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Flächeninhalt

Physikalische Größe
Name Flächeninhalt
Oberfläche
Querschnittsfläche
Formelzeichen A {\displaystyle A} (area)
Abgeleitet von Länge

Der Flächeninhalt ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Unter Fläche versteht man dabei zweidimensionale Gebilde, das heißt solche, in denen man sich in zwei unabhängige Richtungen bewegen kann. Darunter fallen die üblichen Figuren der ebenen Geometrie wie Rechtecke, Polygone, Kreise, aber auch Begrenzungsflächen dreidimensionaler Körper wie Quader, Kugel, Zylinder usw. Für viele Anwendungen genügen diese Flächen bereits, komplexere Flächen lassen sich oft aus diesen zusammensetzen oder durch diese annähern.

Die Summe der Flächeninhalte der drei Figuren auf kariertem Hintergrund ist ungefähr 15.57 Kästchen

Der Flächeninhalt spielt in der Mathematik, bei der Definition vieler physikalischer Größen, aber auch im Alltag eine wichtige Rolle. So ist etwa Druck als Kraft pro Fläche definiert oder das magnetische Moment einer Leiterschleife als Strom mal umflossene Fläche. Grundstücks- und Wohnungsgrößen werden durch Angabe ihrer Grundfläche vergleichbar. Materialverbrauch, beispielsweise von Saatgut für ein Feld oder Farbe zum Anstreichen einer Fläche, kann mit Hilfe des Flächeninhalts abgeschätzt werden.

Der Flächeninhalt ist normiert in dem Sinne, dass das Einheitsquadrat, das heißt das Quadrat mit Seitenlänge 1, den Flächeninhalt 1 hat; in Maßeinheiten ausgedrückt, hat ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 m den Flächeninhalt 1 m2. Um Flächen durch ihren Flächeninhalt vergleichbar zu machen, muss man fordern, dass kongruente Flächen denselben Flächeninhalt haben und dass sich der Flächeninhalt zusammengesetzter Flächen als Summe der Inhalte der Teilflächen ergibt.

Die Ausmessung von Flächeninhalten geschieht in der Regel nicht direkt. Stattdessen werden bestimmte Längen gemessen, woraus dann der Flächeninhalt berechnet wird. Zur Messung des Flächeninhalts eines Rechtecks oder einer Kugeloberfläche misst man üblicherweise die Seitenlängen des Rechtecks bzw. den Durchmesser der Kugel und erhält den gewünschten Flächeninhalt mittels geometrischer Formeln, wie sie unten aufgelistet werden.

Inhaltsverzeichnis

In nachfolgender Tabelle sind einige Figuren aus der ebenen Geometrie zusammen mit Formeln zur Berechnung ihres Flächeninhaltes aufgelistet.

Figur/Objekt Flächeninhalt A {\displaystyle A} Bezeichnungen
Quadrat A = a 2 {\displaystyle A=a^{2}}
Rechteck A = a b {\displaystyle A=a\cdot b}
Dreieck A = g h 2 {\displaystyle A={\frac {g\cdot h}{2}}}
Trapez A = a + c 2 h {\displaystyle A={\frac {a+c}{2}}\cdot h}
Raute A = d 1 d 2 2 {\displaystyle A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}}
Parallelogramm A = a h a {\displaystyle A=a\cdot h_{a}}
regul. Sechseck A = 3 3 2 a 2 {\displaystyle A={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}}
Kreis A = π r 2 = π 4 d 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}={\frac {\pi }{4}}d^{2}}
Ellipse A = π a b {\displaystyle A=\pi ab}
Integral A = a b f ( x ) d x , f ( x ) 0 {\displaystyle A=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\ f(x)\geq 0}
Leibniz-Formel A = 1 2 a b ( x ( t ) y ( t ) y ( t ) x ( t ) ) d t {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(x(t)y^{\prime }(t)-y(t)x^{\prime }(t))dt}

Zur Ermittlung des Flächeninhaltes eines Polygons kann man dieses triangulieren, das heißt, es durch Ziehen von Diagonalen in Dreiecke zerlegen, dann die Flächeninhalte der Dreiecke ermitteln und diese Teilflächen schließlich addieren. Sind die Koordinaten ( x i , y i ) {\displaystyle (x_{i},y_{i})} , i = 1 n {\displaystyle i=1\dotsc n} , der n {\displaystyle n} Eckpunkte des Polygons in einem kartesischen Koordinatensystem bekannt, kann die Fläche mit der Gaußschen Trapezformel berechnet werden:

A = 1 2 i = 1 n ( y i + y i + 1 ) ( x i x i + 1 ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}-x_{i+1})}

Dabei gilt hier für die Indizes: Mit x n + j {\displaystyle x_{n+j}} ist x j {\displaystyle x_{j}} und mit y n + j {\displaystyle y_{n+j}} ist y j {\displaystyle y_{j}} gemeint. Die Summe ist positiv, wenn die Eckpunkte entsprechend dem Drehsinn des Koordinatensystems durchlaufen werden. Eventuell ist bei negativen Ergebnissen der Betrag zu wählen. Speziell für polygonale Flächen mit Gitterpunkten als Ecken lässt sich der Satz von Pick anwenden. Andere Flächen lassen sich in der Regel leicht durch Polygone approximieren, so dass man leicht an einen Näherungswert kommen kann.

