fbpx
Wikipedia

Funktion (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Funktion (lateinischfunctio) oder Abbildung eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, x {\displaystyle x} -Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, y {\displaystyle y} -Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr.

Inhaltsverzeichnis

Erste Ansätze zu einer impliziten Verwendung des Funktionsbegriffs in Tabellenform (Schattenlänge abhängig von der Tageszeit, Sehnenlängen abhängig vom Zentriwinkel etc.) sind bereits in der Antike zu erkennen. Den ersten Beleg einer expliziten Definition des Funktionsbegriffs findet man bei Nikolaus von Oresme, der im 14. Jahrhundert Abhängigkeiten sich ändernder Größen (Wärme, Bewegung etc.) graphisch durch senkrecht aufeinander stehende Strecken (longitudo, latitudo) darstellte. Am Beginn des Prozesses zur Entwicklung des Funktionsbegriffs stehen Descartes und Fermat, die mit Hilfe der von Vieta eingeführten Variablen die analytische Methode der Einführung von Funktionen entwickelten. Funktionale Abhängigkeiten sollten durch Gleichungen wie zum Beispiel y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} dargestellt werden. In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Die erste Umschreibung des Funktionsbegriffs nach dieser Idee stammt von Gregory in seinem 1667 erschienenen Buch Vera circuli et hyperbolae quadratura. Der Begriff Funktion kommt wohl erstmals 1673 in einem Manuskript von Leibniz auf, der in seiner Abhandlung von 1692 De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis auch die Begriffe „Konstante“, „Variable“, „Ordinate“ und „Abszisse“ benutzt. Im Schriftwechsel zwischen Leibniz und Johann I Bernoulli wird der Funktionsbegriff von der Geometrie losgelöst und in die Algebra übertragen. In Beiträgen von 1706, 1708 und 1718 stellt Bernoulli diese Entwicklung dar. 1748 präzisiert Leonhard Euler, ein Schüler Johann Bernoullis, in seinem Buch Introductio in analysin infinitorum den Funktionsbegriff weiter.

Bei Euler findet man zwei verschiedene Erklärungen des Funktionsbegriffs: Zum einen stellt jeder „analytische Ausdruck“ in x {\displaystyle x} eine Funktion dar, zum anderen wird y ( x ) {\displaystyle y(x)} im Koordinatensystem durch eine freihändig gezeichnete Kurve definiert. 1755 formuliert er diese Vorstellungen ohne Verwendung des Terminus „analytischer Ausdruck“ um. Außerdem führte er bereits 1734 die Schreibweise f ( x ) {\displaystyle f(x)} ein. Er unterscheidet zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen. Bei Euler ist damit auch die Umkehrung der Normalparabel, bei der jeder nicht-negativen reellen Zahl sowohl ihre positive als auch ihre negative Wurzel zugeordnet wird, als Funktion zugelassen. Für Lagrange sind nur Funktionen zulässig, die durch Potenzreihen definiert sind, wie er 1797 in seiner Théorie des fonctions analytiques festlegt. Eine fruchtbare Auseinandersetzung über das Bewegungsgesetz einer schwingenden Saite, zu dem d’Alembert 1747, Euler 1748 und Daniel Bernoulli 1753 unterschiedliche Lösungen vorstellten, führte zur Entdeckung der Definitionsmenge und einem weiter präzisierten Funktionsbegriff, in dem schon so etwas wie eindeutige Zuordnung umschrieben wird, durch Fourier in seinem 1822 erschienenen Buch Théorie analytique de la chaleur. Ähnliches formuliert Cauchy 1823 in Résumé des leçons … sur le calcul infinitésimal.

Als die Analysis im 19. Jahrhundert mit einem exakten Grenzwertbegriff auf eine neue Grundlage gestellt wurde, wurden Eigenschaften, die bisher als für Funktionen konstituierend aufgefasst wurden, in einem Exaktifizierungsprozess als selbständige Begriffe eingeführt und vom Funktionsbegriff losgelöst. Dirichlet, ein Schüler Fouriers, formulierte diese neue Sicht: „Ideen an die Stelle von Rechnungen“ und stellte 1837 seine Ideen dar. Stokes führte in Arbeiten 1848 und 1849 ähnliche Ansichten aus. So verfuhr Riemann, Schüler von Dirichlet, 1851 in Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Größe mit der Stetigkeit, später folgten Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit. Eine Zusammenfassung dieser Entwicklung macht Hankel 1870 in Untersuchungen über die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Functionen. Auch hier wird noch nicht zwischen der Funktion f {\displaystyle f} und dem Funktionswert f ( x ) {\displaystyle f(x)} an der Stelle x {\displaystyle x} unterschieden.

Weierstraß, Dedekind und andere entdeckten, dass Grenzwerte unendlicher Folgen „klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln, d. h. mit endlich vielen Rechenoperationen, ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit Transformation auch die Begriffe Bewegung und Abbildung gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Mengenlehre formuliert wurden, stellten sich die mathematischen Begriffe Funktion und Abbildung als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen Zahlenkörper ( R {\displaystyle \mathbb {R} } bzw. C {\displaystyle \mathbb {C} } ) oder auch Potenzen davon ( R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} bzw. C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ), andererseits ist es in der Booleschen Algebra gebräuchlich, von Booleschen Funktionen zu sprechen.

Weitere Synonyme für Funktion in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem Operator in der Analysis, Operation, Verknüpfung und (etwas verallgemeinert) Morphismus in der Algebra.

Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff (genauso wie den Relationsbegriff) nicht unbedingt als auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse, die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthält, als Funktion gelten. Mengentheoretisch ausgedrückt werden Funktionen also als rechtseindeutige Relationen definiert.

Grundidee

Eine Funktion f {\displaystyle f} ordnet jedem Element x {\displaystyle x} einer Definitionsmenge D {\displaystyle D} genau ein Element y {\displaystyle y} einer Zielmenge Z {\displaystyle Z} zu.

Schreibweise:

f : D Z , x y {\displaystyle f\colon \,D\to Z,\;x\mapsto y} , oder auch äquivalent: f : { D Z x y {\displaystyle f\colon \,{\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}}

Für das dem Element x D {\displaystyle x\in D} zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen f ( x ) {\displaystyle f(x)} .

Anmerkungen:

  • Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann genau einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein, in welch letzterem Fall es nicht zur Bildmengegehört.
    Beispiel: Die Betragsfunktion f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} ordnet den Zahlen +1 und −1 der Definitionsmenge die Zahl +1 der Zielmenge zu. Der Zahl +1 der Zielmenge sind also zwei Zahlen der Definitionsmenge zugeordnet, der Zahl −1 ist keine Zahl der Definitionsmenge zugeordnet.
  • Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge Q {\displaystyle Q} gegeben. Wenn f {\displaystyle f} als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge D f {\displaystyle D_{f}} , indem man von Q {\displaystyle Q} diejenigen Elemente ausschließt, für die f {\displaystyle f} nicht definiert ist. Siehe auch Abschnitt „Partielle Funktionen“.

Mengentheoretische Definition

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle Relation:

Eine Funktion von der Menge D {\displaystyle D} in die Menge Z {\displaystyle Z} ist eine Menge f {\displaystyle f} , die die folgenden Eigenschaften hat:
  • f {\displaystyle f} ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts D × Z {\displaystyle D\times Z} von D {\displaystyle D} und Z {\displaystyle Z} , d. h. f {\displaystyle f} ist eine Relation zwischen D {\displaystyle D} und Z {\displaystyle Z} .
  • Für jedes Element x {\displaystyle x} aus D {\displaystyle D} existiert mindestens ein Element y {\displaystyle y} in Z {\displaystyle Z} , so dass das geordnete Paar ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} Element der Relation f {\displaystyle f} ist. f {\displaystyle f} ist also linkstotal.
  • Zu jedem Element x {\displaystyle x} von D {\displaystyle D} gibt es höchstens ein Element y {\displaystyle y} von Z {\displaystyle Z} , so dass das Paar ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} in f {\displaystyle f} liegt. f {\displaystyle f} ist damit rechtseindeutig oder funktional.

Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen:

  • Zu jedem Element x {\displaystyle x} von D {\displaystyle D} gibt es genau ein Element y {\displaystyle y} von Z {\displaystyle Z} , so dass das Paar ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} Element der Relation f {\displaystyle f} ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen, zum Beispiel um Aussagen zur Surjektivität (als eine Eigenschaft der betrachteten Funktion selbst) anstellen zu können:

Ein Paar f = ( G , Z ) {\displaystyle f=(G,Z)} , bestehend aus einer Menge Z {\displaystyle Z} und einer Menge von Paaren G D × Z {\displaystyle G\subseteq D\times Z} mit einer weiteren Menge D {\displaystyle D} heißt Funktion von der Menge D {\displaystyle D} nach Z {\displaystyle Z} , wenn gilt: Zu jedem Element x {\displaystyle x} von D {\displaystyle D} gibt es genau ein Element y {\displaystyle y} von Z {\displaystyle Z} (geschrieben f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} ), so dass das Paar ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} Element von G {\displaystyle G} ist.

G {\displaystyle G} wird dann auch der Graph der Funktion f {\displaystyle f} genannt. Die Definitionsmenge D {\displaystyle D} der Funktion ist dabei durch ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im Wesentlichen gleich. Insbesondere ist jede Funktion f = ( G , Z ) {\displaystyle f=(G,Z)} im Wesentlichen gleich mit der surjektiven Funktion ( G , W ( f ) ) {\displaystyle (G,W(f))} mit der Bildmenge W ( f ) := { y Z | x D : ( x , y ) G } {\displaystyle W(f):=\{y\in {Z}|\exists x\in {D}:(x,y)\in G\}} .

