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Biharmonische Funktion

Eine mathematische Funktion u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} heißt biharmonisch in einem Gebiet D {\displaystyle D} , falls sie die biharmonische Gleichung

Δ Δ u ( x , y ) = 0 {\displaystyle \Delta \Delta u(x,y)=0}

für alle Punkte ( x , y ) D {\displaystyle (x,y)\in D} erfüllt; Δ {\displaystyle \Delta } ist hierbei der Laplace-Operator und somit Δ Δ {\displaystyle \Delta \Delta } der biharmonische Operator.

Die biharmonische Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung von u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} .

In der Praxis tritt diese Gleichung z. B. in der Kontinuumsmechanik bei Platten auf. Die Verformung u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} einer Platte in einem Punkt ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} gehorcht in erster Näherung der inhomogenen biharmonischen Gleichung:

Δ Δ u ( x , y ) = f ( x , y ) {\displaystyle \Delta \Delta u(x,y)=f(x,y)}

Hier ist f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} die Kraft(dichte), die auf die Platte ausgeübt wird.

Harmonische Funktionen sind auch immer biharmonische Funktionen; die Umkehrung muss aber nicht gelten.

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