Hier werden exemplarisch einige typische Formeln zur Berechnung von Oberflächen zusammengestellt:

Figur/Objekt Oberfläche A {\displaystyle A} Bezeichnungen
Würfel A = 6 a 2 {\displaystyle A=6a^{2}}
Quader A = 2 ( a b + a c + b c ) {\displaystyle A=2(ab+ac+bc)}
Tetraeder A = 3 a 2 {\displaystyle A={\sqrt {3}}\,a^{2}}
Kugel
(Kugeloberfläche)
A = 4 π r 2 = π d 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}}
Zylinder A = 2 π r ( r + h ) {\displaystyle A=2\pi r(r+h)}
Kegel A = π r ( r + r 2 + h 2 ) {\displaystyle A=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})}
Torus A = 4 π 2 R r {\displaystyle A=4\pi ^{2}\cdot R\cdot r}
Rotationsfläche A = 2 π a b f ( x ) 1 + [ f ( x ) ] 2 d x {\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}\!f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\mathrm {d} x}

(Rotation um x-Achse)

Ein typisches Vorgehen zur Ermittlung solcher Oberflächen ist das sogenannte „Abrollen“ oder „Abwickeln“ in der Ebene, das heißt man versucht, die Oberfläche derart in die Ebene abzubilden, dass der Flächeninhalt dabei erhalten bleibt, und ermittelt dann den Flächeninhalt der so entstandenen ebenen Figur. Das gelingt aber nicht bei allen Oberflächen, wie das Beispiel der Kugel zeigt. Zur Ermittlung derartiger Oberflächen werden Methoden der Analysis verwendet, beim Beispiel der Kugel kann man etwa Rotationsflächen einsetzen. Oft führt auch die erste Guldinsche Regel zu einem raschen Erfolg, zum Beispiel beim Torus.

Hauptartikel: Integralrechnung
Die Fläche unter der Kurve von a bis b wird durch Rechtecke approximiert

Die Integralrechnung wurde unter anderem zur Ermittlung von Flächeninhalten unter Kurven, das heißt unter Funktionsgraphen, entwickelt. Die Idee besteht darin, die Fläche zwischen Kurve und x {\displaystyle x} -Achse durch eine Reihe schmaler Rechtecke zu approximieren und dann die Breite dieser Rechtecke in einem Grenzprozess gegen 0 gehen zu lassen. Die Konvergenz dieses Grenzübergangs hängt von der verwendeten Kurve ab. Betrachtet man einen beschränkten Bereich, etwa die Kurve über einem beschränkten Intervall [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} wie in nebenstehender Zeichnung, so zeigen Sätze der Analysis, dass die Stetigkeit der Kurve bereits ausreicht, um die Konvergenz des Grenzprozesses zu sichern. Dabei tritt das Phänomen auf, dass Flächen unterhalb der x {\displaystyle x} -Achse negativ werden, was bei der Bestimmung von Flächeninhalten unerwünscht sein kann. Will man dies vermeiden, muss man zum Betrag der Funktion übergehen.

Gaußsche Glockenkurve

Will man auch die Intervallgrenzen {\displaystyle -\infty } und + {\displaystyle +\infty } zulassen, so ermittelt man zunächst die Flächen für endliche Grenzen a {\displaystyle a} und b {\displaystyle b} wie gerade beschrieben und lässt dann in einem weiteren Grenzprozess a {\displaystyle a\to -\infty } , b + {\displaystyle b\to +\infty } oder beides streben. Hier kann es vorkommen, dass dieser Grenzprozess nicht konvergiert, zum Beispiel bei oszillierenden Funktionen wie der Sinusfunktion. Beschränkt man sich auf Funktionen, die ihren Funktionsgraphen in der oberen Halbebene haben, so können diese Oszillationseffekte zwar nicht mehr auftreten, aber es kommt durchaus vor, dass der Flächeninhalt zwischen Kurve und x {\displaystyle x} -Achse unendlich wird. Da die Gesamtfläche eine unendliche Ausdehnung hat, ist das sogar ein plausibles und letztlich auch erwartetes Ergebnis. Wenn die Kurve sich allerdings für weit von 0 entfernte Stellen hinreichend schnell der x {\displaystyle x} -Achse nähert, so kann das Phänomen eintreten, dass auch einer unendlich ausgedehnten Fläche ein endlicher Flächeninhalt zukommt. Ein bekanntes und für die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtiges Beispiel ist die Fläche zwischen der gaußschen Glockenkurve

f ( x ) = 1 2 π e 1 2 x 2 {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}

und der x {\displaystyle x} -Achse. Obwohl die Fläche von {\displaystyle -\infty } bis + {\displaystyle +\infty } reicht, ist der Flächeninhalt gleich 1.