Oft empfiehlt es sich, auch noch die Definitionsmenge hinzuzunehmen und eine Funktion entsprechend als ein Tripel f = ( G , D , Z ) {\displaystyle f=(G,D,Z)} zu definieren. Diese Definition stimmt dann überein mit der entsprechenden ausführlichen Definition bei Relationen, so dass auch Multifunktionen und partielle Funktionen auf gleiche Weise erfasst sind.

Schreibweisen

Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

  • Funktionsgleichung mit Definitionsmenge
f ( x ) = x 2 , x N {\displaystyle f(x)=x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }
  • Eindeutige Zuordnungsvorschrift (englisch: maplet) mit Definitionsmenge
x x 2 , x N {\displaystyle x\mapsto x^{2},\qquad x\in \mathbb {N} }
  • Eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge
f : N N , x x 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\;x\mapsto x^{2}} , oder äquivalent: f : { N N x x 2 {\displaystyle f\colon \,{\begin{cases}\mathbb {N} \to \mathbb {N} \\x\mapsto x^{2}\end{cases}}}
( f x ) x N {\displaystyle (f_{x})_{x\in {\mathbb {N} }}}
  • Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsmengen)
x {\displaystyle x} 1 2 3 4 5 6 7
y {\displaystyle y} 1 4 9 16 25 36 49
  • Relation insbesondere auch als aufgezählt oder beschrieben dargestellte Teilmenge
f = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 9 ) , ( 4 , 16 ) , } {\displaystyle f=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots \}}
  • Ergebnis von Verknüpfungen und Operationen (zum Beispiel Komposition, Bildung der Umkehrfunktion, Ableitung u. ä.), die auf andere Funktionen angewendet werden
f = ( g h ) 1 {\displaystyle f=(g^{\prime }\circ h)^{-1}}

Sprechweisen

Für die Zuordnung eines Funktionswertes y {\displaystyle y} zu einem Argument x {\displaystyle x} gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:

x {\displaystyle x} wird abgebildet auf f {\displaystyle f} von x {\displaystyle x}
f {\displaystyle f} von x {\displaystyle x} wird x {\displaystyle x} eindeutig zugeordnet (vornehmlich, wenn das {\displaystyle \mapsto } -Symbol in der Symbolik steht)
y {\displaystyle y} gleich f {\displaystyle f} von x {\displaystyle x} (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht)
y {\displaystyle y} ist das Bild von x {\displaystyle x} unter der Abbildung f {\displaystyle f}

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: y {\displaystyle y} ist eine Funktion von x {\displaystyle x} “, die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen y {\displaystyle y} von einer anderen Variablen x {\displaystyle x} , im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“ Sprechweise stammt von dem Vorgehen, zunächst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} , zuzuordnen und danach deren Abhängigkeit festzustellen. Steht beispielsweise y {\displaystyle y} für die Raumtemperatur und x {\displaystyle x} für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist“ oder stellvertretend y {\displaystyle y} eine Funktion von x {\displaystyle x} ist.“

Statt Definitionsmenge D {\displaystyle D} wird auch Definitionsbereich, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Die Elemente von D {\displaystyle D} heißen Funktionsargumente, Funktionsstellen oder Urbilder, salopp auch x {\displaystyle x} -Werte. Die Zielmenge Z {\displaystyle Z} wird auch Wertemenge oder Wertebereich genannt, die Elemente von Z {\displaystyle Z} heißen Zielwerte oder Zielelemente, salopp auch y {\displaystyle y} -Werte. Diejenigen Elemente von Z {\displaystyle Z} , die tatsächlich auch als Bild eines Arguments auftreten, heißen Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder.

Eine Funktion f : U R , U R {\displaystyle f\colon \,U\to \mathbb {R} ,\ U\subseteq \mathbb {R} } , kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f {\displaystyle f} kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Elementepaare ( x | y ) {\displaystyle (x|y)} , für die y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} ist. Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall bildet eine zusammenhängende Kurve (genauer: die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen f : U R 2 , U R {\displaystyle f\colon \,U\to \mathbb {R} ^{2},\,U\subseteq \mathbb {R} } , und g : U R , U R 2 {\displaystyle g\colon \,U\to \mathbb {R} ,\,U\subseteq \mathbb {R} ^{2}} , visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist f {\displaystyle f} stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist g {\displaystyle g} stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computeralgebrasystemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar. Es gibt auch Web-gestützte Angebote, die nur einen aktuellen Browser benötigen.

Bild und Urbild

Das Bild eines Elements x {\displaystyle x} der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert f ( x ) {\displaystyle f(x)} . Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge D {\displaystyle D} , also

f ( D ) = { f ( x ) x D } {\displaystyle f(D)=\{f(x)\mid x\in D\}} .

Das Bild einer Funktion ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge und wird Bildmenge genannt. Ist allgemeiner S {\displaystyle S} eine Teilmenge von D {\displaystyle D} , dann ist

f ( S ) = { f ( x ) x S } {\displaystyle f(S)=\{f(x)\mid x\in S\}}

das Bild von S {\displaystyle S} unter der Funktion f {\displaystyle f} .

Das Urbild eines Elements y {\displaystyle y} der Zielmenge Z {\displaystyle Z} ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild y {\displaystyle y} ist. Es ist

κ f 1 ( y ) = f 1 ( { y } ) = { x D f ( x ) = y } {\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x\in D\mid f(x)=y\}} ,

( f 1 {\displaystyle f^{-1}} ist im Allgemeinen keine eindeutige Funktion, sondern eine Multifunktion, zu Schreibweise κ f 1 {\displaystyle \kappa _{f^{-1}}} siehe dort, sowie bei Relation #Relationen und Funktionen und Korrespondenz (Mathematik)).

Oft werden diese Fasern einfach mit f 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} bezeichnet, was aber im Fall (eindeutig) umkehrbarer Funktionen einerseits x, andererseits {x} bezeichnet.

Das Urbild einer Teilmenge T {\displaystyle T} der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist:

f 1 ( T ) = { x D f ( x ) T } {\displaystyle f^{-1}(T)=\{x\in D\mid f(x)\in T\}} .

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

  • Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat. D. h., aus f ( x 1 ) = y = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=y=f(x_{2})} folgt x 1 = x 2 . {\displaystyle x_{1}=x_{2}.}
  • Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat. D. h., zu beliebigem y {\displaystyle y} gibt es ein x {\displaystyle x} , sodass f ( x ) = y . {\displaystyle f(x)=y.}
  • Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.

Stelligkeit

Hauptartikel: Stelligkeit

Eine Funktion f : D Z {\displaystyle f\colon D\to Z} , deren Definitionsmenge D {\displaystyle D} eine Produktmenge D = A × B {\displaystyle D=A\times B} ist, heißt oft zweistellig. Den Wert von f {\displaystyle f} , der bei Anwendung von f {\displaystyle f} auf das Paar ( a , b ) D {\displaystyle (a,b)\in D} erhalten wird, schreibt man (unter Weglassung eines Klammernpaares) als f ( a , b ) . {\displaystyle f(a,b).}

Analoges gilt für höhere Stelligkeiten. Eine Funktion f : A × B × C Z {\displaystyle f\colon A\times B\times C\to Z} bezeichnet man üblicherweise als dreistellig. Eine Funktion, deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist (oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt) bezeichnet man als einstellig. Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion, deren Definitionsmenge das leere Produkt { ( ) } = { } {\displaystyle \{()\}=\{\emptyset \}} ist, bei einem beliebigen Funktionswert. Daher können nullstellige Funktionen als Konstanten aufgefasst werden, was bei algebraischen Strukturen (wie auch bei heterogenen Algebren) Anwendung findet.

Statt nullstellig, einstellig, zweistellig, dreistellig sagt man auch oft unär, binär, ternär; Stelligkeit wird daher auch als „Arität“ (englisch: arity) bezeichnet.

Menge der Funktionen

Mit Z D , D Z , [ D Z ] {\displaystyle Z^{D},\ {}^{D}Z,\ [D\to Z]} oder Abb ( D , Z ) {\displaystyle \operatorname {Abb} (D,Z)} wird die Menge aller Abbildungen von D {\displaystyle D} nach Z {\displaystyle Z} bezeichnet:

Z D := { f f : D Z } {\displaystyle Z^{D}:=\{f\mid f\colon D\to Z\}}

Für die Mächtigkeit gilt:

| Z D | = | Z | | D | {\displaystyle |Z^{D}|=|Z|^{|D|}}

Einschränkung

Hauptartikel: Einschränkung

Die Einschränkung einer Funktion f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} auf eine Teilmenge C {\displaystyle C} der Definitionsmenge A {\displaystyle A} ist die Funktion f | C : C B {\displaystyle f|_{C}\colon C\to B} , deren Graph durch

G f | C = G f ( C × B ) = { ( x , y ) G f x C } {\displaystyle G_{f|_{C}}=G_{f}\cap (C\times B)=\{(x,y)\in G_{f}\mid x\in C\}}

gegeben ist.

Umkehrfunktion

Hauptartikel: Umkehrfunktion

Zu jeder bijektiven Funktion f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} gibt es eine Umkehrfunktion

f 1 : B A , y f 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}\colon B\to A,\,y\mapsto f^{-1}(y)} ,

sodass f 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} das eindeutig bestimmte Element x A {\displaystyle x\in A} ist, für das f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt damit für alle x A {\displaystyle x\in A}

f 1 ( f ( x ) ) = x {\displaystyle f^{-1}(f(x))=x} .

