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Indikatrix

Unter einer Indikatrix versteht man in der Differentialgeometrie gekrümmter Flächen im Raum einen ebenen Kegelschnitt, der das lokale Krümmungsverhalten der Fläche in einem bestimmten Punkt beschreibt. Der Begriff wurde von Charles Dupin zu Beginn des 19. Jahrhunderts eingeführt und trägt daher auch den Namen Dupinsche Indikatrix.

Inhaltsverzeichnis

Hyperbolischer Punkt einer Fläche (braun) mit Tangentialebene aus der engl. Wikipedia

In einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes a einer Fläche (gegeben etwa durch z = f(x,y) mit f zweimal stetig-differenzierbar) lässt sich die Fläche durch eine Quadrik, also durch eine Fläche 2. Ordnung der Form z = g(x,y), beliebig genau annähern. Diese Schmiegequadrik wird die infinitesimal in Richtung der Flächennormalen bzw. der ihr entgegengesetzten Richtung verschobene Tangentialebene schneiden. Dabei können vier Fälle auftreten:

  • Die Schnittmengen sind stets leer; die Schmiegequadrik ist zur Tangentialebene entartet. Man nennt a dennoch einen parabolischen Punkt (weil die Determinante der zweiten Fundamentalform verschwindet).
  • Die Schnittmenge besteht aus zwei parallelen Geraden auf der einen Seite der Fläche und der leeren Menge auf der anderen (etwa im Fall eines Zylinders); man spricht von einem parabolischen Punkt der Fläche. Die Schmiegequadrik ist ein parabolischer Zylinder (vgl. Weblink unten)
  • Die Schnittmenge ist bei Verschiebung in eine Normalenrichtung eine Ellipse und bei Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung leer (etwa im Fall einer Kugeloberfläche); man nennt a einen elliptischen Punkt der Fläche. Die Schmiegequadrik ist ein elliptisches Paraboloid.
  • Die Schnittmenge ergibt je nach Richtung der Verschiebung die eine oder andere Hyperbel eines konjugierten Hyperbelpaars (etwa im Fall einer Sattelfläche; vgl. Grafik rechts); man nennt a dann einen hyperbolischen Punkt der Fläche. Die Schmiegequadrik ist ein hyperbolisches Paraboloid.

Die beiden Hauptkrümmungen

Diese vier Fälle werden heute üblicherweise über die beiden Hauptkrümmungen der Fläche unterschieden. Für diese gelten:

  • Beide Hauptkrümmungen sind Null, wenn die Schmiegequadrik zur Tangentialebene entartet.
  • Genau eine der beiden ist Null im Fall eines parabolischen Punkts mit nicht ebener Schmiegequadrik.
  • Beide haben dasselbe Vorzeichen im Fall eines elliptischen Punkts.
  • Beide haben unterschiedliche Vorzeichen im Fall eines hyperbolischen Punkts.

Das Produkt der beiden Hauptkrümmungen, die sogenannte Gaußsche Krümmung, ist also im Fall eines elliptischen Punktes positiv, im Fall eines hyperbolischen Punktes negativ; andernfalls ist sie Null.

Jede durch den Punkt a verlaufende Gerade der Tangentialebene entspricht einem Kurvenstück auf der Fläche; dieses weist in a eine bestimmte Normalkrümmung κ auf. Falls κ nicht Null ist, ist der Radius des Krümmungskreises in a gegeben durch den Kehrwert von |κ|. Dann gehören die beiden im Abstand 1 / | κ | {\displaystyle {\sqrt {1/|\kappa |}}} zu a gelegenen Punkte der Ausgangsgerade zur Indikatrix von a.

  • Volkmar Wünsch: Differentialgeometrie. Kurven und Flächen. Teubner, Stuttgart u. a. 1997, ISBN 3-8154-2095-4,
  • Als Schmiegequadrik treten nur die dort als parabolische Quadriken bezeichneten Flächen auf. Abgerufen am 13. August 2009