Bei dem Versuch, weitere Flächen, etwa auch unter unstetigen Kurven, zu berechnen, stößt man schließlich auf die Frage, welchen Mengen in der Ebene denn überhaupt ein sinnvoller Flächeninhalt zukommen soll. Diese Frage erweist sich als schwierig, wie im Artikel zum Maßproblem ausgeführt wird. Es stellt sich heraus, dass der hier verwendete intuitive Flächeninhaltsbegriff nicht sinnvoll auf alle Teilmengen der Ebene ausgedehnt werden kann.

Hauptartikel: Oberflächenintegral

In der Differentialgeometrie wird der Flächeninhalt einer ebenen oder gekrümmten Fläche F {\displaystyle F} mit den Koordinaten ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} als Flächenintegral berechnet:

F d σ {\displaystyle \iint _{F}\mathrm {d} \sigma }

Dabei entspricht das Flächenelement d σ {\displaystyle \mathrm {d} \sigma } der Intervallbreite d x {\displaystyle \mathrm {d} x} in der eindimensionalen Integralrechnung. Es gibt den Flächeninhalt des durch die Tangenten an die Koordinatenlinien aufgespannten Parallelogramms mit den Seitenlängen d u {\displaystyle \mathrm {d} u} und d v {\displaystyle \mathrm {d} v} an. Das Flächenelement ist abhängig vom Koordinatensystem und der Gaußschen Krümmung der Fläche.

In kartesischen Koordinaten ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ist das Flächenelement d σ = d x d y {\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y} . Auf der Kugeloberfläche mit dem Radius r {\displaystyle r} und der Länge L {\displaystyle L} sowie der Breite B {\displaystyle B} als Koordinatenparametern gilt d σ = r 2 cos B d B d L {\displaystyle \mathrm {d} \sigma =r^{2}\cos B\,\mathrm {d} B\,\mathrm {d} L} . Für die Oberfläche einer Kugel ( π / 2 B π / 2 , π L π {\displaystyle -\pi /2\leq B\leq \pi /2,-\pi \leq L\leq \pi } ) erhält man damit den Flächeninhalt:

A = r 2 π π π / 2 π / 2 cos B d B d L = r 2 π π [ sin B ] π / 2 π / 2 d L = 2 r 2 π π d L = 4 π r 2 {\displaystyle A=r^{2}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\cos B\,\mathrm {d} B\,\mathrm {d} L=r^{2}\int _{-\pi }^{\pi }\left[\sin B\right]_{-\pi /2}^{\pi /2}\,\mathrm {d} L=2r^{2}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {d} L=4\pi r^{2}}

Zur Berechnung des Flächenelements ist es nicht zwingend erforderlich, die Lage einer räumlichen Fläche im Raum zu kennen. Das Flächenelement kann allein aus solchen Maßen abgeleitet werden, die innerhalb der Fläche gemessen werden können, und zählt damit zur inneren Geometrie der Fläche. Dies ist auch der Grund dafür, dass sich der Flächeninhalt einer (abwickelbaren) Fläche beim Abwickeln nicht ändert und damit durch Abwickeln in eine Ebene bestimmt werden kann.

Flächen treten naturgemäß auch in der Physik als zu messende Größe auf. Flächen werden in der Regel indirekt unter Verwendung obiger Formeln gemessen. Typische Größen, bei denen Flächen auftreten, sind:

Fläche als Vektor

Oft wird der Fläche auch eine Richtung, die senkrecht zur Fläche verläuft, zugewiesen, was die Fläche zu einem Vektor macht und ihr wegen der zwei möglichen Wahlen der senkrechten Richtung eine Orientierung verleiht. Die Länge des Vektors ist dabei ein Maß für den Flächeninhalt. Bei einem durch Vektoren a {\displaystyle {\vec {a}}} und b {\displaystyle {\vec {b}}} begrenzten Parallelogramm ist dieser das Vektorprodukt

a × b {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} .

Sind es Oberflächen, verwendet man in der Regel das Normalenvektorfeld, um ihnen an jeder Stelle lokal eine Richtung zuweisen zu können. Dies führt zu Fluss-Größen, die man als Skalarprodukt aus betrachtetem Vektorfeld und Fläche (als Vektor) definiert. So errechnet sich der Strom I {\displaystyle I} aus der Stromdichte J {\displaystyle {\vec {J}}} gemäß

I = A J d A {\displaystyle I=\int \limits _{A}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}} ,

wobei im Integral das Skalarprodukt

J d A {\displaystyle {\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}

gebildet wird. Zur Auswertung derartiger Integrale sind Formeln zur Berechnung von Oberflächen hilfreich.

Es treten in der Physik daneben auch Flächengrößen auf, die tatsächlich experimentell bestimmt werden, etwa Streuquerschnitte. Hierbei geht man von der Vorstellung aus, ein Teilchenstrom treffe auf ein festes Zielobjekt, auf das sogenannte Target, und die Teilchen des Teilchenstroms treffen mit gewisser Wahrscheinlichkeit auf die Teilchen des Targets. Das makroskopisch gemessene Streuverhalten lässt dann Rückschlüsse auf die Querschnittsflächen zu, die die Targetteilchen den Stromteilchen entgegenhalten. Die so ermittelte Größe hat die Dimension einer Fläche. Da das Streuverhalten nicht nur von geometrischen Größen, sondern auch von anderen Wechselwirkungen der Streupartner untereinander abhängt, ist die gemessene Fläche nicht immer direkt mit dem geometrischen Querschnitt der Streupartner gleichzusetzen. Man spricht dann allgemeiner vom Wirkungsquerschnitt, der ebenfalls die Dimension einer Fläche hat.