Bijektive Funktionen werden daher auch als eindeutig umkehrbare Funktionen bezeichnet.

Verkettung

Hauptartikel: Komposition (Mathematik)

Zwei Funktionen f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} und g : B C {\displaystyle g\colon B\to C} , bei denen der Wertebereich der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion übereinstimmt (oder als Teilmenge enthalten ist), können verkettet werden. Die Verkettung oder Hintereinanderausführung dieser beiden Funktionen ist dann eine neue Funktion, die durch

g f : A C , x ( g f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) {\displaystyle g\circ f\colon A\to C,\,x\mapsto (g\circ f)(x)=g(f(x))}

gegeben ist. In dieser Notation steht meist die zuerst angewandte Abbildung rechts, das heißt, bei g f {\displaystyle g\circ f} wird zuerst die Funktion f {\displaystyle f} angewandt und dann die Funktion g {\displaystyle g} . Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und ( f g ) ( x ) = g ( f ( x ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=g(f(x))} geschrieben.

Verknüpfung

Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung, die allen Paaren von Argumenten x {\displaystyle x} und y {\displaystyle y} das Endergebnis x y {\displaystyle x\circ y} zuordnet.

Ist auf der Zielmenge B {\displaystyle B} eine innere zweistellige Verknüpfung : B × B B {\displaystyle *\colon B\times B\to B} gegeben, so lässt sich auch für Funktionen f , g B A {\displaystyle f,g\in B^{A}} eine innere zweistellige Verknüpfung definieren:

f g : A B , x ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle f*g\colon A\to B,\,x\mapsto (f*g)(x)=f(x)*g(x)} .

Beispiele hierfür sind die punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen. Weiter lässt sich mit Hilfe einer äußeren zweistelligen Verknüpfung der Form : C × B B {\displaystyle *\colon C\times B\to B} auch die Verknüpfung einer Funktion mit einem Element aus C {\displaystyle C} definieren:

c f : A B , x ( c f ) ( x ) = c f ( x ) {\displaystyle c*f\colon A\to B,\,x\mapsto (c*f)(x)=c*f(x)}

Beispiel hierfür ist die punktweise Multiplikation einer Funktion mit einem Skalar. Analog lässt sich so auch eine äußere Verknüpfung der Form f c {\displaystyle f*c} definieren. Sind Verknüpfungen der gleichen Art sowohl auf der Definitionsmenge, als auch auf der Zielmenge gegeben, dann heißt eine Funktion verträglich mit diesen Verknüpfungen, wenn sich die Bilder bezüglich der einen Verknüpfung genauso verhalten wie die Urbilder bezüglich der anderen Verknüpfung.

Algebraische Eigenschaften

  • Eine Funktion ist idempotent, wenn f f = f {\displaystyle f\circ f=f} ist, d. h. f ( f ( x ) ) = f ( x ) {\displaystyle f(f(x))=f(x)\,} für alle Elemente x {\displaystyle x} der Definitionsmenge gilt.
  • Sie ist eine Involution, wenn f f = id f {\displaystyle f\circ f=\operatorname {id} \neq f} ist, also f ( f ( x ) ) = x {\displaystyle f(f(x))=x\!\,} für alle Elemente x {\displaystyle x} der Definitionsmenge gilt und für mindestens ein x 0 {\displaystyle x_{0}} der Definitionsmenge f ( x 0 ) x 0 {\displaystyle f(x_{0})\neq x_{0}} ist.
  • Ein Fixpunkt ist ein Element a {\displaystyle a} der Definitionsmenge von f {\displaystyle f} , für das f ( a ) = a {\displaystyle f(a)=a} gilt.
  • Identität
  • Konstanz

Analytische Eigenschaften

Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen Strukturen dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazugehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengenlehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch-philosophische Fragestellungen hinausgehen.

Mengen können beispielsweise durch sogenannte Verknüpfungen strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die innere zweistellige Verknüpfung, dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form f : A × A A {\displaystyle f\colon \,A\times A\rightarrow A} . Beispiele für innere zweistellige Verknüpfungen sind Rechenoperationen, wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild ( x , y ) {\displaystyle *(x,y)} eines Paares ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} unter einer Verknüpfung {\displaystyle *} üblicherweise in der Form x y {\displaystyle x*y} geschrieben.

Weitere wichtige Beispiele solcher Strukturen sind algebraische, geometrische und topologische Strukturen, wie beispielsweise Skalarprodukte, Normen und Metriken.

Multifunktionen

Eine Multifunktion (auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt) ist eine linkstotale Relation. Das heißt, die Elemente der Definitionsmenge X {\displaystyle X} können auf mehrere Elemente der Zielmenge Y {\displaystyle Y} abgebildet werden. Man schreibt auch f : X Y {\displaystyle f\colon X\multimap Y} .

Wenn Y {\displaystyle Y} eine Menge ist, dann kann man jede Multifunktion f : X Y {\displaystyle f\colon X\multimap Y} auch als eine Funktion κ f {\displaystyle \kappa _{f}} darstellen, die in die Potenzmenge von Y {\displaystyle Y} geht: κ f : X P ( Y ) , x { y Y | ( x , y ) G f } {\displaystyle \kappa _{f}:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y),\ x\mapsto \{y\in {Y}|(x,y)\in G_{f}\}} .

Im Fall Y = X {\displaystyle Y=X} stellt eine mehrwertige Funktion f {\displaystyle f} eine Transitionsrelation dar, und κ f {\displaystyle \kappa _{f}} ist die zugehörige Transitionsfunktion.

Die Verkettung von Multifunktionen lässt sich genauso definieren wie für (eindeutige) Funktionen, mengentheoretisch ist dies äquivalent einer Verkettung zweier zweistelliger Relationen.

Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen

Ein Beispiel für Multifunktionen sind die Umkehrfunktionen (Umkehrungen) von nicht injektiven Funktionen. Wenn f : X Y {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y} surjektiv ist, gilt automatisch: f 1 : Y X {\displaystyle f^{-1}\colon Y\multimap X} ist eine Multifunktion. Die Darstellung der Umkehrfunktion in die Potenzmenge von X {\displaystyle X} liefert mit κ f 1 ( y ) {\displaystyle \kappa _{f^{-1}}(y)} die Fasern von f {\displaystyle f} (siehe oben).

Die Verkettung einer Funktion mit ihrer (allgemein nicht eindeutigen) Umkehrung in der Form f 1 f {\displaystyle f^{-1}\circ f} ist eine Äquivalenzrelation, die durch f {\displaystyle f} induzierte Äquivalenzrelation. Zwei Elemente aus dem Definitionsbereich sind genau dann äquivalent, wenn sie denselben Funktionswert haben.

Partielle Funktionen

Die partielle Funktion und ihre Untermenge, die Funktion, als spezielle Relationen

Wohl zu unterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der partiellen Funktion, man spricht auch von einer „nicht überall definierten Funktion“ oder „funktionalen Relation“. Hier darf es Elemente der Quellmenge ( x {\displaystyle x} -Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge ( y {\displaystyle y} -Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen x {\displaystyle x} -Wert nicht mehr als einen y {\displaystyle y} -Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man Letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen.

Die Menge [ D Z ] {\displaystyle [D\rightharpoonup Z]} der partiellen Abbildungen von D {\displaystyle D} nach Z {\displaystyle Z} ist die Vereinigung der totalen Abbildungen von Teilmengen von D {\displaystyle D} nach Z {\displaystyle Z} :

[ D Z ] = X D [ X Z ] = X D Z X {\displaystyle [D\rightharpoonup Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}[X\to Z]=\bigcup \limits _{X\subseteq {D}}Z^{X}}

Sind die Mengen endlich, so gilt für Ihre Kardinalzahlen

| [ D Z ] | = ( | Z | + 1 ) | D | {\displaystyle \left|[D\rightharpoonup Z]\right|=(|Z|+1)^{|D|}} ,

schließlich kann man jede partielle Abbildung auf D umkehrbar eindeutig zu einer totalen Abbildung fortsetzen, indem man einen beliebigen festen Funktionswert c {\displaystyle c} festschreibt, der nicht in Z {\displaystyle Z} enthalten ist; und diese Operation stellt eine bijektive Abbildung auf ( Z { c } ) D {\displaystyle (Z\cup \{c\})^{D}} dar.

Jede partielle Funktion f = ( G f , X , Z ) {\displaystyle f=(G_{f},X,Z)} ist im Wesentlichen gleich mit der (totalen) Funktion ( G f , D b ( f ) , Z ) {\displaystyle (G_{f},Db(f),Z)} mit der Urbildmenge D b ( f ) := { x X y Z : ( x , y ) G f } {\displaystyle Db(f):=\{x\in {X}\mid \exists y\in {Z}:(x,y)\in G_{f}\}} .

Funktionen mit Werten in einer echten Klasse

Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer echten Klasse, beispielsweise sind Mengenfolgen „Funktionen“ mit Definitionsmenge N {\displaystyle \mathbb {N} } und Werten in der Allklasse. Um die mengentheoretischen Probleme, die sich daraus ergeben, zu vermeiden, betrachtet man nur noch den Graph der entsprechenden Funktion, genauer: Ein funktionsartiger Graph ist eine Menge G {\displaystyle G} von Paaren ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} , so dass keine zwei Paare im ersten Eintrag übereinstimmen:

x , y 1 , y 2 : ( x , y 1 ) , ( x , y 2 ) G y 1 = y 2 {\displaystyle \forall x,y_{1},y_{2}\colon \,(x,y_{1}),(x,y_{2})\in G\implies y_{1}=y_{2}}

Definitions- und Wertemenge sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf eine Zielmenge festzulegen, solange die Funktionen im Wesentlichen gleich sind.