Indikatrix
indikatrix, system, beechreibung, gekrümmten, flächen, sprache, beobachten, bearbeiten, unter, einer, versteht, differentialgeometrie, gekrümmter, flächen, raum, einen, ebenen, kegelschnitt, lokale, krümmungsverhalten, fläche, einem, bestimmten, punkt, beschre. Indikatrix System zur Beechreibung von gekrummten Flachen Sprache Beobachten Bearbeiten Unter einer Indikatrix versteht man in der Differentialgeometrie gekrummter Flachen im Raum einen ebenen Kegelschnitt der das lokale Krummungsverhalten der Flache in einem bestimmten Punkt beschreibt Der Begriff wurde von Charles Dupin zu Beginn des 19 Jahrhunderts eingefuhrt und tragt daher auch den Namen Dupinsche Indikatrix Inhaltsverzeichnis 1 Geometrische Beschreibung 1 1 Die beiden Hauptkrummungen 2 Formale Beschreibung 3 Anwendungen 4 Literatur 5 WeblinksGeometrische Beschreibung Bearbeiten Hyperbolischer Punkt einer Flache braun mit Tangentialebene aus der engl Wikipedia In einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes a einer Flache gegeben etwa durch z f x y mit f zweimal stetig differenzierbar lasst sich die Flache durch eine Quadrik also durch eine Flache 2 Ordnung der Form z g x y beliebig genau annahern Diese Schmiegequadrik wird die infinitesimal in Richtung der Flachennormalen bzw der ihr entgegengesetzten Richtung verschobene Tangentialebene schneiden Dabei konnen vier Falle auftreten Die Schnittmengen sind stets leer die Schmiegequadrik ist zur Tangentialebene entartet Man nennt a dennoch einen parabolischen Punkt weil die Determinante der zweiten Fundamentalform verschwindet Die Schnittmenge besteht aus zwei parallelen Geraden auf der einen Seite der Flache und der leeren Menge auf der anderen etwa im Fall eines Zylinders man spricht von einem parabolischen Punkt der Flache Die Schmiegequadrik ist ein parabolischer Zylinder vgl Weblink unten Die Schnittmenge ist bei Verschiebung in eine Normalenrichtung eine Ellipse und bei Verschiebung in die entgegengesetzte Richtung leer etwa im Fall einer Kugeloberflache man nennt a einen elliptischen Punkt der Flache Die Schmiegequadrik ist ein elliptisches Paraboloid Die Schnittmenge ergibt je nach Richtung der Verschiebung die eine oder andere Hyperbel eines konjugierten Hyperbelpaars etwa im Fall einer Sattelflache vgl Grafik rechts man nennt a dann einen hyperbolischen Punkt der Flache Die Schmiegequadrik ist ein hyperbolisches Paraboloid Die beiden Hauptkrummungen Bearbeiten Diese vier Falle werden heute ublicherweise uber die beiden Hauptkrummungen der Flache unterschieden Fur diese gelten Beide Hauptkrummungen sind Null wenn die Schmiegequadrik zur Tangentialebene entartet Genau eine der beiden ist Null im Fall eines parabolischen Punkts mit nicht ebener Schmiegequadrik Beide haben dasselbe Vorzeichen im Fall eines elliptischen Punkts Beide haben unterschiedliche Vorzeichen im Fall eines hyperbolischen Punkts Das Produkt der beiden Hauptkrummungen die sogenannte Gausssche Krummung ist also im Fall eines elliptischen Punktes positiv im Fall eines hyperbolischen Punktes negativ andernfalls ist sie Null Formale Beschreibung BearbeitenJede durch den Punkt a verlaufende Gerade der Tangentialebene entspricht einem Kurvenstuck auf der Flache dieses weist in a eine bestimmte Normalkrummung k auf Falls k nicht Null ist ist der Radius des Krummungskreises in a gegeben durch den Kehrwert von k Dann gehoren die beiden im Abstand 1 k displaystyle sqrt 1 kappa zu a gelegenen Punkte der Ausgangsgerade zur Indikatrix von a Anwendungen BearbeitenDas Indexellipsoid ist eine Indikatrix die zur Berechnung der Doppelbrechung dient Mit der Tissotschen Indikatrix werden Verzerrungseigenschaften von Kartennetzentwurfen uberpruft Literatur BearbeitenVolkmar Wunsch Differentialgeometrie Kurven und Flachen Teubner Stuttgart u a 1997 ISBN 3 8154 2095 4 Google BooksWeblinks BearbeitenBilder von Quadriken Als Schmiegequadrik treten nur die dort als parabolische Quadriken bezeichneten Flachen auf Abgerufen am 13 August 2009Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Indikatrix amp oldid 181390225, wikipedia, wiki, deutsches

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