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Elektrischer Widerstand

Hauptartikel: ohmsches Gesetz

Grundlegende Zusammenhänge

Ein elektrischer Widerstand ist dann ein ohmscher Widerstand, wenn sein Wert unabhängig von der Spannung, der Stärke des Stromes und irgendwelchen Parametern ist. An einem solchen Widerstand gilt das ohmsche Gesetz. Wird in einem Liniendiagramm die Spannung U {\displaystyle U} über der Stromstärke I {\displaystyle I} aufgetragen, entsteht bei einem ohmschen Widerstand eine Ursprungsgerade; die an einem Bauteil mit ohmschem Widerstand abfallende Spannung ist proportional zur Stromstärke im Widerstand mit dem Proportionalitätsfaktor R {\displaystyle R} ; dieser ist zugleich der Anstieg der Geraden:

U = R I . {\displaystyle U=R\cdot I\ .}

Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement, im einfachsten Fall einen Metalldraht, realisiert werden. Dieses wird üblicherweise ebenfalls als Widerstand – siehe Widerstand (Bauelement) – bezeichnet.

Wenn durch den Strom im Widerstand ein Spannungsabfall entsteht, wird elektrische Energie in thermische Energie umgesetzt.

Der Kehrwert des ohmschen Widerstands, also der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromstärke und Spannung, heißt elektrischer Leitwert G {\displaystyle G} eines Leiters. Es gilt also:

G = 1 R . {\displaystyle G={\frac {1}{R}}\ .}

Berechnung des Widerstands eines Leiters

Der ohmsche Widerstand eines Körpers lässt sich aus seinen geometrischen Abmessungen und einer Material-Konstante, dem spezifischen Widerstand ρ {\displaystyle \rho } , berechnen.

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche A {\displaystyle A} und der Länge l {\displaystyle l} gilt:

R = ρ l A . {\displaystyle R=\rho \cdot {\frac {l}{A}}\;.}

Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig.

Einflusseffekte

Der ohmsche Widerstand ist eine Idealisierung für viele theoretische und mathematische Behandlungen, mit der sich in der Praxis oft gut arbeiten lässt. Aber zusätzlich zu den schon erwähnten Einschränkungen hat das Modell seine Grenzen durch äußere Einwirkungen.

  1. Ein Einfluss der Spannung auf den elektrischen Widerstand ist bei hohen Spannungen und hohen Widerstandswerten zu beachten in der Größenordnung Δ R / R Δ U = 10 5 1 V {\displaystyle {\tfrac {\Delta R/R}{\Delta U}}=-10^{-5}{\tfrac {1}{\mathrm {V} }}} , in neuen Entwicklungen von Messwiderständen bis zwei Zehnerpotenzen weniger. Vielfach ist er bei nichtlinearen Widerständen, z. B. Halbleitern, zu beobachten; siehe unten. Ein Spannungseinfluss auf den Widerstand des Glühfadens einer Glühlampe ergibt sich indirekt über den Temperatureinfluss.
  2. Ein Einfluss der Frequenz ergibt sich bei vielen Widerständen erst bei höheren Frequenzen durch den Skineffekt, aber selbst bei 50 Hz kommt der Einfluss in dicken Leiterseilen von Hochspannungs-Freileitungen zum Tragen. Bei Wechselstromwiderständen kann ein Frequenz-Einfluss auch bei niedrigen Frequenzen zu beobachten sein; siehe unten. Zur Abgrenzung wird der frequenzunabhängige Anteil am Widerstand auch als Gleichstromwiderstand bezeichnet.
  3. Ein Einfluss der Temperatur ist häufig zu beachten, wie nachfolgend beschrieben:

Die oben aufgestellte Gleichung für den Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters wird dann beispielsweise ersetzt durch

Beispiele für spezifischen Widerstand
und Temperaturkoeffizient bei 20 °C
Material ρ 20 {\displaystyle \rho _{20}} in Ω·mm2/m α 20 {\displaystyle \alpha _{20}} in 1/°C
Silber 16e-3 3.8e-3
Kupfer 17e-3 4.3e-3
Nickel 70e-3 6.6e-3
Nickel-Chrom 13e-1 bis1e-6
R 20 = ρ 20 l A , {\displaystyle R_{20}=\rho _{20}\cdot {\frac {l}{A}}\;,}

wobei der Index die Celsius-Temperatur kennzeichnet, für die die Größen gelten. In Tabellenbüchern ist die übliche Bezugstemperatur t b = 20 C . {\displaystyle t_{b}=20\,^{\circ }\mathrm {C} .} Die Werte sind abhängig von Reinheitsgrad sowie thermischer und mechanischer Behandlung; deshalb sind die Tabellenwerte nur als Richtwerte zu verstehen.

Der Einfluss der Temperatur t {\displaystyle t} auf den Widerstand R ( t ) {\displaystyle R(t)} lässt sich in einfachen Fällen mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten α {\displaystyle \alpha } und dem Temperaturunterschied Δ t = t t b {\displaystyle \Delta t=t-t_{b}} darstellen. Dann wird der Zusammenhang durch eine lineare Gleichung beschrieben

R ( t ) = R ( t b ) ( 1 + α t b Δ t ) . {\displaystyle R(t)=R(t_{b})(1+\alpha _{t_{b}}\cdot \Delta t)\;.}

Für die meisten Anwendungen mit metallischen Materialien bei nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus; sonst sind Glieder höherer Ordnung in die Gleichung einzubeziehen. (Ein Beispiel mit Summanden bis zur vierten Potenz siehe Platin im Artikel Widerstandsthermometer.)

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, wird unterschieden zwischen

  • Heißleitern oder NTC (engl.Negative Temperature Coefficient; Widerstandswert sinkt) und
  • Kaltleitern oder PTC (engl.Positive Temperature Coefficient; Widerstandswert steigt). Generell sind alle Metalle Kaltleiter.

In der Mess- und Regelungstechnik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes als Messeffekt ausgenutzt, zum Beispiel bei Widerstandsthermometern, weiteren Temperatursensoren, thermischen Anemometern oder Einschaltstrombegrenzern.

Es gibt auch verschiedene spezielle Legierungen, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, wie das für einen Messwiderstand erforderlich ist.

Darstellung

Bei Wechselgrößen muss beachtet werden, dass sich die Augenblickswerte der Spannung und der Stromstärke periodisch ändern. Am ohmschen Widerstand besteht die Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke nicht nur für Gleichgrößen, sondern auch für Augenblickswerte zum jeweils betrachteten Zeitpunkt. Weitere auch als lineare Widerstände bezeichnete elektrische Bauelemente reagieren zeitabhängig. Bei einem idealen elektrischen Kondensator ist die Stromstärke aufgrund seiner Kapazität proportional zur Änderungsrate der Spannung. Die dem Kondensator von einem Erzeuger gelieferte Energie wird zum Aufbau eines elektrischen Feldes verwendet. Die Energie wird darin zunächst gespeichert. Später, nach dem Wechsel des Vorzeichens der Stromstärke, wird das Feld wieder abgebaut und die Energie zurückgespeist. – Entsprechend ist bei einer idealen Spule die Spannung aufgrund ihrer Induktivität proportional zur Änderungsrate der Stromstärke.