Bei partiellen Funktionen gilt gleiches für den Ziel- und Quellbereich. Beide können einzeln oder zusammen echte Klassen sein; mengentheoretische Probleme entstehen nicht, solange der Graph eine Menge bleibt.

Für Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im Folgenden werden einige wichtige genannt.

Symbol Erklärung
f : A B {\displaystyle f\colon A\to B} Funktion von A {\displaystyle A} nach B {\displaystyle B}
f : a b {\displaystyle f\colon a\mapsto b}

f ( a ) = b {\displaystyle f(a)=b}

Funktion, die a {\displaystyle a} auf b {\displaystyle b} abbildet; statt b {\displaystyle b} kann auch ein Term o. Ä. stehen
( a , b ) f {\displaystyle (a,b)\in f}

( a , b ) G f {\displaystyle (a,b)\in G_{f}}

Funktion, die a {\displaystyle a} auf b {\displaystyle b} abbildet; statt b {\displaystyle b} kann auch eine Formel o. Ä. stehen (mengentheoretische Schreibweise)
f : a f ( a ) := b {\displaystyle f\colon a\mapsto f(a):=b} Funktion, die a {\displaystyle a} auf b {\displaystyle b} abbildet, die die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik (statt f ( a ) {\displaystyle f(a)} stehen oft Dinge wie a 1 , a ¯ , a c {\displaystyle a^{{-}1},\;{\overline {a}},\;a\cdot c} u. Ä.) und der Formel o. Ä. (an der Stelle von b {\displaystyle b} ) zur Berechnung des Bildes angibt
f : A B , a f ( a ) := b {\displaystyle f\colon A\to B,\,a\mapsto f(a):=b} Ausführlichste Notation, die alle beteiligten Mengen und die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik und der Formel o. Ä. zur Berechnung des Bildes angibt
f : A B {\displaystyle f\colon A\twoheadrightarrow B} surjektive Funktion (Surjektion) von A {\displaystyle A} nach B {\displaystyle B}
f : A B {\displaystyle f\colon A\rightarrowtail B} injektive Funktion (Injektion) von A {\displaystyle A} nach B {\displaystyle B}

f : A B {\displaystyle f\colon A\leftrightarrow B}
f : A B {\displaystyle f\colon A\rightleftarrows B}
f : A B {\displaystyle f\colon A\;{\!\;\twoheadrightarrow \;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail }\;B}

bijektive Funktion (Bijektion) von A {\displaystyle A} nach B {\displaystyle B}
f : A B {\displaystyle f\colon A\hookrightarrow B} Inklusionsabbildung, natürliche Inklusion, natürliche Einbettung von A {\displaystyle A} in B {\displaystyle B}
( A {\displaystyle A} ist Untermenge von B {\displaystyle B} , und die Funktion bildet jedes Element von A {\displaystyle A} auf sich ab.)

f = id A {\displaystyle f=\operatorname {id} _{A}}
f : A A , a a {\displaystyle f\colon A\to A,\,a\mapsto a}
f : A = B {\displaystyle f\colon A=B}

Identität, identische Abbildung auf A oder von A {\displaystyle A} nach B {\displaystyle B}
( A = B {\displaystyle A=B} und die Funktion bildet jedes Element auf sich ab.)

f : A B {\displaystyle f\colon A\;{\stackrel {\cong }{\to }}\;B}
f : A B {\displaystyle f\colon A\cong B}

Isomorphismus von A {\displaystyle A} nach B {\displaystyle B}
f : A B {\displaystyle f\colon A\rightharpoonup B}
f : A B {\displaystyle f\colon A\rightsquigarrow B}
partielle Funktion (s. o.) von A {\displaystyle A} nach B {\displaystyle B}
f : A B {\displaystyle f\colon A\multimap B} mehrwertige Funktion, Multifunktion, Korrespondenz (s. o.) von A {\displaystyle A} nach B {\displaystyle B}
[ A B ] = B A {\displaystyle [A\to B]=B^{A}}
(bzw. [ A B ] {\displaystyle [A\rightharpoonup B]} …)
Menge der Funktionen (bzw. partiellen Funktionen), … von A {\displaystyle A} nach B {\displaystyle B}

Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden.

  • Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
  • Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung. Bd. 6). Übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
  • Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.
  • Adolf P. Youschkevitch: The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. In: Archive of the History of Exakt Sciences. 16 Springer Verlag, Berlin 1976.
Wiktionary: Funktion – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Commons: Funktionen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  1. M. Kronfellner: Historische Aspekte im Mathematikunterricht. Verlag Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1998, S. 67.
  2. Adolf P. Youschkevitch: The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century. In: Archive of the History of Exakt Sciences. 16, Springer Verlag, Berlin 1976, S. 52.
  3. D. Rüthing: Einige historische Stationen zum Funktionsbegriff. In: Der Mathematikunterricht. Heft 6/1986, Friedrich Verlag Velber, S. 5–6.
  4. H.-J. Vollrath: Algebra in der Sekundarstufe. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim 1994, S. 118.
  5. Rüthing, S. 6–12.
  6. Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994.
  7. Klassenfunktion genannt, siehe Claudius Röhl: , Diplomarbeit Univ. Leipzig, Fakultät für Mathematik, 6. Oktober 2016, Seite 18
  8. Funktionen, deren Zielmengen sich nur in diesen (wertlosen) Nichtbild-Elementen unterscheiden, werden gelegentlich als gleich angesehen, insbesondere dann, wenn keine von ihnen surjektiv ist. Also:
    f 1 : { D 1 Z 1 x y = f 2 : { D 2 Z 2 x y :⟺ ( D 1 = D 2 =: D ) ( x D : f 1 ( x ) = f 2 ( x ) ) ( Z 1 f 1 ( D ) = f 2 ( D ) Z 2 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}\colon \,{\begin{cases}D_{1}\to Z_{1}\\x\mapsto y\end{cases}}\;=\;f_{2}\colon \,{\begin{cases}D_{2}\to Z_{2}\\x\mapsto y\end{cases}}\qquad :\Longleftrightarrow \\&(D_{1}=D_{2}=:D)\land {\bigl (}\forall x\in D\colon f_{1}(x)=f_{2}(x){\bigr )}\land {\bigl (}Z_{1}\supset f_{1}(D)=f_{2}(D)\subset Z_{2}{\bigr )}.\end{aligned}}}
  9. Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. 1994, Kapitel 8,S.43.
  10. seltener in Anlehnung an die Mengenschreibweise äquivalent ( f ( x ) | x N ) {\displaystyle (f(x)|x\in N)}
  11. teilweise auch ohne die eckigen Klammern notiert
  12. beziehungsweise x { y Y | ( x , y ) f } {\displaystyle x\mapsto \{y\in {Y}|(x,y)\in f\}} entsprechend der vereinfachten Funktionsdefinition mit Funktion=Graph. Alternative Bezeichnungsweisen:
    • Φ {\displaystyle \Phi } oder f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}} für die Korrespondenz κ f {\displaystyle \kappa _{f}} zur Multifunktion f {\displaystyle f} , im Fall Y = X {\displaystyle Y=X} (Transitionsfunktion) auch δ {\displaystyle \delta }
    • ( Y ) {\displaystyle \wp (Y)} oder ( Y ) {\displaystyle {\mathfrak {(}}Y)} für die Potenzmenge P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)} von Y {\displaystyle Y}
  13. H. König: Entwurf und Strukturtheorie von Steuerungen für Fertigungseinrichtungen (= ISW Forschung und Praxis.Band13). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 1976, ISBN 3-540-07669-7,S.15–17, doi:. Hier:
  14. wie immer für zweistellige Relationen; wir fassen die Funktion f {\displaystyle f} als zweistellige Relation auf, erst recht ihre Umkehrung
  15. Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématiques. Théorie des Ensembles. II.
  16. Die Notation A B {\displaystyle A\leftrightarrow B} wird von manchmal abweichend für (beliebige) Relationen gebraucht.

Funktion (Mathematik)
funktion, mathematik, mathematische, relation, sprache, beobachten, bearbeiten, mathematik, eine, funktion, lateinisch, functio, oder, abbildung, eine, beziehung, relation, zwischen, zwei, mengen, jedem, element, einen, menge, funktionsargument, unabhängige, v. Funktion Mathematik mathematische Relation Sprache Beobachten Bearbeiten In der Mathematik ist eine Funktion lateinisch functio oder Abbildung eine Beziehung Relation zwischen zwei Mengen die jedem Element der einen Menge Funktionsargument unabhangige Variable x displaystyle x Wert genau ein Element der anderen Menge Funktionswert abhangige Variable y displaystyle y Wert zuordnet Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert jedoch geht man generell von der Vorstellung aus dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein es enthalt als Spezialfalle unter anderem parametrische Kurven Skalar und Vektorfelder Transformationen Operationen Operatoren und vieles mehr Inhaltsverzeichnis 1 Begriffsgeschichte 2 Definition 2 1 Grundidee 2 2 Mengentheoretische Definition 3 Notation 3 1 Schreibweisen 3 2 Sprechweisen 4 Darstellung 5 Grundeigenschaften 5 1 Bild und Urbild 5 2 Injektivitat Surjektivitat Bijektivitat 5 3 Stelligkeit 5 4 Menge der Funktionen 6 Operationen 6 1 Einschrankung 6 2 Umkehrfunktion 6 3 Verkettung 6 4 Verknupfung 7 Weitere Eigenschaften 7 1 Algebraische Eigenschaften 7 2 Analytische Eigenschaften 8 Spezielle Funktionen 9 Verwendung 10 Verallgemeinerungen 10 1 Multifunktionen 10 2 Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen 10 3 Partielle Funktionen 10 4 Funktionen mit Werten in einer echten Klasse 11 Symbolik 12 Literatur 13 Weblinks 14 Einzelnachweise und AnmerkungenBegriffsgeschichte BearbeitenErste Ansatze zu einer impliziten Verwendung des Funktionsbegriffs in Tabellenform Schattenlange abhangig von der Tageszeit Sehnenlangen abhangig vom Zentriwinkel etc sind bereits in der Antike zu erkennen Den ersten Beleg einer expliziten Definition des Funktionsbegriffs findet man bei Nikolaus von Oresme der im 14 Jahrhundert Abhangigkeiten sich andernder Grossen Warme Bewegung etc graphisch durch senkrecht aufeinander stehende Strecken longitudo latitudo darstellte 1 Am Beginn des Prozesses zur Entwicklung des Funktionsbegriffs stehen Descartes und Fermat die mit Hilfe der von Vieta eingefuhrten Variablen die analytische Methode der Einfuhrung von Funktionen entwickelten 2 Funktionale Abhangigkeiten sollten durch Gleichungen wie zum Beispiel y x 2 displaystyle y x 2 dargestellt werden In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Halfte des 20 Jahrhunderts beibehalten Die erste Umschreibung des Funktionsbegriffs nach dieser Idee stammt von Gregory in seinem 1667 erschienenen Buch Vera circuli et hyperbolae quadratura Der Begriff Funktion kommt wohl erstmals 1673 in einem Manuskript von Leibniz auf der in seiner Abhandlung von 1692 De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis auch die Begriffe Konstante Variable Ordinate und Abszisse benutzt Im Schriftwechsel zwischen Leibniz und Johann I Bernoulli wird der Funktionsbegriff von der Geometrie losgelost und in die Algebra ubertragen In Beitragen von 1706 1708 und 1718 stellt Bernoulli diese Entwicklung dar 1748 prazisiert Leonhard Euler ein Schuler Johann Bernoullis in seinem Buch Introductio in analysin infinitorum den Funktionsbegriff weiter 3 Bei Euler findet man zwei verschiedene Erklarungen des Funktionsbegriffs Zum einen stellt jeder analytische Ausdruck in x displaystyle x eine Funktion dar zum anderen wird y x displaystyle y x im Koordinatensystem durch eine freihandig gezeichnete Kurve definiert 4 1755 formuliert er diese Vorstellungen ohne Verwendung des Terminus analytischer Ausdruck um Ausserdem fuhrte er bereits 1734 die Schreibweise f x displaystyle f x ein Er unterscheidet zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen Bei Euler ist damit auch die Umkehrung der Normalparabel bei der jeder nicht negativen reellen Zahl sowohl ihre positive als auch ihre negative Wurzel zugeordnet wird als Funktion zugelassen Fur Lagrange sind nur Funktionen zulassig die durch Potenzreihen definiert sind wie er 1797 in seiner Theorie des fonctions analytiques festlegt Eine fruchtbare Auseinandersetzung uber das Bewegungsgesetz einer schwingenden Saite zu dem d Alembert 1747 Euler 1748 und Daniel Bernoulli 1753 unterschiedliche Losungen vorstellten fuhrte zur Entdeckung der Definitionsmenge und einem weiter prazisierten Funktionsbegriff in dem schon so etwas wie eindeutige Zuordnung umschrieben wird durch Fourier in seinem 1822 erschienenen Buch Theorie analytique de la chaleur Ahnliches formuliert Cauchy 1823 in Resume des lecons sur le calcul infinitesimal Als die Analysis im 19 Jahrhundert mit einem exakten Grenzwertbegriff auf eine neue Grundlage gestellt wurde wurden Eigenschaften die bisher als fur Funktionen konstituierend aufgefasst wurden in einem Exaktifizierungsprozess als selbstandige Begriffe eingefuhrt und vom Funktionsbegriff losgelost Dirichlet ein Schuler Fouriers formulierte diese neue Sicht Ideen an die Stelle von Rechnungen und stellte 1837 seine Ideen dar Stokes fuhrte in Arbeiten 1848 und 1849 ahnliche Ansichten aus So verfuhr Riemann Schuler von Dirichlet 1851 in Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Functionen einer veranderlichen complexen Grosse mit der Stetigkeit spater folgten Integrierbarkeit und Differenzierbarkeit Eine Zusammenfassung dieser Entwicklung macht Hankel 1870 in Untersuchungen uber die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Functionen Auch hier wird noch nicht zwischen der Funktion f displaystyle f und dem Funktionswert f x displaystyle f x an der Stelle x displaystyle x unterschieden 5 Weierstrass Dedekind und andere entdeckten dass Grenzwerte unendlicher Folgen klassischer Funktionen sprunghaft sein konnen und sich nicht immer durch geschlossene Formeln d h mit endlich vielen Rechenoperationen ausdrucken lassen Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs Davon unabhangig wurde im 19 Jahrhundert die Gruppentheorie begrundet mit der man systematisch untersuchen kann wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verandern Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit Transformation auch die Begriffe Bewegung und Abbildung gebraucht Als Anfang des 20 Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Mengenlehre formuliert wurden stellten sich die mathematischen Begriffe Funktion und Abbildung als deckungsgleich heraus Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort In der Analysis spricht man heute haufig noch von Funktionen wahrend man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen Zahlenkorper R displaystyle mathbb R bzw C displaystyle mathbb C oder auch Potenzen davon R n displaystyle mathbb R n bzw C n displaystyle mathbb C n andererseits ist es in der Booleschen Algebra gebrauchlich von Booleschen Funktionen zu sprechen Weitere Synonyme fur Funktion in spezielleren Zusammenhangen sind unter anderem Operator in der Analysis Operation Verknupfung und etwas verallgemeinert Morphismus in der Algebra Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff genauso wie den Relationsbegriff nicht unbedingt als auf Mengen beschrankt an sondern lassen jede aus geordneten Paaren bestehende Klasse die keine verschiedenen Elemente mit gleicher linker Komponente enthalt als Funktion gelten 6 7 Mengentheoretisch ausgedruckt werden Funktionen also als rechtseindeutige Relationen definiert Definition BearbeitenGrundidee Bearbeiten Eine Funktion f displaystyle f ordnet jedem Element x displaystyle x einer Definitionsmenge D displaystyle D genau ein Element y displaystyle y einer Zielmenge Z displaystyle Z zu Schreibweise f D Z x y displaystyle f colon D to Z x mapsto y oder auch aquivalent f D Z x y displaystyle f colon begin cases D to Z x mapsto y end cases Fur das dem Element x D displaystyle x in D zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen f x displaystyle f x Anmerkungen Die Umkehrung gilt nicht Ein Element der Zielmenge kann genau einem mehreren aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein in welch letzterem Fall es nicht zur Bildmenge gehort 8 Beispiel Die Betragsfunktion f x x displaystyle f x x ordnet den Zahlen 1 und 1 der Definitionsmenge die Zahl 1 der Zielmenge zu Der Zahl 1 der Zielmenge sind also zwei Zahlen der Definitionsmenge zugeordnet der Zahl 1 ist keine Zahl der Definitionsmenge zugeordnet Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunachst eine Quellmenge Q displaystyle Q gegeben Wenn f displaystyle f als Rechenvorschrift gegeben ist erhalt man die Definitionsmenge D f displaystyle D f indem man von Q displaystyle Q diejenigen Elemente ausschliesst fur die f displaystyle f nicht definiert ist Siehe auch Abschnitt Partielle Funktionen Mengentheoretische Definition Bearbeiten Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle Relation Eine Funktion von der Menge D displaystyle D in die Menge Z displaystyle Z ist eine Menge f displaystyle f die die folgenden Eigenschaften hat 9 f displaystyle f ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts D Z displaystyle D times Z von D displaystyle D und Z displaystyle Z d h f displaystyle f ist eine Relation zwischen D displaystyle D und Z displaystyle Z Fur jedes Element x displaystyle x aus D displaystyle D existiert mindestens ein Element y displaystyle y in Z displaystyle Z so dass das geordnete Paar x y displaystyle x y Element der Relation f displaystyle f ist f displaystyle f ist also linkstotal Zu jedem Element x displaystyle x von D displaystyle D gibt es hochstens ein Element y displaystyle y von Z displaystyle Z so dass das Paar x y displaystyle x y in f displaystyle f liegt f displaystyle f ist damit rechtseindeutig oder funktional Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen Zu jedem Element x displaystyle x von D displaystyle D gibt es genau ein Element y displaystyle y von Z displaystyle Z so dass das Paar x y displaystyle x y Element der Relation f displaystyle f ist Oft mochte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen zum Beispiel um Aussagen zur Surjektivitat als eine Eigenschaft der betrachteten Funktion selbst anstellen zu konnen Ein Paar f G Z displaystyle f G Z bestehend aus einer Menge Z displaystyle Z und einer Menge von Paaren G D Z displaystyle G subseteq D times Z mit einer weiteren Menge D displaystyle D heisst Funktion von der Menge D displaystyle D nach Z displaystyle Z wenn gilt Zu jedem Element x displaystyle x von D displaystyle D gibt es genau ein Element y displaystyle y von Z displaystyle Z geschrieben f x y displaystyle f x y so dass das Paar x y displaystyle x y Element von G displaystyle G ist G displaystyle G wird dann auch der Graph der Funktion f displaystyle f genannt Die Definitionsmenge D displaystyle D der Funktion ist dabei durch ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen uberein so sagt man auch sie seien im Wesentlichen gleich Insbesondere ist jede Funktion f G Z displaystyle f G Z im Wesentlichen gleich mit der surjektiven Funktion G W f displaystyle G W f mit der Bildmenge W f y Z x D x y G displaystyle W f y in Z exists x in D x y in G Oft empfiehlt es sich auch noch die Definitionsmenge hinzuzunehmen und eine Funktion entsprechend als ein Tripel f G D Z displaystyle f G D Z zu definieren Diese Definition stimmt dann uberein mit der entsprechenden ausfuhrlichen Definition bei Relationen so dass auch Multifunktionen und partielle Funktionen auf gleiche Weise erfasst sind Notation BearbeitenSchreibweisen Bearbeiten Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden Funktionsgleichung mit Definitionsmengef x x 2 x N displaystyle f x x 2 qquad x in mathbb N dd Eindeutige Zuordnungsvorschrift englisch maplet mit Definitionsmengex x 2 x N displaystyle x mapsto x 2 qquad x in mathbb N dd Eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions und Zielmengef N N x x 2 displaystyle f colon mathbb N rightarrow mathbb N x mapsto x 2 oder aquivalent f N N x x 2 displaystyle f colon begin cases mathbb N to mathbb N x mapsto x 2 end cases dd Familienschreibweise mit der Bezeichnung Indexmenge fur die Definitionsmenge f x x N displaystyle f x x in mathbb N 10 dd Wertetabelle fur endliche aber auch abzahlbar unendliche Definitionsmengen x displaystyle x 1 2 3 4 5 6 7 y displaystyle y 1 4 9 16 25 36 49 Relation insbesondere auch als aufgezahlt oder beschrieben dargestellte Teilmengef 1 1 2 4 3 9 4 16 displaystyle f 1 1 2 4 3 9 4 16 ldots dd Ergebnis von Verknupfungen und Operationen zum Beispiel Komposition Bildung der Umkehrfunktion Ableitung u a die auf andere Funktionen angewendet werdenf g h 1 displaystyle f g prime circ h 1 dd Sprechweisen Bearbeiten Fur die Zuordnung eines Funktionswertes y displaystyle y zu einem Argument x displaystyle x gibt es eine Reihe verschiedener Sprech oder ausfuhrlicher Schreibweisen die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhangigkeit von dem was vordergrundig ausgedruckt werden soll vom jeweiligen Kontext der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers Schreibers gewahlt werden Hier einige Beispiele x displaystyle x wird abgebildet auf f displaystyle f von x displaystyle x f displaystyle f von x displaystyle x wird x displaystyle x eindeutig zugeordnet vornehmlich wenn das displaystyle mapsto Symbol in der Symbolik steht y displaystyle y gleich f displaystyle f von x displaystyle x vornehmlich wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht y displaystyle y ist das Bild von x displaystyle x unter der Abbildung f displaystyle f Davon zu unterscheiden ist die Sprech und Schreibweise y displaystyle y ist eine Funktion von x displaystyle x die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht Sie ist die altere und ursprungliche Sprech und Schreibweise und beschreibt die Abhangigkeit einer Variablen y displaystyle y von einer anderen Variablen x displaystyle x im Gegensatz dazu dass mit Hilfe der Variablen x displaystyle x und y displaystyle y stellvertretend die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird Die physikalische Sprechweise stammt von dem Vorgehen zunachst zwei veranderlichen Grossen der physikalischen Realitat Symbole namlich die Variablen x displaystyle x und y displaystyle y zuzuordnen und danach deren Abhangigkeit festzustellen Steht beispielsweise y displaystyle y fur die Raumtemperatur und x displaystyle x fur die Zeit so wird man feststellen konnen dass sich die Raumtemperatur in Abhangigkeit von der Zeit andert und somit die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist oder stellvertretend y displaystyle y eine Funktion von x displaystyle x ist Statt Definitionsmenge D displaystyle D wird auch Definitionsbereich Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt Die Elemente von D displaystyle D heissen Funktionsargumente Funktionsstellen oder Urbilder salopp auch x displaystyle x Werte Die Zielmenge Z displaystyle Z wird auch Wertemenge oder Wertebereich genannt die Elemente von Z displaystyle Z heissen Zielwerte oder Zielelemente salopp auch y displaystyle y Werte Diejenigen Elemente von Z displaystyle Z die tatsachlich auch als Bild eines Arguments auftreten heissen Funktionswerte Bildelemente oder schlicht Bilder Darstellung BearbeitenEine Funktion f U R U R displaystyle f colon U to mathbb R U subseteq mathbb R kann man visualisieren indem man ihren Graphen in ein zweidimensionales Koordinatensystem zeichnet Der Funktionsgraph einer Funktion f displaystyle f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Elementepaare x y displaystyle x y fur die y f x displaystyle y f x ist Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhangenden Intervall bildet eine zusammenhangende Kurve genauer die Menge der Punkte der Kurve aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes R 2 displaystyle mathbb R 2 ist zusammenhangend Analog kann man Funktionen f U R 2 U R displaystyle f colon U to mathbb R 2 U subseteq mathbb R und g U R U R 2 displaystyle g colon U to mathbb R U subseteq mathbb R 2 visualisieren indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet Ist f displaystyle f stetig so ergibt sich eine Kurve die auch Ecken haben kann die sich durch das Koordinatensystem schlangelt Ist g displaystyle g stetig so ergibt sich eine Flache als Bild typischerweise in Form einer Gebirgslandschaft Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heissen Funktionenplotter Funktionsprogramme gehoren auch zum Funktionsumfang von Computeralgebrasystemen CAS matrizenfahigen Programmierumgebungen wie MATLAB Scilab GNU Octave und anderen Systemen Die wesentlichen Fahigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfahigen Taschenrechner verfugbar Es gibt auch Web gestutzte Angebote die nur einen aktuellen Browser benotigen Beispiele einiger Funktionsgraphen Lineare Funktion genauer Affine Abbildung Polynomfunktion 5 Grades Realteil der komplexen Exponentialfunktion Sinusfunktion Gausssche GlockenkurvenGrundeigenschaften BearbeitenBild und Urbild Bearbeiten Hauptartikel Bild Mathematik und Urbild Mathematik Das Bild eines Elements x displaystyle x der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert f x displaystyle f x Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge D displaystyle D also f D f x x D displaystyle f D f x mid x in D Das Bild einer Funktion ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge und wird Bildmenge genannt Ist allgemeiner S displaystyle S eine Teilmenge von D displaystyle D dann ist f S f x x S displaystyle f S f x mid x in S das Bild von S displaystyle S unter der Funktion f displaystyle f Das Urbild eines Elements y displaystyle y der Zielmenge Z displaystyle Z ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge deren Bild y displaystyle y ist Es ist k f 1 y f 1 y x D f x y displaystyle kappa f 1 y f 1 y x in D mid f x y f 1 displaystyle f 1 ist im Allgemeinen keine eindeutige Funktion sondern eine Multifunktion zu Schreibweise k f 1 displaystyle kappa f 1 siehe dort sowie bei Relation Relationen und Funktionen und Korrespondenz Mathematik Oft werden diese Fasern einfach mit f 1 y displaystyle f 1 y bezeichnet was aber im Fall eindeutig umkehrbarer Funktionen einerseits x andererseits x bezeichnet Das Urbild einer Teilmenge T displaystyle T der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge deren Bild Element dieser Teilmenge ist f 1 T x D f x T displaystyle f 1 T x in D mid f x in T Injektivitat Surjektivitat Bijektivitat Bearbeiten Hauptartikel Injektivitat Surjektivitat und Bijektivitat Eine Funktion ist injektiv wenn jedes Element der Zielmenge hochstens ein Urbild hat D h aus f x 1 y f x 2 displaystyle f x 1 y f x 2 folgt x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 Sie ist surjektiv wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat D h zu beliebigem y displaystyle y gibt es ein x displaystyle x sodass f x y displaystyle f x y Sie ist bijektiv wenn sie