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Omega-Konstante

Die Omega-Konstante Ω {\displaystyle \Omega } ist eine mathematische Konstante, die implizit durch

Ω e Ω = 1 {\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1}

mit der Eulerschen Zahl e {\displaystyle e} definiert ist. Es gilt

Ω = W ( 1 ) , {\displaystyle \Omega =W(1),}

wobei W {\displaystyle W} die Lambertsche W-Funktion ist. Die Bezeichnung Ω {\displaystyle \Omega } kommt von Omegafunktion, dem zweiten Namen der Lambertschen W-Funktion.

Die ersten Dezimalstellen von Ω {\displaystyle \Omega } lauten

Ω = 0,567 143290409783872999968662210 {\displaystyle \Omega =0{,}567143290409783872999968662210\dots }
  • Ω = ln ( 1 Ω ) {\displaystyle \Omega =\ln \left({\frac {1}{\Omega }}\right)}
  • Ω = ln ( Ω ) {\displaystyle \Omega =-\ln(\Omega )}
  • Ω = e Ω {\displaystyle \Omega =e^{-\Omega }}
  • Wenn man einen Potenzturm, der mit e {\displaystyle e} beginnt und mit e {\displaystyle -e} nach oben geht, anlegt, bekommt man Ω {\displaystyle \Omega } :
Ω = e e e {\displaystyle \Omega =e^{-e^{-e^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
  • In etwas anderen Worten bedeutet dies, dass Ω {\displaystyle \Omega } der Grenzwert der durch
Ω n + 1 = e Ω n {\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}}
mit beliebigem Startwert Ω 0 {\displaystyle \Omega _{0}} rekursiv definierten Folge ist.
  • Durch
Ω = e 1 ↑↑ := lim n e 1 ↑↑ n {\displaystyle \Omega =e^{-1}\uparrow \uparrow \infty :=\lim _{n\to \infty }e^{-1}\uparrow \uparrow n}
kommt in der sog. Pfeilschreibweise die Beziehung
Ω = ( 1 / e ) ( 1 / e ) ( 1 / e ) {\displaystyle \Omega =(1/e)^{(1/e)^{(1/e)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
zum Ausdruck, dass Ω {\displaystyle \Omega } also der Wert dieses unendlichen Potenzturmes mit lauter gleichen Basen 1 / e {\displaystyle 1/e} ist, was wiederum nur eine ziemlich triviale Umformulierung der beiden vorstehenden Eigenschaften darstellt.
  • d t ( e t t ) 2 + π 2 = 1 1 + Ω = 0,638 103743365110778522407385519 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\text{d}}t}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}=0{,}638103743365110778522407385519\dots }
  • Ω = 1 π Re 0 π log ( e e i t e i t e e i t e i t ) d t , {\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)\ {\text{ d}}t,} wobei mittels Re {\displaystyle \operatorname {Re} } der Realteil des Integrals gebildet wird.
  • Ω {\displaystyle \Omega } ist eine transzendente Zahl.
Wäre nämlich Ω {\displaystyle \Omega } eine algebraische Zahl, würde nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß e Ω {\displaystyle e^{-\Omega }} transzendent. Das widerspricht aber e Ω = Ω {\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega } , sodass Ω {\displaystyle \Omega } eine transzendente Zahl sein muss.
  1. Folge A030178 in OEIS
  2. Folge A115287 in OEIS
  3. István Mező: An integral representation for the principal branch of Lambert the W function. Abgerufen am 19. November 2018.
omega, konstante, mathematische, konstante, sprache, beobachten, bearbeiten, displaystyle, omega, eine, mathematische, konstante, implizit, durch, displaystyle, omega, omega, eulerschen, zahl, displaystyle, definiert, gilt, displaystyle, omega, wobei, displays. Omega Konstante mathematische Konstante Sprache Beobachten Bearbeiten Die Omega Konstante W displaystyle Omega ist eine mathematische Konstante die implizit durch W e W 1 displaystyle Omega e Omega 1 mit der Eulerschen Zahl e displaystyle e definiert ist Es gilt W W 1 displaystyle Omega W 1 wobei W displaystyle W die Lambertsche W Funktion ist Die Bezeichnung W displaystyle Omega kommt von Omegafunktion dem zweiten Namen der Lambertschen W Funktion Die ersten Dezimalstellen von W displaystyle Omega lauten W 0 567 143290409783872999968662210 displaystyle Omega 0 567143290409783872999968662210 dots 1 Eigenschaften BearbeitenW ln 1 W displaystyle Omega ln left frac 1 Omega right W ln W displaystyle Omega ln Omega W e W displaystyle Omega e Omega Wenn man einen Potenzturm der mit e displaystyle e beginnt und mit e displaystyle e nach oben geht anlegt bekommt man W displaystyle Omega W e e e displaystyle Omega e e e cdot cdot cdot dd In etwas anderen Worten bedeutet dies dass W displaystyle Omega der Grenzwert der durchW n 1 e W n displaystyle Omega n 1 e Omega n dd mit beliebigem Startwert W 0 displaystyle Omega 0 rekursiv definierten Folge ist DurchW e 1 lim n e 1 n displaystyle Omega e 1 uparrow uparrow infty lim n to infty e 1 uparrow uparrow n dd kommt in der sog Pfeilschreibweise die BeziehungW 1 e 1 e 1 e displaystyle Omega 1 e 1 e 1 e cdot cdot cdot dd zum Ausdruck dass W displaystyle Omega also der Wert dieses unendlichen Potenzturmes mit lauter gleichen Basen 1 e displaystyle 1 e ist was wiederum nur eine ziemlich triviale Umformulierung der beiden vorstehenden Eigenschaften darstellt d t e t t 2 p 2 1 1 W 0 638 103743365110778522407385519 displaystyle int infty infty frac text d t e t t 2 pi 2 frac 1 1 Omega 0 638103743365110778522407385519 dots 2 W 1 p Re 0 p log e e i t e i t e e i t e i t d t displaystyle Omega frac 1 pi operatorname Re int 0 pi log left frac e e it e it e e it e it right text d t 3 wobei mittels Re displaystyle operatorname Re der Realteil des Integrals gebildet wird W displaystyle Omega ist eine transzendente Zahl Ware namlich W displaystyle Omega eine algebraische Zahl wurde nach dem Satz von Lindemann Weierstrass e W displaystyle e Omega transzendent Das widerspricht aber e W W displaystyle e Omega Omega sodass W displaystyle Omega eine transzendente Zahl sein muss Einzelnachweise Bearbeiten Folge A030178 in OEIS Folge A115287 in OEIS Istvan Mezo An integral representation for the principal branch of Lambert the W function Abgerufen am 19 November 2018 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Omega Constant In MathWorld englisch Folge A030178 in OEISAbgerufen von https de wikipedia org w index php title Omega Konstante amp oldid 194679096, wikipedia, wiki, deutsches

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