fbpx
Wikipedia

Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen und Abbildungen auf solchen befasst. Hierbei werden Analysis, Topologie und Algebra verknüpft. Ziel dieser Untersuchungen ist es, abstrakte Aussagen zu finden, die sich auf verschiedenartige konkrete Probleme anwenden lassen. Die Funktionalanalysis ist der geeignete Rahmen zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik und zur Untersuchung partieller Differentialgleichungen.

Inhaltsverzeichnis

Von zentraler Bedeutung sind die Begriffe

  • Funktional für eine Abbildung von Vektoren (z. B. Funktionen) auf skalare Größen und
  • Operator für eine Abbildung von Vektoren auf Vektoren. Der Begriff des Operators ist eigentlich viel allgemeiner. Sinnvollerweise betrachtet man sie jedoch auf algebraisch und topologisch strukturierten Räumen, wie z. B. topologischen, metrischen oder normierten Vektorräumen aller Art.

Beispiele für Funktionale sind die Begriffsinhalte Folgengrenzwert, Norm, bestimmtes Integral oder Distribution, Beispiele für Operatoren sind etwa Differentiation, unbestimmtes Integral, quantenmechanische Observable oder Shift-Operatoren für Folgen.

Grundbegriffe der Analysis wie Stetigkeit, Ableitungen usw. werden in der Funktionalanalysis auf Funktionale und Operatoren erweitert. Gleichzeitig weitet man die Resultate der linearen Algebra (beispielsweise den Spektralsatz) auf topologisch lineare Räume (beispielsweise Hilberträume) aus, was mit sehr bedeutsamen Ergebnissen verbunden ist.

Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen im Studium der Fourier-Transformation und ähnlicher Transformationen und der Untersuchung von Differential- und Integralgleichungen. Der Wortbestandteil „funktional“ geht auf die Variationsrechnung zurück. Als Begründer der modernen Funktionalanalysis gelten Stefan Banach, Frigyes Riesz und Maurice René Fréchet.

Grundlage der Funktionalanalysis sind Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen. Der Grundbegriff ist hier der topologische Vektorraum, der dadurch gekennzeichnet ist, dass die Vektorraumverknüpfungen stetig sind, etwas konkreter werden auch lokalkonvexe topologische Vektorräume und Fréchet-Räume untersucht. Wichtige Aussagen sind dabei der Satz von Hahn-Banach, der Satz von Baire und der Satz von Banach-Steinhaus. Insbesondere in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen spielen diese eine wichtige Rolle, darüber hinaus in der Fredholm-Theorie.

Hauptartikel: Normierter Raum und Banachraum

Der wichtigste Spezialfall lokalkonvexer topologischer Vektorräume sind normierte Vektorräume. Sind diese zusätzlich vollständig, dann heißen sie Banachräume. Noch spezieller betrachtet man Hilberträume, bei denen die Norm von einem Skalarprodukt erzeugt wird. Diese Räume sind von grundlegender Bedeutung für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik. Ein wichtiger Untersuchungsgegenstand sind stetige lineare Operatoren auf Banach- oder Hilberträumen.

Hilberträume können vollständig klassifiziert werden: Für jede Mächtigkeit einer Orthonormalbasis existiert (bis auf Isomorphie) genau ein Hilbertraum zu einem Körper. Da endlich-dimensionale Hilberträume von der linearen Algebra erfasst werden und jeder Morphismus zwischen Hilberträumen in Morphismen von Hilberträumen mit abzählbarer Orthonormalbasis zerlegt werden kann, betrachtet man in der Funktionalanalysis hauptsächlich Hilberträume mit abzählbarer Orthonormalbasis und ihre Morphismen. Diese sind isomorph zum Folgenraum 2 {\displaystyle \ell ^{2}} aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist.

Banachräume sind dagegen viel komplexer. Es gibt zum Beispiel keine praktisch nutzbare allgemeine Definition einer Basis, so lassen sich Basen vom unter Basis (Vektorraum) beschriebenen Typ (auch Hamelbasis genannt) im unendlich-dimensionalen Fall nicht konstruktiv angeben und sind auch stets überabzählbar (siehe Satz von Baire). Verallgemeinerungen der Hilbertraum-Orthonormalbasen führen zum Begriff der Schauderbasis, aber nicht jeder Banachraum hat eine solche.