In den Rechnungen mit Wechselgrößen ergibt sich, dass bei diesen Bauelementen eine sinusförmige Stromstärke

i = ı ^ sin ( ω t + φ i ) {\displaystyle i={\hat {\imath }}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{i})}

mit der Frequenz f {\displaystyle f} oder der Kreisfrequenz ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f} eine zeitlich verzögerte, ebenfalls sinusförmige Spannung

u = u ^ sin ( ω t + φ u ) {\displaystyle u={\hat {u}}\cdot \sin(\omega t+\varphi _{u})}

mit derselben Kreisfrequenz zur Folge hat – oder umgekehrt. Das Beibehalten der Sinusform im zeitlichen Verlauf ist mit ein Grund, das Verhalten der genannten Bauelemente als linear zu bezeichnen. Allerdings stellt sich durch die Verzögerung ein Phasenverschiebungswinkel ein:

φ u i = φ u φ i . {\displaystyle \varphi _{ui}=\varphi _{u}-\varphi _{i}\ .}

Er ist nur beim ohmschen Widerstand gleich null. Außer bei diesem ist das Verhältnis u / i {\displaystyle u/i} zeitabhängig, ohne Proportionalität und zur Beschreibung in der Wechselstromtechnik ungeeignet. Sinnvoll angeben lässt sich jedoch der Quotient u ^ / ı ^ {\displaystyle {\hat {u}}/{\hat {\imath }}} der zeitunabhängigen Amplituden (oder gleichwertig der Quotient der Effektivwerte), der als Scheinwiderstand

Z = u ^ ı ^ = U e f f I e f f {\displaystyle Z={\frac {\hat {u}}{\hat {\imath }}}={\frac {U_{\mathrm {eff} }}{I_{\mathrm {eff} }}}}

bezeichnet wird. Beim idealen Kondensator und bei der idealen Spule ist der Scheinwiderstand so groß wie der Betrag des Blindwiderstands X {\displaystyle X} . Beide Widerstände werden wie der ohmsche Widerstand als unabhängig von Spannung, Stromstärke und Zeit angesehen. Aber sie sind abhängig von einem Parameter, der Frequenz.

Bei einer realen Spule ist meistens der ohmsche Drahtwiderstand R {\displaystyle R} nicht gegenüber dem Blindwiderstand zu vernachlässigen. Da er Energie nach außen abgeben kann, wird er als Wirkwiderstand bezeichnet. Der Gesamtwiderstand ergibt sich allerdings wegen der unterschiedlichen Phasenverschiebungen im Wirkanteil und im Blindanteil des Spulenwiderstands nicht wie gewohnt durch arithmetische Addition. Der Phasenverschiebungswinkel beträgt bei der Induktivität +90°, bei der Kapazität −90°. Damit ist eine Pythagoreische Addition erforderlich:

Links: Zwei mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierende Zeiger.
Rechts: Deren Projektionen auf die senkrechte Ursprungsgerade ergeben die Augenblickswerte, sie haben über dem Phasenwinkel ω t {\displaystyle \omega t} oder der Zeit t {\displaystyle t} aufgetragen einen Sinusverlauf.
Die blau gezeichnete Schwingung läuft der rot gezeichneten um 60° vor.
Z 2 = R 2 + X 2 {\displaystyle Z^{2}=R^{2}+X^{2}\ } ,

wobei stets | φ u i | {\displaystyle |\varphi _{ui}|} < 90° ist.

Die mathematische Behandlung mit den Gleichungen für u {\displaystyle u} und i {\displaystyle i} ist wegen trigonometrischer Umformungen sehr aufwändig. Deshalb ist für Berechnungen die komplexe Wechselstromrechnung entwickelt worden, in der reelle physikalische Größen formal durch komplexe Größen ersetzt werden; u {\displaystyle u} und i {\displaystyle i} werden durch in der komplexen Ebene rotierende Zeiger abgebildet. Sie drehen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω {\displaystyle \omega } um den Koordinatenursprung. Ihre Längen repräsentieren die Amplituden; die Abstände der Pfeilspitzen von der reellen Achse stehen für die Augenblickswerte; sie ändern sich mit der Zeit sinusförmig.

Formelzeichen komplexer Größen werden durch Unterstreichung gekennzeichnet. Für die rotierenden Zeiger gilt:

Impedanz als Zeiger in der komplexen Ebene mit ihren Komponenten.
Auf der waagerechten Achse wird der Realteil der Impedanz aufgetragen, auf der senkrechten Achse der Imaginärteil.
Der Winkel φ {\displaystyle \varphi } in der Zeichnung entspricht dem Winkel φ u i {\displaystyle \varphi _{ui}} im Text.
u _ = u ^ e j ( ω t + φ u ) {\displaystyle {\underline {u}}={\hat {u}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{u})}\quad } und i _ = ı ^ e j ( ω t + φ i ) {\displaystyle \quad {\underline {i\,}}={\hat {\imath }}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{i})}}

mit der imaginären Einheit j {\displaystyle \mathrm {j} } , die durch j 2 = 1 {\displaystyle \mathrm {j} ^{2}=-1} definiert wird.

Ferner wird der komplexe Wechselstromwiderstand eingeführt, der auch Impedanz genannt wird:

Z _ = u _ i _ . {\displaystyle {\underline {Z}}={\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}\ .}

Anders als beim Bruch u i {\displaystyle {\tfrac {u}{i}}} kürzt sich beim Bruch u _ i _ {\displaystyle {\tfrac {\underline {u}}{\underline {i}}}} die im Faktor e j ω t {\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}} enthaltene Zeitabhängigkeit heraus. Somit rotiert der zugehörige Zeiger nicht. Der komplexe Widerstand ermöglicht die Zusammenfassung von Wirk- und Blindwiderstand zu

Z _ = R + j X {\displaystyle {\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X}

und die Zusammenfassung von Scheinwiderstand und Phasenverschiebungswinkel zu

Z _ = Z e j φ u i . {\displaystyle {\underline {Z}}=Z\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi _{ui}}\ .}

Davon wird nachfolgend Gebrauch gemacht.

Ursachen der komplexen Widerstände

Bei einer Spule mit der Induktivität L {\displaystyle L} gilt

u = L d i d t . {\displaystyle u=L\ {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}}\ .}

Aufgrund einer Spannung wächst die Stromstärke mit der Zeit an. Bei Wechselstrom folgt dieser verzögert. Mit dem Ansatz mit den komplexen Größen u _ = u ^ e j ( ω t + φ u ) {\displaystyle {\underline {u}}={\hat {u}}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{u})}} und i _ = ı ^ e j ( ω t + φ i ) {\displaystyle {\underline {i\,}}={\hat {\imath }}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{i})}} ergibt sich nach der Differenziation

u _ = L ı ^ e j ( ω t + φ i ) j ω = j ω L i _ {\displaystyle {\underline {u}}=L\ {\hat {\imath }}\ \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{i})}\cdot \mathrm {j} \omega =\mathrm {j} \omega L\cdot {\underline {i}}}
u _ i _ = j ω L = j X . {\displaystyle {\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}=\mathrm {j} \omega L=\mathrm {j} X\ .}

Das X {\displaystyle X} wird hier als induktiver Blindwiderstand bezeichnet

X = X L = ω L 0 . {\displaystyle X=X_{L}=\omega L\geq 0\ .}

Zusammen mit dem Faktor j {\displaystyle \mathrm {j} } bedeutet das Ergebnis, dass eine Induktivität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Mit j = e j π / 2 {\displaystyle \mathrm {j} =\mathrm {e^{j\pi /2}} \ } ergibt sich φ u i = π / 2 = + 90 . {\displaystyle \varphi _{ui}=\mathrm {\pi } /2=+90^{\circ }.}

Der Scheinwiderstand einer Induktivität ist ein zur Frequenz proportionaler, aber im Übrigen linearer Widerstand.

Entsprechend gilt bei einem Kondensator mit der Kapazität C {\displaystyle C}

u = 1 C i d t . {\displaystyle u={\frac {1}{C}}\int i\mathrm {d} t\ .}

Aufgrund eines Stromes wächst die Spannung mit der Zeit an. Bei Wechselspannung folgt diese verzögert. Mit den komplexen Größen und nach der Integration ergibt sich

u _ = 1 j ω C i _ {\displaystyle {\underline {u}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}\cdot {\underline {i}}}
u _ i _ = 1 j ω C = j 1 ω C = j X . {\displaystyle {\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}=-\mathrm {j} \;{\frac {1}{\omega C}}=\mathrm {j} X\ .}

Das X {\displaystyle X} wird hier als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet

X = X C = 1 ω C 0 . {\displaystyle X=X_{C}=-{\frac {1}{\omega C}}\leq 0\ .}

Zusammen mit dem Faktor j {\displaystyle \mathrm {j} } bedeutet das Ergebnis, dass eine Kapazität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Hier ist φ u i = π / 2 = 90 . {\displaystyle \varphi _{ui}=-\pi /2=-90^{\circ }.}

Der Scheinwiderstand einer Kapazität ist ein zur Frequenz umgekehrt proportionaler, aber im Übrigen linearer Widerstand.

