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Lineare Funktion

Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion x 1 2 x + 2 {\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{2}}x+2}

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In kartesischen Koordinaten ( x | y ) {\displaystyle (x|y)} gilt

y = m x + n {\displaystyle y=m\cdot x+n}

mit reellen Zahlen m {\displaystyle m} und n , {\displaystyle n,} wobei x {\displaystyle x} (die Abszisse) eine unabhängige und y {\displaystyle y} (die Ordinate) die abhängige Variable ist.

Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen für den Funktionsterm, z. B. a x + b , {\displaystyle ax+b,} m x + c , {\displaystyle mx+c,} m x + b {\displaystyle mx+b} oder m x + t . {\displaystyle mx+t.} In Österreich wird häufig y = k x + d {\displaystyle y=kx+d} verwendet, in der Schweiz hingegen y = m x + q . {\displaystyle y=mx+q.} In Belgien findet man auch y = m x + p {\displaystyle y=mx+p} oder y = k x + t . {\displaystyle y=kx+t.}

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren:

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur y-Achse, da damit einem x {\displaystyle x} mehr als ein y {\displaystyle y} zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur definitorisch geforderten (Rechts-)Eindeutigkeit einer Funktion stünde.

Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte ( x 1 | y 1 ) {\displaystyle (x_{1}|y_{1})} und ( x 2 | y 2 ) {\displaystyle (x_{2}|y_{2})} auf dem Graphen der linearen Funktion f {\displaystyle f} liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung m {\displaystyle m} lässt sich berechnen mit

m = y 2 y 1 x 2 x 1 . {\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}

Der y-Achsenabschnitt n {\displaystyle n} ergibt sich mit

n = y 1 m x 1 {\displaystyle n=y_{1}-m\cdot x_{1}} oder n = y 2 m x 2 . {\displaystyle n=y_{2}-m\cdot x_{2}.}

Der gesuchte Funktionsterm f ( x ) {\displaystyle f(x)} ist also gegeben durch

f ( x ) = y 2 y 1 x 2 x 1 x + ( y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 ) {\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+\left(y_{1}-{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x_{1}\right)}

oder einfacher durch

f ( x ) = y 2 y 1 x 2 x 1 ( x x 1 ) + y 1 . {\displaystyle f(x)={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})+y_{1}.}

Funktionsgleichung

Eine Funktion f {\displaystyle f} mit f ( x ) = m x + n {\displaystyle f(x)=mx+n} heißt lineare Funktion. Im Fall m 0 {\displaystyle m\neq 0} wird „ganzrationale Funktion 1. Grades“ oder „Polynom 1. Grades“ als Bezeichnung verwendet.
Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt P {\displaystyle P} mit der x {\displaystyle x} -Achse: P ( x P | 0 ) f ( x P ) = 0 {\displaystyle P(x_{P}|0)\Rightarrow f(x_{P})=0}
Schnittpunkt Q {\displaystyle Q} mit der y {\displaystyle y} -Achse: Q ( 0 | y Q ) y Q = f ( 0 ) {\displaystyle Q(0|y_{Q})\Rightarrow y_{Q}=f(0)}

Steigung

Die Steigung tan α {\displaystyle \tan \alpha } des Graphen einer linearen Funktion f {\displaystyle f} lässt sich als Koeffizient m {\displaystyle m} aus der Funktionsgleichung f ( x ) = m x + n {\displaystyle f(x)=mx+n} ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:

tan α = f ( x 2 ) f ( x 1 ) x 2 x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 = Δ y Δ x {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}

Funktionsgleichung aufstellen

  • Die Steigung m {\displaystyle m} und ein Punkt P 1 ( x 1 | y 1 ) , {\displaystyle P_{1}(x_{1}|y_{1}),} der auf der Geraden liegt, seien bekannt.
Ansatz: f ( x ) = m x + n {\displaystyle f(x)=mx+n}
P 1 ( x 1 | y 1 ) f ( x 1 ) = y 1 m x 1 + n = y 1 n = y 1 m x 1 {\displaystyle P_{1}(x_{1}|y_{1})\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})=y_{1}\quad \Rightarrow \quad mx_{1}+n=y_{1}\quad \Rightarrow \quad n=y_{1}-mx_{1}}
  • Die Koordinaten zweier Punkte P 1 ( x 1 | y 1 ) {\displaystyle P_{1}(x_{1}|y_{1})} und P 2 ( x 2 | y 2 ) , {\displaystyle P_{2}(x_{2}|y_{2}),} die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
Zuerst wird der Steigungsfaktor m = y 2 y 1 x 2 x 1 {\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} berechnet, dann damit n {\displaystyle n} :
P 1 ( x 1 | y 1 ) f ( x 1 ) = y 1 m x 1 + n = y 1 n = y 1 m x 1 {\displaystyle P_{1}(x_{1}|y_{1})\quad \Rightarrow \quad f(x_{1})=y_{1}\quad \Rightarrow \quad mx_{1}+n=y_{1}\quad \Rightarrow \quad n=y_{1}-mx_{1}}
oder
P 2 ( x 2 | y 2 ) f ( x 2 ) = y 2 m x 2 + n = y 2 n = y 2 m x 2 {\displaystyle P_{2}(x_{2}|y_{2})\quad \Rightarrow \quad f(x_{2})=y_{2}\quad \Rightarrow \quad mx_{2}+n=y_{2}\quad \Rightarrow \quad n=y_{2}-mx_{2}}

