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Halbeinfacher Modul

Als halbeinfach bezeichnet man in der Mathematik bestimmte Strukturen, die auf vergleichsweise leicht verständliche Weise aus „Grundbausteinen“ zusammengesetzt sind.

Der Begriff wird im mathematischen Gebiet der Algebra in unterschiedlichen Zusammenhängen benutzt. Besondere Bedeutung hat er in der Theorie der Moduln und Ringe. Die „Grundbausteine“ sind hier die einfachen Moduln. Die halbeinfachen Moduln bilden dann gewissermaßen die nächstkompliziertere Stufe, nämlich solche, die mittels direkter Summe aus einfachen Moduln zusammengesetzt sind. Über halbeinfache Moduln (und Ringe) sind viele Sätze bekannt, sie sind mathematisch gesehen also, wie der Name andeutet, immer noch recht „einfache“ Objekte.

Eine der wichtigsten Anwendungen liegt in der Darstellungstheorie von Gruppen und basiert auf dem Satz von Maschke.

Inhaltsverzeichnis

Definition

(Im Folgenden wird Vertrautheit des Lesers mit dem Begriff des Moduls vorausgesetzt.)

Sei M {\displaystyle M} ein Modul über einem Ring (mit Eins) R {\displaystyle R} .

Der Modul M {\displaystyle M} heißt halbeinfach oder vollständig reduzibel, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

  1. M {\displaystyle M} lässt sich als direkte Summe von einfachen Moduln schreiben.
  2. M {\displaystyle M} lässt sich als Summe von einfachen Moduln schreiben.
  3. Existenz von Komplementen: Für jeden Untermodul N {\displaystyle N} von M {\displaystyle M} existiert ein Untermodul P {\displaystyle P} von M {\displaystyle M} , so dass M N P {\displaystyle M\simeq N\oplus P} .

Eigenschaften

Beispiele

  • Die endlich erzeugten halbeinfachen Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -Moduln sind genau die direkten Summen von Moduln der Form Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } für quadratfreie Zahlen n {\displaystyle n} .
  • Ist R {\displaystyle R} ein Körper, so ist ein R {\displaystyle R} -Modul nichts anderes als ein Vektorraum. Diese sind immer halbeinfach.

Jeder Ring R {\displaystyle R} wirkt auf sich selbst durch Multiplikation von links und wird so zu einem Linksmodul über sich selbst. Die Untermoduln sind dann genau die Linksideale. Die irreduziblen Untermoduln sind genau die nichttrivialen minimalen Linksideale. Natürlich kann man analog R {\displaystyle R} zu einem Rechtsmodul über sich selbst machen. Ist der Ring kommutativ, so stimmen die beiden Konstruktionen miteinander überein und ergeben die gleiche Struktur.

Definition

Ein Ring heißt halbeinfach, wenn er als Modul über sich selbst halbeinfach ist. Man kann zeigen, dass dies nicht davon abhängt, ob man R {\displaystyle R} als Links- oder Rechtsmodul betrachtet.

Bemerkung: Ein Ring heißt einfach, wenn er keine nichttrivialen beidseitigen Ideale besitzt (und nicht etwa, wenn er als Modul über sich selbst einfach ist). Nicht jeder einfache Ring ist halbeinfach. Diese Terminologie ist verwirrend, hat sich aber durchgesetzt.

Eigenschaften

  • Ein unitärer Ring R {\displaystyle R} ist halbeinfach genau dann, wenn er artinsch ist und sein Jacobson-Radikal J a c ( R ) = 0 {\displaystyle Jac(R)=0} ist. (Dies ist ein Spezialfall der obigen Eigenschaft für halbeinfache Moduln, denn R {\displaystyle R} wird als Modul über sich selbst von der 1 {\displaystyle 1} erzeugt.)
  • Insbesondere ist für einen artinschen Ring R {\displaystyle R} der Faktorring R / J a c ( R ) {\displaystyle R/Jac(R)} halbeinfach.
  • Ist R {\displaystyle R} halbeinfach, so ist jeder R {\displaystyle R} -Modul halbeinfach. Dies folgt aus obigen Eigenschaften von halbeinfachen Moduln und aus der Tatsache, dass jeder Modul ein Quotient eines freien Moduls (also einer direkten Summe von Kopien von R {\displaystyle R} ) ist.
  • Über halbeinfachen Ringen sind alle Moduln projektiv.

Satz von Artin-Wedderburn

Jeder halbeinfache Ring ist isomorph zu einem (endlichen) direkten Produkt von Matrizenringen über Schiefkörpern. Hierbei ist der ganze Matrizenring gemeint, nicht ein Unterring.

Lineare Abbildungen

Sei V {\displaystyle V} ein C {\displaystyle \mathbb {C} } -Vektorraum. Eine lineare Abbildung f : V V {\displaystyle f\colon V\rightarrow V} heißt halbeinfach, wenn es eine C {\displaystyle \mathbb {C} } -Basis von V {\displaystyle V} gibt, in der f {\displaystyle f} durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird.

Die Abbildung heißt R {\displaystyle \mathbb {R} } -halbeinfach oder hyperbolisch, wenn es eine R {\displaystyle \mathbb {R} } -Basis von V {\displaystyle V} gibt, in der f {\displaystyle f} durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird. Die Abbildung heißt S 1 {\displaystyle S^{1}} -halbeinfach oder elliptisch, wenn sie halbeinfach ist und alle Eigenwerte Betrag 1 haben. Jede lineare Abbildung lässt sich eindeutig als Produkt einer S 1 {\displaystyle S^{1}} -halbeinfachen, einer unipotenten und einer R {\displaystyle \mathbb {R} } -halbeinfachen Abbildung zerlegen, siehe Iwasawa-Zerlegung.

Matrizen

Eine Matrix A M a t ( n , C ) {\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )} heißt halbeinfach, wenn die zugeordnete lineare Abbildung f : C n C n {\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}} halbeinfach ist.

Folgende Bedingungen sind äquivalent:

  • A M a t ( n , C ) {\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )} ist halbeinfach,
  • A M a t ( n , C ) {\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )} ist diagonalisierbar,
  • das Minimalpolynom von A M a t ( n , C ) {\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )} hat keine Mehrfach-Faktoren.

Zusammenhang mit halbeinfachen Algebren

Eine Matrix A M a t ( n , C ) {\displaystyle A\in Mat(n,\mathbb {C} )} ist genau dann halbeinfach, wenn C [ A ] {\displaystyle \mathbb {C} \left[A\right]} eine halbeinfache Algebra ist.

Sei G {\displaystyle G} eine endliche Gruppe und K {\displaystyle K} ein Körper. Sei K [ G ] {\displaystyle K[G]} die Gruppenalgebra (dabei handelt es sich um den K {\displaystyle K} -Vektorraum mit Basis G {\displaystyle G} und der Multiplikation, die durch die Gruppenstruktur induziert wird). Die Darstellungen von G {\displaystyle G} in K {\displaystyle K} -Vektorräumen entsprechen genau den K [ G ] {\displaystyle K[G]} -Moduln. Unterdarstellungen entsprechen Untermoduln, und irreduzible Darstellungen entsprechen einfachen Moduln.

Sei nun K {\displaystyle K} so, dass die Charakteristik von K {\displaystyle K} nicht | G | {\displaystyle |G|} teilt (z. B. K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } ). Dann besagt der Satz von Maschke, dass die Gruppenalgebra K [ G ] {\displaystyle K[G]} und damit jeder K [ G ] {\displaystyle K[G]} -Modul halbeinfach ist.

  • Serge Lang, Algebra
  • Nathan Jacobson, Basic Algebra II

Halbeinfacher Modul
halbeinfacher, modul, sprache, beobachten, bearbeiten, halbeinfach, bezeichnet, mathematik, bestimmte, strukturen, vergleichsweise, leicht, verständliche, weise, grundbausteinen, zusammengesetzt, sind, begriff, wird, mathematischen, gebiet, algebra, unterschie. Halbeinfacher Modul Sprache Beobachten Bearbeiten Als halbeinfach bezeichnet man in der Mathematik bestimmte Strukturen die auf vergleichsweise leicht verstandliche Weise aus Grundbausteinen zusammengesetzt sind Der Begriff wird im mathematischen Gebiet der Algebra in unterschiedlichen Zusammenhangen benutzt Besondere Bedeutung hat er in der Theorie der Moduln und Ringe Die Grundbausteine sind hier die einfachen Moduln Die halbeinfachen Moduln bilden dann gewissermassen die nachstkompliziertere Stufe namlich solche die mittels direkter Summe aus einfachen Moduln zusammengesetzt sind Uber halbeinfache Moduln und Ringe sind viele Satze bekannt sie sind mathematisch gesehen also wie der Name andeutet immer noch recht einfache Objekte Eine der wichtigsten Anwendungen liegt in der Darstellungstheorie von Gruppen und basiert auf dem Satz von Maschke Inhaltsverzeichnis 1 Halbeinfacher Modul 1 1 Definition 1 2 Eigenschaften 1 3 Beispiele 2 Halbeinfache Ringe 2 1 Definition 2 2 Eigenschaften 2 3 Satz von Artin Wedderburn 3 Halbeinfache Matrizen 3 1 Lineare Abbildungen 3 2 Matrizen 3 3 Zusammenhang mit halbeinfachen Algebren 4 Beispiel Anwendung in der Darstellungstheorie 5 Siehe auch 6 LiteraturHalbeinfacher Modul BearbeitenDefinition Bearbeiten Im Folgenden wird Vertrautheit des Lesers mit dem Begriff des Moduls vorausgesetzt Sei M displaystyle M ein Modul uber einem Ring mit Eins R displaystyle R Der Modul M displaystyle M heisst halbeinfach oder vollstandig reduzibel wenn eine der folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt ist M displaystyle M lasst sich als direkte Summe von einfachen Moduln schreiben M displaystyle M lasst sich als Summe von einfachen Moduln schreiben Existenz von Komplementen Fur jeden Untermodul N displaystyle N von M displaystyle M existiert ein Untermodul P displaystyle P von M displaystyle M so dass M N P displaystyle M simeq N oplus P Eigenschaften Bearbeiten Untermoduln Quotientenmoduln und direkte Summen von halbeinfachen Moduln sind halbeinfach Ein Modul M displaystyle M ist halbeinfach und endlich erzeugt genau dann wenn er artinsch ist und sein Jacobson Radikal R a d M 0 displaystyle Rad M 0 ist Beispiele Bearbeiten Die endlich erzeugten halbeinfachen Z displaystyle mathbb Z Moduln sind genau die direkten Summen von Moduln der Form Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z fur quadratfreie Zahlen n displaystyle n Ist R displaystyle R ein Korper so ist ein R displaystyle R Modul nichts anderes als ein Vektorraum Diese sind immer halbeinfach Halbeinfache Ringe BearbeitenJeder Ring R displaystyle R wirkt auf sich selbst durch Multiplikation von links und wird so zu einem Linksmodul uber sich selbst Die Untermoduln sind dann genau die Linksideale Die irreduziblen Untermoduln sind genau die nichttrivialen minimalen Linksideale Naturlich kann man analog R displaystyle R zu einem Rechtsmodul uber sich selbst machen Ist der Ring kommutativ so stimmen die beiden Konstruktionen miteinander uberein und ergeben die gleiche Struktur Definition Bearbeiten Ein Ring heisst halbeinfach wenn er als Modul uber sich selbst halbeinfach ist Man kann zeigen dass dies nicht davon abhangt ob man R displaystyle R als Links oder Rechtsmodul betrachtet Bemerkung Ein Ring heisst einfach wenn er keine nichttrivialen beidseitigen Ideale besitzt und nicht etwa wenn er als Modul uber sich selbst einfach ist Nicht jeder einfache Ring ist halbeinfach Diese Terminologie ist verwirrend hat sich aber durchgesetzt Eigenschaften Bearbeiten Ein unitarer Ring R displaystyle R ist halbeinfach genau dann wenn er artinsch ist und sein Jacobson Radikal J a c R 0 displaystyle Jac R 0 ist Dies ist ein Spezialfall der obigen Eigenschaft fur halbeinfache Moduln denn R displaystyle R wird als Modul uber sich selbst von der 1 displaystyle 1 erzeugt Insbesondere ist fur einen artinschen Ring R displaystyle R der Faktorring R J a c R displaystyle R Jac R halbeinfach Ist R displaystyle R halbeinfach so ist jeder R displaystyle R Modul halbeinfach Dies folgt aus obigen Eigenschaften von halbeinfachen Moduln und aus der Tatsache dass jeder Modul ein Quotient eines freien Moduls also einer direkten Summe von Kopien von R displaystyle R ist Uber halbeinfachen Ringen sind alle Moduln projektiv Satz von Artin Wedderburn Bearbeiten Jeder halbeinfache Ring ist isomorph zu einem endlichen direkten Produkt von Matrizenringen uber Schiefkorpern Hierbei ist der ganze Matrizenring gemeint nicht ein Unterring Halbeinfache Matrizen BearbeitenLineare Abbildungen Bearbeiten Sei V displaystyle V ein C displaystyle mathbb C Vektorraum Eine lineare Abbildung f V V displaystyle f colon V rightarrow V heisst halbeinfach wenn es eine C displaystyle mathbb C Basis von V displaystyle V gibt in der f displaystyle f durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird Die Abbildung heisst R displaystyle mathbb R halbeinfach oder hyperbolisch wenn es eine R displaystyle mathbb R Basis von V displaystyle V gibt in der f displaystyle f durch eine Diagonalmatrix dargestellt wird Die Abbildung heisst S 1 displaystyle S 1 halbeinfach oder elliptisch wenn sie halbeinfach ist und alle Eigenwerte Betrag 1 haben Jede lineare Abbildung lasst sich eindeutig als Produkt einer S 1 displaystyle S 1 halbeinfachen einer unipotenten und einer R displaystyle mathbb R halbeinfachen Abbildung zerlegen siehe Iwasawa Zerlegung Matrizen Bearbeiten Eine Matrix A M a t n C displaystyle A in Mat n mathbb C heisst halbeinfach wenn die zugeordnete lineare Abbildung f C n C n displaystyle f colon mathbb C n rightarrow mathbb C n halbeinfach ist Folgende Bedingungen sind aquivalent A M a t n C displaystyle A in Mat n mathbb C ist halbeinfach A M a t n C displaystyle A in Mat n mathbb C ist diagonalisierbar das Minimalpolynom von A M a t n C displaystyle A in Mat n mathbb C hat keine Mehrfach Faktoren Zusammenhang mit halbeinfachen Algebren Bearbeiten Eine Matrix A M a t n C displaystyle A in Mat n mathbb C ist genau dann halbeinfach wenn C A displaystyle mathbb C left A right eine halbeinfache Algebra ist Beispiel Anwendung in der Darstellungstheorie BearbeitenSei G displaystyle G eine endliche Gruppe und K displaystyle K ein Korper Sei K G displaystyle K G die Gruppenalgebra dabei handelt es sich um den K displaystyle K Vektorraum mit Basis G displaystyle G und der Multiplikation die durch die Gruppenstruktur induziert wird Die Darstellungen von G displaystyle G in K displaystyle K Vektorraumen entsprechen genau den K G displaystyle K G Moduln Unterdarstellungen entsprechen Untermoduln und irreduzible Darstellungen entsprechen einfachen Moduln Sei nun K displaystyle K so dass die Charakteristik von K displaystyle K nicht G displaystyle G teilt z B K C displaystyle K mathbb C Dann besagt der Satz von Maschke dass die Gruppenalgebra K G displaystyle K G und damit jeder K G displaystyle K G Modul halbeinfach ist Siehe auch BearbeitenHalbeinfache Lie Algebra Halbeinfache Lie GruppeLiteratur BearbeitenSerge Lang Algebra Nathan Jacobson Basic Algebra IIAbgerufen von https de wikipedia org w index php title Halbeinfacher Modul amp oldid 203489402, wikipedia, wiki, deutsches

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