Umrechnungen

Mit der der Eulerschen Formel ist

Z _ = Z e j φ u i = Z ( cos φ u i + j sin φ u i ) . {\displaystyle {\underline {Z}}=Z\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi _{ui}}=Z\cdot (\cos \varphi _{ui}+\mathrm {j} \sin \varphi _{ui})\ .}

Durch Vergleich dieser Schreibweise mit

Z _ = R + j X {\displaystyle {\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X}

ergeben sich

Re Z _ = Z cos φ u i = R {\displaystyle \operatorname {Re} {\underline {Z}}=Z\cdot \cos \varphi _{ui}=R} (Wirkwiderstand),
Im Z _ = Z sin φ u i = X {\displaystyle \operatorname {Im} {\underline {Z}}=Z\cdot \sin \varphi _{ui}=X} (Blindwiderstand).

Für den Scheinwiderstand gilt:

Z = | Z _ | = | u _ | | i _ | = u ^ ı ^ = U eff I eff {\displaystyle Z=|{\underline {Z}}|={\frac {|{\underline {u}}|}{|{\underline {i}}|}}={\frac {\hat {u}}{\hat {\imath }}}={\frac {U_{\text{eff}}}{I_{\text{eff}}}}}
oder
Z = R 2 + X 2 {\displaystyle Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}}

und für den Phasenverschiebungswinkel zwischen u _ {\displaystyle {\underline {u}}} und i _ {\displaystyle {\underline {i\,}}} :

φ u i = arctan X R . {\displaystyle \varphi _{ui}=\arctan {\frac {X}{R}}\ .}

Sonderfälle

  • Für R = 0 {\displaystyle R=0} gilt:
φ u i = arctan X 0 {\displaystyle \varphi _{ui}=\arctan {\frac {X}{0}}} .
  • Für X > 0 {\displaystyle X>0} ist φ u i = + 90 {\displaystyle \varphi _{ui}=+90^{\circ }} und Z _ = j Z = j X {\displaystyle {\underline {Z}}=\mathrm {j} Z=\mathrm {j} X} ;
  • für X < 0 {\displaystyle X<0} ist φ u i = 90 {\displaystyle \varphi _{ui}=-90^{\circ }} und Z _ = j Z = j X {\displaystyle {\underline {Z}}=-\mathrm {j} Z=\mathrm {j} X} .
  • Für X = 0 {\displaystyle X=0} gilt:
φ u i = arctan 0 R = arctan 0 = 0 {\displaystyle \varphi _{ui}=\arctan {\frac {0}{R}}=\arctan 0=0^{\circ }}
Z _ = Z = R {\displaystyle {\underline {Z}}=Z=R} .

Zusammenschaltung, Ersatzwiderstand

Ersatzschaltbilder für Wechselstromwiderstände
links: Parallelschaltung
rechts: Reihenschaltung

Als Ersatzwiderstand wird der komplexe elektrische Widerstand bezeichnet, der denselben Widerstand besitzt wie eine elektrische Schaltung oder der Teil einer elektrischen Schaltung, den er ersetzt. Ein Ersatzwiderstand kann das Verhalten komplexer elektrischer Anordnungen veranschaulichen und eine Berechnung ermöglichen; siehe auch Ersatzschaltbild.

Tatsächlich auftretende Wechselstromwiderstände lassen sich häufig durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand mit einer Induktivität oder mit einer Kapazität beschreiben. Welches der Bilder verwendet wird, ist eine Frage der besseren Annäherung an die Wirklichkeit mit möglichst frequenzunabhängigen Größen und der Zweckmäßigkeit für die mathematische Behandlung.

Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil, so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat. Selbst ein Stück Draht muss exakt mit R {\displaystyle R} , C {\displaystyle C} und L {\displaystyle L} beschrieben werden; siehe auch Leitungsbelag. Dies zeigt sich im Besonderen dann, wenn die Bauelemente mit ihren geometrischen Abmessungen in den Bereich der Wellenlänge der angelegten Wechselspannung kommen; dann besitzen sie eine nicht zu vernachlässigende Induktivität und Kapazität. Sie werden gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt. Deren Enden dürfen als Kondensatorplatten gesehen werden, der Draht dazwischen als Spule.

Werden ein ohmscher Widerstand und ein Blindwiderstand zusammengeschaltet, so können in komplexer Schreibweise die weiter unten folgenden Regeln für Reihen- und Parallelschaltung angewendet werden.

Werden eine kapazitive und eine induktive Impedanz zusammengeschaltet, so entsteht bei genügend kleiner ohmscher Belastung ein Schwingkreis; die Reihen- und Parallelschaltung und die weiteren Konsequenzen werden unter diesem Stichwort behandelt.

Ortskurve

Ortskurve der Impedanz einer RL-Reihenschaltung
Ortskurve der Impedanz einer RC-Parallelschaltung

Ein anschauliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von Schaltungen mit Wechselstromwiderständen ist die Ortskurve.

Komplexe Größen lassen sich durch Zeiger in der komplexen Ebene darstellen. Wenn die komplexe Größe eine Funktion eines (reellen) Parameters ist und wenn dieser Parameter variiert wird, verschiebt sich die Spitze des Zeigers. Eine Linie durch alle denkbaren Zeigerspitzen wird als Ortskurve bezeichnet.

Die Bilder zeigen Ortskurven der Impedanz als Funktion der Frequenz für die angegebenen Schaltungen. Bei einer RL- oder RC-Reihenschaltung mit einem von der Frequenz unabhängigen ohmschen Widerstand ist auch der Wirkanteil der Impedanz von der Frequenz unabhängig. Bei der entsprechenden Parallelschaltung sind der Wirk- und der Blindanteil der Impedanz ersichtlich beide von der Frequenz abhängig.

Reihenschaltung

Hauptartikel: Reihenschaltung

Werden n {\displaystyle n} ohmsche Widerstände hintereinander geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

R rei = k = 1 n R k = R 1 + R 2 + + R n = 1 G 1 + 1 G 2 + + 1 G n {\displaystyle R_{\text{rei}}=\sum _{k=1}^{n}R_{k}=R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}={\frac {1}{G_{1}}}+{\frac {1}{G_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{G_{n}}}}

Dieses lässt sich an der Reihenschaltung zweier Widerstände veranschaulichen, die sich nur in der Länge l {\displaystyle l} unterscheiden.

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge l 1 + l 2 {\displaystyle l_{1}+l_{2}} . Dann gilt:

R rei = ρ l 1 + l 2 A = ρ l 1 A + ρ l 2 A = R 1 + R 2 {\displaystyle R_{\text{rei}}=\rho \cdot {\frac {l_{1}+l_{2}}{A}}=\rho \cdot {\frac {l_{1}}{A}}+\rho \cdot {\frac {l_{2}}{A}}=R_{1}+R_{2}}

Bei n {\displaystyle n} gleichen Widerständen ( R n = R 1 = R 2 = {\displaystyle R_{n}=R_{1}=R_{2}=\cdots } ) ist der Gesamtwiderstand so groß wie der mit der Anzahl der Widerstände multiplizierte Einzelwiderstand:

R rei = n R n {\displaystyle R_{\text{rei}}=n\cdot R_{n}}

Der Widerstand einer Reihenschaltung ist stets größer als der größte Einzelwiderstand. Eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderständen im Reihenschwingkreis.