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)}
Die Lösung x S {\displaystyle x_{S}} dieser Gleichung ist die x {\displaystyle x} -Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.
y S = f ( x S ) = g ( x S ) {\displaystyle y_{S}=f(x_{S})=g(x_{S})} ist dann die y {\displaystyle y} -Koordinate dieses Schnittpunktes S ( x S | y S ) . {\displaystyle S(x_{S}|y_{S}).}

Orthogonale Geraden

Für die Steigungen m 1 {\displaystyle m_{1}} und m 2 {\displaystyle m_{2}} zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden g 1 {\displaystyle g_{1}} und g 2 {\displaystyle g_{2}} gilt:
m 1 m 2 = 1 {\displaystyle m_{1}\cdot m_{2}=-1}
m 1 = 1 m 2 {\displaystyle m_{1}=-{\frac {1}{m_{2}}}}
m 2 = 1 m 1 {\displaystyle m_{2}=-{\frac {1}{m_{1}}}}

Die Ableitung von f ( x ) = m x + n {\displaystyle f\left(x\right)=mx+n} ist f ( x ) = m . {\displaystyle f'\left(x\right)=m.} f {\displaystyle f'} ist also immer eine konstante Funktion, da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt P ( x | f ( x ) ) {\displaystyle P\left(x|f(x)\right)} angibt.

Stammfunktionen von f {\displaystyle f} haben die Gestalt F ( x ) = m 2 x 2 + n x + c . {\displaystyle F(x)={\frac {m}{2}}x^{2}+nx+c.} Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

F ( x ) = ( m 2 x 2 + n x + c ) = m 2 ( x 2 ) + n ( x ) + 0 = m 2 2 x + n = m x + n = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=\left({\frac {m}{2}}x^{2}+nx+c\right)'={\frac {m}{2}}\cdot \left(x^{2}\right)'+n\cdot (x)'+0={\frac {m}{2}}\cdot 2x+n=mx+n=f(x)}

Ist bei einer Funktion f ( x ) = m x + n {\displaystyle f(x)=mx+n} der Koeffizient m {\displaystyle m} positiv, so gilt lim x f ( x ) = {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty } und lim x f ( x ) = . {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\infty .} Der Graph entwickelt sich von „unten links“ nach „oben rechts“. Ist m {\displaystyle m} jedoch negativ, gilt lim x f ( x ) = {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty } und lim x f ( x ) = . {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty .} Der Graph verläuft also von „oben links“ nach „unten rechts“. Beim Sonderfall m = 0 {\displaystyle m=0} liegt eine konstante Funktion vor, es gilt also lim x f ( x ) = lim x f ( x ) = n , {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }f(x)=n,} der Graph verläuft in diesem Fall parallel zur x {\displaystyle x} -Achse.