Für jede reelle Zahl p 1 {\displaystyle p\geq 1} gibt es den Banachraum „aller Lebesgue-messbaren Funktionen, deren p {\displaystyle p} -te Potenz des Betrags ein endliches Integral hat“ (siehe Lp-Raum), dieser ist genau für p = 2 {\displaystyle p=2} ein Hilbertraum.

Beim Studium normierter Räume ist die Untersuchung des Dualraumes wichtig. Der Dualraum besteht aus allen stetigen linearen Funktionen vom normierten Raum in seinen Skalarkörper, also in die reellen oder komplexen Zahlen. Der Bidual, also der Dualraum des Dualraums, muss nicht isomorph zum ursprünglichen Raum sein, aber es gibt stets einen natürlichen Monomorphismus von einem Raum in seinen Bidual. Ist dieser spezielle Monomorphismus auch surjektiv, dann spricht man von einem reflexiven Banachraum.

Der Begriff der Ableitung lässt sich auf Funktionen zwischen Banachräumen zur sogenannten Fréchet-Ableitung verallgemeinern, so dass die Ableitung in einem Punkt eine stetige lineare Abbildung ist.

Hauptartikel: Banachalgebra und C*-Algebra

Während die Banachräume bzw. Hilberträume Verallgemeinerungen der endlich-dimensionalen Vektorräume der linearen Algebra darstellen, verallgemeinern die stetigen, linearen Operatoren zwischen ihnen die Matrizen der linearen Algebra. Die Diagonalisierung von Matrizen, die eine Matrix als direkte Summe von Streckungen von sogenannten Eigenvektoren darzustellen versucht, erweitert sich zum Spektralsatz für selbstadjungierte oder normale Operatoren auf Hilberträumen, was zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik führt. Die Eigenvektoren bilden die quantenmechanischen Zustände, die Operatoren die quantenmechanischen Observablen.

Da Produkte von Operatoren wieder Operatoren sind, erhält man Algebren von Operatoren, die mit der Operatornorm Banachräume sind, so dass für zwei Operatoren A {\displaystyle A} und B {\displaystyle B} auch die multiplikative Dreiecksungleichung A B A B {\displaystyle \|A\circ B\|\leq \|A\|\|B\|} gilt. Dies führt zum Begriff der Banachalgebra, deren zugänglichste Vertreter die C*-Algebren und Von-Neumann-Algebren sind.

Zur Untersuchung lokalkompakter Gruppen G {\displaystyle G} zieht man den Banachraum L 1 ( G ) {\displaystyle L^{1}(G)} der bezüglich des Haarmaßes integrierbaren Funktionen heran, der mit der Faltung als Multiplikation zu einer Banachalgebra wird. Dies begründet die Harmonische Analyse als funktionalanalytischen Zugang zur Theorie der lokalkompakten Gruppen; die Fourier-Transformation ergibt sich bei dieser Sichtweise als Spezialfall der in der Banachalgebren-Theorie untersuchten Gelfand-Transformation.

Die Funktionalanalysis bietet einen geeigneten Rahmen zur Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen. Solche Gleichungen haben häufig die Form D u = f {\displaystyle Du\,=f} , wobei die gesuchte Funktion u {\displaystyle u} und die rechte Seite f {\displaystyle f} Funktionen auf einem Gebiet Ω R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} sind und D {\displaystyle D} ein Differentialausdruck ist. Dazu kommen sogenannte Randbedingungen, die das Verhalten der gesuchten Funktion u {\displaystyle u} auf dem Rand Ω {\displaystyle \partial \Omega } von Ω {\displaystyle \Omega } vorschreiben. Ein Beispiel für einen solchen Differentialausdruck ist etwa der Laplace-Operator D = 2 x 1 2 + + 2 x n 2 {\displaystyle D={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}} , weitere wichtige Beispiele ergeben sich aus der Wellengleichung oder aus der Wärmeleitungsgleichung.

Der Differentialausdruck wird nun als Operator zwischen Räumen differenzierbarer Funktionen angesehen, im Beispiel des Laplace-Operators etwa als Operator zwischen dem Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen und dem Raum der stetigen Funktionen auf Ω {\displaystyle \Omega } . Derartige Räume von im klassischen Sinne differenzierbaren Funktionenräumen erweisen sich allerdings für eine erschöpfende Lösungstheorie als ungeeignet. Durch Übergang zu einem allgemeineren Differenzierbarkeitsbegriff (schwache Ableitung, Distributionstheorie) kann man den Differentialausdruck als Operator zwischen Hilberträumen, sogenannten Sobolew-Räumen, die aus geeigneten L2-Funktionen bestehen, ansehen. In diesem Rahmen lassen sich in wichtigen Fällen befriedigende Sätze über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen beweisen. Dazu werden Fragen wie die Abhängigkeit von der rechten Seite f {\displaystyle f} , sowie Fragen nach der Regularität, das heißt Glattheitseigenschaften der Lösung u {\displaystyle u} in Abhängigkeit von Glattheitseigenschaften der rechten Seite f {\displaystyle f} , mit funktionalanalytischen Methoden untersucht. Dies lässt sich weiter auf allgemeinere Raumklassen, etwa Räume von Distributionen, verallgemeinern. Ist die rechte Seite f {\displaystyle f} gleich der Delta-Distribution und hat man für diesen Fall eine Lösung gefunden, eine sogenannte Fundamentallösung, so kann man in manchen Fällen Lösungen für beliebige rechte Seiten mittels Faltung konstruieren.

In der Praxis werden numerische Methoden zur näherungsweisen Bestimmung von Lösungen solcher Differentialgleichungen herangezogen, etwa die Finite-Elemente-Methode, insbesondere dann, wenn keine Lösung in geschlossener Form angegeben werden kann. Auch bei der Konstruktion solcher Näherungen und der Bestimmung der Approximationsgüte spielen funktionalanalytische Methoden eine wesentliche Rolle.

Die Bücher Alt (2006) und Heuser (1992) bieten eine Einführung und einen ersten Überblick über „klassische“ Sätze der Funktionalanalysis. Dabei wird als roter Faden immer wieder auf physikalische Anwendungen eingegangen. Heuser hat zu jedem Kapitel Übungsaufgaben, für die zum größten Teil im Anhang eine Lösung skizziert wird. Das letzte Kapitel „Ein Blick auf die werdende Analysis“ beschreibt die wichtigsten Schritte der historischen Entwicklung zur heutigen Funktionalanalysis.

Commons: Funktionalanalysis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Funktionalanalysis
funktionalanalysis, zweig, mathematik, sprache, beobachten, bearbeiten, zweig, mathematik, sich, untersuchung, unendlichdimensionalen, topologischen, vektorräumen, abbildungen, solchen, befasst, hierbei, werden, analysis, topologie, algebra, verknüpft, ziel, d. Funktionalanalysis Zweig der Mathematik Sprache Beobachten Bearbeiten Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik der sich mit der Untersuchung von unendlichdimensionalen topologischen Vektorraumen und Abbildungen auf solchen befasst Hierbei werden Analysis Topologie und Algebra verknupft Ziel dieser Untersuchungen ist es abstrakte Aussagen zu finden die sich auf verschiedenartige konkrete Probleme anwenden lassen Die Funktionalanalysis ist der geeignete Rahmen zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik und zur Untersuchung partieller Differentialgleichungen Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegende Begriffe 2 Topologische Vektorraume 3 Normierte Raume Banachraume 4 Operatoren Banachalgebren 5 Partielle Differentialgleichungen 6 Literatur 7 WeblinksGrundlegende Begriffe BearbeitenVon zentraler Bedeutung sind die Begriffe Funktional fur eine Abbildung von Vektoren z B Funktionen auf skalare Grossen und Operator fur eine Abbildung von Vektoren auf Vektoren Der Begriff des Operators ist eigentlich viel allgemeiner Sinnvollerweise betrachtet man sie jedoch auf algebraisch und topologisch strukturierten Raumen wie z B topologischen metrischen oder normierten Vektorraumen aller Art Beispiele fur Funktionale sind die Begriffsinhalte Folgengrenzwert Norm bestimmtes Integral oder Distribution Beispiele fur Operatoren sind etwa Differentiation unbestimmtes Integral quantenmechanische Observable oder Shift Operatoren fur Folgen Grundbegriffe der Analysis wie Stetigkeit Ableitungen usw werden in der Funktionalanalysis auf Funktionale und Operatoren erweitert Gleichzeitig weitet man die Resultate der linearen Algebra beispielsweise den Spektralsatz auf topologisch lineare Raume beispielsweise Hilbertraume aus was mit sehr bedeutsamen Ergebnissen verbunden ist Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen im Studium der Fourier Transformation und ahnlicher Transformationen und der Untersuchung von Differential und Integralgleichungen Der Wortbestandteil funktional geht auf die Variationsrechnung zuruck Als Begrunder der modernen Funktionalanalysis gelten Stefan Banach Frigyes Riesz und Maurice Rene Frechet Topologische Vektorraume Bearbeiten Hauptartikel Topologischer Vektorraum und Lokalkonvexer Raum Grundlage der Funktionalanalysis sind Vektorraume uber den reellen oder komplexen Zahlen Der Grundbegriff ist hier der topologische Vektorraum der dadurch gekennzeichnet ist dass die Vektorraumverknupfungen stetig sind etwas konkreter werden auch lokalkonvexe topologische Vektorraume und Frechet Raume untersucht Wichtige Aussagen sind dabei der Satz von Hahn Banach der Satz von Baire und der Satz von Banach Steinhaus Insbesondere in der Losungstheorie partieller Differentialgleichungen spielen diese eine wichtige Rolle daruber hinaus in der Fredholm Theorie Normierte Raume Banachraume Bearbeiten Hauptartikel Normierter Raum und Banachraum Der wichtigste Spezialfall lokalkonvexer topologischer Vektorraume sind normierte Vektorraume Sind diese zusatzlich vollstandig dann heissen sie Banachraume Noch spezieller betrachtet man Hilbertraume bei denen die Norm von einem Skalarprodukt erzeugt wird Diese Raume sind von grundlegender Bedeutung fur die mathematische Formulierung der Quantenmechanik Ein wichtiger Untersuchungsgegenstand sind stetige lineare Operatoren auf Banach oder Hilbertraumen Hilbertraume konnen vollstandig klassifiziert werden Fur jede Machtigkeit einer Orthonormalbasis existiert bis auf Isomorphie genau ein Hilbertraum zu einem Korper Da endlich dimensionale Hilbertraume von der linearen Algebra erfasst werden und jeder Morphismus zwischen Hilbertraumen in Morphismen von Hilbertraumen mit abzahlbarer Orthonormalbasis zerlegt werden kann betrachtet man in der Funktionalanalysis hauptsachlich Hilbertraume