injektiv und surjektiv ist wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat Stelligkeit Bearbeiten Hauptartikel Stelligkeit Eine Funktion f D Z displaystyle f colon D to Z deren Definitionsmenge D displaystyle D eine Produktmenge D A B displaystyle D A times B ist heisst oft zweistellig Den Wert von f displaystyle f der bei Anwendung von f displaystyle f auf das Paar a b D displaystyle a b in D erhalten wird schreibt man unter Weglassung eines Klammernpaares als f a b displaystyle f a b Analoges gilt fur hohere Stelligkeiten Eine Funktion f A B C Z displaystyle f colon A times B times C to Z bezeichnet man ublicherweise als dreistellig Eine Funktion deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt bezeichnet man als einstellig Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion deren Definitionsmenge das leere Produkt displaystyle emptyset ist bei einem beliebigen Funktionswert Daher konnen nullstellige Funktionen als Konstanten aufgefasst werden was bei algebraischen Strukturen wie auch bei heterogenen Algebren Anwendung findet Statt nullstellig einstellig zweistellig dreistellig sagt man auch oft unar binar ternar Stelligkeit wird daher auch als Aritat englisch arity bezeichnet Menge der Funktionen Bearbeiten Mit Z D D Z D Z displaystyle Z D D Z D to Z 11 oder Abb D Z displaystyle operatorname Abb D Z wird die Menge aller Abbildungen von D displaystyle D nach Z displaystyle Z bezeichnet Z D f f D Z displaystyle Z D f mid f colon D to Z Fur die Machtigkeit gilt Z D Z D displaystyle Z D Z D Operationen BearbeitenEinschrankung Bearbeiten Hauptartikel Einschrankung Die Einschrankung einer Funktion f A B displaystyle f colon A to B auf eine Teilmenge C displaystyle C der Definitionsmenge A displaystyle A ist die Funktion f C C B displaystyle f C colon C to B deren Graph durch G f C G f C B x y G f x C displaystyle G f C G f cap C times B x y in G f mid x in C gegeben ist Umkehrfunktion Bearbeiten Hauptartikel Umkehrfunktion Zu jeder bijektiven Funktion f A B displaystyle f colon A to B gibt es eine Umkehrfunktion f 1 B A y f 1 y displaystyle f 1 colon B to A y mapsto f 1 y sodass f 1 y displaystyle f 1 y das eindeutig bestimmte Element x A displaystyle x in A ist fur das f x y displaystyle f x y gilt Die Umkehrfunktion erfullt damit fur alle x A displaystyle x in A f 1 f x x displaystyle f 1 f x x Bijektive Funktionen werden daher auch als eindeutig umkehrbare Funktionen bezeichnet Verkettung Bearbeiten Hauptartikel Komposition Mathematik Zwei Funktionen f A B displaystyle f colon A to B und g B C displaystyle g colon B to C bei denen der Wertebereich der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion ubereinstimmt oder als Teilmenge enthalten ist konnen verkettet werden Die Verkettung oder Hintereinanderausfuhrung dieser beiden Funktionen ist dann eine neue Funktion die durch g f A C x g f x g f x displaystyle g circ f colon A to C x mapsto g circ f x g f x gegeben ist In dieser Notation steht meist die zuerst angewandte Abbildung rechts das heisst bei g f displaystyle g circ f wird zuerst die Funktion f displaystyle f angewandt und dann die Funktion g displaystyle g Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und f g x g f x displaystyle f circ g x g f x geschrieben Verknupfung Bearbeiten Eine zweistellige Verknupfung ist eine Abbildung die allen Paaren von Argumenten x displaystyle x und y displaystyle y das Endergebnis x y displaystyle x circ y zuordnet Ist auf der Zielmenge B displaystyle B eine innere zweistellige Verknupfung B B B displaystyle colon B times B to B gegeben so lasst sich auch fur Funktionen f g B A displaystyle f g in B A eine innere zweistellige Verknupfung definieren f g A B x f g x f x g x displaystyle f g colon A to B x mapsto f g x f x g x Beispiele hierfur sind die punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen Weiter lasst sich mit Hilfe einer ausseren zweistelligen Verknupfung der Form C B B displaystyle colon C times B to B auch die Verknupfung einer Funktion mit einem Element aus C displaystyle C definieren c f A B x c f x c f x displaystyle c f colon A to B x mapsto c f x c f x Beispiel hierfur ist die punktweise Multiplikation einer Funktion mit einem Skalar Analog lasst sich so auch eine aussere Verknupfung der Form f c displaystyle f c definieren Sind Verknupfungen der gleichen Art sowohl auf der Definitionsmenge als auch auf der Zielmenge gegeben dann heisst eine Funktion vertraglich mit diesen Verknupfungen wenn sich die Bilder bezuglich der einen Verknupfung genauso verhalten wie die Urbilder bezuglich der anderen Verknupfung Weitere Eigenschaften BearbeitenAlgebraische Eigenschaften Bearbeiten Eine Funktion ist idempotent wenn f f f displaystyle f circ f f ist d h f f x f x displaystyle f f x f x fur alle Elemente x displaystyle x der Definitionsmenge gilt Sie ist eine Involution wenn f f id f displaystyle f circ f operatorname id neq f ist also f f x x displaystyle f f x x fur alle Elemente x displaystyle x der Definitionsmenge gilt und fur mindestens ein x 0 displaystyle x 0 der Definitionsmenge f x 0 x 0 displaystyle f x 0 neq x 0 ist Ein Fixpunkt ist ein Element a displaystyle a der Definitionsmenge von f displaystyle f fur das f a a displaystyle f a a gilt Identitat KonstanzAnalytische Eigenschaften Bearbeiten Beschranktheit Periodizitat Monotonie Symmetrie Stetigkeit Differenzierbarkeit Glattheit Holomorphie Homogenitat Messbarkeit Integrierbarkeit KonvexitatSpezielle Funktionen BearbeitenReellwertige Funktion die sich dadurch auszeichnet dass ihre Zielmenge innerhalb der reellen Zahlen liegt Komplexwertige Funktion die sich dadurch auszeichnet dass ihre Zielmenge innerhalb der komplexen Zahlen liegt Homogene lineare Funktion auch Proportionalitat allgemein beschrieben durch f x m x displaystyle f x mx ist ein Homomorphismus bezuglich der Addition Allgemeine lineare Funktion oder affine Funktion allg beschrieben durch f x a x b displaystyle f x ax b siehe auch affine Abbildung Quadratische Funktion allg beschrieben durch f x a x 2 b x c displaystyle f x ax 2 bx c s Quadratische Gleichung Potenzfunktion Polynomfunktionen auch ganzrationale Funktion allg beschrieben durch f x a n x n a n 1 x n 1 a 1 x a 0 displaystyle f x a n x n a n 1 x n 1 dotsb a 1 x a 0 oder f x i 0 n a i x i displaystyle f x textstyle sum i 0 n a i x i Rationale Funktion gebrochen rationale Funktion Quotient zweier Polynom Funktionen f x g x h x displaystyle f x g x h x Wurzelfunktion besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknupft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrucke Exponentialfunktion Logarithmus Trigonometrische Funktion sin cos tan cot sec csc Betragsfunktion Maximumsfunktion und Minimumsfunktion Gausssche GanzzahlfunktionVerwendung BearbeitenEin fundamentales Konzept in der Mathematik stellen Strukturen dar die dadurch entstehen dass Mengen in Verbindung mit dazugehorigen Abbildungen gesehen werden Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen sobald sie uber elementare Mengenlehre kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch philosophische Fragestellungen hinausgehen Mengen konnen beispielsweise durch sogenannte Verknupfungen strukturiert werden Der wichtigste Spezialfall ist die innere zweistellige Verknupfung dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form f A A A displaystyle f colon A times A rightarrow A Beispiele fur innere zweistellige Verknupfungen sind Rechenoperationen wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen Dementsprechend wird das Bild x y displaystyle x y eines Paares x y displaystyle x y unter einer Verknupfung displaystyle ublicherweise in der Form x y displaystyle x y geschrieben Weitere wichtige Beispiele solcher Strukturen sind algebraische geometrische und topologische Strukturen wie beispielsweise Skalarprodukte Normen und Metriken Verallgemeinerungen BearbeitenMultifunktionen Bearbeiten Eine Multifunktion auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt ist eine linkstotale Relation Das heisst die Elemente der Definitionsmenge X displaystyle X konnen auf mehrere Elemente der Zielmenge Y displaystyle Y abgebildet werden Man schreibt auch f X Y displaystyle f colon X multimap Y Wenn Y displaystyle Y eine Menge ist dann kann man jede Multifunktion f X Y displaystyle f colon X multimap Y auch als eine Funktion k f displaystyle kappa f darstellen die in die Potenzmenge von Y displaystyle Y geht k f X P Y x y Y x y G f displaystyle kappa f X rightarrow mathcal P Y x mapsto y in Y x y in G f 12 Im Fall Y X displaystyle Y X stellt eine mehrwertige Funktion f displaystyle f eine Transitionsrelation dar und k f displaystyle kappa f ist die zugehorige Transitionsfunktion Die Verkettung von Multifunktionen lasst sich genauso definieren wie fur eindeutige Funktionen mengentheoretisch ist dies aquivalent einer Verkettung zweier zweistelliger Relationen 13 Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen Bearbeiten Ein Beispiel fur Multifunktionen sind die Umkehrfunktionen Umkehrungen von nicht injektiven Funktionen Wenn f X Y displaystyle f colon X rightarrow Y surjektiv ist gilt automatisch f 1 Y X displaystyle f 1 colon Y multimap X ist eine Multifunktion Die Darstellung der Umkehrfunktion in die Potenzmenge von X displaystyle X liefert mit k f 1 y displaystyle kappa f 1 y die Fasern von f displaystyle f siehe oben Die Verkettung einer Funktion mit ihrer allgemein nicht eindeutigen Umkehrung in der Form f 1 f displaystyle f 1 circ f ist eine