Parallelschaltung

Hauptartikel: Parallelschaltung

Werden n {\displaystyle n} ohmsche Widerstände nebeneinander geschaltet, so addieren sich die Leitwerte beziehungsweise die reziproken Widerstände:

G par = G 1 + G 2 + + G n {\displaystyle G_{\text{par}}=G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}
1 R par = k = 1 n 1 R k = 1 R 1 + 1 R 2 + + 1 R n {\displaystyle {\frac {1}{R_{\text{par}}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{R_{k}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}

Dieses lässt sich an der Parallelschaltung zweier Widerstände veranschaulichen, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche A {\displaystyle A} unterscheiden.

Die Parallelschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Querschnittsfläche A 1 + A 2 {\displaystyle A_{1}+A_{2}} . Dann gilt:

R par = ρ l A 1 + A 2 {\displaystyle R_{\text{par}}=\rho \cdot {\frac {l}{A_{1}+A_{2}}}}

und umgestellt

1 R par = A 1 + A 2 ρ l = A 1 ρ l + A 2 ρ l = 1 R 1 + 1 R 2 {\displaystyle {\frac {1}{R_{\text{par}}}}={\frac {A_{1}+A_{2}}{\rho \cdot l}}={\frac {A_{1}}{\rho \cdot l}}+{\frac {A_{2}}{\rho \cdot l}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}

Für die Parallelschaltung gibt es eine alternative Schreibweise mit dem Parallel-Zeichen {\displaystyle {\|}} :

R par = R 1 R 2 R n {\displaystyle R_{\text{par}}=R_{1}\|R_{2}\|\cdots \|R_{n}}

Speziell für zwei parallele Widerstände gilt:

R par = R 1 R 2 R 1 + R 2 {\displaystyle R_{\text{par}}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}

Bei n {\displaystyle n} gleichen Widerständen ist der Gesamtwiderstand so groß wie der durch die Anzahl der Widerstände dividierte Einzelwiderstand:

R par = 1 n R n {\displaystyle R_{\text{par}}={\frac {1}{n}}R_{n}}

Der Widerstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderständen im Parallelschwingkreis.

Bei nichtlinearen Strom-Spannungs-Kennlinien – wie zum Beispiel von Dioden – ist der Quotient für jedes Strom-Spannungs-Paar unterschiedlich. In diesem Fall gilt das ohmsche Gesetz nicht, und man kann nicht von einem linearen Widerstand R {\displaystyle R} sprechen. Kleine Spannungsänderungen sind jedoch näherungsweise proportional zu damit verbundenen kleinen Stromstärkeänderungen. Der Quotient aus kleiner Spannungsänderung und zugehöriger Stromstärkeänderung bei einer bestimmten Spannung wird als differentieller Widerstand r {\displaystyle r} bezeichnet. In einem Diagramm, in dem U {\displaystyle U} über I {\displaystyle I} aufgetragen wird, entspricht er der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt der Kennlinie.

r = d U d I {\displaystyle r={\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} I}}}

Negativer differentieller Widerstand

Strom-Spannungscharakteristik einer Tunneldiode

Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Im Bild ist das im Bereich UP < U < UV der Fall. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden (Oszillator). Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen oder bei Bauteilen wie Avalanche- und Tunneldioden auf, in einfachen elektronischen Schaltungen wie der Lambda-Diode, aber auch bei komplexeren Modulen wie z. B. Schaltnetzteilen auf der Eingangsseite.

Positiver differentieller Widerstand

Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt die Stromstärke mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte, einen positiven differentiellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differentiellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, Diode, Zener-Diode, alle halbleitenden Keramiken.

Die physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung, dass sich die Valenzelektronen im Metall wie ein Gas (Elektronengas) verhalten. Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen, in denen sich die Elektronen frei bewegen können. In dieses Volumen sind die Atomrümpfe eingebettet, die aus dem Atomkern und den stärker gebundenen Elektronen auf den tieferen, vollbesetzten Schalen bestehen.

Ohne äußere elektrische Spannung bewegen sich die Elektronen ungeordnet im Metall (siehe brownsche Bewegung). Legt man nun eine Spannung an, so werden die freien Elektronen durch das elektrische Feld in Richtung der Feldlinien beschleunigt. Es fließt ein elektrischer Strom.

Auf ihrem Weg durch das Metall kommt es zu elastischen Stößen der Elektronen mit anderen Elektronen, den Atomrümpfen und Phononen. Dabei geben die Elektronen Energie an ihre Stoßpartner ab, werden gestreut und wieder durch das elektrische Feld beschleunigt. Die Elektronen werden durch diese Wechselwirkung dauernd abgebremst und es stellt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit ein.

Die bei diesen Stößen an die Atomrümpfe beziehungsweise Phononen übertragene Energie führt zu einer größeren Eigenschwingung um ihre Gleichgewichtslage, ihre Temperatur erhöht sich. Durch die stärkeren Schwingungen erhöht sich die Querschnittsfläche für mögliche Stöße, deren Anzahl mit steigender Temperatur zunimmt und den Widerstand steigen lässt (Kaltleiter). Der Leitungsvorgang in Heißleitern kann mit diesem Modell nicht vollständig erklärt werden, da es hier mit steigender Temperatur zu einer deutlichen Ladungsträgergeneration kommt, die den eben beschriebenen Vorgang überlagern.

Bei sehr hohen Temperaturen, bei denen die Atome des Materials ionisiert werden (Plasma), ist jeder Stoff elektrisch leitend, da die vorher gebundenen Elektronen nun für den Ladungstransport zur Verfügung stehen. Umgekehrt sind Metalle und Oxide bekannt, für die der elektrische Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur verschwindet: Supraleiter besitzen bei Gleichstrom keinen ohmschen Widerstand, Strom fließt bei dieser tiefen Temperatur ohne Verluste.

Durch die thermische Bewegung der Elektronen entsteht ein temperaturabhängiger Rauschstrom, der als Widerstandsrauschen bezeichnet wird.

Der Hall-Widerstand gibt das Verhältnis Spannung zu Stromstärke eines Hallelementes bei einer bestimmten magnetischen Flussdichte an, wobei diese Spannung quer zur Stromdichte auftritt. Er charakterisiert das Hall-Element bzw. die magnetische Flussdichte, hat jedoch mit dem elektrischen Widerstand dieses Hall-Elementes nichts zu tun.

Der Quanten-Hall-Effekt äußert sich dadurch, dass bei tiefen Temperaturen und starken Magnetfeldern die senkrecht zur Stromdichte auftretende Spannung nicht wie beim klassischen Hall-Effekt linear mit der Flussdichte anwächst, sondern in Stufen. Dieses Phänomen führt auf eine universelle Naturkonstante, die „Von-Klitzing-Konstante“ von der Dimension Widerstand. Da die Von-Klitzing-Konstante relativ einfach gemessen werden kann, wurde vorgeschlagen, sie als Normal für Messungen des elektrischen Widerstands zu verwenden.

  1. EN 80000-6, Größen und Einheiten − Teil 6: Elektromagnetismus, 2008; Eintrag 6-46.
  2. IEC 60050, siehe DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE: Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch, Eintrag 131-12-04.
  3. Wolfgang Gruhle: Elektronisches Messen: Analoge und digitale Signalbehandlung. Springer, 1987, S. 95.
  4. Datenblatt für Hochspannungswiderstände
  5. Datenblatt für Cu 99,9 %
  6. Datenblatt für Ni 99,98 %
  7. Datenblatt einer für Präzisionswiderstände geeigneten Legierung
  8. Wilhelm Walcher: Praktikum der Physik. 6. Auflage, Teubner, 1989, Seite 243.
  9. Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2. Vieweg, 1991, Seite 5 ff.
  10. Ekbert Hering, Karl-Heinz Modler (Hrsg.): Grundwissen des Ingenieurs. 14. Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 2007, Seite 167 ff.
  11. DIN 5483–3: Zeitabhängige Größen – Teil 3: Komplexe Darstellung sinusförmig zeitabhängiger Größen. Sept. 1994.
Normdaten (Sachbegriff): GND:4128466-5(OGND, AKS)

