra 1 Ehrenwirth Verlag Munchen 1980 S 187 Fussnote dort Erklarung zur Bezeichnung Binomische Formel Fur die Zweckmassigkeit dieser Setzung siehe Division mit Rest Ernst Kunz Einfuhrung in die algebraische Geometrie S 213 Vieweg Teubner Wiesbaden 1997 ISBN 3 528 07287 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Polynom amp oldid 212369166, wikipedia, wiki, deutsches

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