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Lineare Funktion
lineare, funktion, mathematische, funktion, sprache, beobachten, bearbeiten, dieser, artikel, behandelt, funktionen, elementaren, analysis, für, lineare, funktionen, linearen, algebra, siehe, lineare, abbildung, lineare, funktion, wird, insbesondere, schulmath. Lineare Funktion mathematische Funktion Sprache Beobachten Bearbeiten Dieser Artikel behandelt die Funktionen in der elementaren Analysis Fur lineare Funktionen in der linearen Algebra siehe Lineare Abbildung Als lineare Funktion wird oft insbesondere in der Schulmathematik eine Funktion f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R der Form f x m x n m n R displaystyle f x m cdot x n quad m n in mathbb R also eine Polynomfunktion hochstens ersten Grades bezeichnet Es handelt sich dabei jedoch nicht um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra sondern um eine affine Abbildung da die Linearitatsbedingung im Allgemeinen nicht erfullt ist Man spricht deswegen auch von einer affin linearen Funktion Um eine lineare Abbildung bzw lineare Funktion im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall n 0 displaystyle n 0 also f x m x displaystyle f x mx Solche Funktionen werden auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalitat bezeichnet In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion fur den Fall n 0 displaystyle n neq 0 auch allgemeine lineare Funktion oder linear inhomogene Funktion genannt In diesem Artikel wird die haufig verwendete Bezeichnung lineare Funktion beibehalten Lineare Funktionen gehoren zu den relativ einfachen Funktionen in der Mathematik Sie sind stetig und differenzierbar Viele Probleme lassen sich fur lineare Funktionen leicht losen daher versucht man oft komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhange zu approximieren Inhaltsverzeichnis 1 Graph 2 Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten 3 Zusammenfassung 3 1 Funktionsgleichung 3 2 Achsenschnittpunkte 3 3 Steigung 3 4 Funktionsgleichung aufstellen 3 5 Schnittpunkt zweier Geraden 3 6 Orthogonale Geraden 4 Ableitung und Stammfunktion 5 Grenzwerte 6 Weblinks 7 LiteraturGraph Bearbeiten Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion x 1 2 x 2 displaystyle x mapsto tfrac 1 2 x 2 Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade In kartesischen Koordinaten x y displaystyle x y gilt y m x n displaystyle y m cdot x n mit reellen Zahlen m displaystyle m und n displaystyle n wobei x displaystyle x die Abszisse eine unabhangige und y displaystyle y die Ordinate die abhangige Variable ist Es gibt zahlreiche andere Bezeichnungskonventionen fur den Funktionsterm z B a x b displaystyle ax b m x c displaystyle mx c m x b displaystyle mx b oder m x t displaystyle mx t In Osterreich wird haufig y k x d displaystyle y kx d verwendet in der Schweiz hingegen y m x q displaystyle y mx q In Belgien findet man auch y m x p displaystyle y mx p oder y k x t displaystyle y kx t Diese Darstellung bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion Ihre zwei Parameter lassen sich wie folgt interpretieren Die Zahl m displaystyle m gibt die Steigung der Geraden an Die Zahl n displaystyle n ist der y Achsen oder Ordinatenabschnitt die Inhomogenitat oder die Verschiebungskonstante Der Graph einer linearen Funktion verlauft nie parallel zur y Achse da damit einem x displaystyle x mehr als ein y displaystyle y zugeordnet ware was in Widerspruch zur definitorisch geforderten Rechts Eindeutigkeit einer Funktion stunde Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten Bearbeiten Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte Es wird vorausgesetzt dass die Punkte x 1 y 1 displaystyle x 1 y 1 und x 2 y 2 displaystyle x 2 y 2 auf dem Graphen der linearen Funktion f displaystyle f liegen und voneinander verschieden sind Die Steigung m displaystyle m lasst sich berechnen mit m y 2 y 1 x 2 x 1 displaystyle m frac y 2 y 1 x 2 x 1 Der y Achsenabschnitt n displaystyle n ergibt sich mit n y 1 m x 1 displaystyle n y 1 m cdot x 1 oder n y 2 m x 2 displaystyle n y 2 m cdot x 2 Der gesuchte Funktionsterm f x displaystyle f x ist also gegeben durch f x y 2 y 1 x 2 x 1 x y 1 y 2 y 1 x 2 x 1 x 1 displaystyle f x frac y 2 y 1 x 2 x 1 cdot x left y 1 frac y 2 y 1 x 2 x 1 cdot x 1 right oder einfacher durch f x y 2 y 1 x 2 x 1 x x 1 y 1 displaystyle f x frac y 2 y 1 x 2 x 1 cdot x x 1 y 1 Zusammenfassung BearbeitenFunktionsgleichung Bearbeiten Eine Funktion f displaystyle f mit f x m x n displaystyle f x mx n heisst lineare Funktion Im Fall m 0 displaystyle m neq 0 wird ganzrationale Funktion 1 Grades oder Polynom 1 Grades als Bezeichnung verwendet Die graphische Darstellung des Funktionsgraphen ist eine Gerade Achsenschnittpunkte Bearbeiten Schnittpunkt P displaystyle P mit der x displaystyle x Achse P x P 0 f x P 0 displaystyle P x P 0 Rightarrow f x P 0 Schnittpunkt Q displaystyle Q mit der y displaystyle y Achse Q 0 y Q y Q f 0 displaystyle Q 0 y Q Rightarrow y Q f 0 Steigung Bearbeiten Die Steigung tan a displaystyle tan alpha des Graphen einer linearen Funktion f displaystyle f lasst sich als Koeffizient m displaystyle m aus der Funktionsgleichung f x m x n displaystyle f x mx n ablesen Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet tan a f x 2 f x 1 x 2 x 1 y 2 y 1 x 2 x 1 D y D x displaystyle tan alpha frac f x 2 f x 1 x 2 x 1 frac y 2 y 1 x 2 x 1 frac Delta y Delta x Funktionsgleichung aufstellen Bearbeiten Die Steigung m displaystyle m und ein Punkt P 1 x 1 y 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 der auf der Geraden liegt seien bekannt Ansatz f x m x n displaystyle f x mx n P 1 x 1 y 1 f x 1 y 1 m x 1 n y 1 n y 1 m x 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 quad Rightarrow quad f x 1 y 1 quad Rightarrow quad mx 1 n y 1 quad Rightarrow quad n y 1 mx 1 dd Die Koordinaten zweier Punkte P 1 x 1 y 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 und P 2 x 2 y 2 displaystyle P 2 x 2 y 2 die auf der Geraden liegen seien bekannt Zuerst wird der Steigungsfaktor m y 2 y 1 x 2 x 1 displaystyle m frac y 2 y 1 x 2 x 1 berechnet dann damit n displaystyle n P 1 x 1 y 1 f x 1 y 1 m x 1 n y 1 n y 1 m x 1 displaystyle P 1 x 1 y 1 quad Rightarrow quad f x 1 y 1 quad Rightarrow quad mx 1 n y 1 quad Rightarrow quad n y 1 mx 1 dd oderP 2 x 2 y 2 f x 2 y 2 m x 2 n y 2 n y 2 m x 2 displaystyle P 2 x 2 y 2 quad Rightarrow quad f x 2 y 2 quad Rightarrow quad mx 2 n y 2 quad Rightarrow quad n y 2 mx 2 dd Schnittpunkt zweier Geraden Bearbeiten Ansatz f x g x displaystyle f x g x Die Losung x S displaystyle x S dieser Gleichung ist die x displaystyle x Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden y S f x S g x S displaystyle y S f x S g x S ist dann die y displaystyle y Koordinate dieses Schnittpunktes S x S y S displaystyle S x S y S Orthogonale Geraden Bearbeiten Fur die Steigungen m 1 displaystyle m 1 und m 2 displaystyle m 2 zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden g 1 displaystyle g 1 und g 2 displaystyle g 2 gilt m 1 m 2 1 displaystyle m 1 cdot m 2 1 m 1 1 m 2 displaystyle m 1 frac 1 m 2 m 2 1 m 1 displaystyle m 2 frac 1 m 1 dd Ableitung und Stammfunktion BearbeitenDie Ableitung von f x m x n displaystyle f left x right mx n ist f x m displaystyle f left x right m f displaystyle f ist also immer eine konstante Funktion da die Ableitung einer Funktion die Steigung ihrer Tangente im Punkt P x f x displaystyle P left x f x right angibt Stammfunktionen von f displaystyle f haben die Gestalt F x m 2 x 2 n x c displaystyle F x frac m 2 x 2 nx c Dies lasst sich folgendermassen zeigen F x m 2 x 2 n x c m 2 x 2 n x 0 m 2 2 x n m x n f x displaystyle F x left frac m 2 x 2 nx c right frac m 2 cdot left x 2 right n cdot x 0 frac m 2 cdot 2x n mx n f x Grenzwerte BearbeitenIst bei einer Funktion f x m x n displaystyle f x mx n der Koeffizient m displaystyle m positiv so gilt lim x f x displaystyle lim x to infty f x infty und lim x f x displaystyle lim x to infty f x infty Der Graph entwickelt sich von unten links nach oben rechts Ist m displaystyle m jedoch negativ gilt lim x f x displaystyle lim x to infty f x infty und lim x f x displaystyle lim x to infty f x infty Der Graph verlauft also von oben links nach unten rechts Beim Sonderfall m 0 displaystyle m 0 liegt eine konstante Funktion vor es gilt also lim x f x lim x f x n displaystyle lim x to infty f x lim x to infty f x n der Graph verlauft in diesem Fall parallel zur x displaystyle x Achse Weblinks Bearbeiten Commons Lineare Gleichungen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Commons Lineare Funktionen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Wikibooks M A T H E m a T R i x displaystyle begin smallmatrix mathbf MATHE mu alpha T mathbb R ix end smallmatrix Mathematik fur die Schule Rechner und Theorie zur linearen Funktion Lineare Funktionen Einfuhrung fur Schuler Video Literatur BearbeitenManfred Leppig Lernstufen Mathematik Girardet 1981 ISBN 3 7736 2005 5 S 61 74 Normdaten Sachbegriff GND 4744418 6 OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lineare Funktion amp oldid 213514986, wikipedia, wiki, deutsches

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