Flächeninhalte von Grundstücken, Grundstücksteilen, Ländern oder anderen Gebieten können in der Regel nicht mit den Formeln für einfache geometrische Figuren ermittelt werden. Solche Flächeninhalte lassen sich graphisch, halbgraphisch, aus Feldmaßen oder aus Koordinaten berechnen.

Bei den graphischen Verfahren muss eine Kartierung der Fläche vorliegen. Flächen, deren Grenzen durch ein Polygon gebildet werden, können in Dreiecke oder Trapeze zerlegt werden, deren Grundlinien und Höhen gemessen werden. Aus diesen Maßen werden dann die Flächeninhalte der Teilflächen und schließlich der Flächeninhalt der Gesamtfläche berechnet. Die halbgraphische Flächenberechnung wird angewendet, wenn die Fläche in schmale Dreiecke zerlegt werden kann, deren kurze Grundseite im Felde genau gemessen wurde. Da der relative Fehler des Flächeninhalts hauptsächlich durch den relativen Fehler der kurzen Grundseite bestimmt wird, kann durch die Messung der Grundseite im Felde statt in der Karte die Genauigkeit des Flächeninhalts gegenüber der rein graphischen Methode gesteigert werden.

Unregelmäßige Flächen lassen sich mit Hilfe einer Quadratglastafel erfassen. Diese trägt auf der Unterseite ein Gitter aus Quadraten, deren Seitenlänge bekannt ist (z. B. 1 Millimeter). Die Tafel wird auf die kartierte Fläche gelegt und der Flächeninhalt durch Auszählen der Quadrate, die innerhalb der Fläche liegen, ermittelt.

Bei langgestreckten Flächen kann eine Planimeterharfe eingesetzt werden. Diese besteht aus einem Blatt mit parallelen Linien, deren einheitlicher Abstand bekannt ist. Die Planimeterharfe wird so auf die Fläche gelegt, dass die Linien etwa senkrecht zur Längsrichtung der Fläche stehen. Dadurch wird die Fläche in Trapeze unterteilt, deren Mittellinien mit einem Stechzirkel addiert werden. Aus der Summe der Längen der Mittellinien und dem Linienabstand kann der Flächeninhalt berechnet werden.

Polarplanimeter, rechts der Fahrstift mit Lupe, links die Rolle mit Zählwerk, oben der während der Messung feste Pol

Besonders bei Flächen mit krummliniger Begrenzung eignet sich das Planimeter, ein mechanisches Integrationsinstrument, zur Ermittlung des Flächeninhalts. Mit dem Fahrstift des Planimeters muss die Begrenzung abgefahren werden. Beim Umfahren der Fläche dreht sich eine Rolle und an einem mechanischen oder elektronischen Zählwerk können die Drehung der Rolle und die Größe der Fläche abgelesen werden. Die Genauigkeit hängt davon ab, wie genau der Bearbeiter mit dem Fahrstift den Flächenrand abfährt. Das Ergebnis ist umso genauer, je kleiner der Umfang im Verhältnis zum Flächeninhalt ist.

Die Flächenberechnung aus Feldmaßen kann angewendet werden, wenn sich die Fläche in Dreiecke und Trapeze zerlegen lässt und die zur Flächenberechnung benötigten Strecken im Felde gemessen sind. Wenn die Eckpunkte der Fläche im Orthogonalverfahren auf eine Messungslinie aufgewinkelt wurden, kann die Fläche auch mit der Gaußschen Trapezformel berechnet werden.

Heute werden Flächeninhalte häufig aus Koordinaten berechnet. Dies können beispielsweise die Koordinaten von Grenzpunkten im Liegenschaftskataster oder Eckpunkte einer Fläche in einem Geoinformationssystem sein. Oft sind die Eckpunkte durch gerade Linien, gelegentlich auch durch Kreisbögen verbunden. Daher kann der Flächeninhalt mit der Gaußschen Trapezformel berechnet werden. Bei Kreisbögen sind die Kreissegmente zwischen Polygonseite und Kreisbogen zu berücksichtigen. Ist in einem Geoinformationssystem der Inhalt einer unregelmäßigeren Fläche zu ermitteln, kann die Fläche durch ein Polygon mit kurzen Seitenlängen approximiert werden.