mit abzahlbarer Orthonormalbasis und ihre Morphismen Diese sind isomorph zum Folgenraum ℓ 2 displaystyle ell 2 aller Folgen mit der Eigenschaft dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist Banachraume sind dagegen viel komplexer Es gibt zum Beispiel keine praktisch nutzbare allgemeine Definition einer Basis so lassen sich Basen vom unter Basis Vektorraum beschriebenen Typ auch Hamelbasis genannt im unendlich dimensionalen Fall nicht konstruktiv angeben und sind auch stets uberabzahlbar siehe Satz von Baire Verallgemeinerungen der Hilbertraum Orthonormalbasen fuhren zum Begriff der Schauderbasis aber nicht jeder Banachraum hat eine solche Fur jede reelle Zahl p 1 displaystyle p geq 1 gibt es den Banachraum aller Lebesgue messbaren Funktionen deren p displaystyle p te Potenz des Betrags ein endliches Integral hat siehe Lp Raum dieser ist genau fur p 2 displaystyle p 2 ein Hilbertraum Beim Studium normierter Raume ist die Untersuchung des Dualraumes wichtig Der Dualraum besteht aus allen stetigen linearen Funktionen vom normierten Raum in seinen Skalarkorper also in die reellen oder komplexen Zahlen Der Bidual also der Dualraum des Dualraums muss nicht isomorph zum ursprunglichen Raum sein aber es gibt stets einen naturlichen Monomorphismus von einem Raum in seinen Bidual Ist dieser spezielle Monomorphismus auch surjektiv dann spricht man von einem reflexiven Banachraum Der Begriff der Ableitung lasst sich auf Funktionen zwischen Banachraumen zur sogenannten Frechet Ableitung verallgemeinern so dass die Ableitung in einem Punkt eine stetige lineare Abbildung ist Operatoren Banachalgebren Bearbeiten Hauptartikel Banachalgebra und C Algebra Wahrend die Banachraume bzw Hilbertraume Verallgemeinerungen der endlich dimensionalen Vektorraume der linearen Algebra darstellen verallgemeinern die stetigen linearen Operatoren zwischen ihnen die Matrizen der linearen Algebra Die Diagonalisierung von Matrizen die eine Matrix als direkte Summe von Streckungen von sogenannten Eigenvektoren darzustellen versucht erweitert sich zum Spektralsatz fur selbstadjungierte oder normale Operatoren auf Hilbertraumen was zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik fuhrt Die Eigenvektoren bilden die quantenmechanischen Zustande die Operatoren die quantenmechanischen Observablen Da Produkte von Operatoren wieder Operatoren sind erhalt man Algebren von Operatoren die mit der Operatornorm Banachraume sind so dass fur zwei Operatoren A displaystyle A und B displaystyle B auch die multiplikative Dreiecksungleichung A B A B displaystyle A circ B leq A B gilt Dies fuhrt zum Begriff der Banachalgebra deren zuganglichste Vertreter die C Algebren und Von Neumann Algebren sind Zur Untersuchung lokalkompakter Gruppen G displaystyle G zieht man den Banachraum L 1 G displaystyle L 1 G der bezuglich des Haarmasses integrierbaren Funktionen heran der mit der Faltung als Multiplikation zu einer Banachalgebra wird Dies begrundet die Harmonische Analyse als funktionalanalytischen Zugang zur Theorie der lokalkompakten Gruppen die Fourier Transformation ergibt sich bei dieser Sichtweise als Spezialfall der in der Banachalgebren Theorie untersuchten Gelfand Transformation Partielle Differentialgleichungen Bearbeiten Hauptartikel Partielle Differentialgleichung Die Funktionalanalysis bietet einen geeigneten Rahmen zur Losungstheorie partieller Differentialgleichungen Solche Gleichungen haben haufig die Form D u f displaystyle Du f wobei die gesuchte Funktion u displaystyle u und die rechte Seite f displaystyle f Funktionen auf einem Gebiet W R n displaystyle Omega subset mathbb R n sind und D displaystyle D ein Differentialausdruck ist Dazu kommen sogenannte Randbedingungen die das Verhalten der gesuchten Funktion u displaystyle u auf dem Rand W displaystyle partial Omega von W displaystyle Omega vorschreiben Ein Beispiel fur einen solchen Differentialausdruck ist etwa der Laplace Operator D 2 x 1 2 2 x n 2 displaystyle D frac partial 2 partial x 1 2 dotsb frac partial 2 partial x n 2 weitere wichtige Beispiele ergeben sich aus der Wellengleichung oder aus der Warmeleitungsgleichung Der Differentialausdruck wird nun als Operator