Elektrischer Widerstand
elektrischer, widerstand, quotient, erforderlichen, spannung, daraus, resultierenden, stromstärke, durch, einen, elektrischen, leiter, sprache, beobachten, bearbeiten, dieser, artikel, betrachtet, widerstand, physikalische, eigenschaft, gleichnamigen, elektris. Elektrischer Widerstand Quotient aus der erforderlichen Spannung und der daraus resultierenden Stromstarke durch einen elektrischen Leiter Sprache Beobachten Bearbeiten Dieser Artikel betrachtet Widerstand als physikalische Eigenschaft zu dem gleichnamigen elektrischen Bauelement siehe Widerstand Bauelement Physikalische GrosseName Elektrischer WiderstandFormelzeichen R Z X displaystyle R Z X Grossen und Einheitensystem Einheit DimensionSI W M L2 I 2 T 3Gauss cgs s cm 1 L 1 TesE cgs s cm 1 L 1 TemE cgs abW L T 1 Der elektrische Widerstand ist in der Elektrotechnik ein Mass dafur welche elektrische Spannung erforderlich ist um eine bestimmte elektrische Stromstarke durch einen elektrischen Leiter Bauelement Stromkreis fliessen zu lassen Dabei sind Gleichgrossen zu verwenden oder Augenblickswerte bei mit der Zeit veranderlichen Grossen 1 Wenn die Spannung von einem Anschlusspunkt A zu einem Anschlusspunkt B gezahlt wird wird die Stromstarke in dem Leiter positiv gezahlt wenn er von A nach B fliesst der Widerstand kann nicht negativ sein 2 Als Formelzeichen fur den elektrischen Widerstand wird in der Regel R displaystyle R abgeleitet vom Lateinischen resistere fur widerstehen verwendet Der Widerstand hat die SI Einheit Ohm ihr Einheitenzeichen ist das W grosses Omega Schaltzeichen gemass EN 60617 Spannung und Stromstarke haben bei diesen Zahlrichtungen dasselbe Vorzeichen Auf historische Zusammenhange wird im Artikel ohmsches Gesetz eingegangen Auf die Widerstandsmessung wird in einem eigenen Artikel eingegangen Inhaltsverzeichnis 1 Ohmscher Widerstand 1 1 Grundlegende Zusammenhange 1 2 Berechnung des Widerstands eines Leiters 1 3 Einflusseffekte 2 Wechselstromwiderstand 2 1 Darstellung 2 2 Ursachen der komplexen Widerstande 2 3 Umrechnungen 2 4 Sonderfalle 2 5 Zusammenschaltung Ersatzwiderstand 2 6 Ortskurve 3 Reihen und Parallelschaltung 3 1 Reihenschaltung 3 2 Parallelschaltung 4 Differentieller Widerstand 4 1 Negativer differentieller Widerstand 4 2 Positiver differentieller Widerstand 5 Der elektrische Widerstand im Teilchenmodell 6 Hall Effekt 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseOhmscher Widerstand Hauptartikel ohmsches Gesetz Grundlegende Zusammenhange Ein elektrischer Widerstand ist dann ein ohmscher Widerstand wenn sein Wert unabhangig von der Spannung der Starke des Stromes und irgendwelchen Parametern ist An einem solchen Widerstand gilt das ohmsche Gesetz Wird in einem Liniendiagramm die Spannung U displaystyle U uber der Stromstarke I displaystyle I aufgetragen entsteht bei einem ohmschen Widerstand eine Ursprungsgerade die an einem Bauteil mit ohmschem Widerstand abfallende Spannung ist proportional zur Stromstarke im Widerstand mit dem Proportionalitatsfaktor R displaystyle R dieser ist zugleich der Anstieg der Geraden U R I displaystyle U R cdot I Naherungsweise und mit Einschrankungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement im einfachsten Fall einen Metalldraht realisiert werden Dieses wird ublicherweise ebenfalls als Widerstand siehe Widerstand Bauelement bezeichnet Wenn durch den Strom im Widerstand ein Spannungsabfall entsteht wird elektrische Energie in thermische Energie umgesetzt Der Kehrwert des ohmschen Widerstands also der Proportionalitatsfaktor zwischen Stromstarke und Spannung heisst elektrischer Leitwert G displaystyle G eines Leiters Es gilt also G 1 R displaystyle G frac 1 R Berechnung des Widerstands eines Leiters Der ohmsche Widerstand eines Korpers lasst sich aus seinen geometrischen Abmessungen und einer Material Konstante dem spezifischen Widerstand r displaystyle rho berechnen Fur einen in Langsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsflache A displaystyle A und der Lange l displaystyle l gilt R r l A displaystyle R rho cdot frac l A Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Grossen abhangig Einflusseffekte Der ohmsche Widerstand ist eine Idealisierung fur viele theoretische und mathematische Behandlungen mit der sich in der Praxis oft gut arbeiten lasst Aber zusatzlich zu den schon erwahnten Einschrankungen hat das Modell seine Grenzen durch aussere Einwirkungen Ein Einfluss der Spannung auf den elektrischen Widerstand ist bei hohen Spannungen und hohen Widerstandswerten zu beachten in der Grossenordnung D R R D U 10 5 1 V displaystyle tfrac Delta R R Delta U 10 5 tfrac 1 mathrm V 3 in neuen Entwicklungen von Messwiderstanden bis zwei Zehnerpotenzen weniger 4 Vielfach ist er bei nichtlinearen Widerstanden z B Halbleitern zu beobachten siehe unten Ein Spannungseinfluss auf den Widerstand des Gluhfadens einer Gluhlampe ergibt sich indirekt uber den Temperatureinfluss Ein Einfluss der Frequenz ergibt sich bei vielen Widerstanden erst bei hoheren Frequenzen durch den Skineffekt aber selbst bei 50 Hz kommt der Einfluss in dicken Leiterseilen von Hochspannungs Freileitungen zum Tragen Bei Wechselstromwiderstanden kann ein Frequenz Einfluss auch bei niedrigen Frequenzen zu beobachten sein siehe unten Zur Abgrenzung wird der frequenzunabhangige Anteil am Widerstand auch als Gleichstromwiderstand bezeichnet Ein Einfluss der Temperatur ist haufig zu beachten wie nachfolgend beschrieben Die oben aufgestellte Gleichung fur den Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters wird dann beispielsweise ersetzt durch Beispiele fur spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient bei 20 CMaterial r 20 displaystyle rho 20 in W mm2 m a 20 displaystyle alpha 20 in 1 CSilber 16e 3 3 8e 3Kupfer 5 17e 3 4 3e 3Nickel 6 70e 3 6 6e 3Nickel Chrom 7 13e 1 bis 1e 6R 20 r 20 l A displaystyle R 20 rho 20 cdot frac l A wobei der Index die Celsius Temperatur kennzeichnet fur die die Grossen gelten In Tabellenbuchern ist die ubliche Bezugstemperatur t b 20 C displaystyle t b 20 circ mathrm C Die Werte sind abhangig von Reinheitsgrad sowie thermischer und mechanischer Behandlung deshalb sind die Tabellenwerte nur als Richtwerte zu verstehen Der Einfluss der Temperatur t displaystyle t auf den Widerstand R t displaystyle R t lasst sich in einfachen Fallen mit dem Linear Temperaturkoeffizienten a displaystyle alpha und dem Temperaturunterschied D t t t b displaystyle Delta t t t b darstellen Dann wird der Zusammenhang durch eine lineare Gleichung beschrieben R t R t b 1 a t b D t displaystyle R t R t b 1 alpha t b cdot Delta t Fur die meisten Anwendungen mit metallischen Materialien bei nicht zu grossen Temperaturbereichen reicht diese lineare Naherung aus sonst sind Glieder hoherer Ordnung in die Gleichung einzubeziehen Ein Beispiel mit Summanden bis zur vierten Potenz siehe Platin im Artikel Widerstandsthermometer Je nachdem ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur grosser oder kleiner wird wird unterschieden zwischen Heissleitern oder NTC engl Negative Temperature Coefficient Widerstandswert sinkt und Kaltleitern oder PTC engl Positive Temperature Coefficient Widerstandswert steigt Generell sind alle Metalle Kaltleiter In der Mess und Regelungstechnik wird die Temperaturabhangigkeit des elektrischen Widerstandes als Messeffekt ausgenutzt zum Beispiel bei Widerstandsthermometern weiteren Temperatursensoren thermischen Anemometern oder Einschaltstrombegrenzern Es gibt auch verschiedene spezielle Legierungen die sich durch einen uber weite Temperaturbereiche annahernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen wie das fur einen Messwiderstand erforderlich ist WechselstromwiderstandDarstellung Bei Wechselgrossen muss beachtet werden dass sich die Augenblickswerte der Spannung und der Stromstarke periodisch andern Am ohmschen Widerstand besteht die Proportionalitat zwischen Spannung und Stromstarke nicht nur fur Gleichgrossen sondern auch fur Augenblickswerte zum jeweils betrachteten Zeitpunkt Weitere auch als lineare Widerstande bezeichnete elektrische Bauelemente reagieren zeitabhangig Bei einem idealen elektrischen Kondensator ist die Stromstarke aufgrund seiner Kapazitat proportional zur Anderungsrate der Spannung Die dem Kondensator von einem Erzeuger gelieferte Energie wird zum Aufbau eines elektrischen Feldes verwendet Die Energie wird darin zunachst gespeichert Spater nach dem Wechsel des Vorzeichens der Stromstarke wird das Feld wieder abgebaut und die Energie zuruckgespeist Entsprechend ist bei einer idealen Spule die Spannung aufgrund ihrer Induktivitat proportional zur Anderungsrate der Stromstarke In den Rechnungen mit Wechselgrossen ergibt sich dass bei diesen Bauelementen eine sinusformige Stromstarke i i sin w t f i displaystyle i hat imath cdot sin omega t varphi i mit der Frequenz f displaystyle f oder der Kreisfrequenz w 2 p f displaystyle omega 2 pi f eine zeitlich verzogerte ebenfalls sinusformige Spannung u u sin w t f u displaystyle u hat u cdot sin omega t varphi u mit derselben Kreisfrequenz zur Folge hat oder umgekehrt Das Beibehalten der Sinusform im zeitlichen Verlauf ist mit ein Grund das Verhalten der genannten Bauelemente als linear zu bezeichnen Allerdings stellt sich durch die Verzogerung ein Phasenverschiebungswinkel ein f u i f u f i displaystyle varphi ui varphi u varphi i Er ist nur beim ohmschen Widerstand gleich null Ausser bei diesem ist das Verhaltnis u i displaystyle u i zeitabhangig ohne Proportionalitat und zur Beschreibung in der Wechselstromtechnik ungeeignet 8 Sinnvoll angeben lasst sich jedoch der Quotient u i displaystyle hat u hat imath der zeitunabhangigen Amplituden oder gleichwertig der Quotient der Effektivwerte der als Scheinwiderstand Z u i U e f f I e f f displaystyle Z frac hat u hat imath frac U mathrm eff I mathrm eff bezeichnet wird Beim idealen Kondensator und bei der idealen Spule ist der Scheinwiderstand so gross wie der Betrag des Blindwiderstands X displaystyle X Beide Widerstande werden wie der ohmsche Widerstand als unabhangig von Spannung Stromstarke und Zeit angesehen Aber sie sind abhangig von einem Parameter der Frequenz Bei einer realen Spule ist meistens der ohmsche Drahtwiderstand R displaystyle R nicht gegenuber dem Blindwiderstand zu vernachlassigen Da er Energie nach aussen abgeben kann wird er als Wirkwiderstand bezeichnet Der Gesamtwiderstand ergibt sich allerdings wegen der unterschiedlichen Phasenverschiebungen im Wirkanteil und im Blindanteil des Spulenwiderstands nicht wie gewohnt durch arithmetische Addition Der Phasenverschiebungswinkel betragt bei der Induktivitat 90 bei der Kapazitat 90 Damit ist eine Pythagoreische Addition erforderlich Links Zwei mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierende Zeiger Rechts Deren Projektionen auf die senkrechte Ursprungsgerade ergeben die Augenblickswerte sie haben uber dem Phasenwinkel w t displaystyle omega t oder der Zeit t displaystyle t aufgetragen einen Sinusverlauf Die blau gezeichnete Schwingung lauft der rot gezeichneten um 60 vor Z 2 R 2 X 2 displaystyle Z 2 R 2 X 2 wobei stets f u i displaystyle varphi ui lt 90 ist Die mathematische Behandlung mit den Gleichungen fur u displaystyle u und i displaystyle i ist wegen trigonometrischer Umformungen sehr aufwandig Deshalb ist fur Berechnungen die komplexe Wechselstromrechnung entwickelt worden in der reelle physikalische Grossen formal durch komplexe Grossen ersetzt werden u displaystyle u und i displaystyle i werden durch in der komplexen Ebene rotierende Zeiger abgebildet 9 10 Sie drehen sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w displaystyle omega um den Koordinatenursprung Ihre Langen reprasentieren die Amplituden die Abstande der Pfeilspitzen von der reellen Achse stehen fur die Augenblickswerte sie andern sich mit der Zeit sinusformig Formelzeichen komplexer Grossen werden durch Unterstreichung gekennzeichnet 11 Fur die rotierenden Zeiger gilt Impedanz als Zeiger in der komplexen Ebene mit ihren Komponenten Auf der waagerechten Achse wird der Realteil der Impedanz aufgetragen auf der senkrechten Achse der Imaginarteil Der Winkel f displaystyle varphi in der Zeichnung entspricht dem Winkel f u i displaystyle varphi ui im Text u u e j w t f u displaystyle underline u hat u cdot mathrm e mathrm j omega t varphi u quad und i i e j w t f i displaystyle quad underline i hat imath cdot mathrm e mathrm j omega t varphi i mit der imaginaren Einheit j displaystyle mathrm j die durch j 2 1 displaystyle mathrm j 2 1 definiert wird Ferner wird der komplexe Wechselstromwiderstand eingefuhrt der auch Impedanz genannt wird Z u i displaystyle underline Z frac underline u underline i Anders als beim Bruch u i displaystyle tfrac u i kurzt sich beim Bruch u i displaystyle tfrac underline u underline i die im Faktor e j w t displaystyle mathrm e mathrm j omega t enthaltene Zeitabhangigkeit heraus Somit rotiert der zugehorige Zeiger nicht Der komplexe Widerstand ermoglicht die Zusammenfassung von Wirk und Blindwiderstand zu Z R j X displaystyle underline Z R mathrm j X und die Zusammenfassung von Scheinwiderstand und Phasenverschiebungswinkel zu Z Z e j f u i displaystyle underline Z Z cdot mathrm e mathrm j varphi ui Davon wird nachfolgend Gebrauch gemacht Ursachen der komplexen Widerstande Bei einer Spule mit der Induktivitat L displaystyle L gilt u L d i d t displaystyle u L frac mathrm d i mathrm d t Aufgrund einer Spannung wachst die Stromstarke mit der Zeit an Bei Wechselstrom folgt dieser verzogert Mit dem Ansatz mit den komplexen Grossen u u e j w t f u displaystyle underline u hat u mathrm e mathrm j omega t varphi u und i i e j w t f i displaystyle underline i hat imath mathrm e mathrm j omega t varphi i ergibt sich nach der Differenziation u L i e j w t f i j w j w L i displaystyle underline u L hat imath mathrm e mathrm j omega t varphi i cdot mathrm j omega mathrm j omega L cdot underline i u i j w L j X displaystyle frac underline u underline i mathrm j omega L mathrm j X Das X displaystyle X wird hier als induktiver Blindwiderstand bezeichnet X X L w L 0 displaystyle X X L omega L geq 0 Zusammen mit dem Faktor j displaystyle mathrm j bedeutet das Ergebnis dass eine Induktivitat fur sinusformige Wechselgrossen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt Mit j e j p 2 displaystyle mathrm j mathrm e j pi 2 ergibt sich f u i p 2 90 displaystyle varphi ui mathrm pi 2 90 circ Der Scheinwiderstand einer Induktivitat ist ein zur Frequenz proportionaler aber im Ubrigen linearer Widerstand Entsprechend gilt bei einem Kondensator mit der Kapazitat C displaystyle C u 1 C i d t displaystyle u frac 1 C int i mathrm d t Aufgrund eines Stromes wachst die Spannung mit der Zeit an Bei Wechselspannung folgt diese verzogert Mit den komplexen Grossen und nach der Integration ergibt sich u 1 j w C i displaystyle underline u frac 1 mathrm j omega C cdot underline i u i 1 j w C j 1 w C j X displaystyle frac underline u underline i frac 1 mathrm j omega C mathrm j frac 1 omega C mathrm j X Das X displaystyle X wird hier als kapazitiver Blindwiderstand bezeichnet X X C 1 w C 0 displaystyle X X C frac 1 omega C leq 0 Zusammen mit dem Faktor j displaystyle mathrm j bedeutet das Ergebnis dass eine Kapazitat fur sinusformige Wechselgrossen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt Hier ist f u i p 2 90 displaystyle varphi ui pi 2 90 circ Der Scheinwiderstand einer Kapazitat ist ein zur Frequenz umgekehrt proportionaler aber im Ubrigen linearer Widerstand Umrechnungen Mit der der Eulerschen Formel ist Z Z e j f u i Z cos f u i j sin f u i displaystyle underline Z Z cdot mathrm e mathrm j varphi ui Z cdot cos varphi ui mathrm j sin varphi ui Durch Vergleich dieser Schreibweise mit Z R j X displaystyle underline Z R mathrm j X ergeben sich Re Z Z cos f u i R displaystyle operatorname Re underline Z Z cdot cos varphi ui R Wirkwiderstand Im Z Z sin f u i X displaystyle operatorname Im underline Z Z cdot sin varphi ui X Blindwiderstand Fur den Scheinwiderstand gilt Z Z u i u i U eff I eff displaystyle Z underline Z frac underline u underline i frac hat u hat imath frac U text eff I text eff oder Z R 2 X 2 displaystyle Z sqrt R 2 X 2 und fur den Phasenverschiebungswinkel zwischen u displaystyle underline u und i displaystyle underline i f u i arctan X R displaystyle varphi ui arctan frac X R Sonderfalle Fur R 0 displaystyle R 0 gilt f u i arctan X 0 displaystyle varphi ui arctan frac X 0 Fur X gt 0 displaystyle X gt 0 ist f u i 90 displaystyle varphi ui 90 circ und Z j Z j X displaystyle underline Z mathrm j Z mathrm j X fur X lt 0 displaystyle X lt 0 ist f u i 90 displaystyle varphi ui 90 circ und Z j Z j X displaystyle underline Z mathrm j Z mathrm j X Fur X 0 displaystyle X 0 gilt f u i arctan 0 R arctan 0 0 displaystyle varphi ui arctan frac 0 R arctan 0 0 circ Z Z R displaystyle underline Z Z R Zusammenschaltung Ersatzwiderstand Ersatzschaltbilder fur Wechselstromwiderstande links Parallelschaltung rechts Reihenschaltung Als Ersatzwiderstand wird der komplexe elektrische Widerstand bezeichnet der denselben Widerstand besitzt wie eine elektrische Schaltung oder der Teil einer elektrischen Schaltung den er ersetzt Ein Ersatzwiderstand kann das Verhalten komplexer elektrischer Anordnungen veranschaulichen und eine Berechnung ermoglichen siehe auch Ersatzschaltbild Tatsachlich auftretende Wechselstromwiderstande lassen sich haufig durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand mit einer Induktivitat oder mit einer Kapazitat beschreiben Welches der Bilder verwendet wird ist eine Frage der besseren Annaherung an die Wirklichkeit mit moglichst frequenzunabhangigen Grossen und der Zweckmassigkeit fur die mathematische Behandlung Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat Selbst ein Stuck Draht muss exakt mit R displaystyle R C displaystyle C und L displaystyle L beschrieben werden siehe auch Leitungsbelag Dies zeigt sich im Besonderen dann wenn die Bauelemente mit ihren geometrischen Abmessungen in den Bereich der Wellenlange der angelegten Wechselspannung kommen dann besitzen sie eine nicht zu vernachlassigende Induktivitat und Kapazitat Sie werden gegebenenfalls zum Schwingkreis als Beispiel sei hier die Antenne genannt Deren Enden durfen als Kondensatorplatten gesehen werden der Draht dazwischen als Spule Werden ein ohmscher Widerstand und ein Blindwiderstand zusammengeschaltet so konnen in komplexer Schreibweise die weiter unten folgenden Regeln fur Reihen und Parallelschaltung angewendet werden Werden eine kapazitive und eine induktive Impedanz zusammengeschaltet so entsteht bei genugend kleiner ohmscher Belastung ein Schwingkreis die Reihen und Parallelschaltung und die weiteren Konsequenzen werden unter diesem Stichwort behandelt Ortskurve Ortskurve der Impedanz einer RL Reihenschaltung Ortskurve der Impedanz einer RC Parallelschaltung Ein anschauliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von Schaltungen mit Wechselstromwiderstanden ist die Ortskurve Komplexe Grossen lassen sich durch Zeiger in der komplexen Ebene darstellen Wenn die komplexe Grosse eine Funktion eines reellen Parameters ist und wenn dieser Parameter variiert wird verschiebt sich die Spitze des Zeigers Eine Linie durch alle denkbaren Zeigerspitzen wird als Ortskurve bezeichnet Die Bilder zeigen Ortskurven der Impedanz als Funktion der Frequenz fur die angegebenen Schaltungen Bei einer RL oder RC Reihenschaltung mit einem von der Frequenz unabhangigen ohmschen Widerstand ist auch der Wirkanteil der Impedanz von der Frequenz unabhangig Bei der entsprechenden Parallelschaltung sind der Wirk und der Blindanteil der Impedanz ersichtlich beide von der Frequenz abhangig Reihen und ParallelschaltungReihenschaltung Hauptartikel Reihenschaltung Werden n displaystyle n ohmsche Widerstande hintereinander geschaltet so addieren sich die Widerstande R rei k 1 n R k R 1 R 2 R n 1 G 1 1 G 2 1 G n displaystyle R text rei sum k 1 n R k R 1 R 2 cdots R n frac 1 G 1 frac 1 G 2 cdots frac 1 G n Dieses lasst sich an der Reihenschaltung zweier Widerstande veranschaulichen die sich nur in der Lange l displaystyle l unterscheiden Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskorper der Lange l 1 l 2 displaystyle l 1 l 2 Dann gilt R rei r l 1 l 2 A r l 1 A r l 2 A R 1 R 2 displaystyle R text rei rho cdot frac l 1 l 2 A rho cdot frac l 1 A rho cdot frac l 2 A R 1 R 2 Bei n displaystyle n gleichen Widerstanden R n R 1 R 2 displaystyle R n R 1 R 2 cdots ist der Gesamtwiderstand so gross wie der mit der Anzahl der Widerstande multiplizierte Einzelwiderstand R rei n R n displaystyle R text rei n cdot R n Der Widerstand einer Reihenschaltung ist stets grosser als der grosste Einzelwiderstand Eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderstanden im Reihenschwingkreis Parallelschaltung Hauptartikel Parallelschaltung Werden n displaystyle n ohmsche Widerstande nebeneinander geschaltet so addieren sich die Leitwerte beziehungsweise die reziproken Widerstande G par G 1 G 2 G n displaystyle G text par G 1 G 2 cdots G n 1 R par k 1 n 1 R k 1 R 1 1 R 2 1 R n displaystyle frac 1 R text par sum k 1 n frac 1 R k frac 1 R 1 frac 1 R 2 cdots frac 1 R n Dieses lasst sich an der Parallelschaltung zweier Widerstande veranschaulichen die sich nur in ihrer Querschnittsflache A displaystyle A unterscheiden Die Parallelschaltung ergibt einen Widerstandskorper der Querschnittsflache A 1 A 2 displaystyle A 1 A 2 Dann gilt R par r l A 1 A 2 displaystyle R text par rho cdot frac l A 1 A 2 und umgestellt 1 R par A 1 A 2 r l A 1 r l A 2 r l 1 R 1 1 R 2 displaystyle frac 1 R text par frac A 1 A 2 rho cdot l frac A 1 rho cdot l frac A 2 rho cdot l frac 1 R 1 frac 1 R 2 Fur die Parallelschaltung gibt es eine alternative Schreibweise mit dem Parallel Zeichen displaystyle R par R 1 R 2 R n displaystyle R text par R 1 R 2 cdots R n Speziell fur zwei parallele Widerstande gilt R par R 1 R 2 R 1 R 2 displaystyle R text par frac R 1 cdot R 2 R 1 R 2 Bei n displaystyle n gleichen Widerstanden ist der Gesamtwiderstand so gross wie der durch die Anzahl der Widerstande dividierte Einzelwiderstand R par 1 n R n displaystyle R text par frac 1 n R n Der Widerstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand Eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderstanden im Parallelschwingkreis Differentieller Widerstand Hauptartikel Differentieller Widerstand und Kleinsignalverhalten Bei nichtlinearen Strom Spannungs Kennlinien wie zum Beispiel von Dioden ist der Quotient fur jedes Strom Spannungs Paar unterschiedlich In diesem Fall gilt das ohmsche Gesetz nicht und man kann nicht von einem linearen Widerstand R displaystyle R sprechen Kleine Spannungsanderungen sind jedoch naherungsweise proportional zu damit verbundenen kleinen Stromstarkeanderungen Der Quotient aus kleiner Spannungsanderung und zugehoriger Stromstarkeanderung bei einer bestimmten Spannung wird als differentieller Widerstand r displaystyle r bezeichnet In einem Diagramm in dem U displaystyle U uber I displaystyle I aufgetragen wird entspricht er der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt der Kennlinie r d U d I displaystyle r frac mathrm d U mathrm d I Negativer differentieller Widerstand Strom Spannungscharakteristik einer Tunneldiode Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein so dass die Stromstarke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstarke bei sinkender Spannung steigt Im Bild ist das im Bereich UP lt U lt UV der Fall Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen Entdampfen von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden Oszillator Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen oder bei Bauteilen wie Avalanche und Tunneldioden auf in einfachen elektronischen Schaltungen wie der Lambda Diode aber auch bei komplexeren Modulen wie z B Schaltnetzteilen auf der Eingangsseite Positiver differentieller Widerstand Bei positiven differentiellen Widerstanden nimmt die Stromstarke mit zunehmender Spannung zu Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie jedoch stets fur sehr grosse Werte einen positiven differentiellen Widerstand Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschliesslich positiven differentiellen Widerstand Beispiele realer Widerstand Diode Zener Diode alle halbleitenden Keramiken Der elektrische Widerstand im TeilchenmodellDie physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung dass sich die Valenzelektronen im Metall wie ein Gas Elektronengas verhalten Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen in denen sich die Elektronen frei bewegen konnen In dieses Volumen sind die Atomrumpfe eingebettet die aus dem Atomkern und den starker gebundenen Elektronen auf den tieferen vollbesetzten Schalen bestehen Ohne aussere elektrische Spannung bewegen sich die Elektronen ungeordnet im Metall siehe brownsche Bewegung Legt man nun eine Spannung an so werden die freien Elektronen durch das elektrische Feld in Richtung der Feldlinien beschleunigt Es fliesst ein elektrischer Strom Auf ihrem Weg durch das Metall kommt es zu elastischen Stossen der Elektronen mit anderen Elektronen den Atomrumpfen und Phononen Dabei geben die Elektronen Energie an ihre Stosspartner ab werden gestreut und wieder durch das elektrische Feld beschleunigt Die Elektronen werden durch diese Wechselwirkung dauernd abgebremst und es stellt sich eine mittlere Stromungsgeschwindigkeit ein Die bei diesen Stossen an die Atomrumpfe beziehungsweise Phononen ubertragene Energie fuhrt zu einer grosseren Eigenschwingung um ihre Gleichgewichtslage ihre Temperatur erhoht sich Durch die starkeren Schwingungen erhoht sich die Querschnittsflache fur mogliche Stosse deren Anzahl mit steigender Temperatur zunimmt und den Widerstand steigen lasst Kaltleiter Der Leitungsvorgang in Heissleitern kann mit diesem Modell nicht vollstandig erklart werden da es hier mit steigender Temperatur zu einer deutlichen Ladungstragergeneration kommt die den eben beschriebenen Vorgang uberlagern Bei sehr hohen Temperaturen bei denen die Atome des Materials ionisiert werden Plasma ist jeder Stoff elektrisch leitend da die vorher gebundenen Elektronen nun fur den Ladungstransport zur Verfugung stehen Umgekehrt sind Metalle und Oxide bekannt fur die der elektrische Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur verschwindet Supraleiter besitzen bei Gleichstrom keinen ohmschen Widerstand Strom fliesst bei dieser tiefen Temperatur ohne Verluste Durch die thermische Bewegung der Elektronen entsteht ein temperaturabhangiger Rauschstrom der als Widerstandsrauschen bezeichnet wird Hall EffektDer Hall Widerstand gibt das Verhaltnis Spannung zu Stromstarke eines Hallelementes bei einer bestimmten magnetischen Flussdichte an wobei diese Spannung quer zur Stromdichte auftritt Er charakterisiert das Hall Element bzw die magnetische Flussdichte hat jedoch mit dem elektrischen Widerstand dieses Hall Elementes nichts zu tun Der Quanten Hall Effekt aussert sich dadurch dass bei tiefen Temperaturen und starken Magnetfeldern die senkrecht zur Stromdichte auftretende Spannung nicht wie beim klassischen Hall Effekt linear mit der Flussdichte anwachst sondern in Stufen Dieses Phanomen fuhrt auf eine universelle Naturkonstante die Von Klitzing Konstante von der Dimension Widerstand Da die Von Klitzing Konstante relativ einfach gemessen werden kann wurde vorgeschlagen sie als Normal fur Messungen des elektrischen Widerstands zu verwenden WeblinksVersuche und Aufgaben zum elektrischen Widerstand Wayback Machine Archive Memento vom 1 Februar 2017 im Internet Archive LEIFI Bewahrung und Darstellung der Einheit des elektrischen Widerstandes Ohm Exponat Informationsblatt der Physikalisch Technischen Bundesanstalt Hannover Messe 82 21 April 1982Einzelnachweise EN 80000 6 Grossen und Einheiten Teil 6 Elektromagnetismus 2008 Eintrag 6 46 IEC 60050 siehe DKE Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik in DIN und VDE Internationales Elektrotechnisches Worterbuch Eintrag 131 12 04 Wolfgang Gruhle Elektronisches Messen Analoge und digitale Signalbehandlung Springer 1987 S 95 Datenblatt fur Hochspannungswiderstande Datenblatt fur Cu 99 9 Datenblatt fur Ni 99 98 Datenblatt einer fur Prazisionswiderstande geeigneten Legierung Wilhelm Walcher Praktikum der Physik 6 Auflage Teubner 1989 Seite 243 Wilfried Weissgerber Elektrotechnik fur Ingenieure 2 Vieweg 1991 Seite 5 ff Ekbert Hering Karl Heinz Modler Hrsg Grundwissen des Ingenieurs 14 Auflage Fachbuchverlag Leipzig 2007 Seite 167 ff DIN 5483 3 Zeitabhangige Grossen Teil 3 Komplexe Darstellung sinusformig zeitabhangiger Grossen Sept 1994 Normdaten Sachbegriff GND 4128466 5 OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Elektrischer Widerstand amp oldid 215047852, wikipedia, wiki, deutsches

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