  1. Heribert Kahmen: Vermessungskunde I. Walter de Gruyter, Berlin 1988.
Wiktionary: Flächeninhalt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Normdaten (Sachbegriff): GND:4193807-0(OGND, AKS)

Flächeninhalt
flächeninhalt, maß, für, größe, einer, fläche, sprache, beobachten, bearbeiten, physikalische, größename, oberfläche, querschnittsflächeformelzeichen, displaystyle, area, abgeleitet, längegrößen, einheitensystem, einheit, dimensionsi, l2cgs, l2planck, planck, . Flacheninhalt Mass fur die Grosse einer Flache Sprache Beobachten Bearbeiten Physikalische GrosseName Flacheninhalt Oberflache QuerschnittsflacheFormelzeichen A displaystyle A area Abgeleitet von LangeGrossen und Einheitensystem Einheit DimensionSI m2 L2cgs cm2 L2Planck Planck Flache ħ G c 3 Der Flacheninhalt ist ein Mass fur die Grosse einer Flache Unter Flache versteht man dabei zweidimensionale Gebilde das heisst solche in denen man sich in zwei unabhangige Richtungen bewegen kann Darunter fallen die ublichen Figuren der ebenen Geometrie wie Rechtecke Polygone Kreise aber auch Begrenzungsflachen dreidimensionaler Korper wie Quader Kugel Zylinder usw Fur viele Anwendungen genugen diese Flachen bereits komplexere Flachen lassen sich oft aus diesen zusammensetzen oder durch diese annahern Die Summe der Flacheninhalte der drei Figuren auf kariertem Hintergrund ist ungefahr 15 57 Kastchen Der Flacheninhalt spielt in der Mathematik bei der Definition vieler physikalischer Grossen aber auch im Alltag eine wichtige Rolle So ist etwa Druck als Kraft pro Flache definiert oder das magnetische Moment einer Leiterschleife als Strom mal umflossene Flache Grundstucks und Wohnungsgrossen werden durch Angabe ihrer Grundflache vergleichbar Materialverbrauch beispielsweise von Saatgut fur ein Feld oder Farbe zum Anstreichen einer Flache kann mit Hilfe des Flacheninhalts abgeschatzt werden Der Flacheninhalt ist normiert in dem Sinne dass das Einheitsquadrat das heisst das Quadrat mit Seitenlange 1 den Flacheninhalt 1 hat in Masseinheiten ausgedruckt hat ein Quadrat mit der Seitenlange 1 m den Flacheninhalt 1 m2 Um Flachen durch ihren Flacheninhalt vergleichbar zu machen muss man fordern dass kongruente Flachen denselben Flacheninhalt haben und dass sich der Flacheninhalt zusammengesetzter Flachen als Summe der Inhalte der Teilflachen ergibt Die Ausmessung von Flacheninhalten geschieht in der Regel nicht direkt Stattdessen werden bestimmte Langen gemessen woraus dann der Flacheninhalt berechnet wird Zur Messung des Flacheninhalts eines Rechtecks oder einer Kugeloberflache misst man ublicherweise die Seitenlangen des Rechtecks bzw den Durchmesser der Kugel und erhalt den gewunschten Flacheninhalt mittels geometrischer Formeln wie sie unten aufgelistet werden Inhaltsverzeichnis 1 Flacheninhalte einiger geometrischer Figuren 2 Berechnung einiger Oberflachen 3 Integralrechnung 4 Differentialgeometrie 5 Flachen in der Physik 6 Flachenberechnung im Vermessungswesen 7 Siehe auch 8 Einzelnachweise 9 WeblinksFlacheninhalte einiger geometrischer Figuren BearbeitenIn nachfolgender Tabelle sind einige Figuren aus der ebenen Geometrie zusammen mit Formeln zur Berechnung ihres Flacheninhaltes aufgelistet Figur Objekt Flacheninhalt A displaystyle A BezeichnungenQuadrat A a 2 displaystyle A a 2 Rechteck A a b displaystyle A a cdot b Dreieck A g h 2 displaystyle A frac g cdot h 2 Trapez A a c 2 h displaystyle A frac a c 2 cdot h Raute A d 1 d 2 2 displaystyle A frac d 1 cdot d 2 2 Parallelogramm A a h a displaystyle A a cdot h a regul Sechseck A 3 3 2 a 2 displaystyle A frac 3 sqrt 3 2 a 2 Kreis A p r 2 p 4 d 2 displaystyle A pi r 2 frac pi 4 d 2 Ellipse A p a b displaystyle A pi ab Integral A a b f x d x f x 0 displaystyle A int a b f x mathrm d x f x geq 0 Leibniz Formel A 1 2 a b x t y t y t x t d t displaystyle A frac 1 2 int a b x t y prime t y t x prime t dt Zur Ermittlung des Flacheninhaltes eines Polygons kann man dieses triangulieren das heisst es durch Ziehen von Diagonalen in Dreiecke zerlegen dann die Flacheninhalte der Dreiecke ermitteln und diese Teilflachen schliesslich addieren Sind die Koordinaten x i y i displaystyle x i y i i 1 n displaystyle i 1 dotsc n der n displaystyle n Eckpunkte des Polygons in einem kartesischen Koordinatensystem bekannt kann die Flache mit der Gaussschen Trapezformel berechnet werden A 1 2 i 1 n y i y i 1 x i x i 1 displaystyle A frac 1 2 sum i 1 n y i y i 1 x i x i 1 Dabei gilt hier fur die