Aquivalenzrelation 14 die durch f displaystyle f induzierte Aquivalenzrelation Zwei Elemente aus dem Definitionsbereich sind genau dann aquivalent wenn sie denselben Funktionswert haben 13 Partielle Funktionen Bearbeiten Die partielle Funktion und ihre Untermenge die Funktion als spezielle Relationen Wohl zu unterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der partiellen Funktion man spricht auch von einer nicht uberall definierten Funktion oder funktionalen Relation Hier darf es Elemente der Quellmenge x displaystyle x Werte geben denen kein Wert der Zielmenge y displaystyle y Wert zugeordnet ist Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsachlich notwendig Allerdings darf es auch dort fur einen x displaystyle x Wert nicht mehr als einen y displaystyle y Wert geben Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden bezeichnet man Letztere auch als totale oder uberall definierte Funktionen Die Menge D Z displaystyle D rightharpoonup Z 11 der partiellen Abbildungen von D displaystyle D nach Z displaystyle Z ist die Vereinigung der totalen Abbildungen von Teilmengen von D displaystyle D nach Z displaystyle Z D Z X D X Z X D Z X displaystyle D rightharpoonup Z bigcup limits X subseteq D X to Z bigcup limits X subseteq D Z X Sind die Mengen endlich so gilt fur Ihre Kardinalzahlen D Z Z 1 D displaystyle left D rightharpoonup Z right Z 1 D schliesslich kann man jede partielle Abbildung auf D umkehrbar eindeutig zu einer totalen Abbildung fortsetzen indem man einen beliebigen festen Funktionswert c displaystyle c festschreibt der nicht in Z displaystyle Z enthalten ist und diese Operation stellt eine bijektive Abbildung auf Z c D displaystyle Z cup c D dar Jede partielle Funktion f G f X Z displaystyle f G f X Z ist im Wesentlichen gleich mit der totalen Funktion G f D b f Z displaystyle G f Db f Z mit der Urbildmenge D b f x X y Z x y G f displaystyle Db f x in X mid exists y in Z x y in G f Funktionen mit Werten in einer echten Klasse Bearbeiten Haufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge sondern lediglich in einer echten Klasse beispielsweise sind Mengenfolgen Funktionen mit Definitionsmenge N displaystyle mathbb N und Werten in der Allklasse Um die mengentheoretischen Probleme die sich daraus ergeben zu vermeiden betrachtet man nur noch den Graph der entsprechenden Funktion genauer Ein funktionsartiger Graph ist eine Menge G displaystyle G von Paaren x y displaystyle x y so dass keine zwei Paare im ersten Eintrag ubereinstimmen 15 x y 1 y 2 x y 1 x y 2 G y 1 y 2 displaystyle forall x y 1 y 2 colon x y 1 x y 2 in G implies y 1 y 2 Definitions und Wertemenge sind tatsachlich Mengen aber es ist nicht notig sich von vornherein auf eine Zielmenge festzulegen solange die Funktionen im Wesentlichen gleich sind Bei partiellen Funktionen gilt gleiches fur den Ziel und Quellbereich Beide konnen einzeln oder zusammen echte Klassen sein mengentheoretische Probleme entstehen nicht solange der Graph eine Menge bleibt Symbolik BearbeitenFur Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrucken Im Folgenden werden einige wichtige genannt Symbol Erklarungf A B displaystyle f colon A to B Funktion von A displaystyle A nach B displaystyle B f a b displaystyle f colon a mapsto b f a b displaystyle f a b Funktion die a displaystyle a auf b displaystyle b abbildet statt b displaystyle b kann auch ein Term o A stehen a b f displaystyle a b in f a b G f displaystyle a b in G f Funktion die a displaystyle a auf b displaystyle b abbildet statt b displaystyle b kann auch eine Formel o A stehen mengentheoretische Schreibweise f a f a b displaystyle f colon a mapsto f a b Funktion die a displaystyle a auf b displaystyle b abbildet die die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik statt f a displaystyle f a stehen oft Dinge wie a 1 a a c displaystyle a 1 overline a a cdot c u A und der Formel o A an der Stelle von b displaystyle b zur Berechnung des Bildes angibtf A B a f a b displaystyle f colon A to B a mapsto f a b Ausfuhrlichste Notation die alle beteiligten Mengen und die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik und der Formel o A zur Berechnung des Bildes angibtf A B displaystyle f colon A twoheadrightarrow B surjektive Funktion Surjektion von A displaystyle A nach B displaystyle B f A B displaystyle f colon A rightarrowtail B injektive Funktion Injektion von A displaystyle A nach B displaystyle B f A B displaystyle f colon A leftrightarrow B 16 f A B displaystyle f colon A rightleftarrows B f A B displaystyle f colon A twoheadrightarrow rightarrowtail B bijektive Funktion Bijektion von A displaystyle A nach B displaystyle B f A B displaystyle f colon A hookrightarrow B Inklusionsabbildung naturliche Inklusion naturliche Einbettung von A displaystyle A in B displaystyle B A displaystyle A ist Untermenge von B displaystyle B und die Funktion bildet jedes Element von A displaystyle A auf sich ab f id A displaystyle f operatorname id A f A A a a displaystyle f colon A to A a mapsto a f A B displaystyle f colon A B Identitat identische Abbildung auf A oder von A displaystyle A nach B displaystyle B A B displaystyle A B und die Funktion bildet jedes Element auf sich ab f A B displaystyle f colon A stackrel cong to B f A B displaystyle f colon A cong B Isomorphismus von A displaystyle A nach B displaystyle B f A B displaystyle f colon A rightharpoonup B f A B displaystyle f colon A rightsquigarrow B partielle Funktion s o von A displaystyle A nach B displaystyle B f A B displaystyle f colon A multimap B mehrwertige Funktion Multifunktion Korrespondenz s o von A displaystyle A nach B displaystyle B A B B A displaystyle A to B B A bzw A B displaystyle A rightharpoonup B Menge der Funktionen bzw partiellen Funktionen von A displaystyle A nach B displaystyle B 11 Die Symbole konnen auch wo sinnvoll miteinander kombiniert werden Literatur BearbeitenHeinz Dieter Ebbinghaus Einfuhrung in die Mengenlehre 4 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 2003 ISBN 3 8274 1411 3 Paul R Halmos Naive Mengenlehre Moderne Mathematik in elementarer Darstellung Bd 6 Ubersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann 5 Auflage Vandenhoeck amp Ruprecht Gottingen 1994 ISBN 3 525 40527 8 Arnold Oberschelp Allgemeine Mengenlehre BI Wissenschafts Verlag Mannheim u a 1994 ISBN 3 411 17271 1 Adolf P Youschkevitch The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century In Archive of the History of Exakt Sciences 16 Springer Verlag Berlin 1976 Weblinks Bearbeiten Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Abbildung Funktion Lern und Lehrmaterialien Wiktionary Funktion Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Commons Funktionen Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten M Kronfellner Historische Aspekte im Mathematikunterricht Verlag Holder Pichler Tempsky Wien 1998 S 67 Adolf P Youschkevitch The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century In Archive of the History of Exakt Sciences 16 Springer Verlag Berlin 1976 S 52 D Ruthing Einige historische Stationen zum Funktionsbegriff In Der Mathematikunterricht Heft 6 1986 Friedrich Verlag Velber S 5 6 H J Vollrath Algebra in der Sekundarstufe BI Wissenschaftsverlag Mannheim 1994 S 118 Ruthing S 6 12 Arnold Oberschelp Allgemeine Mengenlehre 1994 Klassenfunktion genannt siehe Claudius Rohl Das Auswahlaxiom Diplomarbeit Univ Leipzig Fakultat fur Mathematik 6 Oktober 2016 Seite 18 Funktionen deren Zielmengen sich nur in diesen wertlosen Nichtbild Elementen unterscheiden werden gelegentlich als gleich angesehen insbesondere dann wenn keine von ihnen surjektiv ist Also f 1 D 1 Z 1 x y f 2 D 2 Z 2 x y D 1 D 2 D x D f 1 x f 2 x Z 1 f 1 D f 2 D Z 2 displaystyle begin aligned amp f 1 colon begin cases D 1 to Z 1 x mapsto y end cases f 2 colon begin cases D 2 to Z 2 x mapsto y end cases qquad Longleftrightarrow amp D 1 D 2 D land bigl forall x in D colon f 1 x f 2 x bigr land bigl Z 1 supset f 1 D f 2 D subset Z 2 bigr end aligned Paul R Halmos Naive Mengenlehre 1994 Kapitel 8 S 43 seltener in Anlehnung an die Mengenschreibweise aquivalent f x x N displaystyle f x x in N a b c teilweise auch ohne die eckigen Klammern notiert beziehungsweise x y Y x y f displaystyle x mapsto y in Y x y in f entsprechend der vereinfachten Funktionsdefinition mit Funktion Graph Alternative Bezeichnungsweisen F displaystyle Phi oder f displaystyle tilde f fur die Korrespondenz k f displaystyle kappa f zur Multifunktion f displaystyle f im Fall Y X displaystyle Y X Transitionsfunktion auch d displaystyle delta Y displaystyle wp Y oder Y displaystyle mathfrak Y fur die Potenzmenge P Y displaystyle mathcal P Y von Y displaystyle Y a b H Konig Entwurf und Strukturtheorie von Steuerungen fur Fertigungseinrichtungen ISW Forschung und Praxis Band 13 Springer Verlag Berlin Heidelberg 1976 ISBN 3 540 07669 7 S 15 17 doi 10 1007 978 3 642 81027 5 1 Hier Seite 21f wie immer fur zweistellige Relationen wir fassen die Funktion f displaystyle f als zweistellige Relation auf erst recht ihre Umkehrung Nicolas Bourbaki Elements de mathematiques Theorie des Ensembles II Die Notation A B displaystyle A leftrightarrow B wird von manchmal abweichend fur beliebige Relationen gebraucht Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Funktion Mathematik amp oldid 215198678, wikipedia, wiki, deutsches

deutschland

buch, bücher, bibliothek

artikel

lesen, herunterladen

kostenlos

kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele