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Kehrwert

Der Kehrwert (auch der reziproke Wert oder das Reziproke) einer von 0 {\displaystyle 0} verschiedenen Zahl x {\displaystyle x} ist in der Arithmetik diejenige Zahl, die mit x {\displaystyle x} multipliziert die Zahl 1 {\displaystyle 1} ergibt; er wird als 1 x {\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} oder x 1 {\displaystyle x^{-1}} notiert.

Inhaltsverzeichnis

Der Graph der Kehrwertfunktion ist eine Hyperbel.

Je näher eine Zahl bei 0 {\displaystyle 0} liegt, desto weiter ist ihr Kehrwert von 0 {\displaystyle 0} entfernt. Die Zahl 0 {\displaystyle 0} selbst hat keinen Kehrwert und ist auch kein Kehrwert. Die durch y = f ( x ) = 1 x {\displaystyle y=f(x)={\tfrac {1}{x}}} beschriebene Kehrwertfunktion (siehe Abbildung) hat dort eine Polstelle. Der Kehrwert einer positiven Zahl ist positiv, der Kehrwert einer negativen Zahl ist negativ. Dies findet seinen geometrischen Ausdruck darin, dass der Graph in zwei Hyperbeläste zerfällt, die im ersten bzw. dritten Quadranten liegen. Die Kehrwertfunktion ist eine Involution, d. h. der Kehrwert des Kehrwerts von x {\displaystyle x} ist wieder x . {\displaystyle x.} Ist eine Größe y {\displaystyle y} umgekehrt proportional zu einer Größe x , {\displaystyle x,} dann ist sie proportional zum Kehrwert von x . {\displaystyle x.}

Den Kehrbruch eines Bruches, also den Kehrwert eines Quotienten a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} mit a , b 0 , {\displaystyle a,b\neq 0,} erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht:

1 a b = b a {\displaystyle {\frac {1}{\frac {a}{b}}}={\frac {b}{a}}}

Daraus folgt die Rechenregel für das Dividieren durch einen Bruch: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Siehe auch Bruchrechnung.

Den Kehrwert 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} einer natürlichen Zahl n {\displaystyle n} nennt man einen Stammbruch.

Auch zu jeder von 0 {\displaystyle 0} verschiedenen komplexen Zahl z = a + b i {\displaystyle z=a+b\mathrm {i} } mit reellen Zahlen a , b {\displaystyle a,b} gibt es einen Kehrwert 1 z . {\displaystyle {\tfrac {1}{z}}.} Mit dem Absolutbetrag | z | = a 2 + b 2 {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} von z {\displaystyle z} und der zu z {\displaystyle z} konjugiert komplexen Zahl z ¯ = a b i {\displaystyle {\overline {z}}=a-b\mathrm {i} } gilt:

1 a + b i = 1 z = z ¯ z z ¯ = z ¯ | z | 2 = a b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{a+b\mathrm {i} }}={\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {a-b\mathrm {i} }{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\mathrm {i} }
  • Der Kehrwert von 1 {\displaystyle 1} ist wiederum 1 {\displaystyle 1} .
  • Der Kehrwert von 0,001 {\displaystyle 0{,}001} ist 1000 {\displaystyle 1000} .
  • Der Kehrwert von 2 {\displaystyle 2} ist 1 2 = 0 , 5 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}=0{,}5} .
  • Der Kehrwert des Bruches 2 5 {\displaystyle {\tfrac {2}{5}}} ist 5 2 = 2 1 2 = 2 , 5 {\displaystyle {\tfrac {5}{2}}=2{\tfrac {1}{2}}=2{,}5} .
  • Der Kehrwert der komplexen Zahl 3 + 4 i {\displaystyle 3+4\mathrm {i} } ist 1 3 + 4 i = 3 25 4 25 i {\displaystyle {\tfrac {1}{3+4\mathrm {i} }}={\tfrac {3}{25}}-{\tfrac {4}{25}}\mathrm {i} } .

Eine Verallgemeinerung des Kehrwerts ist das multiplikativ Inverse x 1 {\displaystyle x^{-1}} zu einer Einheit x {\displaystyle x} eines unitären Ringes. Es ist ebenfalls durch die Eigenschaft x 1 x = x x 1 = 1 {\displaystyle x^{-1}\cdot \ x=x\cdot \ x^{-1}=1} definiert, wobei 1 {\displaystyle 1} das Einselement des Ringes bezeichnet.

Wenn es sich z. B. um einen Ring von Matrizen handelt, so ist das Einselement nicht die Zahl 1 , {\displaystyle 1,} sondern die Einheitsmatrix. Matrizen, zu denen keine inverse Matrix existiert, heißen singulär.

Wiktionary: Kehrwert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Hintergrundwissen für Lehramtsstudenten zur Arithmetik:

  • Friedhelm Padberg: Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 3. erweiterte völlig überarbeitete Auflage, Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München 2009, ISBN 978-3-8274-0993-5.

Kehrwert
kehrwert, begriff, arithmetik, sprache, beobachten, bearbeiten, auch, reziproke, wert, oder, reziproke, einer, displaystyle, verschiedenen, zahl, displaystyle, arithmetik, diejenige, zahl, displaystyle, multipliziert, zahl, displaystyle, ergibt, wird, displays. Kehrwert Begriff aus der Arithmetik Sprache Beobachten Bearbeiten Der Kehrwert auch der reziproke Wert oder das Reziproke einer von 0 displaystyle 0 verschiedenen Zahl x displaystyle x ist in der Arithmetik diejenige Zahl die mit x displaystyle x multipliziert die Zahl 1 displaystyle 1 ergibt er wird als 1 x displaystyle tfrac 1 x oder x 1 displaystyle x 1 notiert Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Beispiele 3 Verallgemeinerung 4 Verwandte Themen 5 Weblinks 6 LiteraturEigenschaften Bearbeiten Der Graph der Kehrwertfunktion ist eine Hyperbel Je naher eine Zahl bei 0 displaystyle 0 liegt desto weiter ist ihr Kehrwert von 0 displaystyle 0 entfernt Die Zahl 0 displaystyle 0 selbst hat keinen Kehrwert und ist auch kein Kehrwert Die durch y f x 1 x displaystyle y f x tfrac 1 x beschriebene Kehrwertfunktion siehe Abbildung hat dort eine Polstelle Der Kehrwert einer positiven Zahl ist positiv der Kehrwert einer negativen Zahl ist negativ Dies findet seinen geometrischen Ausdruck darin dass der Graph in zwei Hyperbelaste zerfallt die im ersten bzw dritten Quadranten liegen Die Kehrwertfunktion ist eine Involution d h der Kehrwert des Kehrwerts von x displaystyle x ist wieder x displaystyle x Ist eine Grosse y displaystyle y umgekehrt proportional zu einer Grosse x displaystyle x dann ist sie proportional zum Kehrwert von x displaystyle x Den Kehrbruch eines Bruches also den Kehrwert eines Quotienten a b displaystyle tfrac a b mit a b 0 displaystyle a b neq 0 erhalt man indem man Zahler und Nenner miteinander vertauscht 1 a b b a displaystyle frac 1 frac a b frac b a Daraus folgt die Rechenregel fur das Dividieren durch einen Bruch Durch einen Bruch wird dividiert indem man mit seinem Kehrwert multipliziert Siehe auch Bruchrechnung Den Kehrwert 1 n displaystyle tfrac 1 n einer naturlichen Zahl n displaystyle n nennt man einen Stammbruch Auch zu jeder von 0 displaystyle 0 verschiedenen komplexen Zahl z a b i displaystyle z a b mathrm i mit reellen Zahlen a b displaystyle a b gibt es einen Kehrwert 1 z displaystyle tfrac 1 z Mit dem Absolutbetrag z a 2 b 2 displaystyle z sqrt a 2 b 2 von z displaystyle z und der zu z displaystyle z konjugiert komplexen Zahl z a b i displaystyle overline z a b mathrm i gilt 1 a b i 1 z z z z z z 2 a b i a 2 b 2 a a 2 b 2 b a 2 b 2 i displaystyle frac 1 a b mathrm i frac 1 z frac overline z z overline z frac overline z z 2 frac a b mathrm i a 2 b 2 frac a a 2 b 2 frac b a 2 b 2 mathrm i Beispiele BearbeitenDer Kehrwert von 1 displaystyle 1 ist wiederum 1 displaystyle 1 Der Kehrwert von 0 001 displaystyle 0 001 ist 1000 displaystyle 1000 Der Kehrwert von 2 displaystyle 2 ist 1 2 0 5 displaystyle tfrac 1 2 0 5 Der Kehrwert des Bruches 2 5 displaystyle tfrac 2 5 ist 5 2 2 1 2 2 5 displaystyle tfrac 5 2 2 tfrac 1 2 2 5 Der Kehrwert der komplexen Zahl 3 4 i displaystyle 3 4 mathrm i ist 1 3 4 i 3 25 4 25 i displaystyle tfrac 1 3 4 mathrm i tfrac 3 25 tfrac 4 25 mathrm i Verallgemeinerung BearbeitenEine Verallgemeinerung des Kehrwerts ist das multiplikativ Inverse x 1 displaystyle x 1 zu einer Einheit x displaystyle x eines unitaren Ringes Es ist ebenfalls durch die Eigenschaft x 1 x x x 1 1 displaystyle x 1 cdot x x cdot x 1 1 definiert wobei 1 displaystyle 1 das Einselement des Ringes bezeichnet Wenn es sich z B um einen Ring von Matrizen handelt so ist das Einselement nicht die Zahl 1 displaystyle 1 sondern die Einheitsmatrix Matrizen zu denen keine inverse Matrix existiert heissen singular Verwandte Themen BearbeitenIst eine Grosse proportional zum Kehrwert einer anderen liegt reziproke Proportionalitat vor Weblinks Bearbeiten Wiktionary Kehrwert Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme UbersetzungenLiteratur BearbeitenHintergrundwissen fur Lehramtsstudenten zur Arithmetik Friedhelm Padberg Didaktik der Arithmetik Fur Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung 3 erweiterte vollig uberarbeitete Auflage Nachdruck Spektrum Akademischer Verlag Munchen 2009 ISBN 978 3 8274 0993 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kehrwert amp oldid 215555372, wikipedia, wiki, deutsches

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