Indizes Mit x n j displaystyle x n j ist x j displaystyle x j und mit y n j displaystyle y n j ist y j displaystyle y j gemeint Die Summe ist positiv wenn die Eckpunkte entsprechend dem Drehsinn des Koordinatensystems durchlaufen werden Eventuell ist bei negativen Ergebnissen der Betrag zu wahlen Speziell fur polygonale Flachen mit Gitterpunkten als Ecken lasst sich der Satz von Pick anwenden Andere Flachen lassen sich in der Regel leicht durch Polygone approximieren so dass man leicht an einen Naherungswert kommen kann Berechnung einiger Oberflachen BearbeitenHier werden exemplarisch einige typische Formeln zur Berechnung von Oberflachen zusammengestellt Figur Objekt Oberflache A displaystyle A BezeichnungenWurfel A 6 a 2 displaystyle A 6a 2 Quader A 2 a b a c b c displaystyle A 2 ab ac bc Tetraeder A 3 a 2 displaystyle A sqrt 3 a 2 Kugel Kugeloberflache A 4 p r 2 p d 2 displaystyle A 4 pi r 2 pi d 2 Zylinder A 2 p r r h displaystyle A 2 pi r r h Kegel A p r r r 2 h 2 displaystyle A pi r r sqrt r 2 h 2 Torus A 4 p 2 R r displaystyle A 4 pi 2 cdot R cdot r Rotationsflache A 2 p a b f x 1 f x 2 d x displaystyle A 2 pi int a b f x sqrt 1 left f x right 2 mathrm d x Rotation um x Achse Ein typisches Vorgehen zur Ermittlung solcher Oberflachen ist das sogenannte Abrollen oder Abwickeln in der Ebene das heisst man versucht die Oberflache derart in die Ebene abzubilden dass der Flacheninhalt dabei erhalten bleibt und ermittelt dann den Flacheninhalt der so entstandenen ebenen Figur Das gelingt aber nicht bei allen Oberflachen wie das Beispiel der Kugel zeigt Zur Ermittlung derartiger Oberflachen werden Methoden der Analysis verwendet beim Beispiel der Kugel kann man etwa Rotationsflachen einsetzen Oft fuhrt auch die erste Guldinsche Regel zu einem raschen Erfolg zum Beispiel beim Torus Integralrechnung Bearbeiten Hauptartikel Integralrechnung Die Flache unter der Kurve von a bis b wird durch Rechtecke approximiert Die Integralrechnung wurde unter anderem zur Ermittlung von Flacheninhalten unter Kurven das heisst unter Funktionsgraphen entwickelt Die Idee besteht darin die Flache zwischen Kurve und x displaystyle x Achse durch eine Reihe schmaler Rechtecke zu approximieren und dann die Breite dieser Rechtecke in einem Grenzprozess gegen 0 gehen zu lassen Die Konvergenz dieses Grenzubergangs hangt von der verwendeten Kurve ab Betrachtet man einen beschrankten Bereich etwa die Kurve uber einem beschrankten Intervall a b displaystyle a b wie in nebenstehender Zeichnung so zeigen Satze der Analysis dass die Stetigkeit der Kurve bereits ausreicht um die Konvergenz des Grenzprozesses zu sichern Dabei tritt das Phanomen auf dass Flachen unterhalb der x displaystyle x Achse negativ werden was bei der Bestimmung von Flacheninhalten unerwunscht sein kann Will man dies vermeiden muss man zum Betrag der Funktion ubergehen Gausssche Glockenkurve Will man auch die Intervallgrenzen displaystyle infty und displaystyle infty zulassen so ermittelt man zunachst die Flachen fur endliche Grenzen a displaystyle a und b displaystyle b wie gerade beschrieben und lasst dann in einem weiteren Grenzprozess a displaystyle a to infty b displaystyle b to infty oder beides streben Hier kann es vorkommen dass dieser Grenzprozess nicht konvergiert zum Beispiel bei oszillierenden Funktionen wie der Sinusfunktion Beschrankt man sich auf Funktionen die ihren Funktionsgraphen in der oberen Halbebene haben so konnen diese Oszillationseffekte zwar nicht mehr auftreten aber es kommt durchaus vor dass der Flacheninhalt zwischen Kurve und x displaystyle x Achse unendlich wird Da die Gesamtflache eine unendliche Ausdehnung hat ist das sogar ein plausibles und letztlich auch erwartetes Ergebnis Wenn die Kurve sich allerdings fur weit von 0 entfernte Stellen hinreichend schnell der x displaystyle x Achse nahert so kann das Phanomen eintreten dass auch einer unendlich ausgedehnten Flache ein endlicher Flacheninhalt zukommt Ein bekanntes und fur die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtiges Beispiel ist die Flache zwischen der gaussschen Glockenkurve f x 1 2 p e 1 2 x 2 displaystyle f x tfrac 1 sqrt 2 pi cdot mathrm e frac 1 2 x 2 und der x displaystyle x Achse Obwohl die Flache von displaystyle infty bis displaystyle infty reicht ist der Flacheninhalt gleich 1 Bei dem Versuch weitere Flachen etwa auch unter unstetigen Kurven zu berechnen stosst man schliesslich auf die Frage welchen Mengen in der Ebene denn uberhaupt ein sinnvoller Flacheninhalt zukommen soll Diese Frage erweist sich als schwierig wie im Artikel zum Massproblem ausgefuhrt wird Es stellt sich heraus dass der hier verwendete intuitive Flacheninhaltsbegriff nicht sinnvoll auf alle Teilmengen der Ebene ausgedehnt werden kann Differentialgeometrie Bearbeiten Hauptartikel Oberflachenintegral In der Differentialgeometrie wird der Flacheninhalt einer ebenen oder gekrummten Flache F displaystyle F mit den Koordinaten u v displaystyle u v als Flachenintegral berechnet F d s displaystyle iint F mathrm d sigma Dabei entspricht das Flachenelement d s displaystyle mathrm d sigma der Intervallbreite d x displaystyle mathrm d x in der eindimensionalen Integralrechnung Es gibt den Flacheninhalt des durch die Tangenten an die Koordinatenlinien aufgespannten Parallelogramms mit den Seitenlangen d u displaystyle mathrm d u und d v displaystyle mathrm d v an Das Flachenelement ist abhangig vom Koordinatensystem und der Gaussschen Krummung der Flache In kartesischen Koordinaten x y displaystyle x y ist das Flachenelement d s d x d y displaystyle mathrm d sigma mathrm d x mathrm d y Auf der Kugeloberflache mit dem Radius r displaystyle r und der Lange L displaystyle L sowie der Breite B displaystyle B als Koordinatenparametern gilt d s r 2 cos B d B d L displaystyle mathrm d sigma r 2 cos B mathrm d B mathrm d L Fur die Oberflache einer Kugel p 2 B p 2 p L p displaystyle pi 2 leq B leq pi 2 pi leq L leq pi erhalt man damit den Flacheninhalt A r 2 p p p 2 p 2 cos B d B d L r 2 p p sin B p 2 p 2 d L 2 r 2 p p d L 4 p r 2 displaystyle A r 2 int pi pi int pi 2 pi 2 cos B mathrm d B mathrm d L r 2 int pi pi left sin B right pi 2 pi 2 mathrm d L 2r 2 int pi pi mathrm d L 4 pi r 2 Zur Berechnung des Flachenelements ist es nicht zwingend erforderlich die Lage einer raumlichen Flache im Raum zu kennen Das Flachenelement kann allein aus solchen Massen abgeleitet werden die innerhalb der Flache gemessen werden konnen und zahlt damit zur inneren Geometrie der Flache Dies ist auch der Grund dafur dass sich der Flacheninhalt einer abwickelbaren Flache beim Abwickeln nicht andert und damit durch Abwickeln in eine Ebene bestimmt werden kann Flachen in der Physik BearbeitenFlachen treten naturgemass auch in der Physik als zu messende Grosse auf Flachen werden in der Regel indirekt unter Verwendung obiger Formeln gemessen Typische Grossen bei denen Flachen auftreten sind Druck Kraft pro Flache Intensitat Energie pro Zeit und Flache Magnetisches Moment einer Leiterschleife Strom mal umflossene Flache Oberflachenspannung Zur Flachenvergrosserung geleistete Arbeit pro zusatzlich entstandene Flache Oberflachenladungsdichte Ladung pro Flache Stromdichte Strom pro durchflossene Flache Flache als Vektor Oft wird der Flache auch eine Richtung die senkrecht zur Flache verlauft zugewiesen was die Flache zu einem Vektor macht und ihr wegen der zwei moglichen Wahlen der senkrechten Richtung eine Orientierung verleiht Die Lange des Vektors ist dabei ein Mass fur den Flacheninhalt Bei einem durch Vektoren a displaystyle vec a und b displaystyle vec b begrenzten Parallelogramm ist dieser das Vektorprodukt a b displaystyle vec a times vec b Sind es Oberflachen verwendet man in der Regel das Normalenvektorfeld um ihnen an jeder Stelle lokal eine Richtung zuweisen zu konnen Dies fuhrt zu Fluss Grossen die man als Skalarprodukt aus betrachtetem Vektorfeld und Flache als Vektor definiert So errechnet sich der Strom I displaystyle I aus der Stromdichte J displaystyle vec J gemass I A J d A displaystyle I int limits A vec J cdot mathrm d vec A wobei im Integral das Skalarprodukt J d A displaystyle vec J cdot mathrm d vec A gebildet wird Zur Auswertung derartiger Integrale sind Formeln zur Berechnung von Oberflachen hilfreich Es treten in der Physik daneben auch Flachengrossen auf die tatsachlich experimentell bestimmt werden etwa Streuquerschnitte Hierbei geht man von der Vorstellung aus ein Teilchenstrom treffe auf ein festes Zielobjekt auf das sogenannte Target und die Teilchen des Teilchenstroms treffen mit gewisser Wahrscheinlichkeit auf die Teilchen des Targets Das makroskopisch gemessene Streuverhalten lasst dann Ruckschlusse auf die Querschnittsflachen zu die die Targetteilchen den Stromteilchen entgegenhalten Die so ermittelte Grosse hat die Dimension einer Flache Da das Streuverhalten nicht nur von geometrischen Grossen sondern auch von anderen Wechselwirkungen der Streupartner untereinander abhangt ist die gemessene Flache nicht immer direkt mit dem geometrischen Querschnitt der Streupartner gleichzusetzen Man spricht dann allgemeiner vom Wirkungsquerschnitt der ebenfalls die Dimension einer Flache hat Flachenberechnung im Vermessungswesen BearbeitenFlacheninhalte von Grundstucken Grundstucksteilen Landern oder anderen Gebieten konnen in der Regel nicht mit den Formeln fur einfache geometrische Figuren ermittelt werden Solche Flacheninhalte lassen sich graphisch halbgraphisch aus Feldmassen oder aus Koordinaten berechnen 1 Bei den graphischen Verfahren muss eine Kartierung der Flache vorliegen Flachen deren Grenzen durch ein Polygon gebildet werden konnen in Dreiecke oder Trapeze zerlegt werden deren Grundlinien und Hohen gemessen werden Aus diesen Massen werden dann die Flacheninhalte der Teilflachen und schliesslich der Flacheninhalt der Gesamtflache berechnet Die halbgraphische Flachenberechnung wird angewendet wenn die Flache in schmale Dreiecke zerlegt werden kann deren kurze Grundseite im Felde genau gemessen wurde Da der relative Fehler des Flacheninhalts hauptsachlich durch den relativen Fehler der kurzen Grundseite bestimmt wird kann durch die Messung der Grundseite im Felde statt in der Karte die Genauigkeit des Flacheninhalts gegenuber der rein graphischen Methode gesteigert werden Unregelmassige Flachen lassen sich mit Hilfe einer Quadratglastafel erfassen Diese tragt auf der Unterseite ein Gitter aus Quadraten deren Seitenlange bekannt ist z B 1 Millimeter Die Tafel wird auf die kartierte Flache gelegt und der Flacheninhalt durch Auszahlen der Quadrate die innerhalb der Flache liegen ermittelt Bei langgestreckten Flachen kann eine Planimeterharfe eingesetzt werden Diese besteht aus einem Blatt mit parallelen Linien deren einheitlicher Abstand bekannt ist Die Planimeterharfe wird so auf die Flache gelegt dass die Linien etwa senkrecht zur Langsrichtung der Flache stehen Dadurch wird die Flache in Trapeze unterteilt deren Mittellinien mit einem Stechzirkel addiert werden Aus der Summe der Langen der Mittellinien und dem Linienabstand kann der Flacheninhalt berechnet werden Polarplanimeter rechts der Fahrstift mit Lupe links die Rolle mit Zahlwerk oben der wahrend der Messung feste Pol Besonders bei Flachen mit krummliniger Begrenzung eignet sich das Planimeter ein mechanisches Integrationsinstrument zur Ermittlung des Flacheninhalts Mit dem Fahrstift des Planimeters muss die Begrenzung abgefahren werden Beim Umfahren der Flache dreht sich eine Rolle und an einem mechanischen oder elektronischen Zahlwerk konnen die Drehung der Rolle und die Grosse der Flache abgelesen werden Die Genauigkeit hangt davon ab wie genau der Bearbeiter mit dem Fahrstift den Flachenrand abfahrt Das Ergebnis ist umso genauer je kleiner der Umfang im Verhaltnis zum Flacheninhalt ist Die Flachenberechnung aus Feldmassen kann angewendet werden wenn sich die Flache in Dreiecke und Trapeze zerlegen lasst und die zur Flachenberechnung benotigten Strecken im Felde gemessen sind Wenn die Eckpunkte der Flache im Orthogonalverfahren auf eine Messungslinie aufgewinkelt wurden kann die Flache auch mit der Gaussschen Trapezformel berechnet werden Heute werden Flacheninhalte haufig aus Koordinaten berechnet Dies konnen beispielsweise die Koordinaten von Grenzpunkten im Liegenschaftskataster oder Eckpunkte einer Flache in einem Geoinformationssystem sein Oft sind die Eckpunkte durch gerade Linien gelegentlich auch durch Kreisbogen verbunden Daher kann der Flacheninhalt mit der Gaussschen Trapezformel berechnet werden Bei Kreisbogen sind die Kreissegmente zwischen Polygonseite und Kreisbogen zu berucksichtigen Ist in einem Geoinformationssystem der Inhalt einer unregelmassigeren Flache zu ermitteln kann die Flache durch ein Polygon mit kurzen Seitenlangen approximiert werden Siehe auch BearbeitenGrossenordnung Flache Einzelnachweise Bearbeiten Heribert Kahmen Vermessungskunde I Walter de Gruyter Berlin 1988 Weblinks Bearbeiten Wiktionary Flacheninhalt Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Umrechnung Rundes Kabel Draht und Leitung Durchmesser in Kreis Querschnitt und Querschnitt in Durchmesser Eric W Weisstein Area In MathWorld englisch Normdaten Sachbegriff GND 4193807 0 OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Flacheninhalt amp oldid 215289533, wikipedia, wiki, deutsches

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