zwischen Raumen differenzierbarer Funktionen angesehen im Beispiel des Laplace Operators etwa als Operator zwischen dem Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen und dem Raum der stetigen Funktionen auf W displaystyle Omega Derartige Raume von im klassischen Sinne differenzierbaren Funktionenraumen erweisen sich allerdings fur eine erschopfende Losungstheorie als ungeeignet Durch Ubergang zu einem allgemeineren Differenzierbarkeitsbegriff schwache Ableitung Distributionstheorie kann man den Differentialausdruck als Operator zwischen Hilbertraumen sogenannten Sobolew Raumen die aus geeigneten L2 Funktionen bestehen ansehen In diesem Rahmen lassen sich in wichtigen Fallen befriedigende Satze uber Existenz und Eindeutigkeit von Losungen beweisen Dazu werden Fragen wie die Abhangigkeit von der rechten Seite f displaystyle f sowie Fragen nach der Regularitat das heisst Glattheitseigenschaften der Losung u displaystyle u in Abhangigkeit von Glattheitseigenschaften der rechten Seite f displaystyle f mit funktionalanalytischen Methoden untersucht Dies lasst sich weiter auf allgemeinere Raumklassen etwa Raume von Distributionen verallgemeinern Ist die rechte Seite f displaystyle f gleich der Delta Distribution und hat man fur diesen Fall eine Losung gefunden eine sogenannte Fundamentallosung so kann man in manchen Fallen Losungen fur beliebige rechte Seiten mittels Faltung konstruieren In der Praxis werden numerische Methoden zur naherungsweisen Bestimmung von Losungen solcher Differentialgleichungen herangezogen etwa die Finite Elemente Methode insbesondere dann wenn keine Losung in geschlossener Form angegeben werden kann Auch bei der Konstruktion solcher Naherungen und der Bestimmung der Approximationsgute spielen funktionalanalytische Methoden eine wesentliche Rolle Literatur BearbeitenHans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis eine anwendungsorientierte Einfuhrung 5 Auflage Springer Verlag 2006 ISBN 3 540 34186 2 doi 10 1007 3 540 34187 0 Haim Brezis Analyse fonctionnelle theorie et applications In Mathematiques appliquees pour la maitrise Dunod 2005 ISBN 2 10 049336 1 Nelson Dunford Jacob T Schwartz u a Linear Operators General Theory and other 3 volumes includes visualization charts In Pure and applied mathematics 7 Wiley Interscience 1988 ISBN 0 470 22605 6 Harro Heuser Funktionalanalysis Theorie und Anwendung 3 Auflage Teubner Verlag 1992 ISBN 3 519 22206 X Friedrich Hirzebruch Winfried Scharlau Einfuhrung in die Funktionalanalysis BI Mannheim 1971 ISBN 978 3 411 00296 2 online in der Hirzebruch Collection Vivien Hutson John S Pym Michael J Cloud Applications of Functional Analysis and Operator Theory 2nd edition Elsevier Science 2005 ISBN 0 444 51790 1 Leonid P Lebedev Iosif I Vorovic Functional Analysis in Mechanics Springer Verlag 2003 ISBN 0 387 95519 4 R Meise D Vogt Einfuhrung in die Funktionalanalysis Vieweg 1992 ISBN 3 528 07262 8 doi 10 1007 978 3 322 80310 8 Martin Schechter Principles of Functional Analysis 2nd edition Academic Press 2001 ISBN 0 8218 2895 9 Sergei Lwowitsch Sobolew Some applications of functional analysis in mathematical physics Providence RI American Mathematical Soc 1991 ISBN 0 8218 4549 7 Dirk Werner Funktionalanalysis 7 Auflage Springer 2011 ISBN 978 3 642 21016 7 doi 10 1007 978 3 642 21017 4 Kosaku Yosida Functional Analysis 6th edition Springer Verlag 1980 ISBN 3 540 10210 8 Die Bucher Alt 2006 und Heuser 1992 bieten eine Einfuhrung und einen ersten Uberblick uber klassische Satze der Funktionalanalysis Dabei wird als roter Faden immer wieder auf physikalische Anwendungen eingegangen Heuser hat zu jedem Kapitel Ubungsaufgaben fur die zum grossten Teil im Anhang eine Losung skizziert wird Das letzte Kapitel Ein Blick auf die werdende Analysis beschreibt die wichtigsten Schritte der historischen Entwicklung zur heutigen Funktionalanalysis Weblinks Bearbeiten Commons Funktionalanalysis Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Funktionalanalysis amp oldid 205197742, wikipedia, wiki, deutsches

deutschland

buch, bücher, bibliothek

artikel

lesen, herunterladen

kostenlos

kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele